Notasi Sigma, Barisan, dan Deret

Transkripsi

1 I TU URI HANDAY AN TW DIKLAT GURU PENGEMBANG MATEMATIKA SMK JENJANG DASAR TAHUN 009 Notasi Sigma, Barisa, da Deret Matriks GY A Y O M AT E M A T AK A R Puji Iryati, M.Sc.Ed. DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENINGKATAN MUTU PENDIDIK DAN TENAGA KEPENDIDIKAN PUSAT PENGEMBANGAN DAN PEMBERDAYAAN PENDIDIK DAN TENAGA KEPENDIDIKAN MATEMATIKA 009 TM Quality System TK KA TI PP PP Oleh: Dra. Quality Edorsed Compay ISO 900: 000 Lic o:qec 39 SAI Global

2 KATA PENGANTAR Puji syukur kami pajatka ke hadirat Tuha Yag Maha Esa, karea atas karuia-nya, baha ajar ii dapat diselesaika dega baik. Baha ajar ii diguaka pada Diklat Guru Pegembag Matematika SMK Jejag Dasar Tahu 009, pola 0 jam yag diseleggaraka oleh PPPPTK Matematika Yogyakarta. Baha ajar ii diharapka dapat mejadi salah satu rujuka dalam usaha peigkata mutu pegelolaa pembelajara matematika di sekolah serta dapat dipelajari secara madiri oleh peserta diklat di dalam maupu di luar kegiata diklat. Diharapka dega mempelajari baha ajar ii, peserta diklat dapat meambah wawasa da pegetahua sehigga dapat megadaka refleksi sejauh maa pemahama terhadap mata diklat yag sedag/telah diikuti. Kami megucapka terima kasih kepada berbagai pihak yag telah berpartisipasi dalam proses peyusua baha ajar ii. Kepada para pemerhati da pelaku pedidika, kami berharap baha ajar ii dapat dimafaatka dega baik gua peigkata mutu pembelajara matematika di egeri ii. Demi perbaika baha ajar ii, kami megharapka adaya sara utuk peyempuraa baha ajar ii di masa yag aka datag. Sara dapat disampaika kepada kami di PPPPTK Matematika dega alamat: Jl. Kaliurag KM., Sambisari, Codogcatur, Depok, Slema, DIY, Kotak Pos 3 YK-BS Yogyakarta 558. Telepo (074) 8877, 88575, Fax. (074) p4tkmatematika@yahoo.com Slema, Mei 009 Kepala, Kasma Sulyoo NIP

3 Daftar Isi Halama Kata Pegatar.i Daftar Isi ii Peta Kompetesi, Peta Baha Ajar da Iformasi..iii Bab I. Pedahulua... A. Latar Belakag.... B. Tujua.. C. Ruag Ligkup..... Bab II. Notasi Sigma, Barisa da Deret Bilaga I..... A. Notasi Sigma.... B. Barisa da Deret...7. Barisa da Deret Aritmetika...8 a. Barisa Aritmetika b. Rumus suku ke- Barisa Aritmetika c. Deret Aritmetika... Barisa da Deret Geometri a. Barisa Geometri b. Rumus suku Ke- Barisa Geometri..5 c. Deret Geometri d. Deret Geometri Tak Higga.... C. Barisa Sebagai Fugsi...5. Barisa Liear (Berderajat Satu) Barisa Berderajat Dua.. 3. Barisa Berderajat Tiga.. 7 D. Lembar Kerja... 9 E. Evaluasi..33 F. Ragkuma.34 Bab III. Peutup Daftar Pustaka Notasi Sigma, Barisa da Deret Bilaga I / Iryati, P ii

4 Peta Kompetesi :. Meyebutka pegertia otasi sigma, pola barisa da deret bilaga.. Megidetifikasi barisa aritmetika da geometri. 3. Meuruka rumus deret aritmetika da geometri. 4. Meyelesaika masalah-masalah yag berkaita dega barisa da deret aritmetika da geometri. 5. Meyataka jumlah dalam betuk otasi sigma sebagai suatu fugsi. Peta Baha Ajar:. Notasi Sigma. Pola Barisa da Deret Bilaga ( khususya barisa aritmetika da barisa geometri) 3. Barisa Sebagai Fugsi Iformasi:. Kompetesi prasyarat: mampu mejelaska kosep-kosep dasar materi/ pokok bahasa Matematika yag aka dipelajari siswa.. Idikator keberhasila: meguasai peta kompetesi di atas. 3. Kompetesi yag dipelajari berikutya: mejelaska cara memprediksi betuk umum pola, barisa, da deret. mejelaska cara megidetifikasi berbagai jeis barisa ( aritmetika, geometri, harmoik, barisa bilaga polygoal) sesuai sifatya. mejelaska da memberi cotoh cara meuruka rumus jumlah deret. Notasi sigma, Barisa da Deret Bilaga I/ Iryati iv

5 Skeario Pembelajara. Pedahulua: Salam da perkeala. Megiformasika tujua diklat da kompetesi yag aka dicapai. Megidetifikasi masalah tetag Notasi sigma, Barisa da Deret yag dihadapi peserta diklat a. Kegiata Iti I ( Peyajia Notasi Sigma) Peyampaia materi Peserta diklat megerjaka tugas (sifat otasi sigma 3, 4 da 5) Pembahasa da pemecaha masalah yag diidetifikasi sebelumya. b. Kegiata Iti II ( Barisa da Deret Aritmetika) Peyampaia materi Peserta diklat megerjaka tugas kelompok di Lembar Kerja Pembahasa da pemecaha masalah yag diidetifikasi sebelumya. c. Kegiata Iti III ( Barisa da deret Geometri) Peyampaia materi Peserta diklat megerjaka kegiata yag tertulis di Lembar Kerja Presetasi Pembahasa da pemecaha masalah yag diidetifikasi sebelumya. d. Kegiata Iti IV Peyampaia materi Peserta diklat megerjaka tugas kelompok di Lembar Kerja 3 Presetasi Pembahasa da pemecaha masalah yag diidetifikasi sebelumya. 3. Peutup Meragkum/meyimpulka hasil yag diperoleh da refleksi Notasi sigma, Barisa da Deret Bilaga I/ Iryati v

