PENYELESAIAN NUMERIK INTEGRAL LIPAT DUA DENGAN MENGGUNAKAN INTEGRASI ROMBERG BERBANTUAN MATLAB

PENYELESAIAN NUMERIK INTEGRAL LIPAT DUA DENGAN MENGGUNAKAN INTEGRASI ROMBERG BERBANTUAN MATLAB SKRIPSI Ole : ISWATUL KHASANAH NIM.05006 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MALANG 008

PENYELESAIAN NUMERIK INTEGRAL LIPAT DUA DENGAN MENGGUNAKAN INTEGRASI ROMBERG BERBANTUAN MATLAB SKRIPSI Diajua Kepada: Uivrsitas Islam Negeri Malag Utu Memeui Sala Satu Persyarata Dalam Mmperole Gelar Sarjaa Sais (S. Si) Ole : ISWATUL KHASANAH NIM.05006 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MALANG 008

PENYELESAIAN NUMERIK INTEGRAL LIPAT DUA DENGAN MENGGUNAKAN INTEGRASI ROMBERG BERBANTUAN MATLAB SKRIPSI Ole : ISWATUL KHASANAH NIM.05006 Tela disetujui utu diuji Malag, 7 Februari 008 Dose pembimbig I Dose Pembimbig II Wayu Hey Irawa, M.Pd NIP. 50 00 5 Amad Barizi, M.A NIP. 50 8 99 Megetaui, Ketua Jurusa Matematia Sri Harii, M. Si NIP. 50 8

PENYELESAIAN NUMERIK INTEGRAL LIPAT DUA DENGAN MENGGUNAKAN INTEGRASI ROMBERG BERBANTUAN MATLAB SKRIPSI OLEH ISWATUL KHASANAH NIM. 05006 Tela Dipertaaa Di Depa Dewa Peguji Sripsi da Diyataa Diterima Sebagai Sala Satu Persyarata Utu Memperole Gelar Sarjaa Sais Taggal 08 April 008 Susua Dewa Peguji: Tada Taga. Peguji Utama : Evawati Alisa, M.Pd ( ). Ketua : Usma Pagalay,M. Si ( ). Seretaris : Wayu Hey Irawa, M.Pd ( ). Aggota : Amad Barizi, M.A ( ) Megetaui da megesaa, Ketua Jurusa Matematia Sri Harii, M. Si NIP. 50 8

5 KATA PENGANTAR Syuur Alamdulilla peulis atura eadirat Alla SWT, yag tela melimpaa segala ramat, tauiq, idaya da iaya-nya, seigga peulis dapat meyelesaia sripsi yag berjudul Peyelesaia Numeri Itegral Lipat Dua dega Megguaa Itegrasi Romberg Berbatua Matlab. Salawat serta salam seatiasa Peulis pajata epada jujuga Nabi Besar Muammad SAW, yag tela membimbig e jala yag Bear, yaitu jala yag di Ridai Alla SWT. Dalam meyelesaia sripsi ii, tetuya tida lepas dari batua, duuga, araa, da bimbiga dari berbagai pia. Ole sebab itu, pada esempata ii, peulis meyampaia ucapa terima asi yag ta terigga epada:. Pro. Dr. H. Imam Suprayogo, selau retor UIN Malag.. Pro. Drs. Sutima Bambag Sumitro, SU., DSc, selau Dea Faultas Sais da Teologi UIN Malag.. Sri Harii, M.Si, selau Ketua Jurusa Matematia Faultas Sais da Teologi UIN Malag.. Wayu Hey Irawa, M.Pd, selau Dose Pembimbig Matematia yag tela memberia pegaraa da bimbiga epada peulis seigga peulisa sripsi ii dapat terselesaia 5. Amad Barizi, M. A, selau Dose Pembimbig Kajia Keagamaa yag tela membimbig da memberi masua epada peulis dalam peulisa ajia agama dalam sripsi ii.

6 6. Seluru Dose matematia yag seatiasa bersedia meluaga watu dalam membimbig peulis serta memberia ilmuya dalam beberapa tau ii. 7. Ayaada M.Roiudi, Ibuda Mujiatul Uma, adi Lail da saudarasaudarau yag selalu memberia duuga, semagat da do a yag tiada terira. 8. Tema-tema matematia agata 00 yag selalu siap membatu da memotivasi peulis selama ii. 9. Semua pia yag turut membatu da medampigi peulis selama ii, terima asi baya. Peulis meyadari bawa dalam peulisa sripsi ii masi baya euraga da eilaa. Ole area itu, riti da sara yag bersiat medidi da membagu sebagai motivasi dalam peulisa sripsi ii sagat peulis arapa. Semoga asil sripsi ii dapat memberia maaat epada peulis ususya da pembaca pada umumya. Semoga Alla seatiasa melimpaa petuju da ramat-nya epada seluru umat yag seatiasa megarapa rido-nya. Malag, 7 Maret 008 Peulis

7 DAFTAR ISI KATA PENGANTAR...i DAFTAR ISI...iii DAFTAR TABEL...v DAFTAR GAMBAR...vi ABSTRAK...vii BAB I: PENDAHULUAN.... Latar Belaag.... Rumusa Masala...5. Batasa Masala...6. Tujua Peulisa...6.5 Maaat Peulisa...6.6 Metode Peelitia...9.7 Sistematia Peulisa...7 BAB II: KAJIAN PUSTAKA...0. Metode Numeri...0. Itegral Lipat Dua...7. Fugsi...9.. Fugsi Aljabar...9.. Fugsi Espoe...9. Estrapolasi Ricardso...0.5 Metode Romberg...5.5. Rumus Trapesium Reursi...5

8.5. Atura Simpso Reursi...7.. Atura Boole Reursi...9.. Metode Romberg...0 BAB III: PEMBAHASAN...5. Algoritma Itegral Lipat Dua dega Metode Romberg...5.. Coto Peyelesaia Itegral Lipat Dua...7. Flowcart Itegral Lipat Dua dega Metode Romberg.... Program Matlab dalam Meyelesaia Itegral Lipat Dua dega Metode Romberg...6 BAB IV: PENUTUP...6. Kesimpula...6. Sara...6 DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN

9 DAFTAR TABEL Tabel. Titi-titi di dalam selag [0, ] dega = 0,5... Tabel. Proses Itegrasi Romberg... Tabel. Selesaia Itegrasi Pertama Romberg...

