PAKET FASILITASI PEMBERDAYAAN KKG/MGMP MATEMATIKA Pembelajara Barisa, Deret Bilaga da Notasi Sigma di SMA Peulis: Dra. Puji Iryati, M.Sc. Ed. Peilai: Al. Krismato, M.Sc. Editor: Sri Purama Surya, S.Pd, M.Si. Ilustrator: Fadjar N. Hidayat, S.Si.,M.Ed. Diceta oleh Pusat Pegembaga da Pemberdayaa Pedidi da Teaga Kepedidia Matematia Tahu 008 DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENINGKATAN MUTU PENDIDIK DAN TENAGA KEPENDIDIKAN PUSAT PENGEMBANGAN DAN PEMBERDAYAAN PENDIDIK DAN TENAGA KEPENDIDIKAN MATEMATIKA YOGYAKARTA
Paet Fasilitasi Pemberdayaa KKG/MGMP Matematia PPPPTK Matematia
KATA PENGANTAR Pusat Pegembaga da Pemberdayaa Pedidi da Teaga Kepedidia (PPPPTK) Matematia dalam melasaaa tugas da fugsiya megacu pada tiga pilar ebijaa poo Depdias, yaitu: ) Pemerataa da perluasa ases pedidia; ) Peigata mutu, relevasi da daya saig; 3) Peguata tata elola, autabilitas, da citra publi meuju isa Idoesia cerdas da ompetitif. Dalam raga mewujuda pemerataa, perluasa ases da peigata mutu pedidia, salah satu strategi yag dilaua PPPPTK Matematia adalah meigata pera Kelompo Kerja Guru (KKG) da Musyawarah Guru Mata Pelajara (MGMP) serta pemberdayaa guru iti/ guru pemadu/guru pegembag yag ada pada setiap ecamata, abupate da ota. Sebagai upaya peigata mutu dimasud maa lembaga ii diharapa mampu memfasilitasi egiata-egiata yag terait dega implemetasi pegembaga pembelajara matematia di lapaga. Gua membatu memfasilitasi forum ii, PPPPTK Matematia meyiapa paet berisi umpula materi/baha yag dapat diguaa sebagai referesi, pegayaa, da padua di KKG/MGMP hususya pembelajara matematia, dega topi-topi/baha atas masua da idetifiasi permasalaha pembelajara matematia di lapaga. Berat rahmat Tuha Yag Maha Esa, atas bimbiga-nya peyusua Paet Fasilitasi Pemberdayaa KKG/MGMP Matematia dapat diselesaia dega bai. Utu itu tiada ata yag patut diucapa ecuali puji da syuur ehadirat-nya. Dega segala elebiha da euraga yag ada, paet fasilitasi ii diharapa bermafaat dalam meduug peigata mutu pedidi da teaga epedidia melalui forum KKG/MGMP Matematia yag dapat berimpliasi positif terhadap peigata mutu pedidia. Sebagaimaa pepatah megataa, tiada gadig yag ta reta, demiia pula dega paet fasilitasi ii walaupu telah melalui tahap idetifiasi, peyusua, peilaia, da editig masih ada yag perlu Dra. Puji Iryati, M.Sc.Ed. Pembelajara Barisa, Deret Bilaga Da Notasi Sigma Di SMA i
disempuraa. Oleh area itu sara, riti, da masua yag bersifat membagu demi peigata ebermaaa paet ii, diterima dega seag hati teririg ucapa terima asih. Ucapa terima asih da peghargaa setiggi-tiggiya ami sampaia pula epada semua piha yag membatu mewujuda paet fasilitasi ii, mudah-mudaha bermafaat utu pedidia di masa depa. Yogyaarta, Kepala, KASMAN SULYONO NIP.3035806 ii Paet Fasilitasi Pemberdayaa KKG/MGMP Matematia PPPPTK Matematia
DAFTAR ISI Kata Pegatar... i Daftar Isi... iii BAB I PENDAHULUAN... A. Latar Belaag... B. Tujua Peulisa... C. Ruag Ligup Peulisa... D. Cara Pemafaata Paet... BAB II BARISAN BILANGAN... 5 A. Tujua Pembelajara... 5 B. Permasalaha... 5 C. Kotes Barisa Aritmetia da Geometri... 5 D. Soal-soal yag Berhubuga dega Kosep Barisa Aritmetia da Barisa Geometri... 8 E. Barisa Selai Barisa Aritmetia da Geometri... 4 F. Kegiata dalam Materi Barisa sebagai Fugsi... 9 BAB III DERET BILANGAN... 3 A. Tujua Pembelajara... 3 B. Permasalaha... 3 C. Alteratif Peyelesaia Soal-soal yag Berhubuga dega Kosep Deret Aritmetia da Deret Geometri... 3 D. Soal-soal yag Berhubuga dega Deret Geometri Ta Higga... 8 BAB IV NOTASI SIGMA... 35 A. Tujua Pembelajara... 35 B. Permasalaha... 35 C. Meyataa Suatu Deret Dalam Betu Notasi Sigma... 35 D. Sifat-sifat Notasi Sigma da Pegguaaya dalam Meyelesaia Soal-soal yag Terait dega Notasi Sigma... 37 BAB V PENUTUP... 4 Dra. Puji Iryati, M.Sc.Ed. Pembelajara Barisa, Deret Bilaga Da Notasi Sigma Di SMA iii
A. Raguma... 4 B. Tes... 4 Daftar Pustaa... 45 Lampira : I. Kuci Jawaba Soal Latiha da Tes... 47 iv Paet Fasilitasi Pemberdayaa KKG/MGMP Matematia PPPPTK Matematia
PENDAHULUAN BAB I A. Latar Belaag Meurut lampira Stadar Isi (Permedias o. tahu 006) yag termuat dalam Stadar Kompetesi (SK) 4, siswa dapat megguaa osep barisa da deret dalam pemecaha masalah. Termasu e dalam materi barisa da deret adalah Barisa da Deret Aritmetia da Barisa da Deret Geometri. Materi ii dibahas di elas XII bai di program Ilmu Pegetahua Alam (IPA), program Ilmu Pegetahua Sosial (IPS), da program Ilmu Bahasa. Sebearya materi ii sudah diperoleh siswa di elas IX Seolah Meegah Pertama (SMP) sehigga bagi siswa Seolah Meegah Atas (SMA) materi ii bua hal baru. Haya area jara tiga tahu dari SMP e SMA yag meyebaba siswa serig lupa dega osep-osep barisa da deret bai aritmetia maupu geometri. Umumya, para guru matematia SMA tida mempuyai baya esulita dega pembelajara da materi barisa da deret aritmetia maupu geometri. Walaupu demiia, masih ada bagia dari materi ii yag serig ditayaa oleh para guru matematia SMA hususya dalam pedidia da pelatiha (dilat) guru matematia SMA yag diadaa di Pusat Pegembaga da Pemberdayaa Pedidi da Teaga Kepedidia (PPPPTK) Matematia, Yogyaarta. Bagia materi yag serig ditayaa adalah pegembaga dari osep-osep barisa da deret bai aritmetia maupu geometri yag diguaa utu meyelesaia masalah barisa da deret. Sedaga utu materi otasi sigma, masalah yag serig ditayaa adalah megubah betu pejumlaha e betu otasi sigma da peyelesaia soal-soal otasi sigma dega megguaa sifat-sifat otasi sigma. Supaya para guru matematia SMA medapata baha bacaa da baha disusi yag dapat mejadi alteratif batua utu meyelesaia masalah yag ditayaa di atas, perlu ditulis suatu paet yag meyajia alteratif peyelesaia masalah-masalah itu sealigus juga memuat soal-soal sejeis utu latiha. Dra. Puji Iryati, M.Sc.Ed. Pembelajara Barisa, Deret Bilaga Da Notasi Sigma Di SMA
