02-Pemecahan Persamaan Linier (1)

Transkripsi

1 -Pemecahan Persamaan Linier () Dosen: Anny Yuniarti, M.Comp.Sc Gasal - Anny

2 Agenda Bagian : Vektor dan Persamaan Linier Bagian : Teori Dasar Eliminasi Bagian 3: Eliminasi Menggunakan Matriks Bagian 4: Aturan Operasi Matriks Anny

3 Bagian VEKTOR DAN PERSAMAAN LINIER Anny 3

4 Pendahuluan Permasalahan pokok pada aljabar linier adalah bagaimana memecahkan sistem persamaan linier Sistem persamaan linier (SPL) variabel yang dicari selalu dikalikan dengan angka, bukan dengan variabel lainnya. Misalnya dalam SPL tidak pernah ada perkalian dua variabel seperti xy Contoh SPL: Anny 4

5 Contoh SPL () Row Picture Masing-masing persamaan direpresentasikan oleh sebuah garis. Titik temu dua garis adalah solusi dari SPL diatas, yaitu x = 3 dan y =. Anny 5

6 Contoh SPL () SPL diatas jika diubah menjadi SPL menggunakan kombinasi linier seperti pada Pertemuan menjadi: Column Picture Anny 6

7 Contoh SPL () Solusi SPL diatas tentu sama dengan model baris (row picture), yaitu x = 3, dan y =. Matriks koefisien untuk sisi kiri SPL diatas adalah matriks A: SPL diatas menjadi permasalahan matriks Ax = b. Anny 7

8 Contoh SPL () SPL dengan 3 variabel 3 pers. linier Row Picture Setiap pers. direpresentasikan sebagai bidang datar di ruang 3D Anny 8

9 Contoh SPL () SPL dengan 3 variabel 3 pers. linier Column Picture Kombinasi linier yang menghasilkan vektor (6, 4, ) adalah x vektor ke-3, sehingga solusinya x =, y =, z =. Anny 9

10 Contoh SPL () SPL dengan 3 variabel 3 pers. linier Row Column Matrix Anny

11 Matriks Identitas Contoh: Anny

12 Notasi Matriks Untuk matriks m x n, indeks baris mulai dari sampai m. Indeks kolom mulai dari sampai n. Matriks persegi orde n memiliki n isian nilai. Anny

13 SPL menggunakan matriks di Matlab Untuk matriks A : 3 dan vektor x : penulisannya di Matlab : >> A = [ 3; 5 ; 6-3 ] >> x = [ ] atau >> x = [; ; ] Perkalian Ax : >> b = A * x Mengakses per baris: >> b = [A(,:)*x; A(,:)*x; A(3,:)*x] Mengakses per kolom: >> b = [A(:,)*x() + A(:,)*x() + A(:,3)*x(3) Anny 3

14 Bagian TEORI DASAR ELIMINASI Anny 4

15 Metode Eliminasi Misal sebuah SPL dengan variabel: x y 3x y Metode eliminasi akan menghasilkan sistem upper triangular. Pada SPL diatas sistem upper triangular berupa: Persamaan yang baru 8y = 8 menghasilkan solusi y =. Jika y = disubstitusi ke persamaan () menghasilkan solusi x = 3. Anny 5

16 Metode Eliminasi () Cara eliminasi: Kurangi persamaan dengan hasil perkalian persamaan dengan pengali l Contoh diatas: kurangi persamaan dengan 3 kali persamaan menghasilkan persamaan baru Bagaimana menentukan pengali l? Anny 6

17 Eliminasi yang Gagal Misal sebuah SPL dengan variabel: x 3x y 6y Pada SPL diatas kalikan pers. dengan 3, lalu kurangkan dari pers. : x y y Tidak ada solusi untuk y = 8. 8 Anny 7

18 Eliminasi yang Gagal () Misal sebuah SPL dengan variabel: x 3x y 6y 3 Pada SPL diatas kalikan pers. dengan 3, lalu kurangkan dari pers. : x y y Solusi untuk y = : tak terhingga (infinity). Anny 8

19 Eliminasi yang Gagal tapi Bisa Diperbaiki Misal sebuah SPL dengan variabel: Pada SPL diatas perlu dilakukan pertukaran: pers. menjadi pers., pers. menjadi pers. : Dengan begitu sudah membentuk sistem triangular, tinggal disubstitusikan untuk menghasilkan solusi (3, ). Contoh dan disebut singular pada pers. tidak ada pivot (pembagi = ). Contoh 3 disebut nonsingular pada pers. nilai pembagi. 3x y y 3x 4 5 y y 5 4 Anny 9

20 Eliminasi untuk SPL dengan 3 Variabel Misal sebuah SPL dengan 3 variabel: Langkah-langkah eliminasi: x 4y z 4x 9y 3z 8 x 3y 7z Kalikan pers. dengan 4/ =, lalu kurangkan pers. dari *pers., hasilnya pers. menjadi: y z 4 Kalikan pers. dengan -/ = -, lalu kurangkan pers. 3 dari -*pers., hasilnya pers. 3 menjadi: y 5z Kalikan pers. yang baru dengan / =, lalu kurangkan pers. 3 dari *pers. yang baru, hasilnya pers. 3 menjadi: 4z 8 Anny