0 DAFTAR GAMBAR Gambar. Peyelesaia permasalaa matematis... Gambar. Peyelesaia Itegral Lipat dua dega Metode Romberg...5

ABSTRAK Kasaa, Iswatul. 008, Peyelesaia Numeri Itegral Lipat Dua Dega Megguaa Itegrasi Romberg Berbatua Matlab, Sripsi, Jurusa Matematia Faultas Sais da Teologi Uiversitas Islam Negeri Malag Pembimbig: Wayu Hey Irawa, M. Pd da Amad Barizi, M. A Kata uci: Metode umeri, Itegral lipat, itegrasi Romberg, Matlab Peerapa itegral dalam bidag sais da reayasa umumya memilii ugsi yag sulit diselesaia secara aaliti. Peyelesaia tersebut dapat di sederaaa da ditemua selesaiaya dega megguaa metode umeri. Pemilia selesaia dega cara yag lebi muda diajura di dalam Al-Qur a pada S. Al-Baqara ayat 85, yaitu Alla megedai emudaa bagimu, da tida megedai esuara bagimu. Dega beragamya metode dalam meyelesaia itegral secara umeri, maa metode yag diguaa arus memilii etelitia yag tiggi seigga mampu memberia asil itegrasi yag medeati atau sama dega ilai esa. Berdasara al tersebut maa rumusa masala peelitia ii adala bagaimaa prosedur da program peyelesaia umeri itegral lipat dega megguaa metode Romberg. Dega demiia tujua peulisa ii adala medesripsia bagaimaa prosedur da program peyelesaia umeri itegral lipat dega megguaa metode Romberg. Aa tetapi, peelitia ii memilii batasa-batasa, yaitu terdiri dari dua variabel bebas yaitu x da y, (x,y) merupaa ugsi aljabar da ugsi espoesial, batas itegral lipat berilai osta (a, b, c da d). Da program yag diguaa adala matlab 5.. Metode Romberg merupaa metode perbaia dari metode trapesium. Hal tersebut didasara pada esalaa pemotoga dari aida trapesium yag ampir sebadig dega uadrat lebar pias ( ). Ketelitia dalam metode Romberg juga di dasara pada pegguaa estrapolasi Ricardso. Dega demiia, pegituga itegrasi ugsi dilaua dega dua cara periraa I() da I() utu memperole asil yag lebi cermat I I ( ), I( ). Peyelesaia itegral lipat dua dega metode Romberg yag megguaa batua omputer berarti membuat suatu proses atau prosedur yag merupaa uruta dari laga-laga atau istrusi-istrusi dalam meyelesaia itegral lipat dua dega metode Romberg. Hal tersebut meliputi algoritma, lowcart (baga alir), pemerisaa program, produsi da iterpretasi. Dalam peelitia ii, coto yag diberia peulis adala ugsi aljabar yaitu (x,y) = xy. Peyelesaia dilaua secara aalitis, metode Romberg maual da metode Romberg omputasi. Adapu laga-laga peyelesaia itegral lipat dega metode Romberg adala (a) Medeiisa itegra da batas-batas itegra, (b) meetua bayaya iterasi (N), (c) Pili batas itegra yag aa diselesaia, (d) Hitug ilai, (e) Hitug R(N,) dega megguaa rumus trapesium, () Hitug R(r, s) dega megguaa metode Romberg, (g) Hasil () diitegrasia lagi atau embali e laga (d). () Hasil itegrasi diperole pada baris da

olom terair. Hasil itegrasi dari etiga cara peyelesaia mempuyai asil itegrasi yag sama yaitu 60 satua. Dega batua program matlab, asil itegrasi diperole dalam watu sigat yaitu 0,5 deti. Hal ii jau lebi eisie bila dibadiga dega pegituga secara aalitis da metode Romberg maual.

BAB I PENDAHULUAN. Latar Belaag Pegguaa matematia dalam memecaa suatu persoala dalam eidupa yata yaitu dega meguba atau meyajia masala yag ada dalam suatu model atau osep yag tepat. Pegubaa ii berarti meerjemaa baasa eidupa yata da ompoe-ompoe yag ada pada suatu masala e dalam baasa matematia yag diyataa dalam betu simbol-simbol. Hal tersebut meruju pada ciri as matematia yag bersiat abstra da megguaa baasa simbol. Sala satu peyelesaia matematia yag dipili peulis dalam peulisa arya ii adala itegral. Peerapa itegral terdapat baya ditemui dalam bidag sais da reayasa, seperti megitug persamaa ecepata da meguur lus paas mataari. Coto-coto tersebut umumya memilii ugsi yag betuya rumit seigga suar diitegrala secara aaliti. Dalam al demiia, peyelesaia tersebut sebearya dapat dicari dega metode umeri, dimaa pegguaa metodeya megasila solusi ampira yag memag tida tepat sama dega solusi sejati. Aa tetapi, ita dapat meetua selisi atara eduaya (galat) seecil mugi. Metode umeri adala tei yag diguaa utu memormulasia persoala matemati seigga dapat dipecaa dega operasi ituga atau aritmatia biasa (tamba, urag, ali da bagi) (Muir, 00: 5).

Meyelesaia permasalaa matematia dalam betu operasi itug da bilaga aa mempermuda dalam memperole asil peyelesaia yag diigia. Hal ii sesuai dega ajura Alla, bawa dalam melaua sesuatu erjaala yag diaggap muda bagi ita area Alla megedai emudaa bagi ita da tida megedai esuara bagi ita, seperti dalam irma-nya beriut ii: Alla megedai emudaa bagimu, da tida megedai esuara bagimu.(qs. Al-Baqara / : 85). Dega demiia, maa arapa peulis dega megguaa metode umeri dalam peyelesaia matemati pada peulisa sripsi ii adala mempermuda peulis serta peggua utu meyelesaia permasalaa matematis yag sulit diselesaia secara aaliti. Proses ituga metode umeri dapat dilaua dega megguaa sala satu dari betu proses ituga yag palig eisie da memerlua watu itug yag palig cepat. Operasi ituga dalam metode umeri pada umumya dilaua dega iterasi seigga jumla ituga yag dilaua baya da berulag-ulag. Ole area itu, diperlua batua omputer utu melasaaa operasi ituga tersebut. Komputer merupaa alat eletroi yag dapat beroperasi dega ecepata tiggi, megasila asil yag teliti, mampu meyimpa sejumla besar eteraga da melaua seragaia operasi yag pajag da rumit.

5 Adapu laga peyelesaia suatu persoala dega omputer dimulai dega: () Pegeala persoala da sasara. Hal ii mecaup pemilia pedeata secara umum, peetua ombiasi sasara yag arus dipeui ole sistem, da peetapa odisi yag diperlua agar pemecaa persoala dilaua. () Uraia matematia, () Aalisa umeri, () Program omputer. Prosedur umeri arus diyataa secara tepat dalam betu operasi omputer, pertama-tama operasi ditulis dalam betu grai dalam suatu diagram balo. Prosedur arus diyataa dalam suatu baasa yag dimegerti omputer. Selajutya dega pedoma diagram tersebut ditulisa suatu program yag dimegerti mesi, (5) Pemerisaa program, (6) Produsi, (7) Iterpretasi (Djodjodiardjo, 98: 99) Baasa pemrogarama yag dipili peulis utu membatu peyelesaia peulisa ii adala Matlab. Karea program ii coco utu aalisis da omputasi umeri. Matlab (Matrix Laboratory) adala baasa caggi utu omputasi tei. Di dalamya terdapat emampua pegituga visualisasi da pemrograma dalam suatu liguga yag muda utu diguaa area permasalaa da pemecaaya diyataa dalam otasi matematia biasa (Aziz, 006: ). Hal tersebut memugia peulis utu memecaa peyelesaia itegral lipat dalam watu yag sigat. Peyelesaia itegral dega metode umeri ada beberapa macam seperti metode Trapesium, Simpso, Gauss uadratur da metode-metode lai yag berderajat lebi tiggi (didasara pada poliomial iterpolasi ewto s) yag

