PENGGUNAAN TEOREMA BOLZANO-WEIERSTRASS UNTUK MENGKONSTRUKSI BARISAN KONVERGEN

PENGGUNAAN TEOREMA BOLZANO-WEIERSTRASS UNTUK MENGKONSTRUKSI BARISAN KONVERGEN S K R I P S I Disusu dalam Ragka Meyelesaika Studi Strata utuk memperoleh Gelar Sarjaa Sais Oleh Nama : Sugeg Wibowo Nim : 4504008 Program Studi : Matematika Jurusa : Matematika FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG 006

ABSTRAK Sugeg Wibowo (4504008, Pegguaa Teorema Bolzao Weierstrass Utuk Megkostruksi Barisa Koverge. Jurusa Matematika, Fakultas MIPA, Uiversitas Negeri Semarag, 006. Barisa adalah fugsi dari himpua bilaga asli ke himpua bilaga real (f : N R. Dalam barisa terdapat kosep kekovergea barisa. Pegujia kekovergea suatu barisa dapat dilakuka dega teorema Bolzao- Weierstrass. Teorema ii megataka setiap barisa yag terbatas mempuyai barisa bagia yag koverge. Kaita atara barisa koverge da barisa terbatas juga petig utuk dikaji lebih lajut. Permasalaha yag diagkat adalah bagaimaa kaita atara barisa terbatas da barisa yag koverge disampig yag palig pokok adalah bagaimaa meetuka suatu barisa koverge atau tidak megguaka teorema Bolzao-Weierstrass. Peelitia ii dilakuka melalui tijaua pustaka terhadap buku-buku atau literatur. Dari tijaua pustaka tersebut, kemudia dibahas materi-materiya secara medalam. Hasil pembahasa masalah tersebut adalah bahwa suatu barisa yag koverge merupaka barisa terbatas tetapi barisa yag terbatas belum tetu koverge. Dalam meetuka kekovergea suatu barisa dega teorema Bolzao-Weierstrass kita tujukka dulu barisa tersebut terbatas atau tidak, setelah itu kita uji kekovergeaya.

MOTTO DAN PERUNTUKAN MOTTO Jadika sabar da sholat sebagai peologmu (Q.S Al Baqoroh: 45 Lebih baik buruk ada, daripada bagus tapi tak ada Berai bertaruh utuk mejadi pemeag PERUNTUKAN Puji syukur kepada Allah swt atas terselesaiya skripsi ii. Iilah karya yag harus kulakuka utuk mejadika diriku sebaik-baikya. Kuperutuka karya ii kepada:. Ayah (Alm da Mama Tri Dj atas doaya.. Keluarga S.A. Hasa. 3. Jelitaku Ria Adriai. 4. Guru da sahabatku.

KATA PENGANTAR Puji da syukur peulis pajatka kehadirat Allah SWT, atas limpaha petujuk da karuia-nya, sehigga peulis dapat meyelesaika peulisa skripsi yag berjudul Pegguaa teorema Bolzao-Weierstrass utuk Megkostruksi Barisa Koverge. Ucapa terima kasih peulis sampaika kepada:. Deka FMIPA Uiversitas Negeri Semarag, bapak Drs. Kasmadi Imam S., M.S.. Ketua Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Negeri Semarag, bapak Drs. Suprioo, M.Si. 3. Pembimbig I, bapak Drs. Moch Chotim, M.S. yag telah memberika bimbiga, da araha kepada peulis dalam meyusu skripsi ii. 4. Pembimbig II, bapak Drs. Wuryato, M.S. yag telah memberika bimbiga, da araha kepada peulis dalam meyusu skripsi ii. 5. Ayah (alm da ibu yag seatiasa medoaka serta memberika doroga baik secara moral maupu spiritual da segala yag tak terilai. 6. Keluarga S.A. Hasa yag telah memberika semagat da motivasi dalam meyelesaika skripsi ii. 7. Jelitaku Ria Adriai (a woma to love yag telah memberika waktu, perhatia da semua yag tak terlupaka sehigga peulis igi segera meyelesaika skripsi ii. 8. Sahabatku Wahyu T.H. da Deik Agustito yag tak heti-hetiya memberika solusi da semagat kepada peulis.

