BAB 2 SISTEM MAKRO DAN MIKRO

BAB 2 SISTEM MAKRO DAN MIKRO Sstm yang akan d bahas dalam skrps n adalah sstm frmon yang mngkut kadah ksklus Paul, mrupakan partkl dntk dan mmlk sfat-sfat yang brbda jka d bandngkan dngan sstm boson. Olh karna tu dalam skrps n, untuk mnjlaskan gambaran mngna partkl frmon scara lbh dtal sbaknya trlbh dahulu kta mngkaj mngna dasar-dasar mkanka statstk sbaga bahan bag kta untuk lbh mmaham skrps n. 2. Sstm Makroskopk dan Mkroskopk Cabang fska mkanka statstk mnunjukkan atau mnjlaskan hubungan antara sfat makroskopk sstm banyak partkl dngan sfat mkroskopk partkl tu sndr. Pokok utama mkanka statstk adalah mncar gambaran smua hukum-hukum trmodnamka dngan klakuan atom-atom atau molkul-molkul matr, shngga pandangan tntang hukum-hukum trmodnamka dapat d mngrt scara rnc. Mkanka statstk ssungguhnya tdaklah mmprsoalkan ntraks antara partkl ndvdual mlankan mmprsoalkan klakuan dngan pluang trbsar. 2.. Rvw ( kajan) Mkanka Kuantum Prnsp mkanka kuantum (sstm mkroskopk) mngarah kpada hasl bahwa nrg partkl, tdak mmatuh bbrapa gaya konsrvatf sprt gravtas, lstrk, atau mdan magntk, tdak bsa mnrma bbrapa harga yang brubah-ubah, atau tdak dapat brubah dalam bntuk kontnu. Mlankan partkl dapat brada hanya dalam salah satu jumlah kadaan yang mmlk nrg yang khusus. Enrg n dkatakan trkuantsas. Prsamaan yang palng dknal dalam mkanka kuantum adalah schrodngr. Unvrstas Sumatra Utara

2..2 Partkl Idntk (Indstngushabl Partcls) Dua partkl dkatakan dntk jka tdak ada fk ktka kdua partkl trsbut dprtukarkan. Lbh tpatnya, smua kuanttas tramat harus tdak brubah jka poss, momntum dan varabl dnams lannya sprt spn dar partkl prtama dprtukarkan dngan varabl dnams dar partkl kdua. Fungs glombang lngkap ψ dar lktron dalam atom hdrogn dapat dnyatakan sbaga prkalan dar fungs-fungs glombang yang trpsah, masng-masng mnggambarkan bagan ψ dar varablvarabl dnams yang d ktahu. ψ(,2,3, ) ψ()ψ (2)ψ(3) (2.) Kta msalkan salah satu partkl yang kta tnjau dalam kadaan kuantum a dan yang lan dalam kadaan kuantum b, karna partkl tu dntk, tdak trdapat prbdaan dalam krapatan pluang ψ 2 dar sstm tu jka partkl tu dprtukarkan, partkl dalam kadaan a mnggantkan yang dalam kadaan b dan sbalknya.dngan kata lan ψ 2 (,2) ψ 2 (2,) (2.2) Jad fungs glombang ψ(2,) mnyatakan partkl yang dprtukarkan dapat dbrkan olh salah satu ψ(2,) ψ(2,) (2.3) ψ(2,) -ψ(2,) (2.4) dan ttap mmnuh prsamaan(2.2). Fungs glombang sndr bukanlah kualtas yang dapat dukur, shngga dapat dubah tandanya olh prtukaran partkl. Fungs glombang yang tdak dpngaruh olh prtukaran partkl dsbut smtrk, sdangkan yang tandanya brubah stlah prtukaran partkl dsbut antsmtrk. Jka partkl dalam kadaan a dan partkl 2 dalam kadaan b, mnurut prsamaan (2.) fungs glombang sstm mnjad ψ I ψ a () ψ b (2) (2.5) sdangkan jka partkl 2 dalam kadaan a dan partkl dalam kadaan b, fungs glombangnya adalah Unvrstas Sumatra Utara