B. Tujua Peulisa Paet ii ditulis dega tujua:. utu mejadi baha disusi dalam pertemua Musyawarah Guru Mata Pelajara (MGMP) Matematia megeai bagia materi Barisa, Deret Bilaga da Notasi Sigma yag serig mejadi pertayaa para guru matematia SMA,. utu membatu para guru matematia SMA medapata tambaha alteratif wawasa pembelajara Barisa, Deret Bilaga da Notasi Sigma yag dibahas dega sudut padag yag berbeda. C. Ruag Ligup Peulisa Paet ii tida membahas bagaimaa medapata osep-osep awal barisa da deret aritmetia maupu geometri, area osep-osep tersebut diaggap sudah diuasai da sebagai prasyarat utu meyelesaia masalah yag dibahas. Fous paet ii pada masalahmasalah yag dihadapi para guru matematia SMA dalam materi Barisa, Deret Bilaga da Notasi Sigma, hususya tetag:. otes barisa aritmetia da geometri,. soal-soal yag berhubuga dega osep barisa aritmetia da barisa geometri, 3. barisa selai barisa aritmetia da geometri, 4. soal-soal yag berhubuga dega osep deret aritmetia da deret geometri, 5. soal-soal yag berhubuga dega osep deret geometri ta higga, 6. meyataa suatu deret dalam otasi sigma, 7. sifat-sifat otasi sigma da pegguaaya dalam meyelesaia soal-soal yag terait dega otasi sigma. D. Cara Pemafaata Paet. Bacalah bai-bai tujua pembelajara da permasalaha yag disajia dalam Bab II, III, da IV. Paet Fasilitasi Pemberdayaa KKG/MGMP Matematia PPPPTK Matematia
. Cobalah utu meyelesaia terlebih dulu soal-soal yag serig mejadi permasalaha, setelah itu badigalah jawaba Ada dega alteratif peyelesaia yag ditawara. 3. Selesaia latiha/tugas yag terdapat dalam setiap bab. Ada dapat membadiga jawaba yag Ada peroleh dega jawaba latiha/tugas yag terdapat pada lampira. 4. Selesaia tes yag terdapat pada Bab V sebagai tolo uur pecapaia Ada dalam mempelajari paet ii. Badiga jawaba Ada dega jawaba tes yag terdapat pada lampira. Ada diyataa berhasil bila dapat mejawab dega bear miimal 75%. 5. Jia Ada medapat esulita dalam megiuti pembahasa yag disajia, Ada dapat medisusiaya dega tema sejawat, atau Ada dapat meghubugi peulis dega alamat email ator: p4tmatematia@yahoo.com; alamat email pribadi: emelotirto@yahoo.com; alamat surat: Puji Iryati, PPPPTK Matematia, Jl. Kaliurag Km.6 Sambisari, Codogcatur, Depo, Slema 5583, DIY; telepo: (074) 8877. Dra. Puji Iryati, M.Sc.Ed. Pembelajara Barisa, Deret Bilaga Da Notasi Sigma Di SMA 3
. 4 Paet Fasilitasi Pemberdayaa KKG/MGMP Matematia PPPPTK Matematia
BARISAN BILANGAN BAB II A. Tujua Pembelajara Setelah mempelajari paet ii, diharapa pembaca dapat:. meyebuta cotoh otes barisa aritmetia da geometri,. meyelesaia soal-soal yag megguaa osep barisa aritmetia da geometri, 3. meetua rumus suu e- barisa bilaga yag tida termasu barisa aritmetia atau geometri megguaa osep fugsi. B. Permasalaha Apa saja dalam ehidupa sehari-hari yag dapat mejadi otes barisa aritmetia da geometri? Bagaimaa meyelesaia soal-soal yag megguaa osep barisa aritmetia da geometri? Bagaimaa meetua rumus suu e- barisa bilaga yag tida termasu barisa aritmetia atau geometri megguaa osep fugsi? Tiga pertayaa itu merupaa pertayaa yag serig ditayaa dalam pedidia da pelatiha (dilat) guru matematia SMA yag diadaa di PPPPTK Matematia. Utu membatu mejawab pertayaa-pertayaa tersebut, pada bab ii aa disajia cotoh da alteratif jawabaya. C. Kotes Barisa Aritmetia da Geometri Barisa aritmetia da geometri, demiia juga deret masig-masig sudah dipelajari oleh siswa SMP di elas IX. Di elas XII SMA semester, siswa mempelajari embali materi ii. Terbetag jara 3 tahu yag dapat membuat siswa lupa tetag osep-osep barisa da deret. Walaupu demiia, guru tida harus megajar lagi mulai dari a sampai z materi barisa da deret aritmetia da geometri. Bagaimaa caraya supaya guru dapat megelola pembelajara barisa da deret Dra. Puji Iryati, M.Sc.Ed. Pembelajara Barisa, Deret Bilaga Da Notasi Sigma Di SMA 5
ii seefisie mugi? Salah satu alteratif jawabaya adalah sebelum masu e pelajara ii, guru meugasa siswa utu membaca embali da mejawab pertayaa yag sudah disiapa guru tetag osep-osep yag terdapat pada barisa aritmetia maupu geometri. Jadi, sewatu guru membicaraa barisa-barisa ii, siswa sudah yambug apa yag dibicaraa guru. Watu yag dialoasia utu materi ii dapat lebih difousa utu meyelesaia masalahmasalah yag beraita dega barisa aritmetia atau geometri. Strategi pelasaaa sudah jelas, tetapi supaya siswa tertari utu mempelajari materi ii maa harus diawali dega memotivasi siswa megapa merea harus mempelajari materi ii. Guru dapat megataa bahwa materi ii mejadi prasyarat bagi materi matematia yag lai, misalya dalam membicaraa pembutia dega idusi matematia, hitug euaga utu siswa jurusa Ilmu Pegetahua Sosial da dalam ehidupa sehari-hari. Pertayaaya: otes apa dalam ehidupa sehari-hari yag dapat diguaa utu barisa aritmetia atau geometri? Bagi Ada yag perah ai tasi yag megguaa argometer, perahah Ada memperhatia perubaha bilaga yag tercatum pada argometer? Apaah bilaga-bilaga itu bergati secara periodi da apaah pergatiaya meuruti atura tertetu? Jia Ada memperhatia mulai dari awal bilaga yag tercatum pada argometer da setiap perubaha yag terjadi, apa yag dapat Ada simpula dari barisa bilaga-bilaga tersebut? Perhatia bahwa perubaha bilaga-bilaga pada argometer tasi meuruti atura tertetu. Setiap dua bilaga yag beruruta mempuyai selisih yag tetap. Barisa bilaga yag seperti itu disebut barisa aritmetia. Iwa mecari rumah temaya di Jala Gambir o. 55. Setelah sampai di Jala Gambir ia memperhatia bahwa rumah-rumah yag terleta di sebelah aa jala adalah rumah-rumah dega omor urut geap, 4, 6, 8, da seterusya. Dega memperhatia eadaa itu, earah maaah Iwa mecari rumah temaya? Barisa omor-omor rumah di atas bai di sebelah iri maupu aa merupaa barisa bilaga aritmetia. 6 Paet Fasilitasi Pemberdayaa KKG/MGMP Matematia PPPPTK Matematia
Bagi Ada yag serig mejadi pelagga warug teleomuiasi, tetu juga melihat apa yag terjadi pada display ogos percaapa etia Ada telah tersambug. Aga yag tertera, merupaa tarif awal percaapa. Selajutya aga itu berubah meurut atura tertetu, yaitu tarif pulsa per periode watu. Ii juga cotoh dari ehadira barisa aritmetia. Amuba berembag bia dega cara membelah diri. Misala pertama ada satu amuba. Setelah watu tertetu, amuba emudia membelah diri sehigga mejadi dua. Selajutya pada watu tertetu lagi amubaamuba itu membelah diri lagi, sehigga semuaya mejadi empat da seterusya. Jia baya amuba itu diyataa dega bilaga, diperoleh,, 4, 8,... Karea perbadiga atara dua suu berturuta adalah tetap, yaitu, maa barisa bayaya amuba itu adalah barisa geometri. Diasumsia bahwa harga taah megiuti pola selalu bertambah % dari tahu sebelumya. Misala utu mempermudah perhituga berilai 5% da harga taah di suatu desa searag Rp 00.000,- per meter persegi. Ii berarti setahu lagi harga taah mejadi Rp 0.000,- per meter persegi. Tahu-tahu beriutya berturut-turut harga taah per meter persegi dalam rupiah mejadi 0.500, 3.55, da seterusya. Teryata ii juga adalah cotoh barisa geometri. Tugas Carilah miimal masig-masig satu otes barisa aritmetia da barisa geometri. Dra. Puji Iryati, M.Sc.Ed. Pembelajara Barisa, Deret Bilaga Da Notasi Sigma Di SMA 7
