COURSE NOTE : Sistem Persamaan Liniear PERSAMAAN LINIEAR Secara umum kita mendefinisikan persamaan liniear dalam n variale x 1 x x n seagai erikut : dengan a1 a... an adalah konstanta real. a1x 1 ax ax... anxn SISTEM PERSAMAAN LINIEAR Himpunan hingga dari persamaan liniear dalam variale x1 x... x n diseut system persamaan liniear. Secara formal sistem persamaan liniear dengan n variael didefinisikan seagai erikut: a x a x a x... a x 11 1 1 1 1n n 1 a x a x a x... a x 1 1 n n : : : : : : a x a x a x... a x n1 1 n n nn n n Bentuk terseut dapat disajikan dengan matriks seagai erikut : a11 a1 a1... a1 n x1 1 a a a... a x 1 n a1 a a... a n x : : : : : a a a... a x n1 n n nn n n yang secara sederhana disajikan dalam entuk Ax = Setiap sistem persamaan liniear isa tidak mempunyai solusi mempunyai tepat satu solusi atau mempunyai tak hingga anyaknya solusi.
MATRIKS LENGKAP Misal dierikan sistem persamaan seagai erikut : a x a x a x... a x 11 1 1 1 1n n 1 a x a x a x... a x 1 1 n n : : : : : : a x a x a x... a x n1 1 n n nn n n Matriks lengkap dari sistem persamaan di atas adalah : a11 a1 a1... a1 n 1 a1 a a... an a1 a a... an :......... : : an 1 an an... ann n Contoh : dierikan sistem persamaan liniear seagai erikut : x x x 9 4x x x 8 x 6x x entuk matriks lengkapnya adalah 9 4 1 8 1 6 OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE) Ada tiga operasi aris elementer pada matriks. No. Operasi Notasi 1. Mengalikan aris-i dengan konstanta tidak nol k kr i. Menukar aris-i dengan aris-j R i R j. Mengganti aris-j dengan arik-j + aris -i R j + kr i Operasi aris elementer tidak meruah himpunan selesaian dari sistem persamaan liniear. Artinya sistem persamaan liniear aru yang diperoleh dari sistem persamaan liniear lama dengan menggunakan OBE mempunyai selesaian yang sama.
MATRIKS ESELON BARIS DAN MATRIKS ESELON BARIS TEREDUKSI Dierikan sifat matriks seagai erikut : 1. Jika suatu aris yang didalamnya tidak memuat nol maka ilangan pertama yang ukan nol haruslah 1. Kita seut ini seagai 1 utama. Jika ada dua aris yang didalamnya memuat nol maka kedua aris terseut dikelompokkan secara ersama di aris awah.. Dalam searang dua aris yang erurutan yang didalamnya tidak memuat nol maka 1 utama aris awah muncul diseelah kanan dari 1 utama aris atasnya. 4. Masing-masing kolom yang memuat 1 utama mempunyai nol seagai elemen di kolom itu. Apaila ada matriks yang memenuhi sifat 1 maka matriks terseut dikatakan matriks eselon aris. Dan apaila ada matriks yang memenuhi sifat 1 4 maka matriks terseut dikatakan matriks eselon aris tereduksi. Contoh : Matriks-matriks erikut memiliki entuk matriks eselon aris 1 * * * 0 0 1 * 0 0 0 1 1 * * * 0 0 1 * 0 0 0 0 1 * * * 0 0 0 0 0 0 0 0 * * * * * * 0 0 * * * * 0 0 0 * * * 0 0 0 0 * * 0 0 0 0 0 0 0 0 1 * Matriks-matriks erikut memiliki entuk matriks eselon aris tereduksi 0 1 * 0 0 0 * * 0 * 1 0 0 0 1 0 0 * 1 0 * * 0 0 0 1 0 0 * * 0 * 0 1 0 0 0 1 0 * 0 0 0 0 1 0 * * 0 * 0 0 1 0 0 0 1 * 0 0 0 0 0 0 0 0 0 * 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 *
BENTUK MATRIKS TERKAIT DENGAN SOLUSI SPL Telah diseutkan ahwa setiap sistem persamaan liniear isa tidak mempunyai solusi mempunyai tepat satu solusi atau mempunyai tak hingga anyaknya solusi. Berikut entuk matriks yang terkait dengan solusi sistem persamaan liniear. 1. Solusi unik Sistem persamaan linier mempunyai solusi yang unik apaila setelah dilakukan OBE sistem persamaan liniear terseut memiliki entuk : a11 a1 a1... a1 n 1 0 a a... an 0 0 a... an 0 0 0......... 0 0 0 0 ann n 1 1 1 7 0 1 8 0 0 9. Solusi Tak Hingga Banyaknya Sistem persamaan liniear mempunyai solusi yang tidak terhingga anyaknya apaila setelah dilakukan OBE sistem persamaan liniear terseut memiliki entuk : a11 a1 a1... a1 n 1 0 a a... an 0 0 a... an 0 0 0......... 0 0 0 0 0 0 1 4 5 6 0 4 5 7 0 0 0 1 8 0 0 0 0 0. Tidak Mempunyai Solusi Sistem persamaan liniear tidak mempunyai solusi apaila setelah dilakukan OBE sistem persamaan liniear terseut memiliki entuk : a11 a1 a1... a1 n 1 0 a a... an 0 0 a... an 0 0 0......... 0 0 0 0 0 n 1 4 5 6 0 4 5 7 0 0 0 1 8 0 0 0 0 6
Soal Latihan. 1. Dari sistem persamaan erikut uatlah matriks lengkapnya. Kemudian gunakan OBE untuk menghasilkan matriks eselon aris dan matriks eselon aris tereduksi. a. Diketahui sistem persamaan liniear. Diketahui sistem persamaan liniear x x x 8 x x x 1 x 7x 4x 10 x x x 0 x 5x x 1 8x x 4x 1 c. Diketahui sistem persamaan liniear d. Diketahui sistem persamaan liniear x y z w 1 x y z w x y 4z w 1 x w c 1 a 6 c 6a 6 c 5. Selesaikan sistem persamaan liniear erikut dengan searang metode a. Diketahui Sistem Persamaan Liniaer. Diketahui Sistem Persamaan Liniear x x x 4x 9 4 x x 7x 11 1 4 x x x 5x 8 4 x x 4x 4x 10 4 z z z 0 4 5 z z z z z 0 4 5 z z z z 0 5 z z z z 0 5. Carilah nilai a agar sistem persamaan erikut tidak mempunyai solusi memiliki tepat satu solusi dan memiliki solusi yang tak hingga anyaknya. x y z 4 x y 5z 4 x y ( a 14) z a