Aljabar Linear Elementer MUG1E3 3 SKS

Transkripsi

1 // ljabar Linear Elementer MUGE SKS // 9:7 Jadwal Kuliah Hari I Selasa, jam. Hari II Kamis, jam. Sistem Penilaian UTS % US % Quis % // 9:7 M- ljabar Linear

2 // Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya Bab II Determinan Matriks Bab III Sistem Persamaan Linear Bab IV Vektor di Bidang dan di Ruang Bab V Ruang Vektor Bab VI Ruang Hasil Kali Dalam Bab VII Transformasi Linear Bab VIII Ruang Eigen // 9:7 REFERENSI : diwijaya,, plikasi Matriks dam Ruang Vektor, Graha Ilmu nton H., Rorres, C., 995, Elementary Linear lgebra : pplications Version, 6th edition, John Willey and Sons, New York Leon, S. J.,, ljabar Linear dan plikasinya, terjemahan Penerbit Erlangga, Jakarta // 9:7

3 //. Matriks dan Operasinya Sub Pokok Bahasan Matriks dan Jenisnya Operasi Matriks Operasi Baris Elementer Matriks Invers (Balikan) Beberapa plikasi Matriks Representasi image (citra) Chanel/Frequency assignment Operation Research dan lain-lain. // 9:7 5. Matriks dan Jenisnya Notasi Matriks a a am a n Baris pertama a a m a an a mn Unsur / entri /elemen ke-mn (baris m kolom n) Kolom kedua Matriks berukuran (Ordo) mxn // 9:7 6

4 // Misalkan dan B adalah matriks berukuran sama dan B dikatakan sama (notasi = B) jika a ij = b ij untuk setiap i dan j Jenis-jenis Matriks Matriks bujur sangkar (persegi) Matriks yang jumlah baris dan jumlah kolomnya adalah sama (n x n) B Unsur diagonal // 9:7 M- ljabar Linear 7 Matriks segi tiga da dua jenis, yaitu matriks segitiga atas dan bawah. Matriks segi tiga atas Matriks yang semua unsur dibawah unsur diagonal pada kolom yang bersesuaian adalah nol. 5 9 E 7 8 Matriks segi tiga bawah Matriks yang semua unsur diatas unsur diagonal pada kolom yang bersesuaian adalah nol. F 5 // 9:7 8

5 // Matriks Diagonal Matriks bujur sangkar dimana setiap unsur yang bukan merupakan unsur diagonal adalah nol. D Matriks satuan (Identitas) Matriks diagonal dimana setiap unsur diagonalnya adalah satu. I // 9:7 9 Transpos Matriks Matriks transpos diperoleh dengan menukar baris matriks menjadi kolom, dan sebaliknya. Notasi t (hasil transpos matriks ) maka - Jika matriks = t maka matriks dinamakan matriks Simetri. - t - - // 9:7 5

6 //. Operasi Matriks Beberapa Operasi Matriks yang perlu diketahui :. Penjumlahan Matriks. Perkalian Matriks Perkalian skalar dengan matriks Perkalian matriks dengan matriks. Operasi Baris Elementer (OBE) // 9:7 Penjumlahan Matriks Syarat : Matriks yang dijumlahkan berordo sama Contoh a. a c b d + e g f h a e c g b f d h b // 9:7 6

7 // Perkalian Matriks Perkalian Skalar dengan Matriks p q k p k q k = r s k r k s Perkalian Matriks dengan Matriks Misalkan berordo pxq dan B berordo mxn Syarat : X B haruslah q = m hasil perkalian B berordo pxn Diketahui B X haruslah n = p hasil perkalian B berordo mxq a d b e c f x dan B // 9:7 p q r s t u x Maka hasil kali dan B adalah : a B d b e c f x p q r s t u x ap+bq+cr dp+eq+fr as+bt+cu ds+et+fu x Misalkan, B, C adalah matriks berukuran sama dan, merupakan unsur bilangan Riil, Maka operasi matriks memenuhi sifat berikut :. + B = B +. + ( B + C ) = ( + B ) + C. ( + B ) = + B. ( + ) ( ) = + // 9:7 7