ψ II ψ a (2)ψ b () (2.6) Karna kdua partkl tdak dapat dbdakan, maka kombnas lnr ψ I dan ψ II mrupakan pmbran yang tpat untuk mnyatakan kadaan sstm. Trdapat dua kombnas yang mungkn, smtrk (ψ S ) dan antsmtrk (ψ A ). ψ S [ ψ a ()ψ b (2) + ψ a (2)ψ b () ] (2.7) 2 ψ A [ ψ a ()ψ b (2)-ψ a (2)ψ b () ] (2.8) 2 Faktor dprlukan untuk mnormalsas ψ s dan ψ A. 2 Prbdaan yang mncolok antara kasus yang prtama dan kdua adalah pada kasus prtama, partkl dan 2 dapat brada dalam kadaan kuantum yang sama scara srntak, dngan a b, sdangkan dalam kasus kdua partkl tdak dapat brada dalam kadaan kuantum yang sama. Konds nlah yang mmbdakan kdua partkl kuantum frmon dan boson. Frmon mngkut fungs glombang antsmtrk dan boson mngkut fungs glombang smtrk. Shngga ktka frmon-frmon dalam kadaan yang sama, total ψ adalah nol. Contohnya, ψ a ψ b, n mmbuktkan kbnaran dar hukum yang mnyatakan tdak trdapat dua lktron dalam kadaan kuantum yang sama atau brlakunya prnsp ksklus Paul. 2..3 Prnsp Eksklus Paul Dalam tahun 925, Wolfgang Paul mnmukan prnsp pokok yang mngatur konfguras lktronk atom yang mmlk lbh dar satu lktron. Prnsp ksklusnya (larangannya) mnyatakan bahwa tdak trdapat dua lktron dalam sbuah atom yang dapat brada dalam kadaan kuantum yang sama. Masng-masng lktron dalam sbuah atom harus mmlk kumpulan blangan kuantum n,l,m l dan m s yang brbda. Brsfat glombang smtrk atau asmtrk. Sfat glombang maksudnya adalah fungs Unvrstas Sumatra Utara

glombang yang tdak dpngaruh olh prtukaran partkl dan sbalknya fungs glombang yang brpngaruh trhadap prtukaran partklnya dsbut glombang asmtrk. 2.2 Mkanka Statstk Kta mnggunakan mkanka statstk untuk mmbuktkan sstm rl (sstm banyak partkl). Dngan mudah kta dapat mmcahkan prsamaan schrodngr satu partkl. Untuk banyak partkl,solusnya adalah ψ total kombnas lnr ψ a ()ψ b (2)ψ c (3) (2.9) ψ a artnya partkl dalam kadaan a dngan suatu nrg E a. Jka dstrbus dar partkl-partkl dar sstm spanjang nrg kadaannya dktahu, sfat-sfat makroskopk dar sstm dapat dtntukan. Jad masalah nt dar mkanka statstk adalah mnntukan dstrbus yang mungkn dar partkl-partkl spanjang nrg lvl dan nrg kadaan. Gambaran dar suatu kumpulan partkl tunggal trgantung kpada apakah partklpartkl trsbut trbdakan (dstngushabl) atau tak-trbdakan (ndstngushabl). 2.2. Mkrokanonk,Kanonk dan Kanonk Total Tnjau suatu sstm partkl-partkl yang tdak salng brntraks, dngan Hamltonannya dbrkan olh Λ H m a E a N Λ (2.0) a Dmana E a mrupakan nrg kadaan kuantum partkl tunggal α dan N Λ mrupakan oprator yang mncacah banyaknya partkl yang brada pada α α, Unvrstas Sumatra Utara

