EKSPEKTASI SATU PEUBAH ACAK Dalam hal n aan dbahas beberapa macam uuran yang dhtung berdasaran espetas dar satu peubah aca, ba dsrt maupun ontnu, yatu nla espetas, rataan, varans, momen, fungs pembangt momen, dan pertdasamaan Chebyshev. Ja ta mempunya fungs peluang atau fungs denstas dar sebuah peubah aca, maa ta sudah menjelasan penghtungan nla peluang dar peubah aca yang berharga tertentu. Selan tu, ta juga bsa menentuan beberapa uuran yang ddasaran pada fungs peluang atau fungs denstas, dantaranya rataan dan varans. Kedua uuran n selanjutnya bsa merupaan cr dar sebuah dstrbus, dan bsa juga dperoleh dar uuran lannya, yatu fungs pembangt momen, serta merupaan bentu husus dar sebuah uuran yang dnamaan momen. Semua uuran yang djelasan dalam Bab 6 n ddasaran pada nla espetas. NILAI EKSPEKTASI Penghtungan nla espetas dar fungs peubah aca dsrt bsa dlhat dalam Defns 6.. Defns 6. : NILAI EKSPEKTASI DISKRIT Ja X adalah peubah aca dsrt dengan nla fungs peluangnya d adalah dan u(x adalah fungs dar X, maa nla espetas dar u(x, dnotasan dengan E[uX], ddefnsan sebaga: E [ u( X ] u(. Penghtungan nla espetas dar fungs peubah aca ontnu bsa dlhat dalam Defns 6.. Defns 6. : NILAI EKSPEKTASI KONTINU Ja X adalah peubah aca ontnu dengan nla fungs denstasnya d adalah f( dan u(x adalah fungs dar X, maa nla espetas dar u(x, dnotasan dengan E[uX], ddefnsan sebaga: E [ u( X ] u(. f ( d Berut n aan djelasan beberapa sfat pentng dar nla espetas yang selanjutnya aan memudahan dalam perhtungannya. Sfat-sfat n aan djelasan dalam Dall 6. dan pembutannya aan dgunaan peubah aca dsrt. Dall 6.: SIFAT-SIFAT NILAI EKSPEKTASI. Ja c adalah sebuah onstanta, maa: E(c c. Ja c adalah sebuah onstanta dan u(x adalah fungsdar X, maa:
E[c.u(X] c.e[u(x]. Ja c dan d adalah dua buah onstanta dan u(x dan v(x adalah dua buah fungs dar X, maa: E[c.u(X + d.v(x] c.e[u(x] + d.e[v(x] But: Msalan X adalah peubah aca dsrt dengan nla fungs peluang dar X d adalah.. E ( c c. c. E(c (c( c (terbut. E[c.u(X] c. u(. c. u(. E[c.u(X] c.e[u(x] (terbut. E[c.u(X + d.v(x] [ c. u( d. v( ]. c. u(. d. v(. c. u(. d. v(. E[c.u(X + d.v(x] c.e[u(x] + d.e[v(x] (terbut RATAAN Ja u(x X dalam Defns 6., maa ta aan memperoleh sebuah uuran yang dsebut rataan dar peubah aca dsrt X atau rataan dar dstrbus. Defns 6.: RATAAN DISKRIT Ja X adalah peubah aca dsrt dengan nla fungs peluang dar X d adalah, maa rataan dar peubah aca X ddefnsan sebaga: E ( X. Ja u(x X dalam Defns 6., maa ta aan memperoleh sebuah uuran yang dsebut rataan dar peubah aca ontnu X atau rataan dar dstrbus. Defns 6.4: RATAAN KONTINU Ja X adalah peubah aca ontnu dengan nla fungs denstas dar X d adalah f(, maa rataan dar peubah aca X ddefnsan sebaga:
