SIFAT SIFAT RUANG VEKTOR ATAS LAPANGAN (FIELD)

SIFAT SIFAT RUANG VEKTOR ATAS LAPANGAN (FIELD) Muhamad Zaki Riyato NIM: 02/156792/PA/08944 E-mail: zaki@mail.ugm.ac.id http://zaki.math.web.id Dose Pembimbig: Pof. D. Si Wahyui Pedahulua Sebelum melagkah lebih jauh utuk membahas sifat-sifat uag vekto, pelu dibeika telebih dahulu bebeapa defiisi da teoema yag medasaiya. Pembaca dihaapka telah memahami bebeapa kosep stuku aljaba sepeti gup, gelaggag da lapaga. Dibeika suatu himpua V da suatu lapaga F. Eleme dai V disebut vekto da eleme dai F disebut skala. Ruag vekto mempuyai dua opeasi bie, yaitu + da. yag masig-masig meotasika opeasi pejumlaha dua vekto da opeasi pekalia ataa suatu vekto da skala. Beikut dibeika defiisi dai uag vekto. DEFINISI 1: Himpua V disebut uag vekto (vecto space) atas lapaga F jika tehadap opeasi bie + da. memeuhi aksioma-aksioma di bawah ii. Utuk setiap u, v, w V da k, l F, 1) u + v V, 2) u + v = v + u, 3) u + ( v + w) = ( u + v) + w, 4) tedapat suatu eleme 0 V sedemikia sehigga u + 0 = u, Copyight 2007 http://zaki.math.web.id 1

5) tedapat u V sedemikia sehigga u + ( u) = 0, 6) k. u V, 7) utuk suatu skala 1 F,1. u = u, 8) k.( u + v) = k. u + k. v, 9) ( k + l). u = k. u + l. u, 10) ( kl). u = k.( l. u). Aksioma 1 5 meujukka bahwa ( V, + ) meupaka gup abelia (gup yag komutatif) tehadap opeasi pejumlaha vekto. Aksioma 4 meujukka adaya vekto ol yaitu 0 V yag mejadi eleme idetitas tehadap opeasi pejumlaha. Aksioma 5 meujukka adaya vektoya yaitu vekto eleme ives utuk setiap u. Aksioma 6 meujukka bahwa V tetutup tehadap opeasi pekalia skala. Aksioma 8 da 9 meujukka sifat distibutif. Da aksioma 10 meujukka bahwa opeasi pekalia skala besifat assosiatif. CONTOH 1: Dibeika M m ( R ) himpua semua matiks beukua m atas R da lapaga R dai bilaga-bilaga eal tehadap opeasi + da.. Jika didefiisika: : opeasi pejumlaha matiks : opeasi pekalia skala dega matiks, maka M m ( R ) meupaka uag vekto atas lapaga R. TEOREMA 1: Misalka V adalah suatu uag vekto atas lapaga F, u vekto pada V da sebuah skala k F. Maka 1) 0. u = 0. 2) k.0 = 0. 3) ( 1).u = u. 4) Jika k. u = 0, maka k = 0 atau u = 0. Copyight 2007 http://zaki.math.web.id 2

DEFINISI 2: Subset W dai suatu uag vekto V disebut subuag V jika W meupaka uag vekto tehadap opeasi yag sama pada uag vekto V. Beikut ii debeika sebuah teoema yag dapat diguaka utuk meujukka bahwa suatu subset dai uag vekto itu meupaka subuag dai uag vekto tesebut. Jadi, utuk meujukka bahwa subset tesebut adalah subuag tidak haus meujukka ke sepuluh aksioma di atas (defiisi 1) belaku. TEOREMA 2: Jika W adalah subset tidak kosog dai suatu uag vekto V, maka W meupaka subuag V jika da haya jika dipeuhi sifat-sifat di bawah ii 1) utuk setiap u, v V, maka u + v W, 2) utuk setiap k F da u W, maka k. u W. Setiap uag vekto pada V mempuyai palig sedikit dua subuag, yaitu V sedii da himpua { 0 } yag elemeya haya vekto ol saja, subuag ii seig disebut dega subuag ol. TEOREMA 3: Jika V uag vekto atas lapaga F, da U, W subuag dai V, maka 1) U W subuag dai V. 2) U W { u w : u U, w W} + = + subuag dai V. Pehatika sistem pesamaa liea beikut. a. x + a. x +... + a. x = b 11 1 12 2 1 1 a. x + a. x +... + a. x = b 21 2 2 2 2 a. x + a. x +... + a. x = b m1 1 m2 2 m m Copyight 2007 http://zaki.math.web.id 3