D. Soal-soal yag Berhubuga dega Kosep Barisa Aritmetia da Barisa Geometri Seedar megigata Ada, beriut ii adalah rumus-rumus yag dipaai dalam barisa aritmetia da geometri. Pada barisa aritmetia: b = u u - u = a + ( )b Sifat yag berlau,, atau u = t u + t p ut+ p dega u = suu e-, a = suu pertama da b = beda ut p+ ut+ p ut =, t > p, t da p bilaga asli. Cotoh peerapa sifat itu adalah u u + u3 u+ u0 =, u6 =. Pada barisa geometri: u r = u u = ar dega u = suu e-, a = suu pertama da r = rasio Sifat yag berlau: ut = ut p ut+ p, t> tetapi tida berarti selalu p, t da p bilaga asli u = t u t p ut+ p Cotoh peerapa sifat itu adalah u 3 = u u5. Cobalah Ada selesaia dulu soal-soal beriut ii. Kemudia badigalah peyelesaia yag Ada erjaa dega peyelesaia yag diberia setelah soal-soal ii.. Seorag ibu membagia perme epada 5 orag aaya meurut atura barisa aritmetia. Semai muda usia aa semai baya perme yag diperoleh. Baya perme yag diterima aa edua buah da aa eempat 9 buah. Berapaah baya perme yag diterima oleh aa terecil? 8 Paet Fasilitasi Pemberdayaa KKG/MGMP Matematia PPPPTK Matematia
. Tetagga Bei mempuyai tiga aa yag umurya membetu barisa aritmetia. Lima tahu yag lalu, umur aa tertua sama dega empat ali umur aa termuda. Umur Bei searag adalah jumlah umur etiga aa itu. Separuh umur Bei searag sama dega jumlah umur etiga aa lima tahu yag lalu. Berapa umur Bei da etiga aa itu? 3. Dietahui barisa bilaga asli urag dari 5. Tetua baya bilaga yag: a. habis dibagi. b. habis dibagi 5. c. habis dibagi tetapi tida habis dibagi 5. 4. Tetua 8 suu pertama dari suatu barisa aritmetia yag suu e- adalah 4 da suu e-6 adalah 7 5. Tiga bilaga membetu barisa aritmetia. Jia suu tegah diuragi 5 maa terbetu barisa geometri dega rasio. Tetua bilaga-bilaga tersebut. 6. Tiga bilaga membetu barisa geometri. Jumlah tiga bilaga itu adalah 47 da hasil aliya adalah 95. Tetua barisa geometri itu! Searag cobalah Ada badiga peyelesaia soal-soal di atas dega peyelesaia yag Ada erjaa.. Seorag ibu membagia perme epada 5 orag aaya meurut atura barisa aritmetia. Semai muda usia aa semai baya perme yag diperoleh. Baya perme yag diterima aa edua buah da aa eempat 9 buah. Berapa baya perme yag diterima oleh aa terecil? Peyelesaia: Misal perme yag diterima 5 aa tersebut mulai dari aa tertua adalah a, a + b, a + b, a + 3b, a + 4b a + b =...) a + 3b = 9...) Persamaa ) diuraga dega ) diperoleh b = 4, selajutya a = 7. Dra. Puji Iryati, M.Sc.Ed. Pembelajara Barisa, Deret Bilaga Da Notasi Sigma Di SMA 9
a + 4b = 7 + 4(4) = 3 Jadi, baya perme yag diterima aa terecil adalah 3 buah.. Tetagga Bei mempuyai tiga aa yag umurya membetu barisa aritmetia. Lima tahu yag lalu, umur aa tertua sama dega empat ali umur aa termuda. Umur Bei searag adalah jumlah umur etiga aa itu. Separuh umur Bei searag sama dega jumlah umur etiga aa lima tahu yag lalu. Berapa umur Bei da etiga aa itu? Peyelesaia: Misal umur Bei adalah x da umur tiga aa mulai dari aa tertua p+b, p, p b. (diambil pemisala suu-suu barisa aritmetia seperti ii supaya etia dijumlaha aa diperoleh persamaa dalam satu peubah). Keadaa searag berlau x = (p+b) + (p) + (p b) = 3p...) Juga berlau x = 3p 5...) Lima tahu yag lalu berlau p+b 5 = 4(p b 5) 3p 5b = 5...3) Dari peyelesaia ) da ) diperoleh p = 0. Substitusi ilai p e 3) diperoleh b = 3. Umur etiga aa itu mulai dari yag tertua dalam tahu adalah 3, 0, 7. Umur Bei searag adalah 30 tahu. 3. Dietahui barisa bilaga asli urag dari 5. Tetua baya bilaga yag a. habis dibagi. b. habis dibagi 5. c. habis dibagi tetapi tida habis dibagi 5. 0 Paet Fasilitasi Pemberdayaa KKG/MGMP Matematia PPPPTK Matematia
Peyelesaia: Barisa bilaga itu adalah,, 3, 4,..., 4. a. Barisa bilaga yag habis dibagi adalah, 4, 6, 8,..., 4. b. Barisa bilaga yag habis dibagi 5 adalah 5, 0, 5, 0,..., 0. c. Barisa bilaga yag habis dibagi tetapi tida habis dibagi 5 adalah aggota peyelesaia pertayaa bagia a diuragi aggota peyelesaia pertayaa b. Jadi, barisa bilaga yag habis dibagi, tetapi tida habis dibagi 5 adalah, 4, 6, 8,, 4, 6, 8,, 4, 6, 8, 3,...,8,, 4. 4. Tetua 8 suu pertama dari suatu barisa aritmetia yag suu e- adalah 4 da suu e-6 adalah 7. Peyelesaia: Salah satu alteratif peyelesaia adalah megguaa sifat barisa aritmetia: u 3 = u + u 4 ; u 4 = u + u 6 ; u 5 = u 4+ u 6. Dari iformasi yag ada, suu e-4 barisa ii diperoleh lebih dulu, 4+7 yaitu u 4 = = 57. Kemudia diperoleh u 3 = 4+57 = 49,5 da u 5 = 57+7 = 64,5. Dari sii diperoleh beda b = 7,5 da suu pertama a = 34,5. Jadi 8 suu pertama barisa itu adalah 34,5; 4; 49,5; 57; 64,5; 7; 79,5; 87. 5. Tiga bilaga membetu barisa aritmetia. Jia suu tegah diuragi 5 maa terbetu barisa geometri dega rasio. Tetua bilaga-bilaga tersebut. Peyelesaia: Misala barisa aritmetia adalah: p b, p, p + b da barisa geometri adalah: p b, p 5, p + b dega r = Dra. Puji Iryati, M.Sc.Ed. Pembelajara Barisa, Deret Bilaga Da Notasi Sigma Di SMA
p 5 p+ b Oleh area = =, dari sii diperoleh: p b p 5 p 5 = p b p b = 5...) p 0 = p + b p b = 0...) Persamaa ) diuraga dega ) meghasila b = 5. Selajutya diperoleh p = 5. Jadi barisa aritmetia itu adalah 0, 0, 40. 6. Tiga bilaga membetu barisa geometri. Jumlah tiga bilaga itu adalah 47 da hasil aliya adalah 95. Tetua barisa geometri tersebut! Peyelesaia: p Misala tiga bilaga itu adalah, p, pr. r (diambil pemisala seperti ii supaya etia etigaya dialia diperoleh persamaam dalam satu peubah) Hasil ali etiga bilaga itu adalah p 3 = 95 p = 8 8 dega demiia + 8+ 8r= 47 r 8 + 8r +8r = 47r 8r 9r + 8 = 0 4r 7r + 4 = 0 (4r ) (r 4) = 0 r = 4 atau r = 4 Utu r = 4, barisa bilaga adalah, 8, 7. Utu r = 4, barisa bilaga adalah 7, 8,. Latiha Tetua peyelesaia soal-soal beriut ii!. Seorag ayah memberia uag sau haria yag berbeda-beda epada lima aaya. Uag sau seorag adi Rp 000,00 urag dari uag sau yag diterima aa tepat di atasya. Jia setiap hari ayah Paet Fasilitasi Pemberdayaa KKG/MGMP Matematia PPPPTK Matematia