sdangkan m mnunjukkan jumlah aras nrg yang brbda (dapat mrosot), dnotaskan sbaga,,m, dngan m dapat tak brhngga. α Mkanka statstk kta dprhadapkan dngan stuas dmana kadaan kuantum dar sstm tdak dktahu.nla harap dar suatu obsrvabl harus drataratakan A w A (2.) Dmana kadaan adalah ortonormal dar Hamltonan H dan w adalah pluang brada dalam kadaan.w harus mmnuh w. Nla harap dapat dtulskan dalam bntuk bbas A Tr{ ρ A} (2.2) ρ adalah matrks dnstas. Dalam hal n ρ w. Kadaan w yakn pluangnya brtambah,yatu Tr{ ρ } (2.3) Kta slalu dprhadapkan kpada tga nsmbl: mkrokanonk nsmbl, kanonk nsmbl, dan kanonk nsmbl total. Dalam mkrokanonk nsmbl dasumskan sstm dalam kadaan trtutup, shngga nrg E ttap, ttap smua kadaan dngan nrg E sama dngan probabltas ρ Cδ (H E) (2.4) dmana ρ adalah matrks dnstas. δ adalah dlta kronckr. C adalah konstanta normalsas dan ntrop dbrkan olh: S - ln C (2.5) Unvrstas Sumatra Utara

Dngan dmkan S ln (# kadaan dar nrg E). Tmpratur nvrs, β (2.6) k B T S β (2.7) E V Tkanan P, P S (2.8) k T V B Dar hukum prtama trmodnamka E ds S S de + E V dv (2.9) Enrg bbas, de k B TdS PdV (2.20) F E - k B TS (2.2) Jka prsamaan n dturunkan dan dhubungkan dngan prsamaan sblumnya df de - k B (SdT + TdS ) k B TdS PdV - k B SdT - k B TdS (2.22) - k B SdT PdV Maka dprolh prsamaan prsamaan Entrop, Unvrstas Sumatra Utara

Tkanan P, P - F S - k T T B F V T V (2.23) (2.24) Enrg E kta prolh kmbal dalam formulas yang baru E F + k B TS F F - T T V (2.25) - T 2 F T T Dalam kstmbangan trmal, asumsnya sstm kontak dngan panas rsrvor shngga tmpratur dalam kadaan konstan. Matrk dnstasnya ρ C βh (2.26) In brguna untuk mnurunkan konstanta normalsas, C dan bkrja dngan matrks dnstas tanpa normalsas shngga kta dapat mndfnskan fungs parts atau Z Tr{ ρ } (2.27) Z E β (2.28) Enrg rata-ratanya dprolh E E a Z a βe Unvrstas Sumatra Utara

- ln Z β 2 - k β T ln Z T (2.29) Olh karna tu dapat dprolh prsamaan nrg bbas brdasarkan kanonk nsmbl F - k β T ln Z (2.30) Potnsal kma µ d dfnskan sbaga F µ (2.3) N N adalah jumlah partkl. dan matrks dnstas Dalam kanonk lngkap total, tmpratur T dan potnsal kma µ dktahu ρ β ( H µ N ) C (2.32) D sn juga brlaku matrks dnstas tanpa normalsas dan mmbntuk fungs parts kanonk lngkap Z N, Ea β ( Ea µ N ) (2.33) Jumlah partkl rata-rata d prolh N - k β T ln Z (2.34) µ Shngga nrg rata-ratanya dprolh E - ln Z + µ k B T ln Z (2.35) β µ Unvrstas Sumatra Utara

Pada skrps n kta akan mnggunakan fungs parts kanonk lngkap untuk konds tmpratur dan potnsal kma yang dktahu dalam suatu sstm. 2.2.2 Ensmbl Kanonk Smua nsmbl yang brada dalam nsmbl kanonk mmpunya tmpratur yang sama. Olh karna tu d dndng pmsah brsfat prmabl yang artnya dapat dtmbus olh panas atau caran. Olh karna stap nsmbl yang mmpunya tmpratur yang sama maka trjad kstmbangan trmodnamka. Enrg dar sbuah nsmbl yang brada dalam nsmbl kanonk brubah trhadap waktu mula dar nrg k nol sampa k nrg totalnya. Apabla sbuah nsmbl yang d dalam nsmbl kanonk brada pada stat k dngan nrg yang dnyatakan poss. Probobltas bahwa sbuah brada dalam stat k sama dngan nol. P P(0) / kt (2.36) D mana P(0) adalah fungs tmpratur T. Olh karna pada stat k nsmbl harus sama dngan shngga probabltas mnjad: P Fungs parts dar nsmbl yang brada d dalam nsmbl kanonk adalah : Z / kt Fungs parts n mmpunya sfat-sfat sama dngan parts total. (2.37) Shngga Z Z N (2.38) N! P p(o) / kt (2.39) D mana Maka Po Z kt / / kt (2.40) (2.4) Unvrstas Sumatra Utara