6 bisa ita pelajari di buu-buu padua seperti metode umeri da aalisis umeri. Aa tetapi, tetag bagaimaa tei peyelesaia itegral lipat dega megguaa metode umeri jarag ditemui da dipapara secara gamblag. Ole sebab itu, peulis tertari utu meeliti tetag peyelesaia itegral lipat ususya itegral lipat dua. Jia ugsi yag diitegrasia mempuyai satu variabel, proses disebut Quadrature Mecaic, da bila ugsi mempuyai dua variabel bebas, proses disebut Cubature Mecaic (Nasutio da Zaaria, 00:0). Itegral lipat dua (double Itegrals) R ( x, y) dxdy adala itegral ugsi (x,y) pada daera batas R dari bidag xy (Weber, 999: 79). Tasira geometri dari itegral gada adala megitug volume ruag di bawa permuaa urva (x, y) yag alasya adala berupa bidag yag dibatasi ole garis-garis x = a, x = b, y = c da y = d. Volume beda yag berdimesi tiga adala V = luas alas x tiggi. Solusi itegral lipat dua diperole dega melaua itegrasi dua ali. Pertama dalam ara x (dalam al ii ilai, ilai y tetap) selajutya dalam ara y (dalam al ii ilai, ilai x tetap), atau sebaliya. Dalam ara x berarti ita megitug luas alas beda, sedaga dalam ara y berarti ita megalia alas dega tiggi utu memperole volume beda (Muir, 00:6). Adapu metode itegrasi yag diguaa peulis utu meyelesaia itegral lipat dua adala itegrasi Romberg. Hal tersebut didasara pada perolea ilai itegrasi yag semai cermat bila dibadiga dega metode

7 itegrasi laiya. Itegrasi Romberg merupaa metode perbaia dari metode itegrasi umeri. Hal tersebut didasara pada esalaa pemotoga dari metode trapesium yag besarya ampir sebadig dega uadrat lebar pias ( ). Itegrasi Romberg didasara pada perluasa estrapolasi Ricardso, seigga di dalamya terdapat ituga itegrasi ugsi dega dua cara periraa I( ) da I( ) yag megaibata order galat pada asil selesaiaya ai sebesar dua. Apabila order galat ai maa ilai galat semai ecil. Da apabila ilai galat semai ecil, maa ilai itegrasi umeriya aa dapat memberia ilai yag medeati atau sama dega ilai esa. Berdasara al tersebut, maa arapa peulis dega megguaa itegrasi Romberg dalam meyelesaia itegral lipat dua pada peulisa sripsi ii adala itegrasi Romberg mampu memperecil esalaa ituga da memugia memberia asil yag medeati ilai esa (ilai sesugguya). Dega alasa tersebutla, maa peulis tertari utu membuat sripsi ii dega judul Peyelesaia Numeri Itegral Lipat Dua Dega Megguaa Itegrasi Romberg Berbatua Matlab.. Rumusa Masala Dega latar belaag di atas, maa rumusa masala peulis adala:. Bagaimaa prosedur peyelesaia umeri itegral lipat dua dega megguaa itegrasi Romberg.. Bagaimaa program peyelesaia umeri itegral lipat dua dega megguaa itegrasi Romberg.

8. Batasa Masala Dalam peelitia ii peulis membatasi ruag ligup permasalaa peelitia atara lai:. Peyelesaia itegral lipat dibatasi pada dua variabel bebas yaitu x da y.. (x,y) merupaa ugsi aljabar da ugsi espoesial.. Batas itegral lipat berilai osta (a, b, c da d).. Itegrasi umeri yag dilaua sampai iterasi e-5. 5. Program yag diguaa adala matlab 5... Tujua Peulisa Adapu tujua peulisa ii adala:. Medesripsia laga-laga peyelesaia umeri itegral lipat dua dega megguaa itegrasi Romberg.. Medesripsia program peyelesaia umeri itegral lipat dua dega megguaa itegrasi Romberg..5 Maaat peulisa.5. Bagi Peulis Sebagai suatu betu partisipasi peulis dalam memberia ostribusi teradap pegembaga eilmuwa, ususya dalam bidag metematia Sebagai suatu betu pegembaga da pegapliasia pegetaua da eilmuwa peulis, ususya metode umeri dalam itegral lipat..5. Bagi Pembaca Sebagai motivasi epada para pembaca agar dapat mempelajari da megembaga matematia.

9 Sebagai suatu tambaa pegetaua bidag matematia ususya metode umeri..5. Bagi Lembaga Sebagai baa pegembaga, perbaia eilmuwa da pemadua sais da teologi. Sebagai baa pustaa tetag mata ulia metode umeri..6 Metode Peelitia.6. Pedeata peelitia Metode peelitia yag diguaa peulis adala studi literatur (perpustaaa). Peelitia perpustaaa bertujua megumpula data da iormasi dega batua bermacam-macam materiil yag terdapat di ruag perpustaaa, seperti: buu-buu, majala, doume, catata da isa-isa sejara da lai-laiya (Mardalis, 00:8)..6. Baa Kajia Karea metode ajia ii berupa studi literatur (epustaaa), maa baa ajia yag diguaa ole peulis berupa literatur/ buu-buu yag berubuga dega peelitia ii yaitu aalisis umeri, alulus peuba baya, metode umeri, matlab, artiel da lai-laiya..6. Pegumpula data Pegumpula data adala sala satu proses dari pegadaa data/iormasi utu eperlua peulisa. Pada taap ii peulis memili metode doumetasi yaitu pegumpula data yag dilaua secara itesi, dega cara mecari buu-buu yag berada di perpustaaa,

0 memotoopi berbagai doume yag beraita, iteret da osultasi e para paar..6. Aalisis data Setela peulis megumpula data emudia diaalisis dega cara otes atau ajia isi. Meurut Kriopedor (980) ajia isi adala ajia yag memaaata seperagat prosedur utu meari esimpula yag objeti da sistematis. Adapu metode aalisis peulis sebagai beriut:. Mecari da memaami materi atau teori dasar yag berubuga dega itegral lipat dua, itegrasi Romberg, da matlab.. Meyelesaia itegral lipat dua dega itegrasi Romberg.. Membuat algoritma peyelesaia umeri itegral lipat dua dega itegrasi Romberg.. Memberia coto yag diselesaia secara aalitis, maual da program selesaia itegrasi Romberg. 5. Aalisis asil output dari etiga cara tersebut..6.5 Membuat esimpula Kesimpula merupaa gambara rigas dari pembaasa atas apa yag diteliti (peyelesaia umeri itegral lipat dua dega itegrasi Romberg). Kesimpula ii di dasara pada data yag tela diumpula da merupaa jawaba dari permasalaa yag diemuaa..6.6 Melapora (membuat lapora)

Laga terair dari egiata peelitia adala meyusu lapora peelitia tersebut..7 Sistematia Peulisa Agar peulisa sripsi ii tersusu secara sistematis, maa peulis memberia sistematia peulisa sebagai beriut: Bab I : Pedaulua. Bab ii membaas tetag isi eselurua peulisa sripsi yag terdiri dari latar belaag, rumusa masala, batasa masala, tujua peulisa, maaat peulisa, metode peelitia, da sistematia peulisa. Bab II: Kajia Teori. Bab ii memapara tetag teori-teori yag berubuga dega peulisa sripsi ii seperti metode umeri, itegral lipat dua, itegrasi Romberg, da Matlab. Yag dimulai dega desripsi tetag metode umeri, deiisi itegral lipat dua, estrapolasi Ricardso, metode Trapesium reursi, metode Simpso reursi, metode Boole reursi, itegrasi Romberg da desripsi tetag program Matlab. Bab III: Pembaasa. Bab ii memuat tetag peyelesaia itegral lipat dua dega metode Romberg, algoritmaya da perbadiga asil output pada ugsi yag dibaas secara rici. Bab IV: Peutup. Bab ii merupaa bab terair yag didalamya berisia tetag esimpula dari pembaasa (Bab III) da sara-sara.

