BAB II KONSEP DASAR Kosep dasar yag dtuls dalam bab, merupaa beberapa dasar acua yag aa dguaa utu megaalsa model rso las da meetua fugs sebara peluag bertaha dalam model rso las Datara dasar acua tersebut adalah: proses Posso, sebara peubah aca, sebara pada jumlah dar beberapa peubah aca yag salg bebas, trasformas Laplace, deret Maclaur da formula vers omples Proses Posso Defs Proses stoast Proses stoast (stochastc process) { N( t), t T} adalah oles dar peubah aca Utu setap t dalam hmpua des T, N ( t) merupaa peubah aca Ja t meyataa watu, maa N( t) meyataa ods proses saat t Ja T hmpua des terhtug maa, { N( t), t T} dsebut proses stoast watu dsret da ja T otu, maa { N( t), t T} dsebut proses stoast watu otu Defs Proses pecacaha Ross (996) Suatu proses stoast { N( t), t } dsebut sebaga proses pecacaha (coutg process) ja N( t) selag watu [, t ] da N( t ) harus memeuh: () N( t ) () N( t ) berla bulat () Ja s t, maa N( s ) N( t) meyataa bayaya ejada yag terjad dalam (v) Utu s t, N ( t ) N ( s) meyataa baya ejada yag terjad dalam selag watu (s,t] Ross (996) Defs 3 Proses Posso Suatu proses pecacaha { N( t), t } dsebut proses Posso (Posso process) dega laju,, ja: 4
() N () () proses meml eaa bebas () bayaya ejada yag terjad dalam setap selag watu sepajag t meyebar Posso dega rataa t Sehgga utu semua s, t berlau t P[ N( t s) N( s) ] e ( t),,,,! Defs 4 Proses Posso majemu Ross (996) Suatu proses stoast { S( t), t } dsebut sebaga proses Posso majemu (compoud Posso process), ja dapat dyataa sebaga N ( t ) S( t), t, dmaa { N( t), t } adalah proses Posso dega laju, utu semua,, 3,, adalah peubah aca d (depedet ad detcally dstrbuted) da juga bebas terhadap { N( t), t } Peubah aca d adalah peubah aca yag salg bebas da meml sebara yag det Ross (996) Sebara Peubah Aca Defs 5 Fugs sebara pada peubah aca dsret Ja adalah suatu peubah aca dsret, maa fugs F ddefsa pada (,+ ) sebaga F(t) P( t) da dsebut sebaga fugs sebara (dstrbuto fucto) pada Fugs F merupaa aumulas dar semua peluag yag yag laya termuat dalam selag (,t], sehgga F dsebut juga sebaga fugs dstrbus umulatf (cumulatve dstrbuto fucto) dar yag memeuh: () F fugs ta turu, ja t u maa F(t) F(u) () lm F( t ) t () lm F( t) t (v) lm F( t ) F( t) 5 Ghahrama ()
Defs 6 Fugs peluag peubah aca dsret Fugs peluag p pada peubah aca dsret dega hmpua la yag mug { x, x, x3,} adalah suatu fugs dar R e R yag memeuh: () p( x ), ja x { x, x, x3,} () p( x ) P( x ) da p( x ), (,,3,) () p( x ) Ghahrama () Ja adalah peubah aca dsret, maa fugs sebaraya dyataa sebaga F( t) p( x ), x t x, dmaa p adalah fugs peluag (probablty fucto) Ghahrama () Defs 7 Nla harapa peubah aca dsret Msala adalah peubah aca dsret dega hmpua la yag mug adalah A Ja p(x) adalah fugs peluag dar, maa la harapa (expected value) dar peubah aca ddefsa sebaga E( ) x p( x) x A da E( ) dataa ada ja x p( x) overge mutla x A Ghahrama () Defs 8 Smpaga bau da ragam peubah aca dsret Msala adalah peubah aca dsret dega hmpua la yag mug adalah A, p(x) adalah fugs peluag dar da E( ) adalah la harapa dar, maa da Var() masg-masg adalah smpaga bau (stadard devato) da ragam (varace) dar ddefsa sebaga da E[( ) ] Var( ) E[( ) ] Ghahrama () 6
Defs 9 Fugs epeata peluag pada peubah aca otu Msala peubah aca otu berla real Suatu fugs epeata peluag (probablty desty fucto) pada yag dotasa sebaga f ( x) adalah fugs real yag memeuh b P( a b ) f ( x ) dx, a,b R a Ja E R, maa P( E ) f ( x) dx E Ross (7) Defs Fugs sebara peluag pada peubah aca otu Ja f adalah fugs epeata peluag dar peubah aca yag otu dega fugs sebara F, maa f harus memeuh: () f ( x) dx ' () F ( x) f ( x) () (v) a P( a ) f ( x ) dx a P( a b ) P( a b ) P( a b ) P( a b ) f ( x ) dx b a Ghahrama () Meurut Ross (996), ja adalah peubah aca otu, maa fugs sebaraya dapat dyataa sebaga F( t) dmaa f(x) adalah fugs epeata peluag t f ( x) dx f ( x) dx, Defs Nla harapa pada peubah aca otu Ja adalah peubah aca otu dega f sebaga fugs epeata peluag, maa la harapa dar ddefsa sebaga t E( ) xf ( x) dx Ghahrama () 7