/ kt P / kt P / kt Z (2.42) 2.2.3 Sfat- Sfat Trmodnamka Ensmbl Kanonk Pngrtan nsmbl dsn adalah suatu nsmbl yang trdr dar bbrapa sstm yang brada pada satu ruangan masng-masng tmpat dapat brada pada sstm nrg. Enrg rata-rata dar sbuah nsmbl dapat dtulskan prsamaannya sbaga brkut d bawah n Maka E P (2.43) P P(0) P(0) z Z P P / kt z / kt / kt / kt / kt / kt Z E Z P E / kt Z E / E kt ( ) (2.44) Z E( / E T / kt: ) / kt kt Z kt T (2.45) kt E Z 2 Z T Unvrstas Sumatra Utara

2.3 Frmon dan Boson Frmon, dambl dar nama Enrco Frm, yang artnya adalah partkl yang mmbntuk status kuantum kompost yang bnar-bnar antsmtrk. Haslnya frmon brsfat ssua dngan prnsp ksklus Paul dan juga ssua dngan statstk Frm- Drac.Tor spn-statstk mnyatakan bahwa frmon mmpunya spn yang brupa sparuh blangan bulat. Salah satu cara untuk mnggambarkan spn n alah bahwa partkl dngan spn /2, sprt frmon, harus dputar olh dua rotas pnuh untuk mngmbalkan mrka k kadaan smula. Contoh-contoh frmon antara lan: lktron, proton, dan nutron. Karna masng-masng kadaan kuantum hanya dapat dhun palng banyak olh satu lktron, kta harus mngngat bahwa lbh dar N kadaan kuantum, N dar sluruhnya yang akan dtmpat(trs). Jad, untuk mmbrkan jumlah dar tngkat nrg g, banyaknya cara n mnmpat tngkat-tngkat nrg n adalah g ( ) Ω E n g! Ω ( E ) (2.46) n!( g n )! Dngan E n.jad untuk ksluruhan sstm Ω (E) dan Ω ( E ) n ( g! g! n )! (2.47) E E n (2.48) Dngan mnggunakan pndkatan strlng, kta dapat mnghtung ntrop, nrg bbas, dan potnsal kma. Entropnya (S), Unvrstas Sumatra Utara

Enrg bbas (F), S k ln Ω (E) k g ln g n ln n (g n ) ln(g n ) (2.49) F E TS D mana E n Maka F [ n T ( g ln g n ln n ( g n )ln( g n )] (2.50) Untuk mnghtung potnsal kma mlalu prsamaan (2.3) dar kult I yatu F µ n Shngga, T[ ln n + ln( g n ) + ] µ ( g n ) ln T n Maka, g n (2.5) µ xp( ) + T Dalam kstmbangan, smua potnsal kma untuk smua kult yang brbda harus sama. Dalam hal n µ µ dan mngntprtaskan kdudukan n dalam bntuk yang brssuaan dngan nla rata-rata kdudukan dalam kstmbangan, shngga dapat dtulskan: Untuk dstrbus frmon n Untuk dstrbus boson g µ xp( ) + T (2.52) Unvrstas Sumatra Utara

n g µ xp( ) T (2.53) 2.3. Dstrbus Bos Enstn lngkap (2.33) yatu Untuk sstm boson, fungs partsnya dar prsamaan fungs parts kanonk Z N, E a β ( E µ N ) a (2.54) Suku-suku dalam nla gn partkl tunggal dan nrg partkl tunggal adalah Ea n n + n... (2.55) n 0,,2,3 0 0 + Shngga, Z β ( n µ { n } n ) β ( n µ n ) n β ( µ ) (2.56) n ( µ ) (2.57) β Banyaknya jumlah partkl dalam sstm, N n Unvrstas Sumatra Utara