BAB II KAJIAN PUSTAKA. Metode Numeri Persoala yag melibata model matematia baya mucul dalam berbagai disipli ilmu pegetaua seperti dalam bidag isia, imia, eoomi, atau pada persoala reayasa (egieerrig), seperti tei sipil, tei mesi, tei eletro da lai sebagaiya. Serigali model matematia tersebut mucul dalam betu yag tida ideal alias rumit. Model matematia yag rumit ii adaalaya tida dapat diselesaia dega metode aaliti yag secara umum utu medapata solusi sejatiya (exact solutio) (Muir, 00: ). Utu megatasi masala tersebut, diguaala metode umeri utu meyelesaia model matematia tersebut. Dalam Metode umeri tida megutamaa diperoleya jawaba esa (tepat) dari persoala yag sedag diselesaia. Peyelesaia yag diguaa adala peyelesaia pedeata atau periraa. Walaupu demiia, asil peyelesaia tersebut aa sagat membatu dalam meyelesaia permasalaa matematis yag diadapi peggua. Berbagai cara yag dilaua dalam mecari suatu peyelesaia dari suatu persamaa itu diperbolea, asala peyelesaia yag dilaua bai da sesuai dega atura atau uum dari metode yag diguaa. Hal ii sesuai dega irma Alla dalam Qs. A-Nisâ ayat 6:

Demi Alla, ami seali-ali tida megedai selai peyelesaia yag bai da perdamaia yag sempura (Qs. A-Nisâ / : 6 ). Metode umeri adala tei utu meyelesaia permasalaapermasalaa yag diormulasia secara matematis dega cara operasi ituga (aritmatic). Dalam metode umeri terdapat beberapa betu proses ituga / algoritma utu meyelesaia suatu tipe persamaa matematis. Hituga umeri dapat dilaua dega megguaa sala satu dari betu proses ituga yag palig eisie yag memerlua watu ituga palig cepat. Operasi ituga yag dilaua dega iterasi dalam jumla yag sagat baya da berulag-ulag. Ole area itu, diperlua omputer utu melasaaa operasi ituga tersebut. Tapa batua omputer metode umeri tida baya memberia maaat (Triatmodjo, 00: ). Berdasara uraia di atas dietaui bawa peyederaaa metode umeri dalam meyelesaia suatu masala yaitu dega diormulasiaya secara matematis permasalaa-permasalaa yag diadapi dega cara operasi ituga seperti: pejumlaa, peguraga, peralia da pembagia. Dega al tersebut, maa aa terjadi emudaa dalam mecari peyelesaia suatu permasalaa yag sulit diselesaia secara aalitis. Peristiwa tersebut sebearya tela tersirat dalam Qs. Alam Nasyra ayat 5 yag berbuyi: Karea sesugguya sesuda esulita itu ada emudaa.

Dari ayat tersebut disebuta bawa sesuda megalami esulita disitu ada emudaa. Hal ii seperti dalam peyelesaia matematis yag sulit diselesaia dega aalitis, aa terjadi emudaa dalam meyelesaiaya dega megguaa metode umeri area di dalamya aya megadug operasi ituga yag sederaa (aritmatic). Peyelesaia permasalaa matematis Ditemua Aaliti Numeri Selesaia Sulit ditemua Peyederaaa masala Selesaia (+, -, x, :) Gambar.: Peyelesaia permasalaa matematis Dega demiia dalam meyelesaia suatu permasalaa diajura megguaa cara yag tida meimbula esulita bagi ita. Hal ii sesuai dega ajura Alla, bawa dalam melaua sesuatu erjaala yag diaggap muda bagi ita area Alla megedai emudaa bagi ita da tida megedai esuara bagi ita, seperti dalam irma-nya beriut ii: Alla megedai emudaa bagimu, da tida megedai esuara bagimu (Qs. al-baqara / : 85). Pegguaa omputer dalam metode umeri atara lai utu memprogram. Laga-laga metode umeri diormulasia mejadi program omputer.

5 Program ditulis dega baasa pemrograma tertetu, seperti FORTRAN, PASCAL, C, C++, BASIC da sebagaiya (Muir, 00: 9) Dalam mempelajari metode umeri, atau meerapaya, ada beberapa pemiira dasar yag meladasiya, bai berupa maaat (modal, asset) maupu edala. Lima butir poo pemiira dasar diataraya disampaia beriut ii. Pertama, perlu dipaami bawa setiap perituga (omputasi) mempuyai tujua, tetapi perlu diperatia adala masud utama dari perituga adala pegayata masala, bua aya utu memperole bilaga, da utu itu setida-tidaya arus diperola bilaga yag tepat. Selajutya, dalam melaua perituga, edaya dipili proses perituga atau algoritma yag eisie, yaitu yag memerlua watu pegituga sepede mugi. Kedua, bila tujua omputasi adala pegayata masala, maa perlu dipelajari ciri elompo masala da aita atara elompo satu dega yag laiya, bilamaa mugi, da rumus serta algoritma yag terlalu usus siatya (atau dalam termiologi matemati), perlu diidari. Ketiga, meyagut galat (esalaa) pembulata. Galat pembulata timbul area dalam apliasiya, bilaga aya diyataa dalam aga (digit) yag terbatas jumlaya. Keempat, meyagut eterbatasa proses omputasi bila dilasaaa ole mesi. Karea ecepata mesi mempuyai ecepata terbatas, maa utu selag watu tertetu aya dapat melaua operasi omputasi yag terbatas jumlaya. Ole area itu timbul Galat (esalaa) pemotoga.

6 Kelima, umpa bali (eedbac), bilaga yag diasila pada satu taap aa diperguaa ole omputer utu omputasi taap beriutya. Suatu program omputasi aa mempuyai suau jalur ulag (loop) silus selajutya (Joyodiardjo, 000: ). Ada eam taap yag dilaua dalam pemecaa persoala duia yata dega metode umeri, yaitu:. Pemodela Ii adala taap pertama. Persoala duia yata dimodela e dalam persamaa matematia.. Peyederaa model Model matematia yag diasila dari taap mugi saja terlalu omples, yaitu memasua baya peuba (variabel) atau parameter. Semai omples model matematiaya, semai rumit peyelesaiaya. Mugi beberapa adaia dibuat seigga beberapa parameter dapat diabaia.. Formulasi umeri Taap selajutya adala memormulasiaya secara umeri, atara lai: a. meetua metode umeri yag aa dipaai bersama-sama dega aalisis galat awal (yaitu tasira galat, peetua uura laga da sebagaiya). Pemilia metode didasari pada pertimbaga: - apaa metode tersebut teliti? - Apaa metode tersebut muda diprogram da watu pelasaaaya cepat?