21 Eliminasi untuk SPL dengan 3 Variabel () SPL yang tadinya berbentuk Ax = b diubah menjadi SPL bentuk upper triangular Ux = c : Solusi SPL diperoleh dengan back substitution dari Ux = c : 4z = 8 z = y + z = 4 y = x + 4y z = x = - Jadi solusinya (x, y, z) = (-,, ). Anny

22 Eliminasi untuk SPL dengan n Variabel Cara mengubah A menjadi U : Kolom. Gunakan pers. untuk menghasilkan angka-angka nol dibawah koefisien pertama. Kolom. Gunakan pers. yang baru untuk menghasilkan angka-angka nol dibawah koefisien kedua. Kolom 3 sampai n. Lanjutkan untuk menghasilkan semua n koefisien dan matriks triangular U. Anny

23 Contoh Soal Misal sebuah SPL dengan 3 variabel: Tentukan matriks A! Tentukan matriks U! Tentukan solusi SPL diatas! Solusinya (x, y, z) = (3,, ). Anny z y x z y x z y x 3 A 3 6 z z y z y x U

24 Bagian 3 ELIMINASI MENGGUNAKAN MATRIKS Anny 4

25 Bentuk Matriks dari Sebuah Tahap Eliminasi x 4x x 4y 9y 3y z 3z 7z 8 Bentuk Ax b: x y z 8 Pada contoh SPL sebelumnya, langkah pertama eliminasi adalah mengurangkan kali pers. dari pers.. Hasil yang sama diperoleh dengan mengalikan matriks eliminasi E: Cara menentukan matriks eliminasi E: Mulai dengan matriks identitas I Ganti salah satu nilai nol-nya dengan faktor pengali l. E E ij yang mengurangkan l kali baris j dari baris i memiliki nilai l pada posisi i,j. Anny 5

26 Perkalian Matriks Berlaku hukum asosiatif A(BC) = (AB)C Tidak berlaku hukum komutatif AB BA Augmented Matrix Misal 4 A , b 8 maka A b Anny 6

27 Matriks Permutasi Pertukaran baris pada matriks dibutuhkan ketika terdapat nol pada posisi pivot. Contoh: 4 Pada matriks diatas baris harus ditukar dengan baris 3 Untuk pertukaran baris pada matriks, dapat digunakan matriks permutasi P ij. Contoh: Matriks P 3 diatas dapat dikalikan dengan matriks M yang menghasilkan matriks yang sama dengan M tetapi baris sudah ditukar dengan baris 3. 6 P Contoh: Anny 7

28 Eliminasi dan Matriks Keseluruhan proses eliminasi dapat direpresentasikan dalam serangkaian perkalian matriks. A menjadi E A E A menjadi E 3 E A E 3 E A menjadi E 3 E 3 E A E 3 E 3 E A adalah matriks triangular yang dicari Anny 8

29 x 4x y 8y 3y z 9z z 3 Contoh Soal Untuk SPL diatas, tuliskan isi matriks gabungan [A b]! Untuk menghasilkan sistem triangular, aplikasikan E dan P 3. Cari solusi SPL tsb dengan back substitution Anny 9

30 Contoh Soal x y z 4x 8y 9z 3 3y z Anny 3

31 Bagian 4 ATURAN OPERASI MATRIKS Anny 3

32 Beberapa Aturan Operasi Matriks Aturan Penambahan Matriks Ukuran keduanya harus sama Berlaku hukum komutatif, distributif, dan asosiatif Aturan Perkalian Matriks Jika A memiliki n kolom, B harus memiliki n baris. Tidak berlaku hukum komutatif Berlaku hukum distributif dan asosiatif Anny 3

33 Beberapa Aturan Operasi Matriks () Aturan Pemangkatan Matriks Mengikuti aturan pangkat pada bilangan Untuk pangkat -, dihasilkan matriks invers A -. Untuk pangkat, dihasilkan matriks identitas: A = I. Anny 33

34 Matriks Blok Matriks dapat dibagi dalam blok-blok. Kelebihan membagi matriks menjadi blok-blok adalah untuk memperjelas karakteristik sebuah matriks Matriks 4x6 diatas lebih jelas dilihat sebagai matriks blok dari matriks identitas I Perkalian blok memungkinkan jika ukurannya tidak menyalahi aturan perkalian matriks Anny 34

35 Contoh Perkalian Matriks Blok Misal matriks A dibagi menjadi blok-blok berdasarkan kolomnya. Matriks B dibagi menjadi blok-blok berdasarkan barisnya. Perkalian matriks blok A dan matriks blok B menghasilkan perkalian kolom dengan baris sebuah matriks: Bandingkan dengan perkalian baris dengan kolom yang umum digunakan untuk mengalikan matriks. Anny 35

36 Eliminasi Menggunakan Perkalian Matriks Blok Hitunglah perkalian matriks blok berikut: I A B CA I C D Hasilnya: A D B CA B D-CA - B disebut Schur complement Anny 36

37 Latihan Pertemuan Chapter. Problem 6, 9, 3 Chapter. Problem, Chapter.3 Problem 3, 4, 6 Chapter.4 Problem 9, 3 Anny 37