9. Tema-temaku Ali, Wawa, Asih, Cahya, Diaa, Etie, Raras, Eri, Soliki, Mufid, da semua agkata 00, terima kasih atas semuaya. 0. Kelurga Besar Baitul Jaah Cost Bapak Yadi, M. Aziar, M. Ridwa, U.D. Gadhi da Bambag yag tiada heti memotivasi peulis agar segera meyelesaika skripsi ii.. Orag-orag yag tapa segaja memberika ispirasi, motivasi, da semagat agar cepat diselesaikaya skripsi ii. Akhirya peulis berharap skripsi ii bermafaat da dibaca. Semarag, April 006 Peulis

DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PENGESAHAN... ii ABSTRAK... iii MOTTO DAN PERSEMBAHAN... iv KATA PENGANTAR... v DAFTAR ISI... vi BAB I PENDAHULUAN... A. Latar belakag... B. Permasalaha... C. Tujua peelitia... D. Mafaat peelitia... 3 E. Sistematika peulis skripsi... 3 BAB II LANDASAN TEORI... 5 A. Nilai mutlak... 5 B. Barisa bilaga... 5 C. Limit barisa... 8 D. Ekor barisa... 4 E. Kemootoa barisa... 6 BAB III METODE PENELITIAN... 0 A. Meetuka masalah... 0 B. Merumuska masalah... 0 C. Studi pustaka... 0 D. Aalisis da pemecaha masalah... E. Pearika simpula...

BAB IV PEMBAHASAN... A. Meetuka hubuga atara barisa koverge da barisa yag terbatas... B. Meetuka suatu barisa koverge atau tidak megguaka teorema bolzao-weierstrass... 7 BAB V PENUTUP... 34 A. Simpula... 34 B. Sara... 36 DAFTAR PUSTAKA... 37

BAB I PENDAHULUAN A. LATAR BELAKANG MASALAH Barisa adalah fugsi dari himpua bilaga asli ke himpua bilaga real (f : N R. Barisa sebagai salah satu bagia dari matematika memiliki sifat-sifat yag sagat mearik utuk kita kaji lebih lajut. Matematika sebagai salah satu ilmu yag sagat petig peraaya dalam berbagai bidag kehidupa da disipli ilmu, maka matematika memerluka adaya pegembaga yag lebih lajut agar ilmu tersebut dapat terus berkembag. Dalam setiap perkembaga ilmu pegetahua, setiap mausia ditutut utuk bisa meemuka sesuatu yag baru yag merupaka kelajuta dari ilmu pegetahua itu sediri, sehigga ilmu tersebut tidak berheti pada satu titik kulmiasi, karea sifat ilmu pegetahua yag selalu megalami perubaha dari waktu ke waktu. Barisa sebagai salah satu bagia dari matematika telah megalami berbagai perkembaga ke arah yag lebih spesifik dega muculya sifatsifat dasar dari barisa berilai real salah satuya adalah kekovergea barisa. Dalam meguji suatu barisa koverge atau tidak dapat kita lakuka dega megguaka teorema Bolzao-Weiestrass. Teorema ii megataka bahwa setiap barisa terbatas mempuyai mempuyai barisa bagia yag koverge. Dari teorema Bolzao-Weierstrass tersebut tetuya kita aka megkaji lebih jauh megeai keterbatasa suatu barisa da bagaimaa

hubugaya dega barisa yag koverge. Lebih jauhya yag aka bayak dikaji dalam skripsi ii adalah tetag bagaimaa megkostruksi / membagu suatu barisa tersebut koverge ataupu tidak megguaka teorema Bolzao-Weierstrass. Dari uraia di atas maka peulis igi megagkat judul Pegguaa Teorema Bolzao-Weierstrass utuk Megkostruksi Barisa Koverge, sebagai judul skripsi. B. PERMASALAHAN Apakah kaita atara barisa koverge dega barisa terbatas da bagaimaa meetuka kekovergea suatu barisa megguaka teorema Bolzao-Weiestrass? C. TUJUAN PENELITIAN Megetahui hubuga atara barisa koverge dega barisa terbatas da utuk megetahui bagaimaa meetuka suatu barisa koverge dega teorema Bolzao-Weiestrass. D. MANFAAT PENELITIAN Medapatka suatu wawasa da pegetahua tetag pegujia kekovergea barisa berilai real dega megguaka teorema Bolzao- Weiestrass.