7 - Apaa metode tersebut tida pea teradap perubaa data yag cuup ecil? b. Meyusu algoritma dari metode umeri yag dipili. Pemrograma Taap selajutya adala meterjemaa algoritma e dalam program omputer dega megguaa sala satu baasa pemrograma yag diuasai. 5. Operasioal Pada taap ii, program omputer dijalaa dega data uji coba sebelum data yag sesugguya. 6. Evaluasi Bila program sesuda selesai dijalaa dega data yag sesugguya, maa asil yag diperole diiterpretasi. Iterpretasi meliputi aalisis asil ru da membadigaya dega prisip dasar da asil-asil empiri utu measir ualitas solusi umeri, da eputusa utu mejalaa embali program dega utu memperole asil yag lebi bai. (Muir, 00: ) Pada umumya metode umeri tida megutamaa diperoleya jawaba esa (tepat) dari persoala yag sedag diselesaia. Peyelesaia yag diguaa adala peyelesaia pedeata, ole area itu biasaya timbul eror (esalaa). Ada beberapa jeis error yag biasa terjadi dalam pegituga aalisa umeri, jeis- jeis error ii adala:

8. Trucatio Error Adala error yag tejadi aibat pegguaa metode itu sediri dalam meyelesaia suatu persoala matematia.. Roud-o Error Adala error yag terjadi aibat pembulata suatu bilaga sampai pada beberapa digit tertetu.. Error pada data iput (error i origial data) Adala error yag terjadi aibat gaggua yag ada pada data iput yag aa diproses, atau adaya iormasi tertetu yag tida dietaui (uow iormatio) teriut dalam proses ituga.. Bluders (Gross Error) Adala eror yag terjadi aibat esalaa mausia atau mesi itug yag diguaa, error jeis ii bisa diuragi dega melaua peerjaa berulag-ulag da memili mesi itug yag bai ualitasya. 5. Kesalaa mutla, Kesalaa relati da prosetase esalaa Kesalaa mutla (absolute error) Adala selisi dari ilai sebearya dega ilai yag didapat dari perituga atau peguura. Kesalaa relati (relative error) Adala esalaa,absolut dibagi dega ilai sebearya. Prosetase esalaa Adala besarya relati error dialia dega 00%. (Mui da Hidayatulla, 00: )

9. Itegral lipat dua Dalam bidag tei, itegral serig mucul dalam betu itegral gada dua (atau lipat dua) atau itegral gada tiga (lipat tiga). Persamaa itegrasi lipat dua termasu itegrasi Qubature mecaic, dega ugsi itegra mempuyai dua variabel bebas. Itegrasi diyataa sebagai: I ( x, y) da atau A d b b d ( x) I ( x, y) dxdy ( x, y) dy dx (.) c a a c( x) (Nasutio da Zaaria,00: 0) Tasira geometri dari itegral gada adala megitug volume ruag di bawa permuaa urva (x,y) yag alasya adala berupa bidag yag dibatasi ole garis x=a, x=b, y=c da y=d. Volume beda berdimesi tiga adala V = luas alas x tiggi (Muir, 00: 6). Peritugaa itegral lipat palig muda diselesaia dega itegrasi parsial secara berturut-turut, yag merupaa ebalia dari dieresiasi parsial. Dega demiia, utu megitug itegral lipat, suatu ugsi dari dua variabel bebas diitegrasia teradap sala satu variabel bebas tadi semetara variabel yag lai diaggap osta, asil dari itegrasi parsial ii emudia diitegrasia teradap variabel bebas yag tadiya diaggap osta. (Weber,999: 79) Dalam ara x berarti ita megitug luas alas beda, sedaga dalam ara y berarti ita megalia alas dega tiggi utu memperole volume beda (Muir, 00: 6).

0 Dalam peulisa sripsi ii batas bawa da batas atas merupaa bilaga real, seigga dalam peyelesaiaya mejadi: d b I ( x, y) da atau I ( x, y) dx dy atau I ( x, y) dy dx. A c a a c b d Dega demiia, peyelesaiaya megasila ilai itegrasi dalam betu aga bua ugsi. Peratia Qs. Fussilat ayat beriut ii: Maa Dia mejadiaya tuju lagit dalam dua masa. Dia mewayua pada tiap-tiap lagit urusaya. Da Kami iasi lagit yag deat dega bitag-bitag yag cemerlag da Kami memeliaraya dega sebaibaiya. Demiiala etetua Yag Maa Perasa lagi Maa Megetaui (Qs. Fussilat / : ). Bila Qs. Fussilat ayat di atas diitegrasia dalam baasa matematia, maa ita misala tuju lagit adala ugsi ((x,y)), dega x da y adala lagit, sedaga dua masa meyataa itegral yag dilaua dua ali. Dalam otasi matematia dapat di tulis sebagai beriut: V 7 dxdy L Proses peyelesaiaya yaitu dega mecari ilai-ilai pada masig-masig masa utu setiap lagit, seigga asil peyelesaiaya yaitu tuju lagit dega iasa bitag-bitag yag gemerlapa.

. Fugsi Dalam sistem oordiat artesius ugsi dapat dibagi mejadi yaitu:.. Fugsi Aljabar Fugsi disebut ugsi aljabar jia diyataa sebagai jumlaa, selisi, asil ali, asil bagi, pagat, ataupu aar ugsi-ugsi suu baya. Coto: ( x) x x ( x x ) Adapu ugsi suu baya berderajat mempuyai persamaa sebagai beriut: x... ( x) P ( x) a0 a a x Dega bilaga bulat ta egati, a,..., a adala bilaga-bilaga real da a 0... Fugsi Trasede Fugsi yag bua ugsi aljabar disebut ugsi trasede. Beberapa coto ugsi trasede adala ugsi trigoometri, ugsi logaritma, ugsi espoesial, ugsi iperboli. Pembaasa dalam sripsi ii berubuga dega ugsi espoesial da aljabar, seigga pejabara ugsi lebi diousa pada ugsi espoesial da aljabar. Fugsi espoe Misal terdapat bilaga a>0. Selajutya ugsi yag dideiisia sebagai (x) = a x disebut ugsi espoesial dega basis a.

Fugsi espoe e x Fugsi yag mempuyai betu e x disebut ugsi espoe atural atau ugsi espoe dega basis e. Bilaga e adala bilaga irasioal yag besarya adala,7888. Estrapolasi Ricardso Padag aida trapesium b a ''( t) ( b a) ( x) dx 0 i i yag dapat ditulis sebagai b ( x) dx I ( ) C a Secara umum, aida itegrasi dapat ditulis sebagai b a ) q ( x) dx I( C (.) dega C da q adala ostata yag tida begatug pada. Nilai q dapat ditetua lagsug dari orde galat aida itegrasi,misalya Kaida trapesium, O( ) q = Kaida titi tega, O( ) q = Kaida / simpso, O( ) q = Tujua estrapolasi Ricardso iala megitug ilai itegrasi yag lebi bai (improve) dibadiga dega I. Misala J adala ilai itegasi yag lebi bai daripada I dega jara atar titi adala : J= I() + C q (.)