E ( X. f ( d Rataan dar sebuah peubah aca, ba dsrt maupun ontnu basanya dnotasan dengan μ (dbaca mu, sehngga apabla peubah acanya X maa μ E(X. Kemudan nla rataan dar sebuah peubah aca, ba dsrt maupun ontnu tda selalu ada. Tda selalu ada artnya nla rataan tersebut bsa mempunya nla dan bsa juga tda mempunya nla. Nla rataan dar sebuah peubah aca tu ada, ja hasl penjumlahannya atau pengntegralannya ada. Sebalnya, nla rataan dar sebuah peubah aca tu tda ada, ja hasl penjumlahannya atau pengntegralannya tda ada. Berut n dberan contoh nla rataan dar sebuah peubah aca tu tda ada, ba peubah aca dsrt maupun ontnu. VARIANS Berut n aan djelasan defns varans dar sebuah peubah aca yang berlau bag peubah aca dsrt maupun ontnu. Defns 6.5: VARIANS Msalnya X adalah peubah aca, ba dsrt maupun ontnu. Varans dar X ddefnsan sebaga: Var(X E[X E(X] E(X μ Varans dar peubah aca X serng dnotasan dengan σ X. Aar pangat dua postf dar varans dsebut smpangan bau dar peubah aca X dan dnotasan dengan σ X. Penghtungan varans dar peubah aca dsrt bsa dlhat dalam Defns 6.6. Defns 6.6: VARIANS DISKRIT Ja X adalah peubah aca dsrt dan adalah nla fungs peluang dar X d, maa varans dar X ddefnsan sebaga: Var ( X (. Penghtungan varans dar peubah aca ontnu bsa dlhat dalam Defns 6.7. Defns 6.7: VARIANS KONTINU Ja X adalah peubah aca ontnu dan f( adalah nla fungs denstas dar X d, maa varans dar X ddefnsan sebaga: Var ( X (. f ( d
Ja ta menguraan lebh lanjut perumusan varans dalam Defns 6.5, maa aan dperoleh hasl sbb: Var(X E(X μ E(X.μ.X + μ E(X.μ.E(X + μ E(X.μ.μ + μ Var(X E(X μ Jad: Var(X E(X μ E(X [E(X] Dengan deman, penghtungan varans dar sebuah peubah aca dapat dlauan dengan dua rumus, yatu:. Perumusan varans berdasaran fungs peluang atau fungs denstas. Perumusan varans dar peubah aca dsrt bsa dlhat dalam Defns 6.6 dan perumusan varans dar peubah aca ontnu bsa dlhat dalam Defns 6.7.. Perumusan varans berdasaran penguraan lebh lanjut dar rumus varans. Dalam hal n, penghtungan varansnya berlau untu peubah aca dsrt dan ontnu. Berut n aan djelasan beberapa sfat dar varans. Dall 6.: SIFAT-SIFAT VARIANS. Ja c adalah sebuah onstanta, maa: Var(c. Ja X adalah peubah aca dan c adalah sebuah onstanta, maa: Var(X + c Var(X. Ja a dan b adalah dua buah onstanta dan X adalah peubah aca, maa: Var(aX + b a. Var(X PENDEKATAN NILAI E[H(X] DAN VAR[H(X] Berut n ta aan menjelasan penghtungan nla espetas dan varans dar fungs peubah aca, hususnya peubah aca ontnu secara pendeatan. Msalnya H(X adalah fungs dar peubah aca ontnu X. Kemudan ta bsa menghtung nla espetas dar H(X, yatu E[H(X], dan nla varans dar H(X, yatu Var[H(X]. Aan tetap, adang-adang ta mengalam esultan dalam penghtungannya. Hal n mungn dsebaban arena bentu dar H(X yang rumt. Untu mengatasnya, berut n aan djelasan sebuah cara untu menghtung E[H(X] dan Var[H(X] secara pendeatan. Ja Y H(X dan X μ, maa dengan menggunaan perluasan deret Taylor dperoleh: 4