3 E. SISTEMATIKA PENULISAN SKRIPSI Peulisa skripsi atiya aka dibagi mejadi tiga bagia, yaitu bagia awal, bagia isi, da bagia akhir. Bagia awal, memuat halama judul, abstrak, halama pegesaha, halama motto, halama perutuka, kata pegatar, da daftar isi. Bagia isi terbagi atas 5 bab, yaitu: BAB I PENDAHULUAN Membahas tetag alasa pemiliha judul, permasalaha yag diagkat, tujua peelitia, mafaat peelitia, da sistematika peulisa skripsi. BAB II LANDASAN TEORI Mecakup pembahasa materi-materi pedukug yag diguaka dalam pemecaha masalah. BAB III METODE PENELITIAN Memaparka tetag prosedur da lagkah-lagkah yag dilakuka dalam peelitia ii meliputi meemuka masalah, perumusa masalah, studi pustaka, aalisis dam pemecaha masalah, pearika simpula. BAB IV PEMBAHASAN Dalam bab ii berisika pembahasa da aalisis dari peelitia.

4 BAB V PENUTUP Berisi tetag kesimpula dari hasil pembahasa da sara yag ditujuka utuk pembaca umumya da bagi peulis sediri khususya. Bagia akhir berisika daftar pustaka sebagai acua peulis da lampiralampira yag medukug kelegkapa skripsi.

BAB II LANDASAN TEORI A. Uruta Bilaga Real Defiisi. Dipuyai a,b P dega P adalah himpua bilaga positif. ( i jika a b P, maka a > b atau b < a ( ii jika b P { 0} Teorema.. a, maka a b da a b (Bartle, 994:9 Jika 0 < c < da Bukti: m, N maka m c < c jika da haya jika m >. ( Dipuyai Adaika m c < c. m. Jelas m 0. Jadi c m m < c < c. Jelas m 0 < < c. Hal ii kotradiksi dega 0 < c <. Jadi m >. ( Dipuyai m >. Jelas m- > 0. m Jadi 0 < c < m

6 0 < c m < c < c m 0 < m 0 < c < c Jadi m c < c. B. Nilai Mutlak Defiisi. Jika x suatu bilaga real, ilai mutlak x yag dituliska x didefiisika sebagai berikut. x utuk x 0 x = -x utuk x < 0 Teorema. (ketidaksamaa segitiga (Darmawijaya 006:40 Jika x,y R, maka x + y x + y. (Darmawijaya, 006:40 Bukti: 0 x + y = ( x + y = x + xy + y x + xy + y = x + x. y + y = ( x + y. Jadi terbukti x + y x + y.

7 Akibat. Utuk setiap x,y R, berlaku (i x y x y (ii x y x + y (Darmawijaya, 006:4 i. Karea x = x y + y + b maka x y x y Karea y = y x + x y x = ( y x + x = x y + maka y x x y ( x y x y dari da diperoleh x y x y. ii. Berdasar teorema ketaksamaa segitiga diperoleh ( y x + y = x y. x y = x + + x. C. Ligkuga Defiisi.3 Dipuyai a R da ε > 0 maka ligkuga ε dari a adalah himpua ( a = { x R : x a R} V < ε (Bartle, 994:4

8 Cotoh. Selag buka (, R ε =. D. Iterval bersarag 0 merupaka ligkuga yag berpusat di a = dega Barisa dari iterval I, N dikataka bersarag jika megikuti ratai iklusi sebagai berikut I I I 3... I I +... atau dapat digambarka dalam gambar berikut I 3 I 4 I Gambar. baga iterval bersarag Cotoh. jika I = 0, N,, maka I I + utuk masig-masig jadi iterval tersebut adalah bersarag.

9 E. Barisa Bilaga Defiisi.4 Barisa bilaga real (barisa di R adalah fugsi pada himpua bilaga asli N yag daerah hasilya di dalam himpua bilaga real R. Lebih jauhya dapat dijelaska sebagai berikut: Dipuyai fugsi f : N R. (Bartle, 994:67 Jelas R = { f(, f(, f(3, } f Barisa bilaga tersebut adalah ( f(, f(, f(3,. Perhatika ( f(, f(, f(3, ( f(, f(3, f(,. Ekspresi ( f(, f(, f(3, disigkat (f( disebut barisa yag dibagu oleh fugsi f. Jelas bahwa uruta eleme-eleme pada barisa tidak boleh ditukar (berbeda dega teori himpua. Cotoh.3 Suatu barisa disajika dega 5 usur pertama, yaitu: (, 4, 6, 8, 0,. Jelas (, 4, 6, 8, 0, = (.,.,.3,.4,.5,. Jadi (, 4, 6, 8, 0, = ( N. Jadi barisa terdiri dari eleme-eleme yag terurut. Jika ada dua barisa yag memiliki eleme yag sama dapat terjadi kemugkia bahwa kedua barisa tersebut tidak sama. Hal ii dapat ditujukka pada cotoh berikut. N