6 Bab I Pedahulua A. Latar Belakag Notasi Sigma mejadi dasar utuk peulisa deret. Terutama di SMK pada materi Hitug Keuaga bayak diguaka otasi sigma, sehigga petig utuk meguasai materi ii serta sifat-sifatya. Demikia pula, petig utuk meguasai materi barisa da deret yag bayak peerapaya dalam kejadia di sekitar kita. Cotohya pada pertumbuha mausia da pertambaha baha makaa, Thomas Robert Malthus (7-834), seorag ahli ekoomi Iggris, megataka bahwa pertumbuha mausia berdasarka kepada deret geometri (deret ukur) sebalikya pertambaha baha makaa berdasarka kepada deret aritmetika ( deret hitug). Rumus-rumus yag diguaka dalam Hitug Keuaga sebagia besar dasarya dari Deret Aritmetika da Deret Geometri. Namu serigkali rumus-rumus itu lagsug diiformasika, tapa ada pejelasa darimaa asalya. Melalui pembahasa Deret Aritmetika da Deret Geometri yag lebih terici, rumus-rumus dalam Hitug Keuaga dapat dimegerti oleh siswa secara mudah. B. Tujua Baha ajar ii disusu dega tujua utuk meigkatka wawasa da kemampua peserta diklat utuk megembagka pegetahua da ketrampila siswa dalam megguaka kosep Notasi sigma, Barisa da Deret Bilaga. C. Ruag Ligkup Ruag ligkup materi yag dibahas dalam baha ajar ii adalah;. Notasi Sigma da Sifat-sifatya.. Barisa da Deret: a. Barisa da Deret Aritmetika b. Barisa da Deret Geometri 3. Barisa sebagai fugsi. Notasi Sigma, Barisa da Deret Bilaga I/ Iryati

7 Bab II Notasi Sigma, Barisa da Deret Bilaga I A. Notasi Sigma Notasi sigma memag jarag Ada jumpai dalam kehidupa sehari-hari, tetapi otasi ii aka bayak dijumpai pegguaaya dalam bagia matematika yag lai. Jika Ada mempelajari Statistika maka Ada aka mejumpai bayak rumus-rumus yag diguaka memakai lambag otasi sigma, misalya rumus mea, simpaga baku, ragam, korelasi, da lai-lai. Di Kalkulus, pada waktu membicaraka luas daerah yag dibatasi oleh kurva da sumbu-sumbu koordiat, Ada aka meemui Jumlaha Riema yag megguaka otasi sigma utuk meyigkat pejumlaha yag relatif bayak. Ketika mempelajari Kombiatorik, Ada aka meemui betuk otasi sigma dalam koefisie biomial. Demikia pula pada Hitug Keuaga, sebagia rumus megguaka otasi sigma. Utuk megawali bahasa megeai otasi sigma, perhatika jumlah 5 bilaga gajil pertama berikut ii: Pada betuk tersebut disebut suku ke-, 3 disebut suku ke-, 5 disebut suku ke-3, 7 disebut suku ke-4, da 9 disebut suku ke-5. Teryata suku-suku tersebut megikuti suatu pola sebagai berikut: Suku ke- = = () Suku ke- = 3 = () Suku ke-3 = 5 = (3) Suku ke-4 = 7 = (4) Suku ke-5 = 9 = (5) Dega demikia dapat disimpulka bahwa pola dari suku-suku pejumlaha itu adalah k dega k {,,3,4,5}. Utuk meyigkat peulisa pejumlaha seperti di atas diguaka huruf kapital Yuai Σ, dibaca otasi sigma yag diperkealka pertama kali tahu 755 oleh Leohard Euler. Selajutya betuk pejumlaha di atas dapat ditulis dalam otasi sigma sebagai: Notasi Sigma, Barisa da Deret Bilaga I / Iryati

8 = (k ) 5 k = Ruas kaa dibaca sigma k = sampai dega 5 dari k-. Batas bawah betuk otasi sigma ii adalah k = da batas atas k = 5. Secara umum betuk otasi sigma didefiisika sebagai berikut: a k k = = a + a + a a Cotoh : Nyataka (3k + ) Jawab: k = k = dalam betuk legkap (3k + ) = Cotoh : Hituglah ilai (k Jawab: 4 k = 4 k = ) (k ) = = 5 Cotoh 3: Nyataka dalam betuk otasi sigma Jawab: suku ke- = 3 = ()+ suku ke- = 5 = ()+ suku ke-3 = 7 = (3)+, da seterusya sehigga suku ke- = 3 = () + Dega melihat pola suku-suku tersebut dapat disimpulka bahwa suku-suku dalam pejumlaha itu mempuyai pola k+. Dega demikia = (k + ) Notasi Sigma, Barisa da Deret Bilaga I / Iryati 3 k =

9 Latiha. Tulislah betuk-betuk pejumlaha berikut dalam betuk otasi sigma a b c d e f g. ( x ) + ( 3 x 4) + (5 x ) + (7 x 8) + ( 9 x 0) h. a + a b + a 3 b + a 4 b 3 + a 5 b 4 + a b 5 i. b + ab + a b 3 + a 3 b 4 + a 4 b 5 + a 5 b. Nyataka otasi-otasi sigma berikut dalam betuk legkap 5 5 a. ( k ) c. ( ) k = k = 4 k( k + ) b. k = 4 k k 3 d. ( ) = 3. Diketahui: a =, a = 3, a 3 = 5, a 4 = 7, a 5 =, a = 3. b = -, b =, b 3 =, b 4 = 4, b 5 = 5, b =. Hituglah: 4 e. ( = f. ( k ) k k = + + ) a. a k = k f. ( b k ) k = b. b k g. k = ( a k + bk k = ) 5 c. a k bk k = h. a ( k bk ) 5 d. a k + b k i. a k = + k b k e. ( a k ) j. k = ak b k Notasi Sigma, Barisa da Deret Bilaga I / Iryati 4

10 Sifat-sifat Notasi Sigma Utuk setiap bilaga bulat a, b da berlaku:. = b. cf ( k) = c k = a b k = a b k = a f ( k) 3. ( f ( k) + g( k)) = f ( k) + g( k) m 4. f ( k) + f ( k) = k = b k = m k = + p 5. f ( k) = f ( k p) m Bukti: m+ p b k = a k = a f ( k). = = () = suku b. cf ( k) = c f(a) + c f(a+) +c f(a+) + + c f(b) k = a Tugas: = c [f(a) + f(a+) + f(a+) + + f(b)] = c Buktika sifat-sifat otasi sigma o. 3, 4 da 5 b a f ( k) Batas bawah otasi sigma dapat dirubah dega megguaka sifat-sifat otasi sigma. Perhatika cotoh 4 da cotoh 5 berikut ii: Cotoh 4: Nyataka betuk-betuk otasi sigma berikut dega batas bawah 3 a. k b. k = 7 Jawab: 0 k k k = c. k + 3 k = 3 Utuk merubah betuk-betuk di atas, diguaka sifat omor 5, k = m k = m+ p Notasi Sigma, Barisa da Deret Bilaga I / Iryati 5 + p f ( k) = f ( k p)