itu megeluara Rp 7.500,00 utu uag sau semua aaya, berapaah uag sau haria aa e-4?. Suatu barisa aritmetia, suu e- adalah 5 da suu e- adalah 79. Berapa baya suu barisa ii yag urag dari 00? 3. Empat buah bilaga positif membetu barisa aritmetia. Hasil ali bilaga pertama da eempat adalah 46, da hasil ali bilaga edua da etiga adalah 44. Tetua jumlah eempat bilaga tersebut! 4. Di atara bilaga-bilaga 8 da 73 disisipa 3 buah bilaga sehigga terjadi barisa aritmetia. Tetua a. beda barisa itu b. rumus suu e- (cobalah dulu pertayaa a da b utu soal yag lebih sederhaa, misala di atara da 8 disisipa bilaga, diatara da disisipa 3 bilaga, da seterusya sehigga diperoleh esimpula cara meetua beda barisa) 5. Dietahui barisa bilaga asli urag dari 50. Tetua baya bilaga yag: a. habis dibagi 4 b. habis dibagi 6 c. habis dibagi 4 tetapi tida habis dibagi 6 6. Tiga bilaga membetu barisa aritmetia. Jumlah etiga bilaga itu sama dega. Jia bilaga e-3 ditambah dega maa terbetu suatu barisa geometri. Tetua bilaga-bilaga tersebut! 7. Keayaa seorag pedagag setiap 4 tahu mejadi lipat dua dari jumlah sebelumya. Keayaa pedagag itu pada tahu 997 adalah Rp 00.000,00 Berapaah eayaaya pada tahu 0? (diaggap eadaa ii berlau sampai tahu itu da pedagag itu masih hidup) 8. Sebidag taah berharga Rp. 0.000.000,00. Setiap tahu harga taah itu ai 5% dari harga taah tahu sebelumya. Berapaah harga taah itu pada tahu e-8? 9. Tiga bilaga membetu barisa geometri yag hasil aliya 000. Jia jumlah tiga bilaga itu 35, tetua bilaga-bilaga tersebut. Dra. Puji Iryati, M.Sc.Ed. Pembelajara Barisa, Deret Bilaga Da Notasi Sigma Di SMA 3
0. Dari suatu barisa geometri dietahui jumlah suu pertama da e-6 adalah 44 da hasil ali suu e-3 da e-4 adalah 43. Tetua rasio da suu e-. E. Barisa Selai Barisa Aritmetia da Geometri Ada baya barisa bilaga yag dapat dipelajari, tetapi di SMA siswa miimal harus dapat meyelesaia masalah yag berhubuga dega barisa aritmetia da geometri. Jia dibutuha materi pegayaa tetag barisa bilaga selai barisa aritmetia da geometri, maa materi beriut ii dapat mejadi alteratif tambaha. Utu meetua suu-suu suatu barisa ita melihat eteratura pola dari suu-suu sebelumya. Barisa seperti, 4, 7,,... memilii eteratura area beda suu e- dega pertama adalah, beda dari suu e-3 dega e- adalah 3, beda suu e-4 dega e-3 adalah 4. Perhatia juga barisa,, 5,, 7, 58,... Beda suu e- dega pertama, beda suu e-3 dega e- adalah 3, beda suu e-4 da e-3 adalah 7, beda suu e-5 da e-4 adalah 5. Jia masig-masig beda ii dibuat mejadi barisa baru da dicari lagi selisih masigmasig suu, maa aa terlihat eteratura barisa ii. Bagaimaa meetua rumus suu e- barisa-barisa seperti ii? Salah satu cara utu meetua rumus umum suu e- barisa adalah megguaa osep fugsi.. Barisa Bertigat dega Ladasa Barisa Aritmetia Utu meetua rumus umum suu e- barisa seperti ii caraya adalah dega memperhatia selisih atara dua suu yag beruruta. Bila pada satu tigat peguraga belum diperoleh selisih tetap, maa peguraga dilaua pada tigat beriutya sampai diperoleh selisih tetap. Suatu barisa disebut berderajat satu (liear) bila selisih tetap diperoleh dalam satu tigat peguraga, disebut berderajat dua bila selisih tetap diperoleh dalam dua tigat peguraga da seterusya. Betu umum dari barisa-barisa itu merupaa fugsi dalam sebagai beriut: Selisih tetap tigat f() = a + b atau u = a + b 4 Paet Fasilitasi Pemberdayaa KKG/MGMP Matematia PPPPTK Matematia
Selisih tetap tigat Selisih tetap 3 tigat f() = a + b + c atau u = a + b + c f() = a 3 + b + c + d atau u = a 3 + b + c + d Perlu diperhatia bahwa a da b pada fugsi ii tida sama dega a = suu pertama da b = beda pada suu-suu barisa aritmetia yag dibicaraa sebelumya. Utu memahami pegertia barisa berderajat satu, berderajat dua, da seterusya perhatia cotoh beriut: Barisa, 5, 8,, disebut barisa berderajat satu area selisih tetap diperoleh pada satu tigat peguraga. 5 8, 3 3 3 selisih tetap = 3 Barisa 5, 8, 3, 0, 9, disebut barisa berderajat dua area selisih tetap diperoleh pada dua tigat peguraga. 5 8 3 0 9 3 5 7 9 selisih tetap = Barisa, 5, 8, 45, 90, disebut barisa berderajat tiga area selisih tetap diperoleh pada tiga tigat peguraga. 5 8 45 90 3 3 7 45 0 4 8 4 4 selisih tetap = 4 Utu meetua rumus suu e- masig-masig barisa itu dilaua dega cara sebagai beriut: Dra. Puji Iryati, M.Sc.Ed. Pembelajara Barisa, Deret Bilaga Da Notasi Sigma Di SMA 5
a. Barisa Liear ( Berderajat Satu) Betu umum u = a + b, jadi u = a + b, u = a + b, u 3 = 3a + b, u 4 = 4a + b, da seterusya. (i) a + b a + b 3a + b 4a + b, (ii) a a a Rumus umum suu e- barisa, 5, 8,, dapat ditetua dega cara: (i) 5 8, (ii) (ii) a = 3 (i) a + b = b. Barisa Berderajat Dua 3 + b = b =, sehigga diperoleh u = 3 Betu umum u = a + b + c. Dega demiia u = a + b + c, u = 4a + b + c, u 3 = 9a + 3b + c, u 4 = 6a + 4b + c, da seterusya. Idetifiasi selisih tetapya adalah sebagai beriut: (i) 3 3 3 a + b + c, 4a + b + c, 9a + 3b + c, 6a + 4b + c, (ii) 3a + b 5a + b 7a + b (iii) a a Rumus umum suu e- barisa 5, 8, 3, 0, 9, dapat ditetua dega cara: (i) (ii) 5 8 3 0 9 3 5 7 9 (iii) 6 Paet Fasilitasi Pemberdayaa KKG/MGMP Matematia PPPPTK Matematia
(iii) a = a = (ii) 3a+ b = 3 c. Barisa Berderajat Tiga b = 0 (i) a + b + c = 5 c = 4, sehigga u = + 4 Betu umum barisa berderajat tiga u = a 3 + b + c + d. Dega demiia u = a + b + c + d, u = 8a + 4b + c + d, u 3 = 7a + 9b + 3c + d, u 4 = 64a + 6b + 4c + d, da seterusya. Idetifiasi selisih tetapya adalah: (i) a+ b + c+ d, 8a + 4b + c + d, 7a + 9b + 3c+ d, 64a + 6b + 4c + d (ii) 7a +3b + c 9a + 5b + c 37a +7b + c (iii) a + b 8a + b (iv) 6a Rumus umum suu e- barisa, 5, 8, 45, 90, dapat ditetua dega cara: (i) (ii) (iii) (iv) 5 8 45 90 3 3 7 45 0 4 8 4 4 Dega meyelesaia persamaa (iv), (iii), (ii) da (i) diperoleh a =, b =, c = 4 da d = 5 sehigga rumus suu e- 3 3 u = 3 + 4 + 5 = ( 3 + 3 4 + 5 ) 3 3 3 Dra. Puji Iryati, M.Sc.Ed. Pembelajara Barisa, Deret Bilaga Da Notasi Sigma Di SMA 7
. Barisa Bertigat dega Ladasa Barisa Geometri Ada barisa yag setelah dicari beda atara dua suu beruruta tida juga diperoleh selisih yag tetap sampai beberapa ali tigat peguraga, tetapi beda pada tigat tertetu itu membetu suatu barisa geometri. Cotoh :,, 5,, 7, 58,,... 3 7 5 3 63 4 8 6 3 4 8 6 4 8 Barisa di atas dapat dilihat eteraturaya setelah terjadi peguraga pada tigat dua. Tampa bahwa pada barisa itu terdapat usur ditambah bilaga tertetu. Barisa seperti itu dirumusa sebagai u = +. Utu = = + = Jadi, rumus suu e- barisa itu adalah u =. Cotoh : 5, 0, 7, 8, 47, 8, 49,... 5 7 9 35 67... Seperti pada cotoh di atas, barisa seperti ii dirumusa sebagai u = +. Utu = 5 = + = 3. Jadi, rumus suu e- barisa itu adalah u = + 3. Tugas 4 8 6 3... 4 8 6... Selidii apa yag mejadi ciri-ciri barisa yag mempuyai rumus umum u = a + b + c, dega a, b, c adalah ostata da a 0. 8 Paet Fasilitasi Pemberdayaa KKG/MGMP Matematia PPPPTK Matematia