0 Cotoh.4 Barisa yaitu mempuyai eleme-eleme balika dari bilaga bulat positif,,,,,...,,... 3 4 5 ( Barisa di maa f ( = jika gajil, + jika geap mempuyai eleme-eleme,,,,,,,,... ( 3 4 5 Eleme-eleme dari barisa-barisa ( da ( adalah sama, tetapi kedua barisa tidak sama. Defiisi.5 Jika X = ( da Y = ( x y adalah suatu barisa berilai real maka: Jumlaha barisa X + Y = ( x + y : N. Peguraga barisa X - Y = ( x - y : N. 3 Hasil kali barisa X.Y = ( : N. x y 4 Jika c R kita defiisika perkalia X dega c, cx = ( cx : N.

5 Jika Z = z adalah sebuah barisa berilai real dega z 0 utuk ( setiap N, maka kita defiisika pembagia dari X da Z, X/Z = ( x / z : N. (Bartle, 994:67 Cotoh.5 Jika X da Y adalah suatu barisa. X = (, 4, 6,,,, Y =,,,...,,.... 3 maka didapat X + Y = X Y = 3 9 9 +,,,...,,..., 3 7 7,,,...,,..., 3 X.Y = (,,,,,, 3X = (6,,8,, 6,, X/Y = (, 8, 8,,,. F. Limit Barisa Defiisi.6 Dipuyai ( s = sebuah barisa bilaga real. Dikataka s meuju limit L (dega medekati tak higga, jika utuk setiap ε > 0 terdapat bilaga N positif sedemikia higga s L < ε ( N.

Jika s medekati limit L kita tulis Defiisi.7 lim s s = L atau L (. (Goldberg, 976:9 Dipuyai barisa bilaga real ( x N. Suatu x R merupaka limit barisa ( x ditulis x N ( N x jika da haya jika utuk setiap ε > 0 terdapat bilaga asli K(ε sehigga utuk setiap K( x ligkuga V ε (x. ( terletak dalam Selajutya jika ( x x, dikataka barisa x N ( N koverge ke x. Jika ( x Defiisi.8 N tidak mempuyai limit, barisa ii dikataka diverge. (Bartle, 994:70 Jika suatu barisa berilai real ( s = mempuyai limit L, dapat dikataka ( s = koverge ke L. Defiisi.9 (Goldberg, 976:33 Barisa ( s dikataka koverge ke s, jika da haya jika: ( ε > 0( 0 N s s < ε, N apabila > N 0.

3 Notasi: Barisa ( S koverge ke s ditulis. S s dega kata lai lim = s. ( S s. Cotoh.6 S Dipuyai ( s = dega ( s =. Tujukka ( s = mempuyai limit 0. Peyelesaia Ambil sembarag ε > 0. Pilih K ( ε =. ε Bila K(ε maka diperoleh Jadi s 0 = 0 =.. K( ε K( ε = ε. Jadi ε > K ( ε N s 0 < ε apabila K( ε 0. Jadi 0. Jadi lim = 0.

4 Defiisi.0 ( kriteria kedivergea Diberika barisa bilaga real ( a. Peryataa-peryataa di bawah ii ekuivale ( i ( a tak koverge ke a R ( ii Terdapat bilaga 0 > 0 a a ε 0 apabila a R. ε sehigga utuk setiap K( N ε berlaku G. Ekor Barisa Defiisi. Jika X = x, x, x,..., x,... adalah barisa bilaga real da jika m adalah ( 3 bilaga asli, maka ekor dari barisa X X m ( x + : N = ( x +, x +, x + 3,... = m m m m Cotoh.7 Ekor 3 barisa X = (,4,6,8,0,,,, adalah barisa X 3 = (8,0,,4,,+6,. Teorema.3 Dipuyai ( x N barisa bilaga-bilaga real da m N. Barisa X m koverge jika da haya jika ( x Bukti: ( ( Dipuyai x Tulis ( x N N koverge. x. Ambil sembarag ε > 0. N koverge.

