bilqis 1

Transkripsi

1 bilqis

2 PERTEMUAN bilqis

3 TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan : Mengetahui definisi Sistem Persamaan Linier Dapat membentuk matriks yang merepresentasikan Sistem Persamaan Linier Dapat menyelesaikan Sistem Persamaan Linier dengan menggunakan metode Gauss dan Gauss Jordan bilqis

4 Contoh Soal berapa nilai x, y dan Z x + y + z = 9 x + 4y z = x + 6y 5z = bilqis 4

5 Sistem Persamaan Linier bilqis 5

6 Persamaan linier : Persamaan yang semua variabelnya berpangkat atau dan tidak terjadi perkalian antar variabelnya. Contoh: () x + y + z = 9 PL () x + y = 9 PL () xy z = 9 Bukan PL Solusi PL () : berupa suatu tripel dengan masing-masing nilai sesuai urutan (nilai-x, nilai-y, nilai-z) yang memenuhi persamaan tersebut. Himpunan solusi untuk persamaan () di atas: { (,, 4), (,, 4), (4, 5, ),. } Himpunan solusi juga disebut Ruang Solusi (solution space) bilqis 6

7 bilqis 7 Misal : atau atau terserah variable mana yang akan diumpamakan, rumus berbeda, tapi hasil akhir untuk x, y, dan z tetap sama t s x s y t z 5 4 s y t x 9 s t z t s y s z t x

8 Sistem Persamaan Linier: Suatu sistem dengan beberapa ( atau lebih) persamaan linier. Contoh: x + y = x 5y = Ruang Solusi: berupa semua ordered-pair (nilai-x, nilai-y) yang harus memenuhi semua persamaan linier dalam sistem tersebut; untuk sistem ini ruang solusinya { (, ) } bilqis 8

9 PENYIMPANGAN PADA PENYELESAIAN SUATU SPL Pada beberapa SPL tertentu terdapat penyimpangan penyimpangan dalam penyelesaiannya, misal : Diberikan SPL sebagai berikut : x + /x + /x = /x + /x + /4x = /x + /4x + /5x = Didapat penyelesaian x = 9, x = -6, dan x = Jika SPL tersebut dituliskan dalam bentuk dua desimal : x +,5x +,x =,5x +,x +,5x =,x +,5x +,x = Didapat penyelesaian x 55,55; x -77,778; dan x 55,556 bilqis 9

10 Interpretasi Geometrik: Sistem menggambarkan garis lurus pada sebuah bidang datar. g : x + y = g : x 5y = Solusi: g dan g berpotongan di (, ) Kemungkinan: X+y = 5 X+y = 7 Var => sama Konst => tidak X+y = 5 Kelipatan X+y = berpotongan di titik tidak berpotongan berimpit bilqis

11 Solusi Sistem Persamaan Linier a. Cara Biasa Seperti SMA b. Eliminasi Gauss c. Eliminasi Gauss - Jordan a. Cara Biasa (untuk mengingat kembali): I. x + y = x + y = 9 x 5y = x 5y = 8y = 8 y = x 5 = x = 6 x = II. y = x x 5( x) = atau x 5 + 5x = 8x = 6 x = y = x y = bilqis

12 b. Eliminasi Gauss (ringkasan): Sistem Persamaan Matriks Eliminasi Substitusi Linier Augmented Gauss Balik OBE bilqis

13 Penyelesaian Sistem Persamaan Linier b. Eliminasi Gauss (lihat contoh, halaman 5) x + y + z = 9 ditulis 9 dalam x + 4y z = 4 - bentuk matriks augmented x + 6y 5z = 6-5 lalu diusahakan berbentuk 9??? dengan proses Operasi Baris Elementer (OBE) (Elementary Row Operation - ERO) bilqis

14 Matriks Augmented : (Matriks yang diperbesar) Matriks yang entri-entrinya dibentuk dari koefisien-koefisien Sistem Persamaan Linier Contoh : x + y + z = 9 x + 4y z = x + 6y 5z = Matriks Augmented-nya : bilqis 4

15 O.B.E sebuah baris dengan kostanta sebuah baris dengan konstanta kemudian pada baris lain Menukar dua buah baris Ciri-ciri eliminasi Gauss (Eselon Baris) Jika suatu baris tidak semua nol, maka bilangan pertama yang tidak nol adalah ( utama) Baris nol terletak paling bawah utama baris berikutnya berada di kanan utama baris di atasnya. Dibawah utama harus bilqis 5