Latiha. Tetua rumus suu e- utu tiap-tiap barisa beriut ii: a. 5, 9, 3, 7, d., 7, 6, 9, b. 6,, 6,, e., 0, 30, 68, c., 6, 3,,. Tetua rumus suu e- a. barisa bilaga persegi pajag, 6,, 0, b. barisa, 5, 4, 30,... 3. Tetua rumus suu e- dari: a. 5, 3, 33, 69,... b. 3,, 3,,... c. 4, 7,,,... F. Kegiata dalam Materi Barisa sebagai Fugsi Kegiata yag bersifat esplorasi dapat mejadi suatu piliha utu mempelajari barisa megguaa osep fugsi. Beriut ii beberapa cotoh egiata esplorasi yag disajia dalam betu lembar erja. Lembar Kerja Materi Tujua Pembelajara Watu Petuju : Barisa sebagai Fugsi : Meyataa rumus suu e- suatu barisa megguaa fugsi : 0 meit : Bacalah da pahami terlebih dahulu soal di bawah ii, emudia erjaa apa yag dimita. Lagah-lagah:. Perhatia semua persegi pajag di bawah ii, emudia legapi tabel di bawahya. Dra. Puji Iryati, M.Sc.Ed. Pembelajara Barisa, Deret Bilaga Da Notasi Sigma Di SMA 9
Baya persegi pajag ecil 3 4 5 Baya seluruh persegi pajag. Perhatia pola bilaga yag Ada dapat. Jia ada persegi pajag ecil berapa jumlah seluruh persegi pajag? Jia ada 0 persegi pajag ecil berapa jumlah seluruh persegi pajag? Lembar Kerja Materi Tujua Pembelajara Watu Petuju : Barisa sebagai Fugsi : Meyataa rumus suu e- suatu barisa megguaa fugsi : 0 meit : Bacalah da pahami terlebih dahulu soal di bawah ii, emudia erjaa apa yag dimita. Lagah-lagah:. Perhatia semua persegi di bawah ii, emudia legapi tabel beriut. 0 Paet Fasilitasi Pemberdayaa KKG/MGMP Matematia PPPPTK Matematia
Pajag sisi persegi satua satua 3 satua 4 satua 5 satua Baya seluruh persegi. Perhatia barisa bilaga yag Ada peroleh. Jia ada persegi bersisi satua berapa jumlah seluruh persegi yag ada? Lembar Kerja 3 Materi Tujua Pembelajara Watu Petuju : Barisa sebagai Fugsi : Meyataa rumus suu e- suatu barisa megguaa fugsi : 0 meit : Bacalah da pahami terlebih dahulu soal di bawah ii, emudia erjaa apa yag dimita. Lagah-lagah:. Perhatia semua gambar di bawah ii, emudia legapi tabel beriut. Batag-batag ore api disusu sehigga membetu eraga, seperti yag ditujua pada Gambar, Gambar da Gambar 3. Dra. Puji Iryati, M.Sc.Ed. Pembelajara Barisa, Deret Bilaga Da Notasi Sigma Di SMA
Gambar Gambar Gambar 3 Legapi tabel beriut ii. Keraga 3 4 5 Baya ore api. Diperlua berapa batag ore api utu membetu eraga e-? Berapa batag ore api utu membetu eraga e-0? Tugas 3 Carilah betu-betu egiata yag bersifat esplorasi utu egiata pembelajara barisa sebagai fugsi. Paet Fasilitasi Pemberdayaa KKG/MGMP Matematia PPPPTK Matematia
DERET BILANGAN BAB III A. Tujua Pembelajara Setelah mempelajari bab ii, diharapa pembaca dapat:. meyelesaia soal-soal yag berhubuga dega deret aritmetia,. meyelesaia soal-soal yag berhubuga dega deret geometri, 3. meyelesaia soal-soal yag berhubuga dega deret geometri ta higga. B. Permasalaha Deret bilaga adalah jumlah suu-suu suatu barisa. Pertayaa yag serig diajua para guru matematia SMA adalah bagaimaa tei peyelesaia deret yag bua deret aritmetia atau geometri, tetapi sepitas tampa mirip dega deret aritmetia atau geometri. Beberapa deret seperti ii alteratif tei peyelesaiaya ada yag megguaa osep deret aritmetia atau geometri. Beriut ii aa dibahas alteratif tei peyelesaia deret seperti itu. Masalah deret yag serig diajua oleh para guru seperti yag disebuta di atas dapat diemas mejadi pertayaa sebagai beriut.. Bagaimaa tei peyelesaia deret yag tampa fisiya mirip dega deret aritmetia?. Bagaimaa tei peyelesaia deret yag tampa fisiya mirip dega deret geometri? 3. Bagaimaa tei peyelesaia deret yag tampa fisiya mirip dega deret geometri ta higga? C. Alteratif Peyelesaia Soal-soal yag Berhubuga dega Kosep Deret Aritmetia da Deret Geometri Utu megigata Ada, beriut ii adalah rumus-rumus yag dipaai dalam deret aritmetia da deret geometri. Beberapa soal yag dibahas beriut, bila diberia epada siswa, lebih tepat sebagai soal-soal pegayaa. Dra. Puji Iryati, M.Sc.Ed. Pembelajara Barisa, Deret Bilaga Da Notasi Sigma Di SMA 3
Dalam deret aritmetia berlau: S = (a + u) = [(a + ( )b], da U = S S - dega S = jumlah suu pertama, S -= jumlah - suu pertama, a = suu pertama, u = suu e-, b = beda Dalam deret geometri berlau: S = a( r ) ( r) atau S = a( r ), ( r ) U = S S - dega r ; r adalah rasio, S = jumlah suu pertama, a = suu pertama Perhatia beberapa soal di bawah ii. Apaah ii mejadi masalah bagi Ada? Cobalah utu meyelesaia terlebih dahulu, emudia Ada dapat membadiga dega alteratif peyelesaia yag disajia.. Deret + 3 + 5 + + 4 + 6 + 3 + 5 + 7 + 4 + 6 + 8 +... Tetua jumlah 00 suu pertama! + + 3+ 4+... +. Tetua jia = 36. 3 3. Rumus jumlah suu pertama bilaga uadrat adalah ( + )(+ ). Guaa iformasi itu utu meetua jumlah 6 deret. +.3 + 3.4 + 4.5 +...+ 00.0 4. Dietahui A= + + + +... +. + + + 3 + + 3+ 4 + + 3+ 4+... + 004 Hituglah ilai A. 5. Ada diterima beerja di suatu perusahaa yag meawara gaji dega macam piliha. Yag pertama, gaji dibayar setiap hari dega atura hari erja dalam sebula dihitug 6 hari. Hari erja pertama dibayar Rp 00,00. Pembayara hari erja e- dua ali gaji hari pertama. Pembayara hari erja e-3 dua ali gaji hari e-, da 4 Paet Fasilitasi Pemberdayaa KKG/MGMP Matematia PPPPTK Matematia
seterusya. Yag edua, tiap-tiap ahir bula Ada medapat gaji Rp. 5.000.000,00. Sistem pembayara maa yag Ada pilih? Jelasa alasa Ada atas piliha itu! 6. Dietahui P = 3 + 33 + 333 + 3333 +... + 333...333. Tetua ilai P. 004 aga Searag Ada dapat membadiga jawaba Ada dega alteratif peyelesaia soal-soal di atas.. Deret + 3 + 5 + + 4 + 6 + 3 + 5 + 7 + 4 + 6 + 8 +... Tetua jumlah 00 suu pertama. Peyelesaia: Utu 00 suu pertama deret dapat dielompoa mejadi 3, yaitu: + 3 + 5 + 4 + 6 3 + 5 + 7 4 + 6 + 8 33 + 35 + 37 34 atau dapat ditulis sebagai + + 3 + 4 +...+ 34 + 3 + 4 + 5 + 6 +...+ 35 + 5 + 6 + 7 + 8 +...+ 37. Jumlahya adalah S = (34)( + 34) + (33)(3 + 35) + (33)(5 + 37) = 595 + 30 = 95.... + + 3+ 4+... +. Tetua jia = 36. 3 Peyelesaia: Deret di atas dapat diyataa sebagai ( + ) = 08 + = 6 5 = 0 ( 5) = 0 = 0 atau = 5 Dra. Puji Iryati, M.Sc.Ed. Pembelajara Barisa, Deret Bilaga Da Notasi Sigma Di SMA 5
