Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Diferensiasi ii Darpublic
BAB Turunan Fungsi-Fungsi () (Fungsi Perkalian Fungsi, Fungsi Pangkat Dari Fungsi, Fungsi Rasional, Fungsi Implisit).1. Fungsi Yang Merupakan Perkalian Dua Fungsi Misalkan kita memiliki dua fungsi, v () dan w (), dan kita hendak mencari turunan terhadap dari fungsi vw. Misalkan nilai berubah sebesar, maka fungsi w berubah sebesar w, fungsi v berubah sebesar v, dan fungsi berubah sebesar. Perubahan ini terjadi sedemikian rupa sehingga setelah perubahan sebesar hubungan vw tetap berlaku, aitu ( ) ( v v)( w w) (.1) ( vw v w w v w v) Dari sini kita dapatkan ( ) ( wv v w w v w v vw ) w v v w v w Jika mendekati nol maka demikian pula v dan w, sehingga juga mendekati nol. Persamaan (.) akan memberikan (.) v w d d( vw) dw v w (.) Inilah formulasi turunan fungsi ang merupakan hasilkali dari dua fungsi. Contoh: Kita uji kebenaran formulasi ini dengan melihat suatu fungsi mononom 5 6 ang kita tahu turunanna adalah 4 0. Kita pandang sekarang fungsi sebagai perkalian dua fungsi vw dengan v dan w. Menurut (.) turunan dari menjadi -1
d( ) 4 4 4 6 6 1 18 0 Ternata sesuai dengan apa ang diharapkan. Bagaimanakah d ( uvw) jika u, v, w ketigana adalah fungsi. Kita aplikasikan (.) secara bertahap seperti berikut. d( uvw) d( uv)( w) dw d( uv) ( uv) w dw du ( uv) w u v dw du ( uv) ( uw) ( vw) (.4) Contoh: Kita uji formula ini dengan mengambil fungsi penguji sebelumna, aitu 5 6 ang kita tahu turunanna adalah 4 0. Kita pandang sekarang fungsi sebagai perkalian tiga fungsi uvw dengan u, (.9) turunan dari adalah v, dan w. Menurut d d( uvw) ( )(1) ( )(6) 4 4 4 4 ( )(4) 6 1 1 0 Ternata sesuai dengan ang kita harapkan... Fungsi Yang Merupakan Pangkat Dari Suatu Fungsi Yang dimaksud di sini adalah bagaimana turunan d jika v n dengan v adalah fungsi, dan n adalah bilangan bulat. Kita ambil contoh fungsi 6 1 v v v v dengan v merupakan fungsi. Jika kita aplikasikan formulasi (.4) akan kita dapatkan - Sudaratno Sudirham, Diferensiasi
d1 ( v v ) ( v v) ( v v) 5 4 v v v v v v v 5 v 5 6v 5 5 4 v v v v v Contoh ini memperlihatkan bahwa ang secara umum dapat kita tulis 6 6 5 6v n n 1 nv (.5) Contoh: Kita ambil contoh ang merupakan gabungan antara perkalian dan pangkat dua fungsi. ( 1) ( 1) Kita gabungkan relasi turunan untuk perkalian dua fungsi dan pangkat suatu fungsi. d ( ( 6 ( 6( 1) 1) ( 1) ( 1)( d( 1) 1)( ( 1) 6( 1) ( ) ( 1) 1) d( 1) 1) ( 1) ( 1) 1) -
.. Fungsi Rasional Fungsi rasional merupakan rasio dari dua fungsi v (.6) w Tinjauan atas fungsi demikian ini hana terbatas pada keadaan w 0. Kita coba memandang fungsi ini sebagai perkalian dari dua fungsi: Kalau kita aplikasikan (.) pada (.7) kita peroleh atau 1 vw (.7) 1 1 d d v d( vw ) dw v w w 1 v 1 vw w w w 1 dw w v w d v w dw w v w Contoh: 1). d () ( )( ) 6 4 4 ( 9 ) 9 6 4 ). 1-4 Sudaratno Sudirham, Diferensiasi 1 (.8) Inilah formulasi turunan fungsi rasional. Fungsi v dan w biasana merupakan polinom dengan v mempunai orde lebih rendah dari w. (Pangkat tertinggi peubah dari v lebih kecil dari pangkat tertinggi peubah dari w).