( Y H ( (. H (. H ( R dengan R adalah ssa. Maa: (. E ( Y E H( (. H(. H( R E[H(μ] + E(X μ.h (μ + (½.E(X μ.h (μ + E(R H(μ + [E(X E(μ].H (μ + (½.E(X μ.h (μ + R H(μ + (μ μ.h (μ + (½.Var(X.H (μ H(μ + (½.Var(X.H (μ E(Y H(μ + (½.σ.H (μ Jad: E(Y H(μ + (½.H (μ.σ. Bentu Y d atas bsa dtuls sbb: Y H(μ + (X μ.h (μ + R ( X dengan: R. H ( R Maa: Var(Y Var[H(μ + (X μ.h (μ + R ] Var[(X μ.h (μ] + Var(R [H (μ].var(x + Var(R Var(Y [H (μ].var(x Jad : Var(Y [H (μ].var(x MOMEN Pada bagan sebelumnya, ta dapat menghtung nla E(X dan E(X. Dengan ata lan, ta hanya dapat menghtung nla espetas dar peubah aca X dengan pangatnya palng tngg. Berut n aan djelasan perumusan secara umum dalam penghtungan nla espetas dar peubah aca X dengan pangatnya lebh dar. Defns 6.8: MOMEN Ja X adalah peubah aca, ba dsrt maupun ontnu, maa momen e- (dnotasan dengan μ ddefnsan sebaga: μ E(X,,,,... Momen dar peubah aca dsrt secara umum dtentuan berdasaran Defns 6.9. Defns 6.9: MOMEN DISKRIT 5
Ja X adalah peubah aca dsrt dan adalah nla fungs peluang dar X d, maa momen e- (dnotasan dengan μ ddefnsan sebaga:. Momen dar peubah aca ontnu secara umum dtentuan berdasaran Defns 6.. Defns 6.: MOMEN KONTINU Ja X adalah peubah aca ontnu dan f( adalah nla fungs denstas dar X d, maa momen e- (dnotasan dengan μ ddefnsan sebaga:. f ( d Pada bagan sebelumnya, ta sudah mengetahu bahwa varans dar sebuah peubah aca adalah nla espetas dar pangat dua untu penympangan peubah aca tersebut terhadap rataannya. Berut n aan djelasan perumusan umum untu menghtung nla espetas dar pangat untu penympangan sebuah peubah aca terhadap rataannya yang dnamaan momen setar rataan. Defns 6.: MOMEN SEKITAR RATAAN Ja X adalah peubah aca, ba dsrt maupun ontnu, maa momen setar rataan e- (dnotasan dengan μ ddefnsan sebaga: μ E(X - μ,,,,,... Berdasaran perumusan d atas, ta aan menghtung nla momen setar rataan untu beberapa nla. Untu μ E(X μ E( Untu μ E(X μ E(X μ μ μ Untu μ E(X μ Var(X Dan seterusnya. Momen setar rataan dar peubah aca dsrt secara umum dtentuan berdasaran Defns 6.. Defns 6.: MOMEN SEKITAR RATAAN DISKRIT Ja X adalah peubah aca dsrt dan adalah nla fungs peluang dar X d, maa momen e- (dnotasan dengan μ ddefnsan sebaga: (. Momen setar rataan dar peubah aca ontnu secara umum dtentuan berdasaran Defns 6.. 6
Defns 6.: MOMEN SEKITAR RATAAN KONTINU Ja X adalah peubah aca ontnu dan f( adalah nla fungs denstas dar X d, maa momen setar rataan e- (dnotasan dengan μ ddefnsan sebaga: (. f ( d Dengan menggunaan dall bnomal, ta dapat menurunan hubungan antara momen dan momen setar rataan dar sebuah peubah aca. Berdasaran defns momen setar rataan dsrt, maa: μ E(X μ μ Jad: E X.( (.( Kemudan ta aan mensubsttusan beberapa nla edalam rumus d atas. Untu.( -μ + μ μ -μ + μ.(.( Untu Untu.( μ.μ.μ + μ μ μ μ.(.(.(.( 7