Estapolasia mejadi, lalu itug itegrasi umeriya J = I() + C() q (.) Elimiasia C dari edua persamaa dega meyamaa persamaa (.) da persamaa (.): I() + C q = I() + C() q (.5) Seigga diperole C I( ) q ( I() q ) (.6) Sulia (.6) e dalam (.) utu memperole I( ) I() J I( ) (.7) q Yag merupaa persamaa estrapolasi Ricardso. Estapolasi Ricadso dapat ita artia sebagai beriut: Mula-mula itugla ilai itegrasi dega aida yag suda bau dega jara atar titi selebar utu medapata I(), emudia itug embali ilai itegrasi dega jara atar titi selebar utu mempeole I(). airya,itug ilai itegrasi yag lebi bai dega megguaa persamaa (.7). Coto.. Hitug embali itegral dx x 0 Dega megguaa estrapolasi Ricardso, yag dalam al ii I() da I() diitug dega aida trapesium da = 0,5

Peyelesaia: Jumla selag =( 0)/0,5 = 8 Tabel.: Titi-titi di dalam selag [0, ] dega = 0,5: r x r 0 0 0,5 0,88889 0,50 0,80000 0,75 0,777 0,500 0,66667 5 0,65 0,658 6 0,750 0,57 7 0,875 0,5 8,000 0,5000 r I() adala ilai itegrasi dega aida trapesium megguaa =0,5: I( ) dx / 0 5 6 7 x 0 = 0,5/ ( + (0,88889) + (0,80000) + (0,777) + (0,66667) + (0,658) + (0,57) + (0,5) + 0,5000) = 0,69 I() adala ilai itegrasi dega aida trapesium megguaa = 0,50 8 I( ) dx / 0 6 x 0 8 = 0,50/ ( + (0,80000) + (0,66667) + (0,57) + 0,5000) = 0,6970 Nilai itegrasi yag lebi bai J, diperole dega estrapolasi Ricardso: J I( ) I( ) q I()

5 yag dalam al ii, q =, area I() da I() diitug dega aida trapesium (yag mempuyai orde galat = ) J 0,69 0,69 0,6970 0,695 Jadi, tasira ilai itegrasi yag lebi bai adala 0,695. Badiga dega ilai itegrasi sejatiya: I () 0 dx x l( x) x x 0 l() l() 0,6978 yag apabila dibulata e dalam 5 aga bea. (0,6978) = 0,695. Hasilya tepat sama dega ilai itegrasi yag diitug dega estrapolasi Ricardso. (Muir, 00: 0) Berdasara uraia di atas, dietaui bawa peerapa Estrapolasi Ricardso dalam suatu metode adala utu memperecil esalaa metode trapesium. Hal tersebut dimasuda utu memperole ilai periraa yag medeati ilai esa. Dega demiia, pegguaa estrapolasi Ricardso dapat diataa sebagai alterati atau pilia yag lebi bai dari metode sebelumya. Dari uraia tersebut, dapat diilustrasia teradap eomea periaa suatu aum (adam) yag eda memilii istri lebi dari satu, seperti yag terdapat dalam irma Alla Swt. Beriut ii:

6 Da jia amu taut tida aa dapat berlau adil teradap (a-a) perempua yag yatim (bilamaa amu megawiiya), maa awiila waita-waita (lai) yag amu seagi : dua, tiga atau empat. Kemudia jia amu taut tida aa dapat berlau adil, maa (awiila) seorag saja, atau buda-buda yag amu milii. Yag demiia itu adala lebi deat epada tida berbuat aiaya (Qs. A-Nisâ / : ). Dari ayat tersebut di atas, maa dapat digambara sebagai beriut: waita (istri) Pria (adam) waita(istri) Mampu bersiap adil waita(istri) waita (istri) Suatu aum (adam) yag memilii eigia utu meia, diajura utu meia satu waita saja, aa tetapi apabila ada pertimbaga lai yag al tersebut bai secara agama, maa diperbolea meia dega dua, tiga atau empat waita lai yag diseagi. Dega pertimbaga bawa aum (adam) tersebut mampu berlau adil. Da apabila ia tida mampu melauaya, maa diajura dia meia dega seorag waita saja. Da al tersebut merupaa eputusa terbai bagi diriya. Dega demiia, dapat di ataa bawa dalam meetua suatu peyelesaia yag terdapat beragam cara peyelesaiaya. Diajura bagi ita

7 utu memili suatu peyelesaia yag terbai, seperti: pemilia pegguaa estrapolasi Ricardso dalam peyelesaia itegral umeri..5 Metode Romberg Berdasara rumusa estrapolasi, Romberg megitug itegrasi ugsi dega dua cara periraa I( ) da I( ) utu memperole asil yag lebi cermat I I ), I( ) ( (Nasutio da Zaaria, 00: 60). Metode ii dipaai utu evaluasi umeri dari itegral tetu, misalya pegguaa atura trapesium..5. Rumus Trapesium Reursi Teorema. Misala adala suatu ugsi yag terdeiisi pada [a, b] da = (b a). 0 Utu =,,, 8, 0,... atau utu,,,,...,,... ita deiisia barisa atura trapesium T 0, T, T,..., T,... dega T 0 T(, ) ( a) ( b) da T T, =,,,... Barisa atura trapesium tersebut memeui ubuga T T j j, dega i a i (.8) Buti: Misala adala suatu ugsi yag terdeiisi pada [a, b].

8 Misala a x0 x x... x b suatu partisi [a, b] sedemiia igga x x 0 dega = (b a)/ utu = 0,,,,...,. Berdasara rumusa estrapolasi Ricardso, maa itegrasi ugsi dilaua dega megitug dua cara periraa I( ) da I( ). T adala barisa atura trapesium da =,,, 8, 6,... atau 0,,,,...,,..., maa Pertama; T dega lebar setiap subiterval adala, maa di dapat T (, ) 0... 0... 0 (.9) Kedua, jia lebar setiap subiterval diperecil separoya, maa didapat T (, ) 0 (.0) 0 j j j j T (, ) j j (.) Pada (.9) berlau ( x 0 ), sedaga pada (.0) berlau ( x 0 / ), seigga pada (.0) sama dega pada persamaa (.9). Rumus (.) disebut rumus trapesium reursi.

9 Rumus ii memugia pegguaa atura trapesium majemu secara eisie, dega tapa arus megitug ulag ilai-ilai ugsi di beberapa absis yag suda diitug sebelumya. Dalam megitug ampira b a ( x) dx dega atura trapesium reursi, di laua laga-laga sebagai beriut. = b a T0 ( a) ( b) T T 0 T T T ( T ( 8 5 7... ) ) T T j j (Said, 00: 97).5. Atura Simpso Reursi Teorema. Misala : 0,,,,... T adala barisa atura trapesium majemu yag diasila dega atura pada Teorema., da S adala atura Simpso

0 majemu utu ugsi dega subiterval pada iterval [a, b]. Hubuga atara atura Simpso majemu da atura trapesium majemu adala Buti: T T S, utu =,,,... (.) Berdasara atura trapesium reursi pada Teorema., maa atura Simpso reursi dega megguaa estrapolasi Ricardso adala S T T q T area atura trapesium memilii orde galat seilai (q = ), maa diperole S T T T T T T T T T T T S (.) Rumus (.) adala atura Simpso reursi. Rumus ii memugia pegguaa atura Simpso reursi secara eisie, dega tapa arus megitug ulag ilai-ilai ugsi di beberapa absis yag suda diitug sebelumya. Jadi, teorema di atas terbuti.

