Bab III Sudi Kasus Mode Doube Decremen Pada bab ini, akan dieaskan erebih dahuu mengenai beberapa definisi daam eori Doube Decremen. Seanunya akan dibahas benuk kuanifikasi dependensi daam kasus Doube Decremen menggunakan konsep konkordan dengan pendekaan copua. 3. Mode Doube Decremen Definisi 3.. Peuang Unuk Usia Meningga Misakan seseorang yang baru ahir akan diiha peuang bersyaranya bahwa dia akan meningga anara usia dan z. Unuk kondisi ini sudah dipasikan bahwa dia akan hidup sampai usia ahun. Maka akan beraku F z Pr > ( X z X F F (3. Dimana X adaah usia pada saa seseorang iu meningga. Simbo ( digunakan unu mewakii seseorang yang hidup pada usia dan sisa usianya sebagai T, aau ebih easnya, sebagai T. Maka orang ini akan meningga pada usia + T. Karena usia kemaian idak bisa diramakan, maka T dianggap sebagai variabe acak dengan fungsi disribusi peuangnya adaah Simbo Pr T, (3.2 dapa dinerpreasikan sebagai peuang akan meningga di seang waku ahun kemudian. Dari fungsi ini dapa didefinisikan akan berahan hidup seama disribusi peuangnya adaah p sebagai peuang ahun yang akan daang dengan fungsi p Pr T >, (3.3 22
23 Definisi 3..2 Force of Moraiy Jika dikeahui z + maka akan diperoeh F F F + F f Pr ( X + X > merupakan peuang seseorang berusia akan meningga sesaa seeah usia. (3.4 ' Dikeahui F f adaah fungsi disribusi peuang dari variabe acak usia kemaian yang koninu. Tuis ' f s µ F s disebu sebagai force of moraiy yang berniai non-negaif. (3.5 Unuk menggambarkan doube decremen di aas, misa erdapa dua peubah acak:. T( : peubah acak koninu yang menyaakan sisa waku ( seseorang berusia akan gugur saus asuransinya. 2. J( : peubah acak diskri yang menyaakan penyebab seseorang berusia menadi gugur dari saus asuransinya, dapa diberikan niai unuk kemaian dan 2 unuk pensiun hari ua sebagai kasus doube decremen. Fungsi pada peuang gabungan dari kedua peubah acak di aas dinoasikan dengan f (, akan digunakan unuk menghiung peuang keadian yang, T, J didefinisikan oeh T dan J. Misa, T, J, { } f d P < T + d J (3.6 menyaakan peuang eradinya decremen ke- pada waku anara hingga + d, dapa kia nyaakan sebagai ( dengan >,, 2. Seanunya fungsi pada peuang margina unuk T( daam kasus doube decremen dinyaakan sebagai beriku, Bab III Sudi Kasus Mode Doube Decremen
24 T 2 ( (, f f (3.7 T, J Sedangkan fungsi pada peuang margina unuk J( adaah J (, f f s ds (3.8 dengan menyaakan sisa usia seseorang yang sekarang berusia. T, J Beberapa fungsi akuaria yang berhubungan dengan doube decremen menggunakan superscrip, menyaakan fungsi yang berhubungan dengan semua penyebab decremen, dapa didefinisikan sebagai beriku: ( (, min (, S S P T T2 > ( τ ( τ S a, a ( τ ( τ ( τ a + d µ p d + d og d ( ( τ ( τ + e + ( τ ( τ ( µ f p + Beberapa fungsi akuaria yang berhubungan dengan Muipe decremen didefinisikan sebagai beriku : Bab III Sudi Kasus Mode Doube Decremen
25 ( S P min T, T2 >, J ( ( S a, a ( ( ( ( a + d µ ( p ( d og d ( ( ( ( ( d + + e + f p ( µ + Seanunya akan diurunkan unuk Associaed singe decremen sebagai beriku: ( τ ' S P T > ( τ ( τ ' ' S' a, a ( τ ( τ ( τ d' ' ' ' p ' a + d ' ' ' ' d µ ' og ' d ( ( τ ( τ ( τ ( τ ( f ' p' µ ' + + e + + Berdasarkan Surviva Copua yang eah dibahas pada bab sebeumnya sera dengan menggunakan definisi-definisi pada kasus doube decremen di aas, maka permasaahan eradinya penurunan popuasi daam perusahaan asuransi dapa dirumuskan sebagai beriku, ( S, C S', S',, 2 2 2 2 (3.9 Lemma beriku akan memperegas rumusan di aas. Lemma 3..3 (Liha [2] Bab III Sudi Kasus Mode Doube Decremen