8 // Diketahui matriks : Tentukan a. t - b. t - // 9:7 5 Jawab : t maka t - sedangkan t // 9:7 6 8

9 // Operasi Baris Elementer (OBE) Operasi baris elementer meliputi :. Pertukaran Baris. Perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol. Penjumlahan hasil perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol (seperti butir ) dengan baris yang lain. OBE b b ~ - - Baris pertama (b ) ditukar dengan baris ke- (b ) - // 9:7 7 OBE ke ¼ b ~ Perkalian Baris pertama (b ) dengan bilangan ¼ OBE ke b b ~ 7 5 Perkalian ( ) dengan b lalu tambahkan pada baris ke- (b ) // 9:7 8 9

10 // Beberapa definisi yang perlu diketahui : B Baris pertama dan ke- dinamakan baris tak nol, karena pada kedua baris tersebut memuat unsur tak nol. Bilangan pada baris pertama dan bilangan pada baris ke- dinamakan unsur pertama tak nol pada baris masing-masing. Bilangan (pada baris baris pertama kolom pertama) dinamakan satu utama. Baris ke- dinamakan baris nol, karena setiap unsur pada baris ke- adalah nol. // 9:7 9 Sifat matriks hasil OBE :. Pada baris tak nol maka unsur tak nol pertama adalah (dinamakan satu utama).. Pada baris yang berturutan, baris yang lebih rendah memuat utama yang lebih ke kanan.. Jika ada baris nol (baris yang semua unsurnya nol), maka ia diletakkan pada baris paling bawah.. Pada kolom yang memuat unsur utama, maka unsur yang lainnya adalah nol. Matriks dinamakan esilon baris jika dipenuhi sifat,, dan (Proses Eliminasi Gauss) Matriks dinamakan esilon baris tereduksi jika dipenuhi semua sifat (Proses Eliminasi Gauss-Jordan) // 9:7

11 // Tentukan matriks esilon baris tereduksi dari Jawab : b b 7 5 ~ ~ b b // 9:7 M- ljabar Linear - - b b ~ - - b ~ b b ~ b b // 9:7 M- ljabar Linear

12 // Perhatikan hasil OBE tadi : Setiap baris mempunyai satu utama. Tidak setiap kolom memiliki satu utama, karena jumlah baris lebih sedikit dari jumlah kolom (kolom tidak mempunyai satu utama) // 9:7 Invers Matriks Misalkan adalah matriks bujur sangkar. B dinamakan invers dari jika dipenuhi B = I atau B = I Sebaliknya, juga dinamakan invers dari B. Cara menentukan Invers suatu matriks adalah I OBE ~ I Jika OBE dari tidak menghasilkan matriks identitas Maka dikatakan Tidak Punya Invers // 9:7

13 // // 9:7 5 Tentukan matriks invers ( jika ada ) dari : Jawab : b b ~ -b +b b +b // 9:7 6 -b -b + b -b + b Jadi Invers Matriks adalah - - -

14 // // 9:7 7 Perhatikan bahwa : dan maka // 9:7 8 k Berikut ini adalah sifat-sifat matriks invers : i. ( - ) - = ii. Jika, B dapat dibalik atau memiliki invers maka (. B) - = B -. - iii. Misal k Riil maka (k) - = iv. kibat dari (ii) maka ( n ) - = ( - ) n

15 // 5 // 9:7 9 Latihan Diketahui, dan Tentukan (untuk no 5) matriks hasil operasi berikut ini :. B. C. (B)C. (B)C + C B 5 C // 9:7 Untuk Soal no. 5 7, Diketahui : dan 5. Tentukan : D + E (dimana E = EE) 6. Tentukan matriks bentuk eselon baris tereduksi dari, B, C, D, dan E 7. Tentukan matriks invers dari D dan E (jika ada) D E