5 Pilih Jelas Jadi K N sehigga x x < ε apabila K. x x < ε apabila K m. ε > 0 K( ε N x x < ε apabila K m. k Jadi X m ( Dipuyai x. X m koverge. Tulis X m y. Ambil sembarag ε > 0. Pilih Jelas Jadi K N sehigga x k x < ε apabila k K m. x y < ε apabila K. 0 apabila K( ε ε > K( ε N x y < ε. Jadi ( x N y. Jadi Barisa X koverge jika da haya jika m ( x N koverge. H. Kemootoa Barisa Defiisi. Barisa a dikataka i. aik apabila a a utuk semua. ii. turu apabila a a utuk semua. + + suatu barisa yag aik atau turu disebut mooto. (Leithold, 99:

6 Cotoh.8 3 ( Barisa,,,...,,... 3 4 + 3 ( Barisa,,,,...,,... 3 4 adalah barisa aik. adalah barisa turu. Defiisi.3 (himpua terbatas (i Himpua A R da A φ dikataka terbatas ke atas (upper boud jika terdapat bilaga real k sehigga berlaku utuk setiap a k a A: k disebut batas atas (upper boud himpua A. (ii Himpua A R da A φ dikataka terbatas ke bawah (lower boud jika terdapat bilaga real l sehigga berlaku utuk setiap (iii Himpua terbatas ke bawah. l a a A: k disebut batas bawah (lower boud himpua A. A R dikataka terbatas (bouded jika A terbatas ke atas da (Darmawijaya 006:43 Mudah dipahami bahwa jika A himpua terbatas ke atas dega k sebagai batas atasya, maka setiap bilaga real k dega k k merupaka batas atas pula, karea a k k

7 utuk setiap a A. Oleh karea itu, jika A merupaka himpua tebatas ke atas, maka himpua tersebut mempuyai batas atas palig kecil yag disebut batas atas terkecil, disigkat Sup (suprema himpua A. Dega cara yag sama, jika A himpua terbatas ke bawah dega l sebagai batas bawahya, maka setiap bilaga real l dega bawah pula, karea l l a l l merupaka batas utuk setiap a A. Oleh karea itu, jika A merupaka himpua tebatas ke bawah, maka himpua tersebut mempuyai batas bawah palig besar yag disebut batas bawah terbesar, disigkat If (ifima himpua A. Defiisi.4 Suatu barisa bilaga-bilaga real ( x N dikataka terbatas jika terdapat bilaga M > 0 sehigga x M utuk setiap N. (Bartle, 994:78 Teorema.4 Jika ( x N suatu barisa koverge maka ( x N terbatas. Bukti: Dipuyai ( x N koverge. Tulis ( x N x. Pilih ε = > 0. Pilih K( N sehigga x x < apabila K(. Jelas x x x x <

8 Jadi x < x + apabila K(. Tulis M = sup { x, } x,..., k +. + x Jadi M > 0 x M x N. Jadi ( x Teorema.5 terbatas. N Suatu barisa yag mooto terbatas adalah koverge. Bukti: Misalka (a mooto aik Dipuyai barisa (a mooto aik da terbatas di atas. Tulis A = (a : N R Jelas A terbatas di atas. Tulis a = sup A. Ambil sembarag ε > 0. Jelas a - ε buka suatu batas atas A. Pilih 0 N a ε < a. 0 Dipuyai (a N mooto aik. Jelas a > a >. 0 0 Jadi a - ε < a < a 0 a < ε. Jadi ε >0 0 N a a < ε maka > 0. Jadi (a N a. Jadi a adalah suatu barisa yag koverge.

9 Misalka (a mooto turu Dipuyai barisa (a mooto turu da terbatas di bawah. Tulis A = (a : N R Jelas A terbatas di bawah. Tulis b = If A. Ambil sembarag ε > 0. Jelas b + ε buka suatu batas bawah A. Pilih 0 N a < b + ε. 0 Dipuyai (a N mooto turu. Jelas a < a >. 0 0 Jadi b a < a Jadi ε >0 < b + ε apabila > 0. 0 0 N a b < ε apabila > 0. Jadi (a b. N Jadi a adalah suatu barisa yag koverge. I. Barisa bagia barisa bilaga-bilaga real Defiisi.5 Dipuyai barisa bilaga-bilaga real X = ( x N da r < r < r3,... <... barisa bilaga asli yag aik kuat. Barisa X = ( x, x,..., x,... x disebut barisa bagia X., r r3 r r

0 Sebagai cotoh dipuyai X = N. Berikut adalah cotoh barisa bagia dari X: = +,... 5, 4, 3 N, =,... 7, 5, 3, N, =,... 8, 6, 4, N. Pada cotoh berikut adalah yag buka barisa bagia dari X.,... 9, 7, 6, 4,,,,... 9,0, 7,0, 5,0, 3,0,. Jelas bahwa uruta pada kedua cotoh yag buka barisa bagia dari X berbeda dega uruta barisa asliya. Jadi keduaya buka barisa bagia dari X.