atau, dalam otasi matiks, Ax = b. Suatu vekto s1 s 2 s = pada s R disebut dega vekto peyelesaia (solutio vecto) dai sistem pesamaa tesebut jika x1 = s1, x2 = s2,..., x = s meupaka peyelesaiaya. Dapat ditujukka bahwa himpua semua vekto peyelesaia dai sistem homoge tesebut meupaka subuag dai R, da disebut dega uag peyelesaia (solutio space). DEFINISI 3: Suatu vekto w disebut kombiasi liea dai vekto-vekto v1, v2,..., v jika vekto tesebut dapat diyataka dalam betuk dega k1, k2,..., k adalah skala. w = k. v + k. v +... + k. v 1 2 DEFINISI 4: Misal V uag vekto atas lapaga F, da S { v v v } subset V. Himpua W yag elemeya tedii dai semua kombiasi liea dai vektovekto di S disebut himpua yag dibagu oleh v1, v2,..., v (dibagu oleh S), da v1, v2,..., v membagu/pembagu W, diotasika dega W = spa( S). TEOREMA 4: Jika V uag vekto atas lapaga F da S { v v v } subset V, maka 1) W = spa( S) subuag V. 2) W meupaka subuag tekecil yag memuat S, yaitu jika tedapat W subuag dai V da S subset W, maka W subset W. 3) W = spa( S) = { U : U subuagv da S U} yaitu iisa semua subuag dai V yag memuat S. Copyight 2007 http://zaki.math.web.id 4

TEOREMA 5: Misal V uag vekto atas lapaga F, da S { v v v } { }, S = w, w,..., w subset- subset V. Maka spa( S) = spa( S ) jika da haya jika utuk setiap i, 1 i, belaku w spa( S) da v spa( S ). i i DEFINISI 5: Misal V uag vekto atas lapaga F, da S { v v v } subset V. Himpua S dikataka bebas liea jika k1. v1 + k2. v2 +... + k. v = 0 haya mempuyai peyelesaia k1 = k2 =... = k = 0. Jika tedapat peyelesaia lai yag tidak ol, maka himpua S dikataka tidak bebas liea. TEOREMA 6: Misal S { v v v } adalah himpua vekto- vekto di maka S tidak bebas liea. R. Jika >, TEOREMA 7: belaku : Misal V uag vekto atas lapaga F, S subset V dega S 2, maka 1) S tidak bebas liea jika da haya jika tedapat palig sedikit satu vekto di S yag dapat disajika sebagai kombiasi liea dai vekto-vekto lai di S. 2) S bebas liea jika da haya jika tidak ada vekto dai S yag meupaka kombiasi liea dai vekto-vekto yag lai di S. TEOREMA 7: Misal V uag vekto atas lapaga F, S subset V dega S <. Jika S memuat vekto ol, maka S tidak bebas liea. Copyight 2007 http://zaki.math.web.id 5

DEFINISI 6: Misal V uag vekto atas lapaga F da S { v v v } subset V. Jika S bebas liea da spa(s) = V, maka S disebut basis utuk V. TEOREMA 8: Misal V uag vekto atas lapaga F da S { v v v } m subset V. da S { w w w } 1) Jika m >, maka S tidak bebas liea. 2) Jika m <, maka spa( S ) V. 3) Jika S { w w w } basis utuk V m basis utuk V, maka = m. DEFINISI 7: Dimesi dai suatu uag vekto V atas lapaga F, ditulis dim(v) didefiisika sebagai bayakya vekto dalam basis utuk V. Dimesi dai uag vekto ol didefiisika dega 0. TEOREMA 9: Misal V uag vekto atas lapaga F, S subset tak kosog dai V., maka S { v} 1) Jika S bebas liea da v V, v spa( S) bebas liea. 2) Jika v S da v dapat disajika sebagai kombiasi liea dai vekto ( ) spa S v = spa( S). vekto yag lai di S, maka { } TEOREMA 10: Misal V uag vekto atas lapaga F dega dim(v) = da { } S = v, v,..., v subset V, maka S basis utuk V jika spa(s) = V atau S bebas liea. Copyight 2007 http://zaki.math.web.id 6

DAFTAR PUSTAKA Ato, Howad, 2000, Elemetay Liea Algeba: Eight Editio, Joh Willey ad Sos, Ic., New Yok. Vastoe, Scott A. ad va Ooschot, Paul C., 1989, A Itoductio to Eo Coectig Codes with Applicatios, Kluwe Academic Publishes, Massachusetts, USA. Copyight 2007 http://zaki.math.web.id 7