I. PENDAHULUAN. Laar Belakang Menuru Sharpe e al (993), invesasi adalah mengorbankan ase yang dimiliki sekarang guna mendapakan ase pada masa mendaang yang enu saja dengan jumlah yang lebih besar. Invesasi dalam bidang keuangan berkaian dengan ase-ase keuangan, seperi invesasi pada saham, obligasi, dan ase-ase keuangan lainnya. Invesasi di bursa saham merupakan benuk invesasi penuh risiko yang membua invesor berhai-hai dalam menginvesasikan dananya. Hal ersebu menjadi salah sau fakor munculnya sarana alernaif unuk berinvesasi. Salah sau invesasi alernaif yang diawarkan di berbagai bursa dunia adalah produk derivaif. Produk derivaif merupakan suau insrumen keuangan yang nilainya berganung pada nilai ase yang mendasarinya. Ase yang mendasari opsi dapa berupa saham, emas, maa uang asing, indeks saham, dan lain-lain. Produk derivaif dapa digunakan sebagai insrumen unuk mengelola risiko dan spekulasi, sera unuk mengurangi biaya ransaksi aau unuk menghindari pajak. Salah sau dari produk derivaif adalah opsi. Perdagangan opsi erbesar dan perama kali dikembangkan adalah di CBOE (Chicago Board Opions Exchage), USA pada ahun 973, dan elah mencapai sukses luar biasa dengan oal perdagangan sebanyak 6 saham. Dalam lima ahun, para pemodal melakukan perdagangan opsi mencapai lebih dari 0 jua lembar per hari (Brealey and Myers, 99). Sejarah mengenai eori penilaian opsi di mulai pada ahun 900, yaiu pada saa seorang maemaikawan Perancis, Louis Bachelier, menghasilkan formula penilaian opsi. Formula Bachelier ini memiliki kelemahan karena didasarkan pada asumsi yang kurang realisis yaiu adanya ingka suku bunga nol dan harga saham bernilai negaif. Formula ini kemudian diperbaiki oleh penelii lain, dianaranya Case Sprenkle, James Boness dan Paul Samuelson yang menggunakan asumsi bahwa harga saham memiliki disribusi log normal (hal ini menjamin bahwa harga saham selalu bernilai posiif) dan ingka suku bunga idak nol. Pada masa sebelum ahun 973, usaha penilaian opsi didasarkan pada penenuan premi risiko aau besarnya risiko dari ingka pengembalian harga saham. Penenuan premi risiko idaklah mudah karena premi risiko idak hanya menggambarkan risiko pada perubahan harga saham, namun mengikuserakan pula perilaku invesor erhadap risiko. Unuk mengaasi masalah ini, pada ahun 973, Fisher Black dan Myron Scholes elah berhasil menyelesaikan masalah enang penilaian opsi. Hasil kerja Fisher Black dan Myron Scholes dikenal dengan model Black-Scholes. Salah sau kegunaan formula Black- Scholes ini adalah sebagai ala unuk mengendalikan risiko (hedging) dalam suau opsi pada porofolio. eknik unuk mengendalikan risiko secara umum dikaakan sebagai sensiivias nilai opsi (Greeks). Greeks ini erdiri aas dela, gamma, hea, vega, dan rho.. ujuan Penulisan ujuan penulisan karya ilmiah ini adalah sebagi. Menganalisis model Black-Scholes unuk menenukan nilai opsi call dan opsi pu ipe Eropa.. Menganalisis model Black-Scholes unuk menenukan hedge raio dari opsi ipe Eropa..3 Sisemaika Penulisan Pada bab sau diberikan laar belakang dari permasalahan penenuan hedge raio unuk opsi call dan opsi pu