BAB III METODE PENELITIAN Pada peelitia ii metode yag diguaka peulis adalah studi pustaka. Lagkah-lagkah yag dilakuka adalah sebagai berikut: A. Meetuka Masalah. Dalam tahap ii dilakuka pecaria sumber pustaka da memilih bagia dalam sumber pustaka tersebut yag dapat dijadika sebagai permasalaha. B. Merumuska Masalah. Tahap ii dimaksudka utuk memperjelas permasalaha yag telah ditemuka, yaitu:. Apakah kaita atara barisa koverge dega barisa terbatas?. Bagaimaa meetuka kekovergea suatu barisa megguaka teorema Bolzao-Weiestrass? C. Studi Pustaka. Dalam tahap ii dilakuka kajia sumber-sumber pustaka dega cara megumpulaka data atau iformasi yag berkaita deag permasalaha, megumpulaka kosep pedukug seperti defiisi da teorema serta membuktika teorema-teorema yag diperluka utuk meyelesaika permasalaha. Sehigga didapat suatu ide megeai baha dasar pegembaga upaya pemecaha masalah. 0

D. Aalisis da Pemecaha Masalah Aalisis da pemecaha masalah dilakua dega lagkah-lagkah sebagai berikut:. Megetahui kaita atara barisa kovege da barisa terbatas.. Mecari suatu barisa koverge atau tidak megguaka teorema Bolzao-Weiestrass. E. Pearika Simpula Dalam tahap ii dilakuka kajia sumber-sumber pustaka dega cara megumpulaka data atau iformasi yag berkaita deag permasalaha, megumpulaka kosep pedukug seperti defiisi da teorema serta membuktika teorema-teorema yag diperluka utuk meyelesaika permasalaha. Sehigga didapat suatu ide megeai baha dasar pegembaga upaya pemecaha masalah.

BAB IV PEMBAHASAN A. MENENTUKAN HUBUNGAN ANTARA BARISAN KONVERGEN DAN BARISAN YANG TERBATAS. Pada teorema tetag kaita atara barisa koverge da barisa terbatas adalah bahwa setiap barisa yag koverge adalah tebatas, dalam hal ii apakah dapat berlaku sebalikya? Artiya bahwa setiap barisa yag terbatas pasti koverge? Utuk megetahui hubuga atara barisa yag koverge da barisa terbatas kita lihat cotoh-cotoh berikut. Cotoh 3. N Dipuyai ( x dega x = 3 + (-, N. Tujukka: N (a ( x terbatas. ( (b barisa tersebut tidak koverge. Peyelesaia (a Jelas 3 + ( 3 + ( = 3 + = 4.

3 Jelas 3 + ( 4, N. Jelas terdapat M > 0 sehigga x M utuk setiap N. N Jadi ( x terbatas. (b Adaika ( Ambil ε =. Pilih K N ( a + N 3 utuk suatu bilaga real a. sehigga ( Kasus gasal ( 3 + a < Jelas a < < a < 3 Kasus geap Ii suatu kotradiksi. Jelas 4 a < 3 < a < 5 Jadi ( x = 3 + (- tidak koverge. Cotoh 3. N Dipuyai ( x dega Tujukka: N (a ( x terbatas. x = ( ( ( (b barisa tersebut tidak koverge. Peyelesaia (a Jelas ( = N. N. apabila K. Jelas terdapat M > 0 sehigga x M utuk setiap N.

4 ( N terbatas. ( a Jadi ( (b Adaika ( Ambil ε =. utuk suatu bilaga real a. N Pilih sehigga (( a < K N Kasus gasal apabila K. Jelas a < < a < 0 Kasus geap Ii suatu kotradiksi. ( N Jadi ( Jelas a < 0 < a < tidak koverge. Cotoh.3 N Dipuyai ( x dega x = (, N. Tujukka: ( ( x N tidak koverge. Peyelesaia Ambil sembarag M > 0. Jelas x > M N. Jadi M > 0 x > M N. Jadi ( x N tidak terbatas. Jelas ( x N tidak koverge.