.5. Atura Boole Reursi Teorema. Misala :,,,... S adala barisa atara Simpso majemu yag diasila dega atura Teorema.. Misala B adala atura Boole majemu utu ugsi dega yai sub iterval sama pajag iterval [a, b], / B 7 7 (.) 5 i dega = b a da i a. Hubuga atara atura Boole majemu da atura Simpso majemu adala 6S S B, utu =,,,... (.5) 5 Buti: Dega rumusa estrapolasi Ricardso, maa atura Boole reursi dega megguaa atura Simpso reursi adala B S S q S area atura trapesium memilii orde galat seilai (q = ), maa diperole B S S S S S S 5

5S S S 5 5 6S S B (.6) 5 Rumus (.6) adala atura Boole reursi. Rumus ii memugia pegguaa atura Boole reursi secara eisie, dega tapa megitug itegrasi dega megguaa rumus uadratur yag cuup pajag da tapa arus megitug ulag ilai-ilai ugsi di beberapa absis yag suda diitug sebelumya. Jadi, teorema di atas terbuti..5. Metode Romberg Pada proses itegrasi Romberg, mula-mula itug uadratur dega lebar laga da. Utu meurua galat ampira itegral dari O ( ) mejadi O( ) dapat diguaa estrapolasi Ricardso, seperti diyataa dalam teorema beriut ii. Teorema. Jia dietaui dua bua ampira R (, ) da (,) R utu ilai Q yag memeui Q R (, ) c c... da Q R (,) c c... maa R (, ) R (,) Q O( ) (.6)

Buti: Misala Q adala ilai itegrasi romberg dega jara atar titi adala : Q R (, ) c c... (.7) Estrapolasia mejadi, lalu itug itegrasi umeriya Q R (,) c c... (.8) Elimiasia C dari edua persamaa dega meyamaa persamaa (.7) da persamaa (.8): R (, ) c c... = R (,) c c... R (, ) R (,) c ( )... Seigga diperole R(, ) ( R(,) ) c (.9) Sulia (.9) e dalam persamaa (.7) utu memperole R (, ) R (,) Q R (, ) O( ) (.0) Persamaa (.0) merupaa itegrasi Romberg. Jadi teorema di atas terbuti. Jia teorema di atas dideiisia dalam barisa uadratur R ( i, j) : i j, j,,,... utu ampira itegral (x) pada [a, b] sebagai R (,), i i (barisa atura trapesium majemu) (.) R (,), i i (barisa atura Simpso majemu) (.) R (,), i i (barisa atura Boole majemu) (.)

maa itegrasi Romberg utu meigata eaurata ampira itegral dapat ditulis sebagai Itegrasi Romberg dega Estrapolasi Ricardso ( R( j, ) R( j, ) R j, ) (.) Utu j, dega ilai awal adala uadratur trapesium b a R(,) T0 ( ( a) ( b)). Algoritma Romberg megasila suatu jajara bilaga segitiga, yag semuaya merupaa ilai-ilai ampira itegral sebua ugsi (x) pada iterval [a, b]. Jajara (array) tersebut tampa seperti tabel. Tabel. Proses Itegrasi Romberg R(, ) R(, ) R(, ) R(, ) R(, ) R(, ) R(, ) R(, ) R(, ) R(, ) R(5, ) R(5, ) R(5, ) R(5, ) R(5, 5) : : : : : R(N, ) R(N, ) R(N, ) R(N, )... R(N,N) (Said, 00: 00) Kolom pertama pada tabel tersebut memuat ampira itegral tetu dega megguaa atura trapesium reursi. Kolom edua merupaa ampira

5 itegral yag sama dega atura Simpso reursi (perbaia pertama). Kolom etiga merupaa ampira itegral yag sama dega atura Boole reursi (perbaia edua). Kolom eempat merupaa merupaa perbaia etiga. Demiia seterusya. Peratia adits Muslim beriut: Diberitaa epada ami dari Abu Bari bi Abi Syaiba diberitaa epada ami dari Wai dari Suya da diabara epada ami dari Muammad bi Musaa diabara epada ami dari muammad bi Ja ar diberitataa epada ami dari Syu ba sebagaimaa dari eduaya dari Qois bi Muslim dari Tariq bi Syiab da adits ii dari Abi Bar, ia berata: pertama seseorag memulai utba pada ari Id sebelum solat maa Marwa berdiri epada seseorag da berata: Solat itu sebelum utba, maa emudia ia berata: suggu tiggalala apa-apa yag ada pada amu, maa Abu Said berata adapu permasalaa ii tela sampai e teliga Rasululla Saw emudia Rosululla bersabda: Barag siapa diatara amu melit suatu emugara, maa rubala dega euasaa, ji tida bisa rubala dega ucapa atau perataa, da jia tida bisa maa cuup dega ati (do a) da ii adala sereda-redaya ima. Diabara epada ami dari Abu Quraib Muammad bi Ala diberitaa epada ami dari Abu Muawiya diberitaa epada ami dari A Masy dari Ismail bi Raja dari bapaya dari Abi Said Al- Kudri da dari Qois bi Muslim dari Tariq bi Syiab dari Abi Said Al-Kudri sebagaimaa diisaa oel Marwa da adits atau berita dari Abi Said dari Nabi Muammad Saw dega adits yag sama dari Syu ba da suya.

6 Dari adits di atas, maa dapat digambara sebagai beriut: Pemasalaa (emugara) Diselesaia Keuasaa Ucapa/ Perataa Hati (do a) Dalam adits di atas, ita dapat memisala emugara adala itegrasi umeri dega metode Trapesium (T ), euasaa adala metode Simpso (S ), ucapa atau perataa adala metode Boole da ati (do a) adala metode Romberg R (, ). Bila dalam eidupa seari-ari, ita dapat megilustrasiaya sebagai beriut: mausia merupaa malu yag palig sempura da mulia di duia ii, areaya mausia dijadia sebagai alia. Dega tugas tersebut maa searusya mausia mampu megadapi emugara di duia ii. Kemugara tersebut dapat di atas dega () Keuasaa, bila dega cara pertama emugara masi belum teratasi, maa ita dapat melaua perbaia peyelesaia dega cara edua yaitu, () Ucapa atau perataa, da apabila masi belum bereti emugara yag dilaua, maa ita dapat melaua peyelesaia yag terair da bai yaitu, () Hati (do a).

7 BAB III PEMBAHASAN. Algoritma Itegral Lipat Dua Dega Metode Romberg Dalam meyelesaia suatu masala yag megguaa batua omputer, pemaai (user) diarapa mampu membuat suatu proses atau prosedur yag merupaa uruta dari laga-laga atau istrusi-istrusi dalam meyelesaia suatu permasalaa. Meurut Yuliispartoo (00: ), sebua algoritma pada aiatya merupaa suatu prosedur yag tepat utu dapat memecaa masala dega megguaa batua omputer serta suatu baasa pemrograma. Berdasara al tersebut, maa laga awal peulis adala membuat algoritma dalam meyelesaia itegral lipat dua dega metode Romberg. a. Medeiisia itegra da batas-batas itegra. b. Tetua bayaya iterasi (N). c. Pili batas itegra yag aa diselesaia terlebi daulu. d. Bila batas yag dipili x, maa itug = x - x Bila batas yag dipili y, maa itug = y - y e. Bila batas yag dipili x, maa itug R(,) T0 ( x, y) ( x, y)

8 Bila batas yag dipili y, maa itug R(,) T0 ( x, y) ( x, y ). Apabila batas yag dipili x: Hitug R(,) T T 0 i dimaa i x i. da =,,, Apabila batas yag dipili y: Hitug R(,) T T 0 i dimaa i y i. da =,,, g. Apabila batas yag dipili x: Hitug R T ( r,) T j j dimaa i x i. da j i. Apabila batas yag dipili y: Hitug R T ( r,) T j j dimaa i y i. da j i.. Hituga selajutya dega megguaa metode Romberg s (. R( r, s ) R( r, s ) R r, s) utu s r. s i. Hasil itegrasi pertama () dari metode Romberg diitegrala lagi atau embali e laga c sampai.