11 3 3 a. k = ( k + ) = ( k + ) k = 0 b. k k = k ( k + 3) = 4 3 ( k + 3) = k k + + c. k + 3= + ( k 4) = k 5 Cotoh 5: 0 Buktika bahwa (k 7) = 4 k + 4 k + 5 Bukti: (k 7) = [( k + 4) 7].sifat omor = (k + 8 7) = (k + ) = (4k + 4k + ) = 4k + 4k + sifat omor 3 = 4 k + 4 k +.sifat omor da (terbukti) Notasi Sigma, Barisa da Deret Bilaga I / Iryati

12 Latiha. Nyataka jumlah di bawah ii dega bilaga sebagai batas bawah 4 4 a. ( k 3) d. k = 5 5 = + 3 b. ( k + ) e. ( a ) 5 a= 8 4 c. ( b + b) b= 5. Buktika 0 f. 4 k 8 0 a. ( ) = ( 9) = 4 = 5 b. ( p + 4) = p + p p= p= p= Betuk ruas kaa omor di atas disebut betuk moomial. 3. Nyataka jumlah-jumlah di bawah ii sebagai jumlah moomial. a. k k c. 5 3 = 8 b. k 4k 5 0 d. (4k )(3 k) k = B. Barisa da Deret Bayak sekali barisa da deret bilaga yag kita keal. Namu demikia, utuk matematika SMK yag diwajibka utuk dikuasai siswa adalah barisa da deret aritmetika da geometri. Utuk mearik miat siswa dalam mempelajari barisa da deret, disaraka kegiata pembelajara dilakuka secara iduktif megguaka pedekata kotekstual da metode eksplorasi. Notasi Sigma, Barisa da Deret Bilaga I / Iryati 7

13 . Barisa da Deret Aritmetika a. Barisa Aritmetika Bagi Ada yag perah aik taksi yag megguaka argometer, perahkah Ada memperhatika perubaha bilaga yag tercatum pada argometer? Apakah bilagabilaga itu bergati secara periodik da apakah pergatiaya meuruti atura tertetu? Jika Ada memperhatika mulai dari awal bilaga yag tercatum pada argometer da setiap perubaha yag terjadi, apa yag dapat Ada simpulka dari barisa bilagabilaga tersebut? Iwa mecari rumah temaya di Jala Gambir o.55. Setelah sampai di Jala Gambir ia memperhatika bahwa rumah-rumah yag terletak di sebelah kaa jala adalah rumah-rumah dega omor urut geap, 4,, 8, da seterusya. Dega memperhatika keadaa itu, kearah maakah Iwa mecari rumah temaya?. Perubaha bilaga-bilaga pada argometer taksi meuruti atura tertetu. Setiap dua bilaga yag beruruta mempuyai selisih yag tetap. Barisa bilaga yag seperti itu disebut barisa aritmetika. Demikia juga barisa omor-omor rumah di atas merupaka barisa bilaga aritmetika. Barisa bilaga ii mempuyai selisih yag tetap atara dua suku yag beruruta. Pada barisa, 3, 5, 7,, suku pertama adalah, suku kedua adalah 3, da seterusya. Selisih atara dua suku yag beruruta adalah. Barisa, 4,, 8,, juga mempuyai selisih dua suku yag beruruta selalu tetap yag besarya. b. Rumus suku Ke- Barisa Aritmetika Pada barisa aritmetika dega betuk umum u, u, u 3, dega u adalah suku pertama, u adalah suku ke-, u 3 adalah suku ke-3 da seterusya. Selisih atara dua suku beruruta disebut juga beda da diberi otasi b, sehigga b = u u = u 3 u = u 4 u 3 = = u u -. Misalka suku pertama u diamaka a da beda atara suku beruruta adalah b, maka: u =a u u = b u = u + b = a + b = a + (-)b u 3 u = b u 3 = u + b = a + b = a + (3-)b u 4 u 3 = b u 4 = u 3 + b = a + 3b = a + (4-)b u 5 u 4 = b u 5 = u 4 + b = a + 4b = a + (5-)b Notasi Sigma, Barisa da Deret Bilaga I / Iryati 8

14 Dega memperhatika pola suku-suku di atas kita dapat meyimpulka rumus umum suku ke- adalah: u = a + ( )b dega u = suku ke- a = suku pertama da b = beda cotoh : Tetuka suku ke-35 dari barisa 3, 7,, 5, Jawab: u = a = 3, b = u u = 7 3 = 4, = 35 Dega mesubstitusika usur-usur yag diketahui ke u = a + ( )b diperoleh u 35 = 3 + (35 )4 = 39 Jadi suku ke-35 adalah 39. cotoh 7: a. Carilah rumus suku ke- barisa 0, 5, 5, 48, b. Suku ke berapakah dari barisa di atas yag ilaiya adalah? Jawab: u = a = 0, b = u u = 5 0 = -4 a. u = a + ( )b = 0 4 ( -) = 4 4 b. u = 4 4 = = 48 = cotoh 8: Pada suatu barisa aritmetika suku ke-0 adalah 4 da suku ke-5 adalah. Tetuka suku ke-5 Jawab: u 0 = a + (0 )b = a + 9b = 4 u 5 = a + (5 )b = a + 4b = 5b = 0 b = 4 a = 5 U 5 = a + (5 )4 = 5 + 4(4) = 50 Notasi Sigma, Barisa da Deret Bilaga I / Iryati 9

15 Tugas:. Diskusika dalam kelompok Ada sifat-sifat apa saja yag dapat ditemuka pada barisa aritmetika.. Jika diatara bilaga a da b disisipka k bilaga baru sehigga membetuk suatu barisa aritmetika, diskusika bagaimaa medapatka beda barisa yag baru da rumus suku ke-. Latiha 3. Seorag ayah memberika uag saku haria yag berbeda-beda kepada lima aakya. Uag saku seorag adik Rp 000,00 kuragya dari uag saku yag diterima kakak tepat di atasya. Jika setiap hari ayah itu megeluarka Rp 7.500,00 utuk uag saku semua aakya, berapakah uag saku haria aak ke-4?. Seorag arsitek meracag orame didig yag terdiri dari barisa bata merah berselag-selig dega barisa bata putih. Pola tersebut dimulai dega 0 bata merah di bagia dasar. Tiap baris di atasya memuat 3 bata kuragya dari susua sebelumya. Jika barisa palig atas tidak memuat bata merah, berapa bayak baris yag ada da berapa bayak bata merah yag diguaka? 3. Seorag seima membuat suatu karya sei yag memuat 5 orame di bagia atas karya tersebut, 7 orame di lapisa ke dua, 9 orame di lapisa ke tiga, da seterusya. Berapa bayak orame yag terdapat pada lapisa ke-0? 4. Dari suatu barisa aritmetika, u + u 7 = da u 3 + u 5 =. Tetuka suku ke Diketahui barisa aritmetika 4,, 58, 55, a. Suku keberapakah yag berilai? b. Tetuka suku egatifya yag pertama. Diketahui barisa bilaga asli kurag dari 5. Tetuka bayak bilaga yag : a. habis dibagi b. habis dibagi 5 c. habis dibagi tetapi tidak habis dibagi 5 7. Diatara bilaga-bilaga 8 da 73 disisipka 3 buah bilaga sehigga terjadi barisa aritmetika. Tetuka Notasi Sigma, Barisa da Deret Bilaga I / Iryati 0