ipe Eropa. Pada bab dua diberikan landasan eori yang akan digunakan sebagai dasar pengerjaan karya ilmiah. Sedangkan pada bab iga akan diberikan model Black-Scholes unuk opsi call dan opsi pu ipe Eropa dan pengerian dari rasio lindung nilai (hedge raio) sera model Black-Scholesnya. Pada bab empa akan diberikan kesimpulan yang diperoleh selama penulisan karya ilmiah ini. Pada bab erakhir akan diberikan dafar pusaka. II. LANDASAN EORI Bab ini berisi eori yang menjadi dasar pengerjaan karya ilmiah. Pada bagian perama sampai dengan bagian kelima disajikan proses sokasik, gerak Brown, proses Wiener, proses Iô, aplikasi proses sokasik unuk harga saham dan persamaan diferensial parsial dari harga saham. Pada bagian keujuh sampai dengan bagian erakhir disajikan definisi,
noasi, asumsi mengenai opsi, penilaian opsi, dan Greeks.. Proses Sokasik Proses sokasik digunakan sebagai model maemaika unuk mewakili suau peubah yang nilainya berubah secara acak menuru waku. Unuk memahami proses sokasik diperlukan definisi beriku. Definisi (Ruang conoh) Ruang conoh adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suau percobaan acak, dan dinoasikan dengan Ω. [Grimme dan Sirzaker, 00] Definisi (Kejadian) Kejadian adalah suau himpunan bagian dari ruang conoh Ω. [Grimme dan Sirzaker, 00] Definisi 3 (Medan-σ) Medan- σ adalah himpunan yang anggoanya merupakan himpunan bagian dari ruang conoh Ω yang memenuhi syarasyara... Jika A maka A, dengan menyaakan komplemen dari himpunan A. c A i c A 3. Jika A, A, A 3,, maka. [Hogg e al, 995] Definisi 4 (Ukuran Peluang) Ukuran peluang P pada ruang ukuran ( Ω, ) adalah fungsi P : [0,] yang memenuhi:. P( ) = 0, P( Ω ) =.. Jika A, A, A 3, adalah himpunan anggoa-anggoa yang saling lepas, yaiu Ai Aj =, unuk seiap i, j dengan i j maka: ( i) = P A P( A ). Pasangan ( Ω,, P) disebu dengan ruang peluang (probabiliy space). [Grimme dan Sirzaker, 00] i Definisi 5 (Proses sokasik) Proses sokasik X = { X(), } adalah suau himpunan dari peubah acak yang memeakan suau ruang conoh Ω ke suau ruang sae S.. Gerak Brown Proses sokasik X { X(), } = disebu gerak Brown jika:. X (0) = 0.. Unuk 0 < < < < n, peubah acak X ( i ) X ( i ), i =,,, n saling bebas. 3. Unuk > 0, X( ) berdisribusi normal dengan raaan 0 dan varian σ..3 Proses Wiener Proses Wiener adalah gerak Brown dengan raaan 0 dan varian. Proses Wiener umum unuk suau peubah acak X dapa dinyaakan sebagai dx () = ad + bdw() () ad disebu sebagai komponen deerminisik dan bdw () menyaakan komponen sokasik, sera W () adalah proses Wiener, sedangkan a dan b masing-masing menyaakan drif rae dan variance rae dari X. Unuk proses sokasik yang didefinisikan pada ruang probabilias ( Ω, F, P) berlaku hal Misalkan W() adalah proses Wiener pada ( Ω, F, P). Inegral sokasik adalah proses sokasik X() dengan benuk: 0 0 X () = X(0) + a( X( s), s) ds + bxs ( ( ), sdws ) ( ). ().4 Proses Iô Proses Iô adalah proses Wiener umum dengan a dan b menyaakan suau fungsi dari peubah acak X dan waku. Proses Iô dapa dinyaakan sebagai dx () = ax ( (), d ) + bx ( (), dw ) () (3) Proses sokasik didefinisikan sebagai beriku.