Karea = 0 tida memeuhi, maa peyelesaia haya berlau utu = 5. 3. Rumus jumlah suu pertama bilaga uadrat adalah ( + )(+ ). Guaa iformasi itu utu meetua jumlah 6 deret. +.3 + 3.4 + 4.5 +...+ 00.0 Peyelesaia: Perhatia bahwa: jumlah suu e- da e- adalah 8() jumlah suu e-3 da e-4 adalah 8(4) jumlah suu e-5 da e-6 adalah 8(9), da seterusya. Misala jumlah deret itu adalah S, maa S = 8( + + 3 +4 +...+ 50 ) = 8 (50)(5)(0) 6 = 343400 4. Dietahui A = + + + +... + + + + 3 + + 3+ 4 + + 3+ 4+... + 004 Hituglah ilai A. Peyelesaia: Perlu diigat bahwa: a. Rumus jumlah suu pertama deret aritmetia adalah S = (a + u). b. Idetitas =. ( + ) + A dimaipulasi megguaa rumus jumlah deret aritmetia (a) da idetitas (b) mejadi beriut ii. A = + + + +... + + + + 3 + + 3+ 4 + + 3+ 4+... + 004 = + + + +... + ()(+ ) ()(+ ) (3)(+ 3) (4)(+ 4) (004)(+ 004) = + + + +... +..3 3.4 4.5 004.005 6 Paet Fasilitasi Pemberdayaa KKG/MGMP Matematia PPPPTK Matematia
= ( + + + +... + )..3 3.4 4.5 004.005 = {( ) + ( ) + ( ) + ( ) +... + ( )}. 3 3 4 4 5 004 005 = ( ) 005 4008 = 005 5. Ada diterima beerja di suatu perusahaa yag meawara gaji dega macam piliha. Yag pertama, gaji dibayar dega atura hari erja dalam sebula diaggap 6 hari, walaupu masu dalam semiggu 5 hari dari Sei sampai Jumat. Hari erja pertama dibayar Rp 00,00. Pembayara hari erja e- dua ali gaji hari pertama. Pembayara hari erja e-3 dua ali gaji hari e-, da seterusya. Yag edua, tiap-tiap ahir bula Ada medapat gaji Rp. 5.000.000,00. Sistem pembayara maa yag Ada pilih? Jelasa alasa Ada atas piliha itu! Peyelesaia: Sistem pertama adalah deret geometri dega suu pertama a = 00, rasio r =, da = 6. Rumus yag diguaa adalah a( r ) S = ( r ) Misala A adalah gaji sebula dalam rupiah, 6 A = 00( ) = 00 (65.536 ) = 6.553.500 Jia dilihat dari segi uatitas dipilih pembayara gaji sistem pertama area jumlahya lebih besar daripada sistem edua. 6. Dietahui P = 3 + 33 + 333 + 3333 +... + 333...333. Tetua ilai P. 004 aga Peyelesaia: Secara sepitas deret ii mirip dega betu deret geometri, sehigga dicari pedeata megguaa jumlah deret tersebut. P = 3 + 33 + 333 + 3333 +... + 333...333 004 aga Dra. Puji Iryati, M.Sc.Ed. Pembelajara Barisa, Deret Bilaga Da Notasi Sigma Di SMA 7
= 3(+ + + +...+...) = 3{+ (+ 0)+ (+ 0+ 00)+ (+ 0+ 00+ 000)+...+(+ 0+00+...)} 3 4 004 0 (0 ) (0 ) (0 ) (0 ) = 3{ + + + +... + } 9 9 9 9 9 3 4 004 0+ 0 + 0 + 0 +... + 0 004 = { } 3 004 0(0 ) 9(004) 0 005 8046 = { } = 3.9 7 Latiha Selesaia soal-soal beriut ii.. Jia + + 3 + 4 +... + = aaa, tetua ilai da aaa. ( adalah bilaga da a adalah aga dari sampai dega 9). Jia 004 diyataa sebagai pejumlaha beberapa bilaga asli beruruta, tetua bayaya cara pejumlaha bilaga asli tersebut. 3. Tetua ilai + + + +... +...3 3.4 4.5 004.005 4. Hituglah + ( + ) + ( + 3 3 4 4 + 3 ) 4 + ( 5 + 5 + 3 5 + 4 ) 5 +... + ( 00 +... + 99 ) 00 3 4 00 5. Dietahui a = + + + +... + da 3 5 7 003 3 4 00 b = + + + +... +. Tetua bilaga bulat terdeat 3 5 7 9 005 dari a b. D. Soal-soal yag Berhubuga dega Deret Geometri Ta Higga Pembahasa deret geometri ta higga di elas disaraa utu dimulai dega peragaa beda yata. Salah satu alteratifya seperti cotoh beriut ii. 8 Paet Fasilitasi Pemberdayaa KKG/MGMP Matematia PPPPTK Matematia
Sebagai pembua guru bertaya berapaah jumlah deret + + + +... Tetu siswa belum dapat mejawab pertayaa ii. 4 8 6 Selajutya guru megiformasia lagah-lagah egiata yag aa megaraha para siswa utu dapat mejawab pertayaa tadi. Alat yag diguaa adalah ertas yag berbetu persegi atau bisa juga persegi pajag yag emudia dibagi mejadi dua bagia. Salah satu bagia ertas itu dibagi lagi mejadi dua bagia. Selajutya bagia terecil dari ertas itu dibagi lagi mejadi dua bagia da seterusya seperti digambara di bawah ii: Kertas semula Pembagia pertama Pembagia edua Pembagia etiga Pembagia eempat Secara teoritis proses pembagia ii dapat diulagi terus meerus sampai ta berhigga ali. Pada pembagia yag pertama diperoleh bagia, yag e- diperoleh bagia, yag e-3 diperoleh bagia 4 8 da seterusya sampai ta berhigga ali. Karea siswa sudah megetahui bahwa luas ertas mula-mula adalah bagia, tampa jelas bahwa jumlah dari seluruh hasil pembagia sampai ta berhigga ali adalah: + 4 + 8 + 6 +... = Proses tadi mejelasa pegertia jumlah deret geometri ta higga yag bisa diperagaa secara sederhaa. Utu pejelasa secara teoritis perhatia jumlah suu pertama deret geometri a( r ) S =. Jia suu-suu deret itu bertambah terus maa deret aa ( r) mejadi deret geometri ta higga. Dega demiia limit jumlah deret geometri mejadi Dra. Puji Iryati, M.Sc.Ed. Pembelajara Barisa, Deret Bilaga Da Notasi Sigma Di SMA 9
lims = a( r ) ( r) a = lim ( r) a a = ( r) ( r) lim lim a r ( r) lim r Terlihat jelas bahwa ilai S sagat dipegaruhi oleh ilailimr. Jia. < r <, lim r aa mejadi ol sehigga deret ta higga itu a mempuyai jumlah S = ( r) Deret geometri ta higga yag mempuyai jumlah disebut overge atau mempuyai limit jumlah.. r < atau r >, limr = ± sehigga deret ta higga itu tida mempuyai limit jumlah. Deret yag seperti ii disebut diverge. Apaah soal-soal beriut mejadi masalah bagi Ada? Silaa Ada coba utu megerjaa dahulu sebelum melihat alteratif jawaba yag disediaa.. Jumlah suatu deret geometri ta higga adalah (4 + ) sedaga rasioya adalah. Tetua suu pertama deret tersebut!. Jumlah suu-suu omor gajil dari suatu deret geometri ta higga adalah 8. Deret itu sediri mempuyai jumlah 4. Tetua rasio da suu pertama deret geometri itu! 3. Jumlah deret geometri ta higga 8 x x + x 3... sama dega 5 5. Carilah ilai x. 3 4. Suu pertama suatu deret geometri ta higga adalah a, sedaga rasioya adalah r = log( x 3). Carilah batas-batas ilai x sehigga deret geometri itu overge! Searag Ada dapat membadiga peyelesaia Ada dega alteratif peyelesaia beriut ii. 30 Paet Fasilitasi Pemberdayaa KKG/MGMP Matematia PPPPTK Matematia
. Jumlah suatu deret geometri ta higga adalah (4 + ) sedaga rasioya adalah. Tetua suu pertama deret tersebut! Peyelesaia: a S = a = S ( r) ( r) = (4 + ) ( ) = 4 + = Jadi, suu pertama deret tersebut adalah.. Jumlah suu-suu omor gajil dari suatu deret geometri ta higga adalah 8. Deret itu sediri mempuyai jumlah 4. Tetua rasio da suu pertama deret geometri itu! Peyelesaia: Misal S = jumlah deret legap da S = jumlah suu-suu omor gajil. S = a+ a+ a3+ a4+... 4 S = = a ( r) = 4 a = 4 ( r) ) S = a + a3 + a5+ a7 +... = 8 S a = = 8 ( r ) a = 8 ( r ) ) Persamaa ) = ), sehigga diperoleh 4( r) = 8( r ) 4 r = 8 r 4 ( r)(+ r) = 3 r 4 =+ r r = ; a = 6 3 3 Jadi, rasio deret tersebut 3 da suu pertamaya 6. 3. Jumlah deret geometri ta higga 8 x x + x 3... sama dega 5 5. Carilah ilai x. 3 Dra. Puji Iryati, M.Sc.Ed. Pembelajara Barisa, Deret Bilaga Da Notasi Sigma Di SMA 3