16 a. beda barisa itu b. rumus suku ke- c. Deret Aritmetika Tetu Ada sudah megetahui cerita tetag matematikawa Gauss. Ketika masih di sekolah dasar ia dimita guruya utuk mejumlahka 00 bilaga asli yag pertama. Tekik meghitug Gauss kecil sederhaa tetapi tidak diraguka lagi keefektifaya. Ia memisalka S adalah jumlah 00 bilaga asli yag pertama seperti di bawah ii. S = Kemudia ia meulis pejumlaha itu dega uruta suku-suku terbalik. S = Selajutya ia mejumlahka kedua deret. S = Karea bayak suku dalam deret itu ada 00, maka pejumlaha itu dapat juga ditulis sebagai: S =00 (0) = 000 S =5050 Tekik meghitug Gauss ii yag diikuti selajutya utuk medapatka rumus jumlah suku pertama deret aritmetika. Deret aritmetika adalah jumlah suku-suku dari suatu barisa aritmetika. Dari barisa aritmetika u, u, u 3, u 4, diperoleh deret aritmetika u + u + u 3 + u 4, Bila jumlah suku yag pertama dari suatu deret aritmetika diyataka dega S maka S = u + u + u 3 + u 4 + +u Misalka U = k, maka S = u + u + u 3 + u 4 + +k S = a + (a+ b) + (a + b) + (a+3b) + + (k -b) + k () Jika uruta peulisa suku-suku dibalik maka diperoleh S = k + (k -b) + (k-b) + ( k 3b) + + (a+b) + a.() Dega mejumlahka persamaa () da () didapat: S =(a +k) +(a +k) + (a +k)+ (a +k)+ + (a +k) + (a +k) suku = (a + k) = [ a + ( ) b] Notasi Sigma, Barisa da Deret Bilaga I / Iryati

17 Jadi S = (a + k) atau S = (a + u ) = [(a + (-)b ] dega a = suku pertama, U = suku ke-, b = beda Jika ditulis dalam betuk otasi sigma, jumlah suku pertama deret aritmetika diyataka sebagai S = u k = = a + ( ) b Dega demikia jumlah suku pertama da suku pertama deret aritmetika dapat diyataka sebagai u k S = = u + u + u 3 + u u - + u S - = u = u + u + u 3 + u u - k Dega meguragka S dega S - terlihat dega jelas bahwa U = S - S - Cotoh 9: Seorag aak megumpulka batu kerikil dalam perjalaa pulag dari sekolah. Tiap hari ia megumpulka 5 kerikil lebih bayak dari hari sebelumya. Jika pada hari pertama ia membawa pulag kerikil, tetuka a. jumlah kerikil-kerikil tersebut sampai hari ke- da betuk otasi sigma jumlah tersebut b. rumus jumlah deret tersebut c. jumlah kerikil pada hari ke-5 Jawab: a = ( 5k 4) b. S = [(a + (-)b ] Notasi Sigma, Barisa da Deret Bilaga I / Iryati

18 = [ + (-) 5] = 5-3 c. S 5 = 5 (5) - 3 (5) = 55 Bayak batu kerikil yag dikumpulka pada hari ke-5 adalah 55 buah. Cotoh 0: Hituglah jumlah bilaga asli atara 0 sampai 00 yag habis dibagi Jawab: Jumlah bilaga asli atara 0 sampai 00 yag habis dibagi adalah deret u = 9 disubstitusika ke u = a + ( )b Jadi 9 = + ( ). Dega meyelesaika persamaa ii didapat = 5 Selajutya =5 da u = 9 disubstitusi ke S = (a + u ) sehigga: S 5 = (5)( + 9) = 80 Jadi jumlah bilaga asli atara 0 sampai 00 yag habis dibagi adalah 80. Cotoh : Jumlah suku pertama suatu deret aritmetika ditetuka oleh rumus S = + 5. Tetuka suku ke-. Jawab: U = S - S - = + 5 {( -) + 5} = Jadi rumus suku ke- adalah U = Notasi Sigma, Barisa da Deret Bilaga I / Iryati 3

19 Latiha 4. Racaglah soal-soal kotekstual dari deret-deret berikut ii.hituglah jumlah 30 suku yag pertama dari tiap racaga. a c., 4, 3, 3 4 3, b d. 7,, 4, 3,. Hituglah jumlah tiap deret berikut 0 a. (k ) c. (3 + ) k = 4 5 = b. ( k + 3) d. (5 p ) 3. Racaglah soal kotekstual deret-deret berikut da tetuka. 0 p= a = 0 b = 0 4. Hituglah jumlah semua bilaga asli a. atara da 00 yag habis dibagi 4 b. atara da 00 yag habis dibagi 4 tetapi tidak habis dibagi 5 5. Diketahui jumlah suku pertama suatu deret aritmetika adalah S = (3 + 5). Tetuka : a. rumus suku ke- b. suku pertama da beda. Tiga bilaga merupaka barisa aritmetika. Jika bilaga yag ketiga adalah da hasil kali ketiga bilaga itu 0. Tetuka bilaga itu. Notasi Sigma, Barisa da Deret Bilaga I / Iryati 4

20 . Barisa da Deret Geometri a. Barisa Geometri Alkisah di egeri Atah Beratah seorag raja aka memberika hadiah kepada juara catur di egeri itu. Ketika raja bertaya hadiah apa yag diigika oleh Abu, sag juara, mejawab bahwa dia megigika hadiah beras yag merupaka jumlah bayak beras di petak terakhir papa catur yag diperoleh dari kelipata beras butir di petak pertama, butir di petak kedua, 4 butir dipetak ketiga, da seterusya. Raja yag medegar permitaa itu lagsug meyetujui karea Raja berfikir bahwa hadiah yag dimita itu begitu sederhaa. Apakah memag hadiah itu begitu sederhaa da berapa butir beras sesugguhya jumlah hadiah Abu? Jika diaalisa, hadiah yag diperoleh Abu tergatug kepada bayak petak dipapa catur. petak Beras(butir) 4 8 Perhatika bahwa barisa,, 4, 8,, mempuyai perbadiga yag tetap atara dua suku beruruta. Perbadiga yag tetap itu disebut rasio da dilambagka dega r. Pada barisa ii perbadiga dua suku yag beruruta adalah r =. Barisa yag mempuyai perbadiga yag tetap atara dua suku beruruta disebut barisa geometri. Secara umum dapat dikataka: Suatu barisa jika u = kosta = r. u u,, u, u3, u4,..., u u, disebut barisa geometri b. Rumus Suku Ke- Barisa Geometri Jika suku pertama u = a da perbadiga dua suku yag beruruta disebut rasio r, maka u u r u = = u r = ar u3 = r u3 = ur = ar u u4 = r u4 = u3r = ar u 3 3 Notasi Sigma, Barisa da Deret Bilaga I / Iryati 5