.(.(.( -μ +.μ.μ - μ.μ + μ μ μ μ.μ + μ Dan seterusnya..( Dar hasl penurunan d atas, ternyata penghtungan momen setar rataan bsa dlauan melalu momen. Namun deman, penghtungan momen juga bsa dlauan melalu momen setar rataan. Hal n bsa dlhat pada uraan berut n. Berdasaran defns momen, maa: μ E(X E[(X μ + μ] Jad: μ E ( X.( (. Kemudan ta aan mensubsttusan beberapa nla edalam rumus d atas. Untu. Untu Untu μ + μ μ μ + μ... μ +.μ.μ + μ μ μ + μ.... 8
.... μ +.μ.μ + μ.μ + μ μ μ + μ.μ + μ Dan seterusnya. FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN Pada bagan sebelumnya, ta sudah membahas momen e- yang dnotasan dengan μ. Momen n bsa juga dperoleh melalu besaran lannya, yang dnamaan fungs pembangt momen. Sehngga fungs pembangt momen merupaan sebuah fungs yang dapat menghaslan momen-momen. Selan tu, penentuan dstrbus baru dar peubah aca yang baru merupaan egunaan lan dar fungs pembangt momen. Defns 6.4: FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN Ja X adalah peubah aca, ba dsrt maupun ontnu, maa fungs pembangt momen dar X (dnotasan dengan M X (t ddefnsan sebaga: M X (t E(e tx untu h < t < h dan h >. Fungs pembangt momen dar peubah aca dsrt secara umum dtentuan berdasaran Defns 6.5. Defns 6.5: FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN DISKRIT Ja X adalah peubah aca dsrt dan adalah nla fungs peluang dar X d, maa fungs pembangt momen dar X ddefnsan sebaga: t M X ( t e. Fungs pembangt momen dar peubah aca ontnu secara umum dtentuan berdasaran Defns 6.6. Defns 6.6: FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN KONTINU Ja X adalah peubah aca ontnu dan f( adalah nla fungs denstas dar X d, maa fungs pembangt momen dar X ddefnsan sebaga: t M X ( t e. f ( d 9
Dall 6.: PENURUNAN MOMEN BERDASARKAN FUNGSIPEMBANGKIT MOMEN Ja X adalah peubah aca, ba dsrt maupun ontnu dan M X (t adalah fungs pembangt momennya, maa: M r X ( t t r Berut n aan djelasan beberapa sfat dar fungs pembangt momen. Dall 6.4: SIFAT-SIFAT FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN. Ja X adalah peubah aca dan c adalah sebuah onstanta, maa: M cx (t M X (ct. Ja X adalah peubah aca dan c adalah sebuah onstanta maa: M X+c (t e ct. M X (t. Ja X adalah peubah aca dan a & b adalah dua buah onstanta, maa: M (X+a/b (t e at/b. M X (t/b 6.8. PERTIDAKSAMAAN CHEBYSHEV Berut n aan djelasan sebuah dall yang dalam pembutannya ddasaran pada varans, yatu dall Chebyshev. Dall n dambl dar seorang ahl Matemata Rusa pada abad 9, yatu P.L. Chebyshev. Dall 6.5: DALIL CHEBYSHEV Ja μ dan σ masng-masng merupaan rataan dan smpangan bau dar peubah aca X, maa untu setap blangan postf peluang dar peubah aca X yang bernla antara μ σ dan μ + σ palng sedt sebesar (/, dan dtuls: P X Nla peluang d atas merupaan batas bawah peluang dar peubah aca X yang berharga tertentu. Kta bsa juga menghtung peluang dar peubah aca X yang bernla lebh ecl atau sama dengan μ σ atau lebh besar atau sama dengan μ + σ, yang besarnya / dan dtuls: P X