3 Lema (Lema Iô) Misalkan proses X () memenuhi persamaan (3) dan fungsi Y () = gx ( (),) adalah koninu sera urunan-urunan g ( X( ), ), g X ( X( ), ), g XX ( X( ), ) koninu, maka Y () = gx ( (),) memenuhi persamaan dengan dan dy () = g ( X (),) d+ gx( X (),) dx () (4) + gxx ( X( ), )( dx( )) dg dg d g g =, gx =, g d dx XX = dx ( d) = dw ( ) d = ddw ( ) = 0 ( dw ( )) = d Buki: liha Lampiran..5 Model unuk Harga Saham Harga saham yang berubah secara acak menuru waku diasumsikan sebagai suau proses sokasik. Selain iu diasumsikan idak ada pembayaran dividen aas saham. Misalkan X () mengikui proses Wiener umum, yaiu persamaan (). Persamaan ini dapa dikembangkan menjadi persamaan (). Selanjunya akan dienukan model dari proses harga saham S. Misalkan S () adalah harga saham pada waku. Menginga proses Iô, perubahan S () akan memiliki nilai harapan drif rae μ S. Parameer μ menyaakan ingka raa-raa perumbuhan harga saham dan μsd () disebu komponen deerminisik. Karena harga saham juga dipengaruhi oleh fakor keidakpasian maka komponen sokasiknya adalah σ SdW () (), dengan σ menyaakan volailias harga saham. Volailias harga saham mengindikasikan ingka risiko dari harga saham. Dengan demikian model dari harga saham dapa dinyaakan sebagai ds () = μsd () + σsdw () () (5).6 Persamaan Diferensial Sokasik (PDS) dari Harga Saham Pada bagian ini diberikan benuk PDS bagi suau peubah yang nilainya berganung pada harga saham S () dan waku. Perubahan nilai S () ersebu dapa dimodelkan dengan memanfaakan lema Iô. Misalkan diberikan suau peubah Y () yang berganung pada peubah harga saham S () dan waku. Berdasarkan Hull (997), apabila harga saham S () mengikui model saham (5), maka benuk PDS unuk Y () dienukan oleh eorema eorema. Misalkan diberikan Y () = gs ( (),) dengan [ 0, ) dan S () memiliki diferensial sokasik (5), maka persamaan diferensial sokasik bagi fungsi Y () dapa dinyaakan dalam benuk: g g g dy() = μs() + + σ S() d S S (6) g + σs ( ) dw ( ) S Buki: liha Lampiran..7 Definisi, Noasi, dan Asumsi Opsi Salah sau insrumen derivaif yang mempunyai poensi unuk dikembangkan adalah opsi. Unuk lebih memahami bagian ini, didefinisikan beberapa hal yang perlu diperhaikan. Definisi 6 Opsi adalah suau konrak anara dua pihak di mana pemegang opsi mempunyai hak unuk membeli aau menjual suau ase erenu dengan harga yang elah dienukan, pada aau sebelum waku yang elah dienukan. Menuru jenisnya opsi erbagi dua, yaiu opsi call dan opsi pu. Definisi 7 Opsi call adalah opsi yang memberikan hak kepada pemegangnya unuk membeli ase yang mendasari pada harga erenu dan jangka waku erenu.
4 Opsi pu adalah opsi yang memberikan hak kepada pemegangnya unuk menjual ase yang mendasari pada harga erenu dan jangka waku erenu. Menuru waku eksekusinya, opsi dibedakan aas opsi ipe Eropa dan opsi ipe Amerika. Opsi ipe Eropa adalah opsi yang hanya dapa dieksekusi pada saa konrak jauh empo. Sedangkan opsi ipe Amerika adalah opsi yang dapa dieksekusi sebelum konrak jauh empo. Dalam karya ilmiah ini hanya akan dibahas opsi ipe Eropa. Definisi 8 Nilai opsi adalah besarnya biaya yang dikeluarkan oleh seorang invesor unuk mendapakan konrak opsi dan pembayarannya dilakukan pada saa konrak dibua. [Wilmo e al, 996] Ada beberapa hal yang mempengaruhi nilai opsi, yaiu:. Harga saham saa ini (S 0 ). Harga eksekusi (K), yang merupakan harga jual aau beli saham yang ercanum dalam konrak opsi (harga exercise aau harga srike). 3. Waku jauh empo (). 4. Volailias dari harga saham (σ), yang merupakan sebuah ukuran ingka keidakpasian mengenai pergerakan saham di masa yang akan daang. 5. ingka suku bunga (r). 6. Dividen yang dibayarkan aas saham. Dalam merumuskan nilai opsi, Fisher Black dan Myron Scholes (973) menggunakan beberapa asumsi, sebagai. Sebaran harga saham adalah lognormal dan varian dari reurn pada saham adalah konsan.. ipe opsi yang digunakan adalah ipe Eropa. 3. idak ada biaya ransaksi unuk menjual aau membeli saham aau opsi. 4. idak ada pembayaran dividen pada saham. 