21 u5 = r u5 = u4r = ar u 4 4 Dega memperhatika pola suku-suku di atas diperoleh rumus umum suku ke- barisa geometri u = ar dega u = suku ke-, a = suku pertama, r = rasio Tugas: Diskusika dalam kelompok Ada sifat-sifat apa saja yag dapat ditemuka pada barisa geometri. Cotoh : Suku ketiga da suku kelima suatu barisa geometri berturut-turut 7 da 3. Jika rasio barisa ii bilaga positif, tetuka: a. rasio da suku pertama b. rumus suku ke- da suku ke-8 Jawab : a. u u 5 3 ar = ar 4 = 3 7 r = 9 r = 3 ar = 7 a = 7 a = 43 9 Jadi rasio deret itu r = da suku pertama a = 43 3 b. u = ar - = 43 ( 3 ) - = 3 5 (3 - ) - = 3 - u 8 = 3-8 = 3 - = 9 Rumus suku ke- adalah u = 3 - da suku ke-8 adalah 9. Notasi Sigma, Barisa da Deret Bilaga I / Iryati

22 Cotoh 3: Tiga bilaga membetuk barisa geometri yag hasil kaliya 000. Jika jumlah tiga bilaga itu 35, tetuka bilaga-bilaga tersebut. Jawab: Tiga bilaga itu dimisalka sebagai r p, p, pr. Hasil kali tiga bilaga itu p 3 = 000 p = 0. Jumlah tiga bilaga p + p + pr = 35 r r = 35 r 0 r 5r + 0 = 0 r 5r + = 0 ( r ) (r ) = 0 r = atau r = Utuk r = da p = 0 barisa adalah 0, 0, 5 Utuk r = da p = 0 barisa adalah 5, 0, 0 Latiha 5. Racaglah soal-soal kotekstual utuk barisa-barisa geometri berikut. a., 4,, 4, d. 4, -8,, -3, b.,, 8, 54, e. 0, -5,, - 4, c. 3,, 8, 4, f. 3,, 3, 7, Notasi Sigma, Barisa da Deret Bilaga I / Iryati 7

23 . Suku pertama suatu barisa geometri adalah, sedagka suku ke empatya sama dega 8. Tetuka rasio, da suku ke-8 3. Dari suatu barisa geometri diketahui u + u = 44 da u 3. u 4 = 43. Tetuka rasio da u 4. Tiga bilaga membetuk barisa geometri aik yag jumlahya 93 da hasil kaliya Tetuka barisa tersebut. 5. Harga suatu mesi meyusut setiap tahu 0% dari harga pada permulaa tahu. Jika mesi itu dibeli seharga Rp ,-, berapakah harga mesi itu setelah 5 tahu?. Sebidag taah berharga Rp ,-. Setiap tahu harga taah itu aik 5%. Berapakah harga taah itu pada tahu ke-8? 7. Tiga bilaga membetuk barisa aritmetika. Jika suku tegah dikuragi 5 maka terbetuk barisa geometri dega rasio. Tetuka bilaga-bilaga tersebut. 8. Tiga bilaga membetuk barisa aritmetika. Jumlah ketiga bilaga itu sama dega. Jika bilaga ke-3 ditambah dega maka terbetuk suatu barisa geometri. Tetuka bilaga-bilaga tersebut. c. Deret Geometri Bayak orag di sekitar kita yag bekerja dalam bisis Multi Level Marketig (MLM) seperti Sophie Marti, Avo, Sara Lee, da sebagaiya. Seseorag yag membagu suatu bisis MLM megembagka bisisya dega mecari age di bawahya yag memasarka produk. Masig-masig age itu juga mecari age lagi da seterusya. Keutuga yag diperoleh oleh orag pertama sagat tergatug dari kerja para age di bawahya utuk memasarka produk MLM itu. Semaki bayak orag yag terlibat utuk memasarka produk itu aka meambah bayak pedapata dari orag pertama. Perhatika bahwa bayak orag yag terlibat dalam bisis itu adalah Notasi Sigma, Barisa da Deret Bilaga I / Iryati 8

24 Jumlaha merupaka salah satu cotoh deret geometri. Jika suku pertama barisa geometri geometri S = u,..., + u + u3 + u u = u k u +, u, u3, u4 u dijumlahka maka diperoleh deret = ar. Rumus umum jumlah suku deret geometri dapat ditetuka sebagai berikut: S = u + u + u + u u 3 4 = a + ar + ar + ar ar -..() Masig-masig ruas pada persamaa () dikalika dega r sehigga didapat r S = ar + ar + ar ar - + ar...() Kuragka persamaa () dega persamaa (), diperoleh S r S = a ar S ( r ) = a ( r ) S = a( r ) ( r) atau S = a( r ), dega r ( r ) Cotoh 4: Tetuka jumlah 5 suku pertama deret Jawab: a = 3, r = S = a( r ) = ( r) 5 3[ ( ) ] = ( ) Jadi jumlah 5 suku pertama deret tersebut adalah Notasi Sigma, Barisa da Deret Bilaga I / Iryati 9

25 Cotoh 5: k Tetuka ilai jika = 50 Jawab: k = = 50 a =, r = S = 50 = a( r ) ( r ) ( ) = + ( ) 5 = + = 8 Latiha. Racaglah soal-soal kotekstual dari deret berikut. Sertaka peritah meghitug jumlah 0 suku pertama tiap deret itu. a d b e c f Hituglah jumlah deret geometri berikut a c b d. +, + (,) + (,) (,) 0 Notasi Sigma, Barisa da Deret Bilaga I / Iryati 0