Peyelesaia: a = x, S = S =, r = 4 x 3 5 a x = = ( r) 4 3 (+ x) 5 4 x= + x 3 5 4 x x= 5 3 7 0 x = x = 30 3 7 4. Suu pertama suatu deret geometri ta higga adalah a, sedaga rasioya adalah r = log( x 3). Carilah batas-batas ilai x sehigga deret geometri itu overge! Peyelesaia: Syarat supaya suatu deret geometri overge adalah < r <, sehigga < log( x 3) < ; syarat x 3 > 0 x > 3 log( x 3) < da log( x 3) > - x 3 < da x 3 > x < 5 da x > 3 Dega memperhatia syarat, maa batas-batas x adalah 3 < x < 5. Latiha Selesaialah soal-soal beriut ii.. Hituglah jumlah ta higga deret + + + + +... 3 4 5 7 7 7 7 7. Sebuah bola teis dijatuha e latai dari suatu tempat yag tiggiya m. Setiap ali setelah bola itu mematul aa mecapai dari tiggi yag dicapai sebelumya. Hituglah pajag litasa 3 bola sampai bola itu berheti! 3 Paet Fasilitasi Pemberdayaa KKG/MGMP Matematia PPPPTK Matematia
3 4 3. Dietahui siα + si α+ si α+ si α+... adalah deret 4 8 geometri overge yag jumlahya. Hituglah ilai si α. 3 (guaa rumus-rumus trigoometri) 4. a. jumlah elilig semua segitiga! b. jumlah luas semua segitiga! Suatu segitiga sama sisi mempuyai sisi-sisi yag pajagya 0 cm. Titi tegah sisi-sisi segitiga itu dihubuga sehigga membetu segitiga sama sisi lai yag lebih ecil. Jia prosedur ii dilaua berulag sampai ta higga ali, tetua: 5. Jari-jari ligara yag palig besar pada gambar di sampig ii adalah R. Hituglah luas: a. semua ligara yag terjadi! b. semua persegi yag terjadi! Dra. Puji Iryati, M.Sc.Ed. Pembelajara Barisa, Deret Bilaga Da Notasi Sigma Di SMA 33
34 Paet Fasilitasi Pemberdayaa KKG/MGMP Matematia PPPPTK Matematia
NOTASI SIGMA BAB IV A. Tujua Pembelajara Setelah mempelajari bab ii, diharapa pembaca dapat:. meyataa suatu deret dalam betu otasi sigma,. megguaa sifat-sifat otasi sigma dalam meyelesaia soal-soal yag terait dega otasi sigma. B. Permasalaha. Kedala siswa dalam meyataa suatu deret dalam betu otasi sigma adalah meetua betu umum suu e- pada deret itu.. Meyelesaia soal-soal otasi sigma yag megguaa sifat-sifat otasi sigma. C. Meyataa Suatu Deret Dalam Betu Notasi Sigma Notasi sigma (Σ) pertama ali dipereala oleh Leohard Euler pada 6 tahu 755. Maa dari (3+ ) adalah 4 + 7 + 0 + 3 + 6 + 9, = yag didapat dari mesubtitusia ilai = sampai = 6. Jadi, jelas bahwa otasi ii dapat diguaa utu meyataa suatu deret bilaga. Utu megespasia betu otasi sigma bua suatu masalah bagi siswa, area haya dega mesubtitusia ilai peubah, selesai sudah peerjaa itu. Tetapi alau soalya diubah dari betu pejumlaha mejadi betu otasi sigma, ii yag mejadi masalah bagi siswa. Megapa siswa megalami esulita dalam meyataa suatu deret e dalam betu otasi sigma? Umumya ii terait dega esulita dalam meetua betu umum suu e-. Utu megatasi hal ii guru harus memulai dega pemaasa, yaitu memita siswa utu meyataa pejumlaha bilaga yag betu umum suu-suuya Dra. Puji Iryati, M.Sc.Ed. Pembelajara Barisa, Deret Bilaga Da Notasi Sigma Di SMA 35
sederhaa. Misalya guru mulai dega memita siswa utu megerjaa soal beriut. Tetua 3 + 5 + 7 + 9 + + 3 dalam betu otasi sigma. Guru memita siswa utu megamati pola suu-suu pada deret tersebut. Diharapa siswa dapat melihat pola suu e-, suu e-, suu e-3, suu e-4, da seterusya seperti beriut ii. suu e- = 3 = () + suu e- = 5 = () + suu e-3 = 7 = (3) +, da seterusya sehigga suu e-6 = 3 = (6) + Dega melihat pola suu-suu tersebut dapat disimpula bahwa suu-suu dalam pejumlaha itu mempuyai pola +. Dega demiia 3 + 5 + 7 + 9 + + 3 = ( + ) Selajutya guru meatag siswa utu meyataa dalam otasi sigma betu yag sediit berbeda dega yag pertama. Tetua + 3 + 4 5 + 6 7 + 8 9 +0 dalam betu otasi sigma. Guru memberia watu dua sampai lima meit epada siswa utu meyelesaia soal tersebut. Mugi baya siswa yag belum dapat meyelesaia soal ii. Kalau terjadi demiia maa guru memberia sediit batua dega memita siswa utu memperhatia apa yag terjadi alau dipagata bilaga gajil da apa yag terjadi alau dipagata bilaga geap?. Dega memberia batua itu saja diharapa siswa dapat meerusa lagah-lagah beriutya, yaitu sampai pada esimpula bahwa: + 3 + 4 5 + 6 7 + 8 9 +0 = ( ) Salah satu alteratif yag dapat diguaa sebagai awal berpiir utu meyataa pejumlaha dalam betu otasi sigma adalah tei meetua rumus barisa megguaa osep fugsi pada Bab II. Selajutya siswa diberia soal-soal yag diuruta mulai dari yag palig mudah. Salah satu alteratif model soalya seperti cotoh beriut ii. 0 = 6 = 36 Paet Fasilitasi Pemberdayaa KKG/MGMP Matematia PPPPTK Matematia
Tulislah pejumlaha beriut dalam betu otasi sigma. + 4 + 6 + 8 + 0 +. + 4 + 8 + 6 + 3 3. 4 + 8 6 + 3 64 4. 3 + 5 7 + 9 + 3 5 + 7 5. + 4 + 9 + 6 + 5 + 36 + 49 6. + 3 + 9 + 7 + 8 7. ( ) + ( 3) + (3 4) + (4 5) + (5 6) 8. ( ) + ( 3 4) + (5 6) + (7 8) + (9 0) 9. a + a b + a 3 b + a 4 b 3 + a 5 b 4 + a 6 b 5 0. ab 6 + a b 5 + a 3 b 4 + a 4 b 3 + a 5 b + a 6 b Latiha Tulisa pejumlaha beriut ii dalam otasi sigma. Setelah Ada mecobaya, tetua batua apa yag diperlua siswa dalam meyelesaia soal-soal ii.. 6 + + 4 + 48 + 96. 4 + 0 + 8 + 8 + 44 3. 3 7 + 4 8 + 5 9 + 6 0 +... + 3 7 4. 4 + 3 + 8 + 49 +...+ 30 5. 3 + 3 0 4 + 3 5 + 6 6 + 9 3( ) +... + 7 + 3 3 4 5 6 + + + + 3 4 3 4 8 4 5 6 005 + 003 004 6.... 003 D. Sifat-sifat Notasi Sigma da Pegguaaya dalam Meyelesaia Soal-soal yag Terait dega Notasi Sigma Dalam meyelesaia soal-soal berbetu otasi sigma, serig diguaa sifat-sifat sebagai beriut. Utu setiap bilaga bulat a, b da berlau:. = = Dra. Puji Iryati, M.Sc.Ed. Pembelajara Barisa, Deret Bilaga Da Notasi Sigma Di SMA 37
38 Paet Fasilitasi Pemberdayaa KKG/MGMP Matematia PPPPTK Matematia Butialah sifat-sifat otasi sigma di atas!. = b a cf ) ( = c = b a f ) ( 3. = + b a g f )) ( ) ( ( = = = + b a b a g f ) ( ) ( 4. = = = = + m m f f f ) ( ) ( ) ( 5. + + = = = p p m m p f f ) ( ) ( Selajutya yag perlu dietahui adalah beberapa jumlah deret husus.. = + = ) (, jumlah suu pertama deret bilaga asli.. = + + = 6 ) )( (, jumlah suu pertama deret bilaga uadrat. 3. = + = 3 ) (, jumlah suu pertama deret bilaga ubi. Masalah yag serig dijumpai adalah etia membutia atau meghitug ilai suatu betu otasi sigma, yaitu etia harus megguaa sifat-sifat otasi sigma, misalya betu soal otasi sigma seperti soal-soal beriut ii.. Butia bahwa = = ) ) ( ( Buti: Ruas iri: )) ( ( ) ) ( ( + = = = = = = = =, megguaa sifat o. & = + ) ( = + = = ruas aa, terbuti Tugas