d 0 1 4 ). 1 ; dengan 1 (agar penebut tidak nol) 1 d ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 4 ( 1).4. Fungsi Implisit Sebagian fungsi implisit dapat diubah ke dalam bentuk eplisit namun sebagian ang lain tidak. Untuk fungsi ang dapat diubah dalam bentuk eksplisit, turunan fungsi dapat dicari dengan cara seperti ang sudah kita pelajari di atas. Untuk mencari turunan fungsi ang tak dapat diubah ke dalam bentuk eksplisit perlu cara khusus, ang disebut diferensiasi implisit. Dalam cara ini kita menganggap bahwa fungsi dapat didiferensiasi terhadap. Kita akan mengambil beberapa contoh. Contoh: 1). 8. Fungsi implisit ini merupakan sebuah persamaan. Jika kita melakukan operasi matematis di ruas kiri, maka operasi ang sama harus dilakukan pula di ruas kanan agar kesamaan tetap terjaga. Kita lakukan diferensiasi (cari turunan) di kedua ruas, dan kita akan peroleh d d 0 d ( ) Untuk titik-titik di mana ( ) 0 kita peroleh turunan d Untuk suatu titik tertentu, misalna [1,], maka -5
d 0,8. 1 4 Inilah kemiringan garis singgung di titik [1,] pada kurva fungsi bentuk implisit ang sedang kita hadapi. ). 4 4 4 4. Fungsi implisit ini juga merupakan sebuah persamaan. Kita lakukan diferensiasi pada kedua ruas, dan kita akan memperoleh 4 d d(4) d( ) 4 4 0 d d 4 4( ) 4 1 0 d (1 1 ) 4( ) Di semua titik di mana ( ) 0 kita dapat memperoleh turunan d ( ) ( ).5. Fungsi Berpangkat Tidak Bulat Pada waktu kita mencari turunan fungsi ang merupakan pangkat dari suatu fungsi lain, v n, kita saratkan bahwa n adalah bilangan bulat. Kita akan melihat sekarang bagaimana jika n merupakan sebuah rasio p n dengan p dan q adalah bilangan bulat dan q 0, serta v adalah q fungsi ang bisa diturunkan. Fungsi (.9) dapat kita tuliskan p / q v (.9) q p v (.10) ang merupakan bentuk implisit fungsi. Jika kita lakukan diferensiasi terhadap di kedua ruas (.10) kita peroleh q 1 d p 1 q pv -6 Sudaratno Sudirham, Diferensiasi
Jika 0, kita dapatkan p / q Akan tetapi dari (.9) kita lihat bahwa sehingga (.11) menjadi p 1 d d( v ) pv (.11) q 1 q d d( v p / q q 1 p ( p / ) ( v ) v q 1 q p / q ) pv p qv p q p q v v p 1 ( p / q) ( p / q) 1 ( p 1) p ( p / q) (.1) Formulasi (.1) ini mirip dengan (.5), hana perlu persaratan bahwa v 0 untuk p/q < 1..6. Kaidah Rantai Apabila kita mempunai persamaan f ( t) dan f ( t) (.1) maka relasi antara dan dapat dinatakan dalam t. Persamaan demikian disebut persamaan parametrik, dan t disebut parameter. Jika kita eliminasi t dari kedua persamaan di atas, kita dapatkan persamaan ang berbentuk F() (.14) Bagaimanakah d F () dari (.14) ber-relasi dengan d g ( t) dan f ( t)? dt dt Pertanaan ini terjawab oleh kaidah rantai berikut ini. -7
