Adri Priadana. ilkomadri.com

Transkripsi

1 Adri Priadana ilkomadri.com

2 Pengertian Sistem Persamaan Linier Persamaan linier adalah suatu persamaan dengan bentuk umum a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b yang tidak melibatkan hasil kali, akar, pangkat selain satu dari variabelnya serta bukan sebagai fungsi trigonometri (sin, cos, tan), logaritma, atau eksponensial

3 Pengertian Sistem Persamaan Linier Persamaan yang semua variabelnya berpangkat 1 Contoh: x + y + 2z = 9 Solusi: berupa suatu tripel dengan masing-masing nilai sesuai urutan (nilai-x, nilai-y, nilai-z) yang memenuhi persamaan tersebut. Himpunan solusi untuk persamaan di atas: { ( 0, 1, 4), (1, 0, 4), (4, 5, 0),. } Himpunan solusi juga disebut Ruang Solusi (solution space)

4 Suatu sistem dengan beberapa (2 atau lebih) persamaan linier. Contoh: x + y = 3 3x 5y = 1 Ruang Solusi: berupa semua ordered-pair (nilai-x, nilai-y) yang harus memenuhi semua persamaan linier dalam sistem tersebut, untuk sistem ini ruang solusinya { (2, 1) } Pengertian Sistem Persamaan Linier

5 Pengertian Sistem Persamaan Linier Sistem Persamaan Linier mempunyai salah satu dari 3 kemungkinan : a. Tidak ada solusi, atau tidak berpotongan b. Satu solusi, atau berpotongan di 1 titik c. Banyak solusi, atau berimpit a. b. c.

6 Sistem Persamaan Linier dikatakan Consistent jika memiliki satu solusi atau banyak solusi, dan dikatakan Inconsistent jika tidak ada solusi. Persamaan Linier memiliki beberapa solusi, yaitu : a. Eliminasi / Substitusi b. Aturan Cramer c. Eliminasi Gauss d. Eliminasi Gauss - Jordan

7 a. Eliminasi / Substitusi x dieliminasi I. x + y = 3 3x + 3y = 9 3x 5y = 1 3x 5y = 1 8y = 8 y = 1 3x 5 = 1 3x = 6 x = 2 II. y = 3 x y disubstitusi 3x 5 (3 x) = 1 atau 3x x = 1 8x = 16 x = 2 y = 3 x y = 1

8 Sistem Persamaan Liner dapat diungkapkan dalam bentuk Matriks Koefisien Contoh : x + y + 2z = 9 2x + 4y 3z = 1 3x + 6y 5z = 0 Jika setiap koefisien dari sistem persamaan linier di atas disusun ke dalam matriks, maka Disebut matriks koefisien 3 6-5

9 Matriks yang entri-entrinya dibentuk dari koefisienkoefisien Sistem Persamaan Linier dengan tambahan kolom yang berisi konstanta pada sisi kanan sistem persamaan linier Contoh : x + y + 2z = 9 2x + 4y 3z = 1 3x + 6y 5z = 0 Matriks Augmented-nya :

10 b. Aturan Cramer Apabila Ax = b maka nilai x dapat dicari dengan x k = A k A Di mana: A k adalah harga determinan unsur-unsur matriks bujur sangkar A dengan kolom ke k diganti unsur-unsurnya oleh b. A adalah harga determinan matriks bujur sangkar A Contoh : 2x + y z = 3 3x + 2y 4z = 1 x + 4y + z = 15

11 b. Aturan Cramer (cont) Hitunglah nilai x, y, dan z untuk sistem persamaan berikut: 2x + y z = 3 3x + 2y 4z = 1 x + 4y + z = 15 b Matriks : A A x = b A y = A z = b

12 b. Aturan Cramer (cont) b det(a) = = 19, det(a x ) = = b b det(a y ) = = 57, det(a z ) = = det(a x ) 19 det(a y ) 57 det(a z ) 38 Maka x = = 1, y = = = 3, z = = = 2 det(a) 19 det(a) 19 det(a) 19

13 c. Eliminasi Gauss x + y + 2z = 9 2x + 4y 3z = 1 3x + 6y 5z = 0 ditulis dalam bentuk matriks augmented lalu diusahakan berbentuk 0??? 0 0?? dengan proses Operasi Baris Elementer (OBE) Elementary Row Operation (ERO)

14 c. Eliminasi Gauss (cont) (Elementary Row Operation - ERO) Perhatikan bahwa tiap baris dari matriks merepresentasikan persamaan linier 1. Mengalikan suatu baris dengan bilangan nyata k 0 2. Menukar posisi dua baris 3. Menambah baris-i dengan k kali baris-j baris-2 + (-2) x baris-1 baris-3 + (-3) x baris baris-3 + (-3/2)x baris /2-3/2

15 c. Eliminasi Gauss (cont) x y z Substitusi Balik /2-3/2-1 / 2 z = - 3 / 2 z = /2-3/2 z 2y 7z = y = y = /2-3/2 y z x + y + 2z = 9 x = x = 1

16 d. Eliminasi Gauss - Jordan x + y + 2z = 9 2x + 4y 3z = 1 3x + 6y 5z = 0 ditulis dalam bentuk matriks augmented ? lalu diusahakan berbentuk 0 1 0? 0 0 1? dengan proses Operasi Baris Elementer (OBE) Elementary Row Operation (ERO)

17 d. Eliminasi Gauss Jordan (cont) contoh: x - 2y + z = 0 2y 8z = 8-4x + 5y + 9z = baris-3 + (4) x baris (1/2)x baris

18 d. Eliminasi Gauss Jordan (cont) Baris-3 + (3) x baris Baris-2 + (4) x baris-3 Baris-1 + (-1) x baris-3 Baris-1 + (2) x baris-2 x y z

19 Matur Nuwun