26 3. Dari suatu deret geometri diketahui u 9 = 8 da u 4 = -4. Hituglah S 0 4. Dari suatu deret geometri diketahui S = 4 da S 4 = 40.Tetuka a. rasio da suku pertama deret tersebut b. jumlah 8 suku pertama 5. Jumlah suku pertama suatu deret geometri ditetuka dega rumus S = Tetuka a. suku pertama da rasio deret itu b. jumlah lima suku yag pertama. Sebuah bola dijatuhka dari ketiggia m di atas permukaa latai. Setiap kali sesudah 3 jatuh megeai latai bola dipatulka lagi mecapai dari tiggi sebelumya. 4 Hituglah pajag seluruh litasa yag ditempuh bola itu selama eam patula yag pertama. 7. Seutas tali dipotog mejadi ruas da pajag masig-masig potoga itu membetuk barisa geometri. Jika potoga tali yag palig pedek sama dega 3 cm da potoga tali yag palig pajag adalah 9 cm, hituglah pajag tali keseluruha. 8. Jumlah peduduk suatu kota setiap 4 tahu mejadi lipat dua dari jumlah sebelumya. Jika jumlah peduduk pada tahu 997 adalah orag, berapakah jumlah peduduk kota itu pada tahu 0? 9. Bei meyimpa uag di bak dega buga majemuk (buga diperhitugka dari jumlah uag sebelumya) sebesar 8 % per tahu. Jika uag yag disimpa pada tahu 99 adalah Rp ,- berapakah jumlah uag Budi pada tahu 003? 0. Perhatika kembali masalah tetag hadiah yag dimita oleh sag juara catur kepada rajaya pada awal pembahasa barisa geometri. Berapa bayak butir beras yag Notasi Sigma, Barisa da Deret Bilaga I / Iryati

27 mejadi hadiah sag juara? Berapa kilogram kira-kira beras yag diperolehya? Jelaska alasa Ada! d. Deret Geometri Tak Higga Utuk membahas masalah deret geometri tak higga dapat diguaka beda yag sudah dikeal siswa. Sebuah kertas yag berbetuk persegi dibagi mejadi dua bagia. Salah satu bagia kertas itu kemudia dibagi lagi mejadi dua bagia. Selajutya bagia terkecil dari kertas itu dibagi lagi mejadi dua bagia da seterusya seperti digambarka di bawah ii: Kertas semula Pembagia pertama Pembagia kedua Pembagia ketiga Pembagia keempat Secara teoritis proses pembagia ii dapat diulagi terus meerus sampai tak berhigga kali. Pada pembagia yag pertama diperoleh bagia, yag ke- diperoleh 4 bagia, yag ke-3 diperoleh 8 bagia da seterusya sampai tak berhigga kali. Tampak jelas bahwa jumlah dari seluruh hasil pembagia sampai tak berhigga kali adalah: = Proses tadi mejelaska pegertia jumlah deret geometri tak higga yag bisa diperagaka secara sederhaa. Utuk pejelasa secara teoritis perhatika jumlah suku pertama deret a( r ) geometri S =. Jika suku-suku deret itu bertambah terus maka deret aka mejadi ( r) deret geometri tak higga. Dega demikia jumlah deret geometri mejadi lim S = lim a( r ) ( r) Notasi Sigma, Barisa da Deret Bilaga I / Iryati

28 = a lim ( r ) lim a ( r ) r = a a ( r) ( r) lim r Terlihat jelas bahwa ilai S sagat dipegaruhi oleh ilai ) < r <, S = a ( r) lim lim r. Jika r aka mejadi ol sehigga deret tak higga itu mempuyai jumlah Deret geometri tak higga yag mempuyai jumlah disebut koverge atau mempuyai limit jumlah. ) r < - atau r >, lim r = jumlah. Deret yag seperti ii disebut diverge. ± sehigga deret tak higga itu tidak mempuyai limit Cotoh : Hituglah jumlah deret geometri tak higga Jawab: a = 4 da r = S = a = ( r) 4 8 = 3 ( + ) Jadi jumlah deret geometri tak higga itu adalah 3 8. Notasi Sigma, Barisa da Deret Bilaga I / Iryati 3

29 Latiha 7. Hituglah jumlah tiap deret geometri tak higga berikut ii 4 8 a b c d ,5, Hituglah a. lim ( ) b. lim( ) k Deret geometri tak higga suku pertamaya 3. Deret itu koverge dega jumlah. Tetuka suku ketiga da rasio deret tersebut. 4. Jumlah suatu deret geometri tak higga adalah (4 + ) sedagka rasioya adalah. Tetuka suku pertama deret tersebut. 5. Jumlah suku-suku omor gajil dari suatu deret geometri tak higga adalah 8. Deret itu sediri mempuyai jumlah 4. Tetuka rasio da suku pertama deret geometri itu.. Jumlah deret geometri tak higga 8 x x + x 3... sama dega. Carilah ilai x Suku pertama suatu deret geometri tak higga adalah a, sedagka rasioya adalah r = log( x 3). Carilah batas-batas ilai x sehigga deret geometri itu koverge. 8. Sebuah bola teis dijatuhka ke latai dari suatu tempat yag tiggiya m. Setiap kali setelah bola itu mematul aka mecapai dari tiggi yag dicapai sebelumya. 3 Hituglah pajag litasa bola sampai bola itu berheti. Notasi Sigma, Barisa da Deret Bilaga I / Iryati 4

30 C. Barisa Sebagai Fugsi Utuk meetuka suku-suku suatu barisa kita melihat keteratura pola dari sukusuku sebelumya. Salah satu cara utuk meetuka rumus umum suku ke- suatu barisa adalah dega memperhatika selisih atara dua suku yag beruruta. Bila pada satu tigkat pegerjaa belum diperoleh selisih tetap, maka pegerjaa dilakuka pada tigkat berikutya sampai diperoleh selisih tetap. Suatu barisa disebut berderajat satu (liear) bila selisih tetap diperoleh dalam satu tigkat pegerjaa, disebut berderajat dua bila selisih tetap diperoleh dalam dua tigkat pegerjaa da seterusya. Betuk umum dari barisa-barisa itu merupaka fugsi dalam sebagai berikut: Selisih tetap tigkat Selisih tetap tigkat Selisih tetap 3 tigkat U = a + b U = a + b + c U = a 3 + b + c + d Perlu diperhatika bahwa a da b pada fugsi ii tidak sama dega a = suku pertama da b = beda pada suku-suku barisa aritmetika yag dibicaraka sebelumya. Utuk memahami pegertia barisa berderajat satu, berderajat dua, da seterusya perhatika cotoh berikut: Barisa, 5, 8,, disebut barisa berderajat satu karea selisih tetap diperoleh pada satu tigkat peyelidika. 5 8, selisih tetap = 3 Barisa 5, 8, 3, 0, 9, disebut barisa berderajat dua karea selisih tetap diperoleh pada dua tigkat peyelidika selisih tetap = Notasi Sigma, Barisa da Deret Bilaga I / Iryati 5