26 Misa Maka 2 '( C u P I S ( T u C( u merupakan suau copua sedemikian sehingga ( ( 2 S, 2 C S', S' 2,, 2. Perhaikan dengan ( '( ( S' P T > P T '( Pr T, menyaakan peuang seseorang keuar dari popuasi seeah ahun berikunya disebabkan oeh penyebab. Karena '( maka dengan menggunakan asumsi Consan Force diperoeh ( Akibanya n n '( ( ( '( '( ( 2 S, 2 C S', S' 2 ' ( '2 C, 2 ( ( 2 C, 2. 3.2 Daa Doube Decremen Sudi kasus erhadap sebuah perusahaan asuransi diakukan dengan meneii efek pensiun dan meningga seeah pensiun sebagai penyebab penurunan popuasi pesera asuransi pada suau perusahaan asuransi, sebagai doube decremen daam seang waku sebeas ahun. Beriku ini disaikan abe daa besera gambar ponya dari Bab III Sudi Kasus Mode Doube Decremen
27 '( Pr T,. ( Tabe 4 Daa Doube Decremen Umur (P (M (P -(P -(M 5.34.3.298.98792.9997 5.92.8.36.989864.9992 52.99..92.98988.9989 53.98.5.826.98974.9985 54.87.6.3477.986523.9984 55.26.23.2653.97347.9977 56.692.76.4249.95759.9824 57.99.86.36579.96342.984 58.296.253.35965.96435.9747 59.29.33.3662.963379.9687 6.5853.589.387.96983.94 Ke: P Pensiun, M Meningga seeah Pensiun (P Graduasi Whiaker dari (P Bab III Sudi Kasus Mode Doube Decremen
28.5 (M.95.9.85.8.8.85.9.95 (P Gambar 3. Diagram Pencar.8.7.6.5.4.3.2. 48 5 52 54 56 58 6 62 Umur (P (M Gambar 3.2 Grafik vs Umur Bab III Sudi Kasus Mode Doube Decremen
29.7.6.5.4.3.2 (P (M. 48 5 52 54 56 58 6 62 Umur Gambar 3.3 Grafik vs Umur Hasi Graduasi Unuk seanunya daa yang akan digunakan daam simuasi adaah daa hasi graduasi. 3.3 Pemodean Dependensi Decremen Meaui Copua Sebagai angkah awa unuk menyeidiki dependensi kasus doube decremen ini, erebih dahuu akan dipiih copua yang epa unuk menggambarkan srukur dependensi dari variabe acak daam yang dimiiki, unuk seanunya akan diaksir parameer copua berdasarkan copua yang eah erpiih. Agorima idenifikasi copua sebagai beriku (Liha [3]:. Taksir koreasi Kenda τ ( ( 2. Tenukan i n sign X X X X 2 n i 2i 2 i< {( X Y X < Xi Y < Yi} #, :, V ; i n ( n 3. Konsruksi aksiran non paramerik K ( v δ ( v n n V i n 4. Seanunya konsruksi pua aksiran paramerik K ( v v λ ( v;< v< 5. Po Kn ( v dan Kφ ( v erhadap v i φ φ Bab III Sudi Kasus Mode Doube Decremen
3 6. Bua Q-Q Po unuk aksiran K non paramerik dan paramerik, kemudian hiung Koefisien Koreasinya. Dengan menerapkan agorima ini pada daa di aas maka diperoeh po K ( v dan Kφ ( v erhadap v sebagai beriku: n.2 K empirik.8.6.4.2..2.3.4.5.6.7.8.9 Ke: K Cayon K Gumbe Gambar 3.4 Grafik K(v Dengan membandingkan po empirik dengan po copua Cayon dan Gumbe, maka copua yang epa unuk digunakan daam memodekan dependensi sudi kasus ini adaah copua Cayon. Seanunya perhaikan dua po beriku ini. Bab III Sudi Kasus Mode Doube Decremen
3.2.8 Cayon.6.4.2.2.4.6.8.2 Non Paramerik Gambar 3.5 Q-Q Po Copua Cayon erhadap Non Paramerik.2.8 Gumbe.6.4.2.2.4.6.8.2 Non Paramerik Gambar 3.6 Q-Q Po Copua Gumbe erhadap Non Paramerik Bab III Sudi Kasus Mode Doube Decremen
32 Jika dihiung niai koefisien koreasi unuk masing-masing copua erhadap non paramerik, maka diperoeh.994 unuk Cayon dan.999 unuk Gumbe. Dengan menggunakan Komogorv-Smirnov Tes ebih egas agi diunukkan bahwa kedua copua cocok unuk memodekan daa dengan P-Vaue.9 unuk Cayon dan.79 unuk Gumbe. Karena P-Vaue Cayon ebih besar daripada P-Vaue Gumbe maka daa doube decremen ebih cocok dimodekan dengan copua Cayon. Seanunya akan diaksir parameer copua Cayon erhadap daa pada Tabe 4 dengan menggunakan eknik Maimum Likeihood Esimaor. Copua Cayon didefinisikan sebagai beriku, Misakan α α (, ( α C u v u + v (3. cuv (, merupakan fungsi densias dari C( u, v. Maka fungsi ikeihood bisa diuis sebagai (, ; cuv (, Luvα (3. Dengan memaksimumkan fungsi ikeihood di aas erhadap daa pada Tabe 4, daam ha ini menggunakan sofware Ece:Sover, maka diperoeh niai aksiran α 77.86. Berdasarkan fungsi pada Tabe 3 maka akan diperoeh τˆ τˆ XY. P( ( X X ( Y Y P( ( X X ( Y Y > <.975 2 2 2 2 dimana ( X, Y dan ( X 2, Y 2 menyaakan vekor acak dengan enri pada Tabe 4 koom keima dan keenam. Maka bisa disimpukan bahwa decremen pensiun dengan meningga seeah pensiun memiiki dependensi yang sanga kua. Bab III Sudi Kasus Mode Doube Decremen