PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER Persamaan Differensial Linier Pengertian : Suatu persamaan differensial orde satu dikatakan linier jika persamaan tersebut dapat dituliskan sbb: y + p x y = r(x) (1) linier dalam y dan y, dimana p dan r pada sisi kanan mungkin suatu fungsi dari x. Jika sisi kanan r(x) = 0 untuk semua x dalam interval dimana kita membahas persamaan tsb, maka persamaan tersebut dikatakan homogen. 1
r(x) 0, persamaan non homogen / heterogen. Solusi pers. (1) dalam interval I dengan mengasumsikan bahwa p dan r adalah kontinyu dalam interval I. Untuk persamaan homogen : y = p x y = 0 (2) Dengan pemisahan variabel : dy y = p x dx jadi ln y = p x dx + c y x = ce p x dx c = ±e c bila y <> 0 Pada persamaan ini kita juga dapat mengambil nilai c = 0 dan mendapatkan persamaan trivial y = 0 2
Persamaan (1) yang bersifat non homogen sekarang dapat diselesaikan: y + p x y = r(x) (py r)dx + dy = 0, dimana persamaan ini dapat ditulis dalam bentuk dimana P = py r dan Q = 1. Pdx + Qdy = 0 Maka kita mendapatkan faktor pengintegrasi : 1 F df dx = p(x) Karena hanya tergantung pada x, persamaan (1) mempunyai faktor pengintegrasi F(x), yang mana kita mendapatkannya secara langsung dengan integrasi dan exponensiasi: F(x) = e pdx Perkalian persamaan (1) dengan nilai F dan dengan mengobservasi hukum perkalian dari turunan memberikan : e pdx y + py = e pdx y = e pdx r 3
Sekarang kita mengintegrasikan thd x e pdx y = e pdx rdx + c Jika pdx =h maka penyelesaian untuk y adalah y x = e h e h rdx + c, h= p(x)dx (4) Contoh Selesaikan persamaan differensial linier berikut : y y = e 2x Penyelesaian : p = -1, r = e 2x, h = pdx = x Dan dari persamaan (4) kita mendapatkan penyelesaian yang bersifat umum y x = e h e h rdx + c, h= p(x)dx y x = e x e x e 2x dx + c = e x e x + c = ce x + e 2x 4
Alternatif lain, kita dapat mengalikan persamaan yang diberikan dengan e h = e x, dengan mendapatkan y y e x = ye x = e 2x e x Dan mengintegrasikan pada kedua sisinya, memperoleh hasil sama dengan hasil sebelumnya : ye x = e x + c Sehingga y = e 2x + ce x Contoh: y + y tan x = sin 2x Dimana y(0) = 1 5
Persamaan Differensial Orde Dua PENDAHULUAN PD2 Linier Non Linier 6
Suatu persamaan differensial orde 2 dikatakan linier jika persamaan tsb dapat ditulis dalam bentuk : y + p x y + q x y = r(x) (1) Dan non linier jika persamaan tsb tidak ditulis dalam bentuk ini. Persamaan (1) adalah linier pada fungsi yang tidak diketahui y dan turunannya, semetara p, q dan r pada sisi kanan dapat berupa suatu fungsi x Jika r(x) = 0 maka persamaan 1 menjadi y + p(x)y + q(x)y = 0 (2) pers. homogen Fungsi p(x) dan q(x) disebut coefisien dari persamaan. Contoh : y + 4y = e -x sin x PD2 non homogen, linier (1 x 2 )y -2xy + 6y = 0 PD2 homogen linier x(y y + y 2 ) + 2y y = 0 PD2 non linier 7
Penyelesaian PD2 (linier atau non linier) pada interval terbuka a < x < b adalah suatu fungsi h(x) yang mempunyai turunan y = h (x) dan y = h (x) dan memenuhi persamaan differensial untuk semua x dalam interval tersebut Persamaan Homogen Linier Contoh y = e x dan y = e -x adalah penyelesaian dari PD homogen linier y y = 0 Untuk semua x karena untuk y = e x kita mendapatkan (e x ) e x = e x e x =0 dan sama untuk y = e -x. Bahkan kita dapat melanjutkan suatu tahap lanjutan yang penting. Kita dapat mengalikan e x dan e -x dengan konstanta turunan, katakan, -3 dan 8 ( atau suatu bilangan lain) dan kemudian melakukan penjumlahan y = -3e x + 8e -x 8