5 Dari ke-3 cotoh diatas terlihat bahwa tidak setiap barisa yag terbatas pasti koverge.. Jadi teorema tetag kaita atara barisa koverge da terbatas tidak berlaku bolak-balik, artiya bahwa setiap barisa yag koverge pasti terbatas tetapi tidak berlaku sebalikya, haya barisa mooto terbatas adalah barisa koverge.

6 B. MENENTUKAN SUATU BARISAN KONVERGEN ATAU TIDAK MENGGUNAKAN TEOREMA BOLZANO-WEIERSTRASS. Sebelum membahas tetag teorema Bolzao-Weierstrass da peerapa ke cotoh soal kita aka mempelajari beberapa teorema yag petig dalam pembuktia teorema Bolzao-Weierstrass. Teorema 4. Setiap barisa bilaga real palig sedikit mempuyai satu barisa bagia yag mooto. Bukti (: Ambil sembarag barisa bilaga real ( x. Utuk setiap k N diambil x = maks ( x x, x,..., k, 3 x k atau y = mi ( x x, x,..., k, 3 Diperoleh ( x k ( x barisa aik mooto da ( ( x mooto. Bukti (: x k y k barisa turu Diambil sembarag barisa bilaga yata ( x. Terdapat tiga kemugkia, palig sedikit salah satu terjadi:

7 i. Utuk setiap k N terdapat k N sehigga k < k da x = x. k k Jika hal ii terjadi, maka terdapat barisa bagia ( x k ( x yag kosta. Jadi x barisa mooto. k ii. Utuk setiap k N terdapat k N sehigga k < k da x < x. k k Jika hal ii terjadi, maka terdapat barisa bagia ( x k ( x yag aik mooto. iii. Utuk setiap k N terdapat k N sehigga k < k da x k > x. k Jika hal ii terjadi, maka terdapat barisa bagia ( x k ( x yag turu mooto. Teorema 4. Jika X = ( x Bukti: N Ambil sembarag ε > 0. Pilih K( N x maka setiap barisa bagia dari X koverge ke x. ε sehigga x < ε Ambil sembarag barisa bagia X. x apabila K( ε. Tulis X = ( xr r N. Jelas r. Jadi ε > 0 K ( ε N x x < ε apabila K( ε Jadi X = x ( r r N x r.

8 Teorema 4.3 Dipuyai barisa bilaga-bilaga real X = ( x N terbatas da x R. Jika setiap barisa bagia X koverge ke x maka barisa X koverge x. Bukti: Dipuyai X = ( x terbatas. N Pilih M > 0 sehigga x M utuk semua N. Adaika ( x Pilih 0 > 0 N. N tak koverge ke x. ε da barisa ( r r N Jelas X terbatas Pilih barisa X barisa bagia dari X. Jelas X juga barisa bagia dari X. X ' = x sehigga r x ε 0 utuk semua x Jadi X '' x. Jadi barisa ekor terletak di V ε (. Ii suatu kotradiksi. Jadi ( x N koverge ke x. 0 x Teorema 4.4 (Bolzao-Weierstrass Setiap barisa terbatas mempuyai barisa bagia yag koverge. Bukti (: Dipuyai X = ( x terbatas. N Ambil sembarag X = ( x N barisa bagia dari X yag mooto.

9 Jelas X terbatas. Jadi X koverge. Bukti (: Dipuyai X = ( x Jadi { N } N terbatas. x terbatas. = sehigga a x b x N. Pilih I [ a, b] Pilih =. Bagi I mejadi sub selag I da I, da bagi himpua { N > } mejadi dua bagia, yaitu: { N > x '} A = da B, I { N > x ' '}, I =. Kasus A tak higga. I = da = { } Pilih I if A Bagi I mejadi subselag I da I, da bagi himpua Bagu { N > } A B mejadi dua bagia, yaitu: { N > x '} =, I { N > x ' '}, I Kasus A tak higga =. Pilih I 3 = I ' da 3 = if { A }. Proses ii dilajutka, diperoleh selag bersarag:

30 I I 3... I... I k da barisa ( x k k N setiap k N. b a Jelas I k =. k Pilih ξ k N. I k sehigga x k I utuk k k Jelas x ( b a (. 0 ξ < Jelas ( b a > 0 da 0 Jadi ( ξ x. k k N. k k N Teorema Bolzao-Weierstrass megataka bahwa setiap barisa terbatas mempuyai barisa bagia yag koverge, barisa bagiaya koverge tak perlu ke titik yag sama. Tetapi jika setiap barisa bagiaya yag koverge itu koverge ke titik yag sama, maka barisa asliya aka koverge ke titik itu pula. Lebih jauhya tetag teorema Bolzao- Weierstrass kita aka melihat cotoh-cotohya. Cotoh N Dipuyai ( x dega x = ( π ( Periksa apakah barisa tersebut koverge. Peyelesaia cos, N. Jelas aggota barisa tersebut adalah (-,,-,,-,... Jelas cos π =. Jelas cos π = N.

3 N Jadi ( x terbatas. Pilih ( N cos π. x = ( N Jelas aggota barisa ( Jelas ( Pilih ( N x N cos π. x = ( N N cos( + π. x = ( N Jelas aggota barisa ( Jelas ( N x N x X = ( N adalah (,,,...,,... adalah (-,-,-,...,-,... cos( + π. N Jelas X = ( cos π mempuyai barisa bagia yag koverge. Jelas barisa bagiaya koverge ke titik yag berbeda. Jadi ( x N tidak koverge. Cotoh N Dipuyai ( x dega x = ( b, N apabila b >. Tujukka: (a Apakah barisa tersebut koverge. (b Titik kovergesiya. Peyelesaia (a Pilih b = >. Jelas N. N Jadi ( x terbatas.

3 Tulis b = z. Jelas z < + z. Jelas ( x N mooto turu. N Jadi ( x koverge. (b Tulis z z. z N. Jelas ( z = b Jadi z = z z z = 0. z = 0 z = jadi z =. Jadi b. Cotoh 3 N Dipuyai barisa ( α dega 0 < α <. Periksa apakah barisa tersebut koverge atau tidak. Peyelesaia Ambil sembarag Jelas N. + + = α < α x da 0 < < N N x = x. Jadi ( α mooto turu da terbatas. Jadi ( α koverge.

33 Tulis ( α N Pilih X = ( x Jelas X = ( x x.. N N x x. = ( N Jadi x = x ( x = 0 x = 0 x = Jadi x = 0. Jadi ( α 0. N x.

BAB V PENUTUP A. SIMPULAN Berdasarka pembahasa pada bab-bab sebelumya dapat diambil kesimpula sebagai berikut:. Dari kedua teorema diatas dapat diambil kesimpula bahwa setiap barisa yag koverge pasti dia terbatas, sebalikya bahwa barisa yag terbatas belum tetu koverge. Jika barisa mooto terbatas maka barisa tersebut koverge.. Teorema Bolzao-Weierstrass Setiap barisa terbatas mempuyai barisa bagia yag koverge. Teorema ii dibuktika dega cara, cara ke- yaki dibuktika dega megambil barisa bagia yag mooto da cara ke- dega iterval bersarag. Teorema Bolzao-Weierstrass dapat diartika bahwa setiap barisa yag terbatas mempuyai barisa bagia yag koverge tak perlu ke titik yag sama, tetapi jika setiap barisa bagiaya koverge ke titik yag sama maka barisa asliya koverge pula ke titik tersebut. B. SARAN Dalam skripsi ii, pegujia kekovergea dilakuka dega teorema Bolzao-Weierstrass. Bagi pembaca yag bermiat dapat megembagka dalam meguji kekovergea suatu barisa dega cara lai. Pembaca juga

35 dapat megembagka kosep kekovergea buka haya pada barisa berilai real saja.

DAFTAR PUSTAKA Baisui, H.H.M. 986. Kalkulus. Jakarta: Peerbit Uiversitas Idoesia. Bartle, R.G. ad Sherbert, D.R. 994. Itroductio to Real Aalysis, secod editio. Sigapore: Joh wiley & Sos Ic. Darmawijaya, S. 006. Pegatar Aalisis Real. Yogyakarta : Jurusa Matematika Fakultas MIPA UGM. Goldberg ad Richard, R.976. Methods of Real Aalysis, secod editio. USA: Joh wiley & Sos Ic. Leithold, L. 99. Kalkulus da Ilmu Ukur Aalitik. Jakarta: Peerbit Erlagga. Parzysky, W.R. ad Zipse, P.W. 987. Itroductio to Mathematical Aalysis.Mc Graw-Hill Iteratioal Editios Mathematics Series.