5. idak ada kemungkinan erjadinya arbirase. Arbirase adalah indakan membeli sekurias yang berharga rendah di suau pasar dan pada saa yang sama menjualnya dengan harga yang lebih inggi di pasar yang berbeda sehingga memperoleh keunungan anpa risiko. 6. Invesor diperbolehkan meminjam sejumlah dana unuk membeli saham pada ingka suku bunga bank. 7. ingka suku bunga bebas risiko jangka pendek dikeahui dan nilainya konsan. Harga saham diasumsikan sebagai proses sokasik dan berdasarkan asumsi, sebaran lognormal unuk harga saham dapa dikeahui. Sehingga diperoleh eorema eorema. Logarima harga saham pada saa jauh empo mempunyai sebaran normal dengan: σ raaan : μ = ln S + r 0 dan varian : Var = σ. Buki: liha Lampiran 3..8 Penilaian Opsi Dengan asumsi di aas, nilai opsi hanya berganung pada harga saham, waku, dan parameer lain yang nilainya konsan. Penilaian opsi merupakan suau masalah yang berkembang cukup lama dalam finansial. erdapa suau rise yang memfokuskan mengenai ada aau idaknya hubungan anara harga saham dan konrak opsi yang erulis pada saham ersebu. Masalah ini dipecahkan oleh Fisher Black dan Myron Scholes pada ahun 973, yang kemudian modelnya dikenal dengan model Black-Scholes, sehingga diperoleh eorema beriku ini: eorema.3 Misalkan V( S, ) menyaakan nilai opsi pada waku. Maka V memenuhi persamaan diferensial parsial Black-Scholes: V V V + rs + σ S rv = 0. (7) S S Buki: liha Lampiran 4. Pada waku opsi call jauh empo, apabila S > K maka pemegang konrak opsi akan mengeksekusi konraknya karena invesor memperoleh keunungan sebesar K. S Sebaliknya apabila S K pada saa jauh empo, maka pemegang konrak opsi idak akan mengeksekusi konraknya, karena invesor akan memperoleh kerugian sebesar
5 K S. Unuk kondisi ini opsi idak mempunyai nilai pada saa jauh empo. Jadi nilai opsi call pada saa jauh empo dapa diuliskan sebagai suau payoff aau penerimaan bagi pemegang konrak sebagai p = max( K S, 0). (9) Payoff Opsi Pu ( p) c = max( S K, 0). (8) Payoff Opsi Call ( c) Harga Srike ( K ) Harga Saham ( S ) Gambar Diagram payoff opsi pu ipe Eropa Gambar Diagram payoff opsi call ipe Eropa Begiu juga pada waku opsi pu jauh empo, apabila < K maka pemegang S konrak opsi akan mengeksekusi konraknya karena invesor memperoleh keunungan sebesar K S. Sebaliknya apabila S K pada saa jauh empo, maka pemegang konrak opsi idak akan mengeksekusi konraknya, karena invesor akan memperoleh kerugian sebesar S Harga Srike ( K ) K Harga Saham ( S ). Unuk kondisi ini opsi idak mempunyai nilai pada saa jauh empo. Jadi nilai opsi pu pada saa jauh empo dapa diuliskan sebagai suau payoff aau penerimaan bagi pemegang konrak sebagai.9 Greeks Salah sau kegunaan formula Black- Scholes ini adalah sebagai ala unuk mengendalikan risiko (hedging) dalam suau opsi pada porfolio. Dalam seiap mengukur nilai pasar dari seiap porofolio dipengaruhi oleh perubahan-perubahan dari beberapa variabel seperi harga yang mendasari, volailias, ingka suku bunga dan waku. eknik mengendalikan risiko ini secara umum dikaakan sebagai sensiivias nilai opsi (Greeks). Greeks ini erdiri aas dela, gamma, hea, vega, dan rho. Dela adalah ingka perubahan raa-raa nilai opsi erhadap harga saham. Gamma adalah ingka perubahan dela unuk suau nilai opsi erhadap harga saham. hea adalah ingka perubahan raaraa nilai opsi erhadap waku. Vega adalah ingka perubahan raa-raa nilai opsi erhadap volailias. Sedangkan Rho adalah ingka perubahan raa-raa nilai opsi erhadap suku bunga. Dalam karya ilmiah ini hanya akan dibahas dela. III. PEMBAHASAN Dalam bab ini akan dijelaskan model Black-Scholes yang digunakan unuk menenukan rasio lindung nilai (hedge raio) pada opsi ipe Eropa. Pada bagian perama akan diberikan komponen-komponen yang dimiliki oleh nilai opsi ipe Eropa. Pada bagian kedua diberikan model Black- Scholes yang digunakan unuk menghiung nilai opsi call dan opsi pu ipe Eropa. Selain unuk menghiung nilai opsi ipe Eropa, model Black-Scholes juga digunakan sebagai ala unuk mengendalikan risiko (hedging). Pada bagian keiga akan dijelaskan salah sau eknik unuk mengendalikan risiko, yaiu dengan rasio lindung nilai berupa dela hedging. Sedangkan pada bagian erakhir akan diberikan ilusrasi dari opsi.