3e x + 8e x 3e x + 8e x = 3e x + 8e x 3e x + 8e x = 0 Dari contoh untuk suatu PD2 linier homogen, kita selalu dapat memperoleh penyelesaian baru dari penyelesaian yang diketahui dengan perkalian dengan konstanta dan dengan penambahan. Sehingga kita dapat mendapatkan penyelesaian selanjutnya dari solusi-solusi yang diberikan. Dari y 1 (=e x ) dan y 2 (=e -x ) kita mendapatkan suatu fungsi dengan bentuk : y = c 1 y 1 + c 2 y 2 (3) dimana c 1 dan c 2 adalah konstanta sembarang. Persamaan ini disebut kombinasi yang bersifat linier dari y 1 dan y 2. Dengan menggunakan konsep ini, sekarang kita dapat memformulasikan hasil yang disarankan oleh contoh diatas prinsip superposisi atau prinsip linieritas. Prinsip ini tidak berlaku untuk persamaan yang sifatnya tidak homogen linier atau persamaan yang sifatnya non linier 9
Permasalahan Nilai Awal - Penyelesaian Umum Untuk persamaan PD1, penyelesaian umum melibatkan satu konstanta sembarang c, dan dalam permasalahan nilai awal kita menggunakan kondisi awal y(x 0 ) = y 0 untuk mendapatkan penyelesaian khusus (c mempunyai nilai tertentu). Untuk persamaan homogen orde 2, bentuk solusi umum : y = c 1 y 1 + c 2 y 2 (4) Suatu kombinasi linier dari dua solusi yang melibatkan dua konstanta sembarang c 1, c 2. Suatu persoalan nilai awal terdiri dari persamaan (2) dan dua kondisi awal y(x 0 ) = K 0, y (x 0 ) = K 1 (5) Dengan memberikan nilai K 0 dan K 1 dari penyelesaian dan turunanya (kemiringan dari kurva)pada x 0 yang sama dalam suatu interval yang ditentukan. Kita akan menggunakan persamaan (5) untuk mendapatkan dari Pers (4) suatu penyelesaian yang khusus dari persamaan (2), dimana c 1 dan c 2 mempunyai nilai yang tertentu. Mari kita mengilustrasikan hal ini dengan suatu contoh yang sederhana, yang akan membantu kita untuk melihat bahwa kita harus memberikan suatu kondisi pada y 1 dan y 2 dalam persamaan (4). 10
Contoh Selesaikan persoalan nilai awal: y y = 0 y(0) = 5, y (0) = 3 Penyelesaian Tahap 1. e x dan e -x adalah penyelesaian (contoh 1), y = c 1 e x + c 2 e -x solusi umum Penyelesaian tahap 2. Dari kondisi awal, karena y = c 1 e x - c 2 e -x, kita mendapatkan : y(0) = c 1 + c 2 = 5 y (0) = c 1 c 2 = 3 Maka c 1 = 4 dan c 2 =1. Jawaban y = 4e x + e -x Definisi Penyelesaian umum persamaan (y + p(x)y + q(x)y = 0) pada sebuah interval I adalah persamaan (y = c 1 y 1 + c 2 y 2 ) dengan y 1 dan y 2 bukan penyelesaian proporsional dari (2) pada interval I dan c 1, c 2 adalah konstanta sembarang. y 1 dan y 2 ini kemudian disebut suatu basis ( atau sistem dasar) dari persamaan (2) pada interval I. Penyelesaian khusus pada interval I diperoleh jika kita memberikan nilai yang spesifik pada c 1 dan c 2 Seperti umumnya, y1 dan y2 dikatakan proporsional pada I jika : y 1 = ky 2 atau y 2 = ly 1 Berlaku untuk semua x pada I, dimana k dan l adalah bilangan, nol atau tidak ada 11
2.Persamaan Homogen dengan Koefisien Konstan Suatu persamaan linier homogen y + ay + by = 0 (1) mempunyai koefisien a dan b adalah konstan. Persamaan ini mempunyai aplikasi yang penting, khusus hubungannya dengan getaran mekanik dan elektrik. Dari PD1 linier, y + ky = 0 penyelesaiannya adalah y = e -kx. Hal ini memberikan kepada kita ide untuk mencoba sebagai suatu penyelesaian dari (1) fungsi y = e λx (2) Maka turunan I dan II y = λe λx dan y = λ 2 e λx Substitusi ke dalam persamaan (1) λ 2 + aλ + b e λx = 0 Maka persamaan (2) adalah suatu solusi dari persamaan (1), jika λ adalah suatu solusi dari persamaan kuadratik λ 2 + aλ + b = 0 (3) 12
Persamaan ini disebut persamaan karakteristik dari persamaan (1). Akarnya adalah : λ 1 = 1 2 a + a2 4b λ 2 = 1 2 a a2 4b (4) Penurunan kita menunjukan bahwa fungsi y 1 = e λ 1x dan y 2 = e λ 2x (5) Adalah solusi dari persamaan (1). Kita harus menguji hasil ini dengan mensubtitusikan persamaan (5) kedalam persamaan (1) Secara langsung dari persamaan (4) kita melihat bahwa, dengan bergantung pada tanda deskriminan a 2 4b, kita mendapatkan beberapa kemungkinan : Case I : dua akar real jika a 2 4b > 0 Case II: dua akar real kembar jika a 2 4b = 0 Case III : akar komplek jika a 2 4b < 0 13
Thank you 14