Jika F() dapat diturunkan terhadap dan f (t) dapat diturunkan terhadap t, maka F( f ( t) ) g( t) dapat diturunkan terhadap t menjadi d d dt dt (.15) Relasi ini sudah kita kenal..7. Diferensial dan d Pada pembahasan fungsi linier kita tuliskan kemiringan garis, m, sebagai ( 1) m ( 1) kita lihat kasus jika mendekati nol namun tidak sama dengan nol. Limit ini kita gunakan untuk menatakan turunan fungsi () terhadap pada formulasi d lim 0 f ( ) Sekarang kita akan melihat dan d ang didefinisikan sedemikian rupa sehingga rasio d/, jika 0, sama dengan turunan fungsi terhadap. Hal ini mudah dilakukan jika adalah peubah bebas dan merupakan fungsi dari : Kita ambil definisi sebagai berikut -8 Sudaratno Sudirham, Diferensiasi F() (.16) 1., kita sebut sebagai diferensial, merupakan bilangan nata berapapun nilaina, dan merupakan peubah bebas ang lain selain ;. d, kita sebut sebagai diferensial, adalah fungsi dari dan ang dinatakan dengan d F' ( ) (.17) Kita telah terbiasa menuliskan turunan fungsi terhadap sebagai
d f (). Perhatikanlah bahwa ini bukanlah rasio dari d terhadap melainkan turunan fungsi terhadap. Akan tetapi jika kita bersikukuh memandang relasi ini sebagai suatu rasio dari d terhadap maka kita juga akan memperoleh relasi (.17), namun sesungguhna (.17) didefinisikan dan bukan berasal dari relasi ini. Pengertian terhadap d lebih jelas jika dilihat secara geometris seperti terlihat pada Gb..1. Di titik P pada kurva, jika nilai berubah sebesar satuan, maka di sepanjang garis singgung di titik P nilai akan berubah sebesar d. Diferensial dianggap bernilai positif jika ia mengarah ke kanan dan negatif jika mengarah ke kiri. Diferensial d dianggap bernilai positif jika ia mengarah ke atas dan negatif jika mengarah ke bawah. d P d P θ θ P d θ Gb..1. Penjelasan geometris tentang diferensial. d tanθ ; d (tanθ) d 1. adalah laju perubahan terhadap perubahan.. d adalah besar perubahan nilai sepanjang garis singgung di titik P pada kurva, jika nilai berubah sebesar skala. d P θ -9
Dengan pengertian diferensial seperti di atas, kita kumpulkan formula turunan fungsi dan formula diferensial fungsi dalam Tabel-.1. Dalam tabel ini v adalah fungsi. Tabel-.1 Turunan Fungsi Diferensial dc 1. 0 ; c konstan 1. dc 0 ; c konstan. dcv c. dcv c d( v w) dw.. d ( v w) dw 4. w dw v w 4. d ( vw) vdw w v d w 5. w v w dw 5. d v w w vdw w n 6. n 1 n n 1 nv 6. nv 1 7. dc n n cn 7. n n 1 d( c ) cn Ada dua cara untuk mencari diferensial suatu fungsi. 1. Mencari turunanna lebih dulu (kolom kiri Tabel-.1), kemudian dikalikan dengan.. Menggunakan langsung formula diferensial (kolom kanan Tabel-.1) Kita ambil suatu contoh: cari d dari fungsi 5 6-10 Sudaratno Sudirham, Diferensiasi
Turunan adalah : 6 5 sehingga d ( 6 5) Kita dapat pula mencari langsung dengan menggunakan formula dalam tabel di atas: d d( ) d( ) d(5) d( 6) 6 5 ( 6 5) -11
-1 Sudaratno Sudirham, Diferensiasi Soal-Soal : Carilah turunan fungsi-fungsi berikut. 4 1) ( ) ( ; ) ( ; ) ( 1) ( 1 ; 1 1 ; 1 1 1; ; ;
-1