16 bilqis 6 Contoh : Ciri-ciri eliminasi Gauss Jordan (Eselon Baris Tereduksi) Jika suatu baris tidak semua nol, maka bilangan pertama yang tidak nol adalah ( utama) Baris nol terletak paling bawah utama baris berikutnya berada di kanan utama baris diatasnya.. Tiap kolom yang mengandung utama mempunyai nol di tempat lain Contoh :

17 bilqis 7 Eliminasi Gauss menggunakan O.B.E : * + = * + = * + = Substitusi Balik [baris -] + baris [baris -] + baris baris * / / / 7/ 7/ 9 [baris -] + baris 7 / 7 / 7 / / baris z = 7/ 7/ () 7/ 7 y y z y 9 () 9 x x z y x,, z y x

18 x y z 9 Substitusi Balik: ½ - / - / z = - / z = y 7z = - 7 -½ - z / y = 7 y = 9 x + y + z = y x = x = -½ - / z bilqis 8

19 Bentuk eselon baris:. Entri-entri dalam sebuah baris tidak semuanya nol, maka entri pertama yang tidak nol harus (disebut -utama / leading-). Baris-baris yang semua entrinya, dikelompokkan di bagian bawah matriks. Posisi -utama dari baris yang lebih bawah harus lebih ke kanan d/p -utama baris yang lebih atas Bentuk eselon baris tereduksi:,,, ditambah 4. Semua entri (yang lain) dari kolom yang berisi -utama harus di--kan bilqis 9

20 Operasi Baris Elementer (OBE) (Elementary Row Operation - ERO) Perhatikan bahwa tiap baris dari matriks merepresentasikan persamaan linier. Mengalikan suatu baris dengan bilangan nyata k. Menukar posisi dua baris. Menambah baris-i dengan k kali baris-j bilqis

21 c. Eliminasi Gauss-Jordan (ringkasan): Sistem Persamaan Matriks Eliminasi Solusi Linier Augmented Gauss-Jordan (langsung) OBE bilqis

22 Eliminasi Gauss-Jordan (contoh yang sama) x + y + z = 9 9 x + 4y z = 4 - x + 6y 5z = 6-5 dan diusahakan berbentuk??? dengan proses Operasi Baris Elementer (OBE) (Elementary Row Operation - ERO) bilqis

23 Gauss-Jordan MatLab bilqis

24 bilqis 4 Eliminasi Gauss-Jordan menggunakan O.B.E idem Gauss disambung dengan : * + = * + = * + = 7/ 7/ 9 baris 7 + baris 7 / 7 / 7 / 7 / 7 / 7 / 9 baris - + baris 9 baris - + baris z y x

25 Suatu SPL mempunyai kemungkinan jawaban, yaitu : Contoh :. Mempunyai jawaban tunggal. Mempunyai banyak jawaban. Tidak mempunyai jawaban Tentukan nilai a agar SPL berikut: i. Mempunyai jawaban tunggal ii. iii. x y + z = x y + 9z = 4 x y + (a - 4)z = + a Mempunyai banyak jawaban Tidak mempunyai jawaban bilqis 5

26 Penyelesaian : Matriks Eselon SPL di atas adalah : 4 a a i. Mempunyai jawaban tunggal a 4 a - dan a ii. Mempunyai banyak jawaban a 4 = dan a + = a = - iii. Tidak mempunyai jawaban a 4 = dan a + a = bilqis 6

27 Lihat contoh di halaman 5 dan 6 Lihat contoh di halaman dan bilqis 7

28 Halaman 5 Example. In the left column below we solve a system of equations by operating on the equations in the system, and in the right column we solve the same system by operating on the rows of the augmented matrix. x + y + z = 9 x + 4y z = x + 6y -5z = Add - times the first equation to the second to obtain x + y + z = 9 y 7z = -7 x + 6y -5z = Add - times the first equation to the third to obtain x + y + z = 9 y 7z = -7 y -z = Add - times the first row to the second to obtain Add - times the first row to the third to obtain bilqis 8

29 bilqis 9 Multiply the second equation by ½ to obtain Multiply the second row by ½ to obtain z y z y z y x Add - times the second equation to the third to obtain Add - times the second row to the third to obtain z z y z y x Multiply the third equation by - to obtain Multiply the third row by - to obtain z z y z y x 7 7 9

30 bilqis Add - times the second equation to the first to obtain Add - times the second row to the first to obtain z z y z x Add -/ times the third equation to the first and 7/ times the third equation to the second to obtain Add -/ times the third row to the first and 7/ times the third row to the second to obtain z y x The solution : x =, y =, z =