31 Barisa, 5, 8, 45, 90, disebut barisa berderajat tiga karea selisih tetap diperoleh pada tiga tigkat peyelidika selisih tetap = 4 Utuk meetuka rumus suku ke- masig-masig barisa itu dilakuka dega cara sebagai berikut:. Barisa Liear ( Berderajat Satu) Betuk umum U = a + b, jadi u = a + b, u = a + b, u 3 = 3a + b,u 4 = 4a + b, da seterusya. (i) a + b, a + b, 3a + b, 4a + b, (ii) a a a Rumus umum suku ke- barisa, 5, 8,, dapat ditetuka dega cara: (i) (ii) 5 8, (ii) a = 3 (i) a+ b =. Barisa Berderajat Dua 3 + b = b = -, sehigga u = 3 Betuk umum U = a + b + c. Dega demikia u = a + b + c, u = 4a + b + c, u 3 = 9a + 3b + c, u 4 = a + 4b + c, da seterusya. Idetifikasi selisih tetapya adalah sebagai berikut: Notasi Sigma, Barisa da Deret Bilaga I / Iryati

32 (i) (ii) a + b + c, 4a + b + c, 9a + 3b + c, a + 4b + c, 3a + b 5a + b 7a + b (iii) a a Rumus umum suku ke- barisa 5, 8, 3, 0, 9, dapat ditetuka dega cara: (i) (ii) (iii) (iii) a = a = (ii) 3a+ b = 3 b = 0 (i) a + b + c = 5 c = 4, sehigga U = Barisa Berderajat Tiga Betuk umum U = a 3 + b + c + d. Dega demikia u = a + b + c + d, u = 8a + 4b + c + d, u 3 = 7a + 9b + 3c + d, u 4 = 4a + b + 4c + d, da seterusya. Idetifikasi selisih tetapya adalah sebagai berikut: (i) (ii) a + b + c + d, 8a + 4b + c + d, 7a + 9b + 3c+ d, 4a + b + 4c+d 7a +3 b + c 9a + 5b +c 37a +7b +c (iii) a + b 8a + b (iv) a Notasi Sigma, Barisa da Deret Bilaga I / Iryati 7

33 Rumus umum suku ke- barisa, 5, 8, 45, 90, dapat ditetuka dega cara: (i) (ii) (iii) (iv) Dega meyelesaika persamaa (iv), (iii), (ii) da (i) seperti yag dilakuka pada barisa berderajat satu maupu barisa berderajat dua diperoleh 4 a =, b =, c = da d = 5 sehigga rumus suku ke- 3 3 U = = ( ) Latiha 8. Tetuka rumus suku ke- utuk tiap-tiap barisa berikut ii: a. 5, 9, 3, 7, d., 5,, 3, b.,,,, e., 9, 7,, c.,, 3,, f., 0, 8, 8, 0,. Tetuka rumus suku ke- a. barisa bilaga segi tiga, 3,, 0, 5, b.barisa bilaga persegi pajag,,, 0, c. barisa bilaga balok, 4, 0, 0, 3. Racaglah masalah-masalah kotekstual yag merupaka barisa berderajat dua da tiga. Kemudia tetuka rumus suku ke- barisa tersebut. Notasi Sigma, Barisa da Deret Bilaga I / Iryati 8

34 D. Lembar Kerja Lembar Kerja Materi Kompetesi Dasar Idikator Waktu Petujuk : Deret Geometri Tak Higga :. Meracag model matematika dari masalah yag berkaita dega deret. Meyelesaika model matematika dari masalah yag berkaita dega deret da peafsiraya :. meracag model matematika yag berkaita dega deret geometri tak higga. Meetuka jumlah tak higga suatu deret geometri : 0 meit : Bacalah dega teliti soal di bawah ii, kemudia kerjaka sesuai dega permitaa soal. Suatu segitiga sama sisi mempuyai sisi-sisi yag pajagya 0 cm. Titik tegah sisi-sisi segitiga itu dihubugka sehigga membetuk segitiga sama sisi lai yag lebih kecil. Jika prosedur ii dilakuka berulag sampai tak higga kali, tetuka:. jumlah kelilig semua segitiga.. jumlah luas semua segitiga Notasi Sigma, Barisa da Deret Bilaga I / Iryati 9

35 Lembar Kerja Materi Kompetesi Dasar Idikator Waktu Petujuk : Deret Geometri Tak Higga : 4.3 Meracag model matematika dari masalah yag berkaita dega deret 4.4 Meyelesaika model matematika dari masalah yag berkaita dega deret da peafsiraya :. meracag model matematika yag berkaita dega deret geometri tak higga. Meetuka jumlah tak higga suatu deret geometri : 5 meit : Bacalah dega teliti soal di bawah ii, kemudia kerjaka sesuai dega permitaa soal.. Jari-jari ligkara yag palig besar pada gambar di sampig ii adalah R. Hituglah luas: a. semua ligkara yag terjadi b. semua persegi yag terjadi. Hituglah luas semua daerah yag diarsir jika pola arsira dilakuka sampai tak higga da pajag sisi persegi yag terbesar R. Notasi Sigma, Barisa da Deret Bilaga I / Iryati 30

36 Lembar Kerja 3 Materi Idikator Waktu : Barisa Sebagai Fugsi : Meyataka rumus suku ke- suatu barisa megguaka fugsi : 0 meit Baha/ alat : - Lagkah-lagkah:. Perhatika semua persegi pajag di bawah ii, kemudia legkapi tabel berikut: Bayak persegi pajag kecil Bayak seluruh persegi pajag. Perhatika pola bilaga yag Ada dapat. Jika ada persegi pajag kecil berapa jumlah seluruh persegi pajag? Jika ada 0 persegi pajag kecil berapa jumlah seluruh persegi pajag? Notasi Sigma, Barisa da Deret Bilaga I / Iryati 3

37 Lembar Kerja 4 Materi Idikator Waktu : Barisa Sebagai Fugsi : Meyataka rumus suku ke- suatu barisa sebagai fugsi : 0 meit Baha/ alat : - Lagkah-lagkah:. Perhatika semua persegi di bawah ii, kemudia legkapi tabel berikut. Pajag sisi persegi satua satua 3 satua 4 satua 5 satua Bayak seluruh persegi. Perhatika pola bilaga yag Ada dapat. Jika ada persegi bersisi 5 satua berapa jumlah seluruh persegi yag ada? Notasi Sigma, Barisa da Deret Bilaga I / Iryati 3