. Tetua ilai ( = + ) Peyelesaia: Beriut ii diberia dua alteratif peyelesaia, yaitu: a. = ( ) = ( + ) = + = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) +... + 3 3 4 4 5 + = + + = = + + b. ( = + ) = + +..3 = + + + 6 3.4 + +... + 4.5 ( + ) +... + ( + ) 0 Misala S adalah jumlah suu pertama, S adalah jumlah suu pertama, S 3 adalah jumlah 3 suu pertama, da seterusya. Dega demiia, S =, 4 S = + = =, 6 6 3 9 3 S = + + =, S 6 4 48 = + + + = 6 0 60 3 = 4 = S = + Jadi, ( = + ) = + 4 5,, Dra. Puji Iryati, M.Sc.Ed. Pembelajara Barisa, Deret Bilaga Da Notasi Sigma Di SMA 39
Latiha. Guaa sifat-sifat otasi sigma utu meyelesaia soal beriut ii. 0 0 0 Jia dietahui i = 385 da i = 0, tetua ilai ( i + ).. Butia ( = 0 i= 3 ( ) 3. Hituglah ( ) = 0 3 ) = 4. Hituglah ( + )( + ) = 5. Hituglah ( + ) = 003 + 6. Hituglah ilai ( ) = + 3 i= i= 4 40 Paet Fasilitasi Pemberdayaa KKG/MGMP Matematia PPPPTK Matematia
PENUTUP BAB V A. Raguma Masalah sehari-hari atau soal-soal yag beraita dega barisa aritmetia atau geometri harus dipahami dulu masudya, emudia diselesaia dega megguaa rumus da sifat-sifat yag berlau pada barisa yag sesuai. Utu meetua rumus suu e- suatu barisa yag tida berbetu barisa aritmetia ataupu geometri, tetapi mempuyai eteratura beda atara dua suu beruruta dapat diguaa osep fugsi. Jia beda yag tetap diperoleh dalam satu tigat peguraga maa barisa itu berderajat satu atau barisa liear dega rumus suu e- adalah u = a + b. Apabila beda yag tetap diperoleh dalam dua tigat peguraga maa barisa itu berderajat dua atau barisa uadrat dega rumus suu e- adalah u = a + b + c, da seterusya. Tetapi, apabila beda yag diperoleh dari peguraga suusuu pada tigat edua da seterusya membetu barisa geometri maa alteratif rumus suu e- barisa tersebut adalah u = a + b Dari pembahasa bagaimaa meyelesaia soal-soal deret yag tampa fisiya mirip atau medeati betu deret aritmetia da geometri, disaraa utu:. megamati deret itu dega teliti terlebih dahulu,. mecoba utu memaipulasi deret tersebut apaah dapat diubah e dalam betu deret aritmetia ataupu geometri, 3. megguaa rumus jumlah suu deret aritmetia atau geometri. Dari pembahasa bagaimaa megubah betu pejumlaha e dalam betu otasi sigma, disaraa utu:. meetua apaah deret itu berbetu deret aritmetia atau geometri, atau apaah deret itu berbetu deret bilaga berpagat, atau deret fugsi uadrat, atau pagat tiga, Dra. Puji Iryati, M.Sc.Ed. Pembelajara Barisa, Deret Bilaga Da Notasi Sigma Di SMA 4
. meetua batasa betu otasi sigma dega teliti, supaya diperoleh batas bawah da batas atas yag tepat. B. Tes Tetua peyelesaia dari soal-soal beriut ii. Ada diyataa berhasil bila dapat mejawab semua soal miimal 75% bear.. Suatu deret aritmetia dega suu e- dilambaga dega u. Dietahui u + u 3 + u 5 + u 7 + u 9 + u = 7. Tetua ilai u + u 6 + u. (guaa sifat-sifat pada barisa aritmetia). Berapaah bayaya bilaga atara sampai dega 000 yag tida habis dibagi 5 da 6? 3. Tiga bilaga merupaa barisa aritmetia turu. Jia yag terbesar ditambah 4, terjadi barisa geometri dega hasil ali etiga suuya 5. Dibetu deret geometri ta higga dega tiga suu pertama yag diperoleh di atas. Tetua limit jumlah deret tersebut. 4. Dietahui barisa segitiga, 3, 6, 0,...dega suu e- adalah u = ( + ) da barisa aritmetia 00, 5, 50, 75,... Tetua mulai dari suu eberapa dari barisa pertama yag lebih besar dari suu yag bersesuaia dega barisa edua. 5. Hituglah ilai dari S = ( )( )( )( )...( ) 3 4 5 003 6. Dietahui A = 6 + 66 + 666 + 6666 +...+ 666...666. Hituglah ilai A. 7. Hituglah ilai S bila 000 aga S = + 3 4 + 5 6 +...+00 00 + 003. 8 4 8. Hituglah jumlah ta higga deret 6+ + + +... 3 7 7 7 9. Hituglah ilai 3 3 3 3 P= 3+ + + +... + + + + 3 + + 3+ 4 + + 3+ 4+... + 00 4 Paet Fasilitasi Pemberdayaa KKG/MGMP Matematia PPPPTK Matematia
0. Tetua rumus jumlah suu pertama deret. + 3.4 + 5.6 + 7.8 +... + ( ). (salah satu alteratif megguaa sifat-sifat otasi sigma) 3 7 5 03. Hituglah hasil pejumlaha deret + + + +... +. 4 8 6 04. Hituglah luas semua daerah yag diarsir jia pola arsira dilaua sampai ta higga ali. Pajag sisi persegi yag palig besar adalah satua. 0 6 3 7 = = = 3. Butia = + + 0 4. Nyataa betu pejumlaha + + 3 + 4 dalam betu otasi sigma dega batas bawah. Dra. Puji Iryati, M.Sc.Ed. Pembelajara Barisa, Deret Bilaga Da Notasi Sigma Di SMA 43
44 Paet Fasilitasi Pemberdayaa KKG/MGMP Matematia PPPPTK Matematia
DAFTAR PUSTAKA Bambag Susiato. 004. Olimpiade Matematia dega Proses Berpiir Aljabar da Bilaga. Jaarta: PT Gramedia Widiasaraa Idoesia Posametier, Alfred. 999. Teachig Secodary School Mathematics. New Jersey: Pretice-Hall, Icl Puji Iryati. 005. Notasi Sigma, Barisa da Deret Bilaga I. Yogyaarta: PPPG Matematia Sait Mary s College. 97. Mathematics Cotest Problems. Moraga: Sait Mary s College Setiawa, d. 005. Matematia Kelas XII SMA da MA Program Studi Ilmu Alam. Yogyaarta: PT Aji Citra Parama http://hotmath.com/help/gt/geericalg/sectio_9_.html, Sigma Notatio, diases taggal 5 April 008 http://mathforum.org/dr.math/, Geometric Series, diases taggal 4 April 008 Dra. Puji Iryati, M.Sc.Ed. Pembelajara Barisa, Deret Bilaga Da Notasi Sigma Di SMA 45
46 Paet Fasilitasi Pemberdayaa KKG/MGMP Matematia PPPPTK Matematia
LAMPIRAN I. KUNCI JAWABAN SOAL LATIHAN DAN TES Bab II Barisa Bilaga Tugas halama 7 Kotes yag diberia sebagai cotoh barisa aritmetia da geometri sagat tergatug epada liguga terjadiya pembelajara, yaitu apa yag sudah dieal oleh siswa. Sebagai salah satu alteratif cotoh barisa aritmetia adalah tiggi tumpua gelas aqua plasti. Salah satu emugiayag terjadi, jia gelas haya, tiggiya a cm, etia tiggi tumpua gelas sejeis diuur, tiggiya mejadi a + b cm. Selajutya tiggi tumpua 3 gelas sejeis diuur mejadi a + b cm, da seterusya, b adalah tiggi gelas edua, etiga da seterusya yag terlihat setelah ditumpu. Salah satu alteratif cotoh barisa geometri adalah tabuga di ba yag meerapa buga majemu. Misala ba memberia buga 0% setahu. Pada awal tahu A meabug Rp 0.000,00 maa pada ahir tahu diperoleh uag 0.000 + 0, (0.000) = 0.000 ( + 0,). Pada ahir tahu beriutya diperoleh uag = 0.000 ( + 0,) + 0,{ 0.000 ( + 0,)} = 0.000 ( + 0,) ( +0,) = 0.000 ( + 0,), da seterusya. Latiha halama. Rp.500. a = 9, b = 6 9, 5, 3, 37,..., 99 Baya suu barisa yag urag dari 00 adalah 3. 3. Barisa bilaga itu adalah, 9, 6, 3 atau 3, 6, 9,. Jumlah eempat bilaga 50. 73 8 4. a. beda = = 5 3+ b. u = 5 + 3 Dra. Puji Iryati, M.Sc.Ed. Pembelajara Barisa, Deret Bilaga Da Notasi Sigma Di SMA 47