31 bilqis Halaman Step. Locate the leftmost column that does not consist entirely of zeros. Step. Interchange the top row with another row, if necessary, to bring a nonzero entry to the top of the column found in Step Leftmost nonzero column The first and second rows in the preceding matrix were interchanged

32 Step if the entry that is now at the top of the coloumn found in step is a, multiply the first row by /a in order to introduce a leading The first row of the preceding matrix was multiplied by ½ step 4 add suitable multiples of the top row to the rows below so that all entries below the leading to zeros times the first row of the preceding matrix was added to the third row step 5 Now cover the top row in the matrix and begin again with step applied to the submatrix that remains. Continue in this way until the entire matrix is in row-echelon form left most nonzero coloumn in the submatrix bilqis

33 , The first row in the submatrix was multiplied by -/ to introduce a leading , times the first row of the submatirx was added to the second row of the submatrix to introduce a zero below the leading ,5-6.5 The top row in the submatrix was covered, and we returned again to the step leftmost non zero coloumn in the new submatrix ,5-6 The first(and only) row in the submatrix was multiplied by to introduce a leading The entire matrix is now in row-echelonform. To find the reduce row-echelon form we need the following additional step bilqis

34 Step 6 Begining with the last nonzero row and working upward, add suitable multiplies of each row to the rows above to introduce zeros above the leading s / times the third row of the preceding matrix was added to the second row -5-6 times the third row was added to the first row 7 5 times the second row was added to the first row The last matrix is in reduced row echelon form bilqis 4

35 Sistem Persamaan Linier Homogen :. Sistem Persamaan Linier dikatakan homogen jika semua suku di kanan tanda = adalah.. Solusi Sistem Persamaan Linier Homogen: Solusi Trivial ( semua x i = ; i =.. n ): pasti ada Solusi Non-trivial ( solusi trivial, plus solusi di mana ada x i ) Contoh: lihat contoh 6 halaman 8 dan verifikasi proses penyelesaiannya bilqis 5

36 Contoh: lihat contoh 6 halaman 8 dan verifikasi proses penyelesaiannya Brs- (/) -/ / Brs- + brs- Brs- brs- -/ / / - / -/ -/ bilqis 6

37 -/ / / - / -/ -/ Brs- (/) Brs- ( /) -/ / - Brs- brs- Brs-4 brs- -/ / - bilqis 7

38 -/ / - Brs- (/) Brs-4 (/) -/ / - Brs-4 brs- -/ / - bilqis 8

39 -/ / - -/ / baris- + (/) baris- bilqis 9

40 x + x + x 5 = x + x 5 = x 4 = x 5 = s x + x 5 = x = x 5 x = t x + x + x 5 = x = x x 5 Ruang solusinya = { (-t-s, t, -s,, s ) } Catt => yang diumpamakan dahulu adalah index terbesar bilqis 4

41 Teorema: Sistem Persamaan Linier Homogen dengan variabel lebih banyak d/p. persamaan mempunyai tak berhingga banyak pemecahan. Ditinjau dari matriksnya: Sistem Persamaan Linier Homogen dengan kolom lebih banyak d/p. baris mempunyai tak berhingga banyak pemecahan. bilqis 4

42 Contoh menggunakan Matlab Soal x + y + z = 9 x + 4y z = x + 6y 5z = Buat matrix pada Matlab bilqis 4

43 Matlab Mengenol-kan baris ke-, kolom Baris = Baris * - + baris bilqis 4

44 Matlab Mengenol-kan baris ke-, kolom Baris = Baris * - + baris bilqis 44

45 Matlab Membuat nilai pada kolom dan baris Baris = Baris * / bilqis 45

46 PR Contoh pada slide, coba tukar antara baris pertama dengan baris, apakah hasilnya tetap sama? Jawab dengan menggunakan Gauss-Jordan (dgn tangan) x + y + z = 9 x + 4y z = x + 6y 5z = x + 4y z = bilqis 46

47 PR Contoh pada slide 8, coba kerjakan SPL yang seharusnya jawabannya sama, tapi kenapa berbeda? Jawab dengan menggunakan Gauss-Jordan (dengan tangan) x + /x + /x = /x + /x + /4x = /x + /4x + /5x = x +,5x +,x =,5x +,x +,5x =,x +,5x +,x = bilqis 47

48 PR kerjakan saja..b, 4.c, 5.d,. 6.b, 7.c, 8.a,.b, 4.c, 5.b, 7, bilqis 48