38 E. Evaluasi 0. Buktika k = k + 3 k + 0. Hituglah ilai.3 = 3. Tetuka jika: a = 59 b = 0 4. loga, 7 a a log, log,. Barisa bilaga apakah ii? b b 5. Suku tegah barisa aritmetika adalah 5. Jika beda adalah 4 da suku ke-5 adalah, berapa jumlah semua suku pada barisa tersebut?. Suatu deret aritmetika suku ke-5 adalah 5 3 da suku ke- adalah + 9. Tetuka jumlah 0 suku pertama. 7. Sebuah deret aritmetika mempuyai suku umum a da beda. Jika a + a 4 + a + + a 0 = 38. Tetuka jumlah 5 suku pertama deret itu. 8. Suku tegah barisa aritmetika adalah 5. Jika beda adalah 4 da suku ke-5 adalah. Berapa jumlah semua suku pada barisa tersebut? 9. Suatu deret aritmetika diketahui u + u 3 + u 5 + u 7 + u 9 + u = 7. Tetuka ilai u + u + u 0. Sepotog kawat yag pajagya 4 cm dipotog mejadi 5 bagia sehigga pajag potoga-potogaya membetuk barisa geometri. Jika potoga kawat yag palig pedek 4 cm, berapa ukura kawat yag terpajag?. A berhutag pada B sebesar Rp ,-. A berjaji utuk membayar kembali hutagya setiap bula sebesar Rp ,- ditambah buga % perbula dari sisa pijamaya. Berapa jumlah buga yag dibayarka sampai hutagya luas?. Suku pertama suatu deret geometri tak higga adalah a, sedagka rasioya adalah r = log( x 3). Carilah batas-batas ilai x sehigga deret geometri itu koverge. Notasi Sigma, Barisa da Deret Bilaga I / Iryati 33

39 3. Tiga bilaga membetuk barisa aritmetika. Jika suku ke-3 ditambah da suku ke- dikuragi diperoleh barisa geometri. Jika suku ke-3 barisa aritmetika ditambah maka hasilya mejadi 4 kali suku pertama. Berapa beda barisa aritmetika itu? 4. Nyataka pejumlaha berikut dega betuk otasi sigma: a b Tetuka jumlah deret geometri tak higga F. Ragkuma Notasi sigma ( ) diguaka utuk meyigkat pejumlaha yag pajag. a k = a + a + a a k = Sifat-sifat Notasi Sigma Utuk setiap bilaga bulat a, b da berlaku:. = b. cf ( k) = c k = a b k = a b k = a f ( k) 3. ( f ( k) + g( k)) = f ( k) + g( k) m 4. f ( k) + f ( k) = k = b k = m k = + p 5. f ( k) = f ( k p) k = m k = m+ p b k = a k = a f ( k) Barisa aritmetika adalah barisa yag mempuyai selisih yag tetap atara dua suku yag beruruta yag disebut beda. Cotoh barisa aritmetika: ) 3, 7,, 5, Notasi Sigma, Barisa da Deret Bilaga I / Iryati 34

40 ), 5, 8,, Rumus suku ke- barisa aritmetika adalah u = a + (-)b dega a = suku pertama da b= beda = u u - Deret aritmetika adalah jumlaha dari suku-suku barisa aritmetika. Cotoh deret aritmetika: ) ) Rumus jumlah suku pertama deret aritmetika S = (a + u ) atau S = [(a + (-)b ] Barisa geometri adalah barisa yag mempuyai perbadiga (rasio) yag tetap atara dua suku yag beruruta. Cotoh deret geometri: ),, 4, 8,, ),, 8, 54, Rumus suku ke- barisa geometri adalah: u = ar dega a = suku pertama da r = rasio = u u Deret geometri adalah jumlaha dari suku-suku barisa geometri. Cotoh deret geometri: ) ) Notasi Sigma, Barisa da Deret Bilaga I / Iryati 35

41 Rumus jumlah suku pertama deret geometri: S = S = a( r ) ( r) a( r ) ( r ) atau Utuk -< r <, deret geometri mempuyai jumlah tak higga S = a ( r) S dega Barisa, 5, 8,, disebut barisa berderajat karea selisih tetap dipeoleh pada satu tigkat peyelidika. 5 8, selisih tetap = 3 Suku ke- barisa ii jika diyataka sebagai fugsi adalah U = a + b. Barisa 5, 8, 3, 0, 9, disebut barisa berderajat karea selisih tetap dipeoleh pada dua tigkat peyelidika selisih tetap = Suku ke- barisa ii jika diyataka sebagai fugsi adalah U = a + b + c. Notasi Sigma, Barisa da Deret Bilaga I / Iryati 3

42 Bab III Peutup A. Kesimpula Notasi sigma merupaka suatu simbol yag diguaka utuk meyigkat pejumlaha yag pajag terutama utuk meyataka suatu deret bilaga. Walaupu bayak sekali barisa da deret yag dikeal, adalah suatu keharusa utuk megeal da meyelidiki lebih dalam lagi barisa da deret aritmetika da barisa da deret geometri karea bayak sekali peristiwa dalam kehidupa sehari-hari yag merupaka represetasi kedua barisa da deret itu. Termasuk dalam hal ii adalah megetahui ciri-ciri, sifat-sifat, bagaimaa cara meetuka suku ke- barisa aritmetika da geometri serta jumlah suku pertama deret aritmetika da geometri. Selai kedua jeis barisa da deret itu, barisa da deret berderajat lebih dari satu sagat mearik utuk diselidiki. Salah satu cara dalam meetuka rumus umum suku ke- dari barisa jeis ii adalah megguaka fugsi. Utuk mearik miat siswa dalam mempelajari barisa da deret, kegiata pembelajara dilakuka secara iduktif megguaka pedekata kotekstual da metode eksplorasi. B. Sara Bayak hal yag masih perlu diperbaiki dalam peulisa ii yag luput dari perhatia. Karea itu sara da masuka sagat diharapka dari pembaca demi perbaika tulisa ii. Utuk itu sara da masuka dapat diberika secara lagsug atau dikirimka kepada Puji Iryati, PPPPTK Matematika Yogyakarta Jala Kaliurag Km. Sambisari Codog Catur Depok Slema Yogyakarta. Notasi Sigma, Barisa da Deret Bilaga I/ Iryati 37

43 Daftar Pustaka Foster, Ala G Merril Algebra With Trigoometry. New York: Glecoe Macmilla/ McGraw-Hill. Marsudi Raharjo. 00. Notasi Sigma da Iduksi Matematika. Yogyakarta: PPPG Matematika. Nasoetio, Adi Hakim Matematika I utuk Sekolah Meegah Umum Kelas I. Jakarta: Balai Pustaka. Posametier, Alfred S- Stepelme, Jay Teachig Secodary School Mathematics. New Jersey: Pretice-Hall, Ic. Sartoo Wirodikromo Matematika 000 utuk SMU Kelas I Semester. Jakarta: Erlagga. Sumadi, dkk. 99. Matematika SMU utuk Kelas I. Solo: PT Tiga Seragkai. Notasi Sigma, Barisa da Deret Bilaga I/ Iryati 38