(2.58) β ( µ ) Enrgnya dbrkan olh E a n β ( µ ) (2.59) N akan mnngkat srng pnngkatan µ. Kondnsas Bos-Enstn trjad ktka N > 0 n (2.60) 2.3.2 Dstrbus Frm-Drac Statstk Frm-Drac prtama skal d prknalkan olh Enrco Frm dan Paul Drac pada 926. Salah satu aplkas dar statstka Frm-Drac n adalah dalam dstrbus Frm-Drac yatu untuk sstm frmon dntk. Olh sbab tu prnsp ksklus Paul yatu bahwa tdak trdapat dua lktron dalam sbuah atom yang dapat barada dalam kadaan kuantum yang sama, jad jumlah partkl yang dapat mnmpat kadaan tunggal hanya 0 dan, shngga jka ada g kadaan brnrg sama dan ada n partkl,maka n kadaan trs dan (g -n ) kosong. Sjumlah g kadaan dapat datur dalam g! cara yang brbda, ttap ada n! prmutas dar kadaan trs d antara mrka yang tdak rlavan partkl tu tak trbdakan dan g n )! prmutas kadaan kosong d antara mrka yang tdak rlavan ( karna kadaan tdak ada snya. Untuk sstm frmon bbas, fungs partsnya dar prsamaan (2.33) adalah Z N, E a β ( E µ N ) a Unvrstas Sumatra Utara

sama halnya pada dstrbus Bos-Enstn, bahwa E a n n + n +... 0 0 hanya, olh karna prnsp ksklus paul n 0, (2.6) shngga Z β ( n µ { n } n ) β ( n µ n ) n 0 β ( µ ) ( + ) (2.62) n ( µ ) β + (2.63) dar prsamaan n dprolh N, (2.64) β ( µ ) + dan E (2.65) β ( µ ) + maka dstrbus Frm-Drac untuk frmon adalah f( ) (2.66) β ( µ ) + Jkalau dbandngkan dngan sstm boson, maka dstrbus untuk partkl boson yang mngkut dstrbus Bos-Enstn adalah f( ) β ( µ ) (2.67) Pada sstm boson tdak ada batas dalam mngs jumlah pada masng-masng lvl kadaan atau tdak mmnuh ksklus Paul. Unvrstas Sumatra Utara

Tanda postf dan ngatf pada prsamaan nlah yang mnybabkan prbdaan antara kdua dstrbus n. D mana bahwa dalam dstrbus Frm-Drac trbukt bahwa pluang lktron mnmpat suatu kadaan adalah antara 0 dan, karna dbatas olh pmbag +. 2.4 Statstka Kuantum Statstka kuantum adalah sjumlah nrg yang trdstrbus dantara sstm partkl dalam kstmbangan trmal pada tmpratur dmana bahwa sstm mkanka kuantum yang trdr dar N partkl. Fungs dstrbus Maxwll-Boltzmann brlaku untuk sstm partkl dntk yang satu sama lan dapat d bdakan dngan fungs glombangnya brtumpangan. Molkul dalam gas cocok dngan pmran trsbut, dan mmnuh statstka Maxwll-Boltzman. Jka fungs glombang cukup banyak salng brtumpangan, kadaannya brubah karna partkl trsbut tdak dapat dbdakan. Akbat mkanka kuantum dar partkl yang tak trbdakan, maka fungs glombang dalam sstm partkl trsbut yang salng brtumpangan dapat dlhat dalam dua bagan yatu:. Partkl dngan spn 0 atau blangan bulat yang dsbut boson. Boson tdak m mnuh prnsp ksklus, dan fungs glombang boson tdak trpngaruh olh prtukaran stap pasangan partkl. Fungs glombang smacan n dsbut smtrk. 3 5 2. Partkl dngan spn stngah blangn bulat-ganjl (,,,...) d sbut fr- 2 2 2 mon. Frmon mmnuh prnsp ksklus yatu bahwa tdak trdapat dua lktron dalam sbuah atom yang barada dalam kadaan kuantum yang sama, dan fungs glombang sstm frmon brubah tanda trhadap prtukaran stap pasangan partkl. Fungs glombang smacam n dsbut antsmtr. Unvrstas Sumatra Utara