Defs Smpaga bau da ragam pada peubah aca otu Ja adalah peubah aca otu dega E( ), maa da Var() masg-masg adalah smpaga bau da ragam dar yag ddefsa sebaga E[( ) ] da Var( ) E[( ) ] ( x ) f ( x) dx Ghahrama () 3 Sebara Jumlah dar Peubah Aca-Peubah Aca yag Salg Bebas Teorema Teorema ovolus Msala da Y adalah dua peubah aca yag salg bebas dega fugs epeata peluag berturut-turut f da f serta fugs sebara peluag berturutturut F da F Ja g da G berturut-turut adalah fugs epeata peluag da fugs sebara peluag dar + Y, maa da g( t) f ( x) f ( t x) dx () G( t) f ( x) F ( t x) dx () But teorema ada pada lampra sub Betu () da () dapat juga dtuls sebaga: g( t) f ( y) f ( t y) dy da 4 Trasformas Laplace Defs 3 Trasformas Laplace G( t) f ( y) F ( t y) dy Ghahrama () Trasformas Laplace dar fugs f ( t), t, adalah fugs [f] pada peubah real s yag dyataa sebaga [f](s) f ˆ( s ) st e f ( t) dt st lm e f ( t) dt (3) Trasformas terdefsa utu semua blaga real s ja lmt (3) ada Borrell da Colema (998) Meurut Dcso (5), utu fugs f dega dua peubah bebas (x,y), yatu f ( x, y), x da y maa 8
da ˆ(, ) sy (, ) f x s e f x y dy (4) ˆ(, ) x (, ) Sehgga trasformas gada dapat dtuls sebaga f y e f x y dx (5) ˆ(, ) x sy (, ) f s e f x y dxdy (6) Beberapa betu trasformas Laplace, yag berata dega aplas dalam teor rso, sebagamaa demua oleh Dcso (5) adalah trasformas Laplace pada jumlah dua fugs atau lebh, fugs tegral, fugs turua da ovolus fugs Msala h, h masg-masg adalah fugs da, masg-masg adalah ostata Ja traformas Laplace dar h da h ada, maa Lhat lampra sub sy e h y h y dy hˆ s hˆ s ( ) ( ) ( ) ( ) (7) Msala h adalah fugs yag meml trasformas Laplace da x H ( x) h( y) dy, maa trasformas Laplace dar H ( x ) dega H () adalah Lhat lampra sub 3 H ˆ ( s ) hˆ ( s ) s (8) d Msala h ( y ) dy adalah turua dar h terhadap y maa trasformas Laplaceya adalah sy d e h( y) dy shˆ ( s) h() dy (9) Lhat lampra sub 4 sebaga Msala ovolus dar fugs h da h adalah h h h ddefsa h( x) h ( y) h ( x y) dy, 9
maa trasformas Laplace dar h adalah hˆ ( s) hˆ ( s) hˆ ( s ) () Lhat lampra sub 5 Msala H da h berturut-turut adalah fugs sebara da fugs epeata peluag dar peubah aca yag otu dega H(), maa s E[ e ] hˆ ( s ) () Lhat lampra sub 6 5 Deret Maclaur Defs 4 Deret Maclaur f ( z ) Deret Maclaur dar suatu fugs f(z) dtuls sebaga () () (3) ( ) f () f () f () 3 f () f () z z z z!! 3!! ( ) f () z! Dega f () ( z ) f ( z ) da ( f ) ( z) adalah turua e- dar f ( z) Stewart (3) adalah: () Beberapa deret Maclaur yag dguaa dalam pembahasa pada bab III z e 3 z z z!! 3! z! () exp z 3 z z z!! 3! z! () az 3 3 az a z a z a z (v) a z 3 3 az a z a z a z Lhat lampra sub 7
6 Formula Ivers Komples Defs 5 Fugs aalt Msal U C, C adalah sstem blaga omples da fugs f : U C Ja f ( z ) dega z U turuaya ada, maa f dsebut fugs aalt pada U Defs 6 Sgulartas Marsde (973) Msal ( z, R, R ) { z R z z R} da ( z,, R ) B( z, R) {} Fugs f dataa mempuya sgulartas d z ja ada R sedema hgga f fugs aalt pada ( z,, R) Sgulartas dataa terhapusa ja z utu semua Defs 7 Resdu Marsde (973) Msala f fugs aalt yag mempuya sebuah sgulartas d z, maa f dapat dtuls dalam espas Lauret sebaga da b b f ( z ) a a z z ( z z ) ( z z ) b dsebut sebaga resdu dar f d z Defs 8 Formula vers omples Marsde (973) Msala fugs rasoal f ( z) g( z) / h( z) adalah trasformas Laplace dar f ( t) da sgulartas C dar f ( z) adalah solus dar h( z ) laplace dar f ( z ) adalah zt f ( t ) Resdu dar e f ( z) d setap tt sgulartas C Msala g( z) da h( z) mempuya sgulartas d z,, maa vers Marsde (973) maa resdu dar fugs g( z) rasoal f ( z ) g( z )/ h( z ) adalah, h'( z ) h'( z ) dega g( z), h( z) da