9 j. Hasil itegral lipat dua dega metode Romberg... Coto Peyelesaia Itegral Lipat Dua. Selesaia itegral lipat dua beriut. xy da, D = x, y 0 x, y D a. Secara Aalitis; 0 xy dydx = xy dy dx (diitegrasia teradap y ) 0 = x. y dx 0 = x. y dx 0 = x( ) x( ) dx 0 = 8 x x dx 0 = 80 xdx 0 = 80 x 0 = = 0x 0() 0 0(0) = 60 Jadi, peyelesaia itegral lipat dua dari ( x, y) xy adala 60 satua.

50 b. Secara Numeri dega megguaa metode Romberg; xy da, D = x, y 0 x, y D ) Itegra yag diselesaia adala ( x, y) xy ) Batas bawa daera itegrasi (x) = 0 Batas atas daera itegrasi (x) = Batas bawa daera itegrasi (y) = - Batas atas daera itegrasi (y) = ) Dimisala bayaya iterasi yag dilaua (N) = ; Tabel... Proses itegrasi Romberg R(, ) R(, ) R(, ) R(, ) R(, ) R(, ) R(, ) R(, ) R(, ) R(, ) ) Itegrasi pertama dilaua dalam ara y maa ilai x osta, seigga = y - y = (-) = 5) Megitug: R(,) T0 ( x, y) ( x, y ) maa ( x, ) x( ) x ( x,) x() 08x ; Seigga R(,) T0 x 08x R,) T 0x ( 0

5 R,) T 08x ( 0 6) Megitug: R(,) T0 T dimaa y. da =,,, y.. () () x() x R(,) T T 0 i 08x R(,) T x R,) T 0x 8x ( R,) T x ( T 7) R(, ) = T y.. 0 x(0) 0 y.. x() x T R(, ) = T x = (0 x) = 56x + x = 88x T 8) R(, ) = T 5 7

5 y.. x( ) x y.. x( ) x 5 y 5. 5. x( ) 7 x 7 y 7. 7. 5 5 x( ) 5 x T R(, ) = T 5 7 88 x 7 5 = x x x x 8 = x + 5x = x + 8x = 8x 9) Hituga selajutya megguaa metode Romberg s (. R( r, s ) R( r, s ) R r, s) utu s r. s Kolom edua dalam itegrasi Romberg R(, ) =. R(, ) R(, ) R(,) R(,) (x) 08x 0x = 80x R(, ) =. R(, ) R(, ) R(,) R(,)

5 (88x) x 0x = 80x R(, ) =. R(, ) R(, ) R(,) R(,) (8x) x 0x = 80x Kolom etiga dalam itegrasi Romberg R(, ) =. R (, ) R(, ) R(,) R(,) 6R(,) R(,) 6(80x) 80x = 80x 5 5 R(, ) =. R (, ) R(, ) R(,) R(,) 6R(,) R(,) 6(80x) 80x = 80x 5 5 Kolom eempat dalam itegrasi Romberg R(, ) =. R (, ) R(, ) R(,) R(,) 6R(,) R(,) 6(80x) 80x 500x = 80x 6 6 6 Jadi ilai itegrasi pertama dega metode Romberg adala 80 satua. Tabel. Selesaia Itegrasi Pertama Romberg 08x 8x 80x 88x 80x 80x 8x 80x 80x 80x

5 0) Itegrasi edua; Itegra yag diselesaia adala (x, y) = 80x ) Batas bawa daera itegrasi (x) = 0 Batas atas daera itegrasi (x) = ) Bayaya iterasi yag dilaua (N) = = x - x = 0 = ) Hitug: R(,) T0 ( x, y) ( x, y) maa ( 0, y) 80(0) 0 (, y) 80() 60 ; Seigga R (,) T0 0 60 60 ) y. 0. 80() 80 T0 R(,) T 60.80 80 80 60 T 5) R(, ) = T. 0. 80( ) x. 0. 80 x 0 0 T R(, ) = T

55 60 = (0 0) = 80 + 80 = 60 6) R(, ) = 60 7) Hituga selajutya megguaa metode Romberg s (. R( r, s ) R( r, s ) R r, s) utu s r. s Kolom edua dalam metode Romberg R(, ) =. R(, ) R(, ) R(,) R(,) (60) 60 80 = 60 R(, ) = 60 R(, ) = 60 Kolom etiga dalam metode Romberg R(, ) = 60 R(, ) = 60 Kolom eempat dalam metode Romberg R(, ) = 60 Jadi, peyelesaia itegral lipat dua dari ( x, y) xy adala 60 satua. Berdasara uraia di atas tetag proses itegrasi maual metode Romberg dalam meyelesaia itegral lipat dua, maa perlu diguaa program omputer

56 dalam membatu mempercepat operasi ituga da iterasi yag dilaua dalam metode umeri di atas. Apabla diliat dari segi asil, metode Romberg memberia ilai yag sama dega ilai esa. Hal ii meujua bawa metode Romberg memilii etelitia yag tiggi dalam selesaiaya. Secara teoritis, metode Romberg merupaa evaluasi umeri dari itegral tetu (metode trapesium), dimaa pegitugaya membadiga ilai itegrasi I() da I() utu memperole asil yag lebi bai.. Baga Alir Itegral lipat dua dega metode Romberg Berdasara algoritma di atas, ita dapat membuat logia atau urut-uruta istrusi program itegral lipat dua dalam betu baga alir. Meurut Yulispartoo (00: ), Baga alir dapat meujua secara jelas arus pegedalia algoritma, yai bagaimaa ragaia pelasaaa egiata program tersebut. Adapu baga alir itegral lipat dua dega metode Romberg sebagai beriut:

57 Mulai Masua itegra (x,y) da batas-batasya. Masua bayaya iterasi (N) Hitug = y - y R(,) T0 ( x, y) ( x, y) Tida Batas itegra berilai x ya Hitug = x - x R,) ( x, y) ( x, ) ( T0 y Hitu R( r,) i T y j i T i. j j Hitug R( r,) i x T T i. j j Hitug s (. R( r, s ) R r, s) s R( r, s ) Hasil itegral yag terbai Selesai

58 Gambar.: Itegral lipat dua dega metode Romberg. Program Matlab Dalam Meyelesaia Itegral lipat dega metode Romberg Setela megetaui proses peyelesaia itegral lipat dua secara aalitis da umeri yag diselesaia secara maual, maa laga selajutya megetaui seberapa besar pera omputer (program matlab) dalam meyelesaia itegral lipat dua. Coto. Peyelesaia itegra ( x, y) xy dega batas bawa daera itegrasi (x) = 0, batas atas daera itegrasi (x) =, batas bawa daera itegrasi (y) = -, batas atas daera itegrasi (y) = da bayaya iterasi yag dilaua adala ======================================================= ***************PROGRAM INTEGRAL LIPAT DUA**************** ******SELESAIAN NUMERIK DENGAN METODE ROMBERG******* ********************BY: ISWATUL KHASANAH****************** Persamaa Aljabar = Ilie uctio: (x,y) =.*x.*y.^ Masua batas bawa iterval (y)=- Masua batas atas iterval(y)= Masua batas bawa iterval(x) =0 Masua batas atas iterval(x)= Masua bayaya iterasi yag dilaua = Itegrasi pertama dalam ara y =

59 08 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 08 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 08 0 0 0 80 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 08 0 0 0 80 0 0 88 0 0 0 0 0 0 0 08 0 0 0 80 0 0 88 80 0 0

60 0 0 0 0 08 0 0 0 80 0 0 88 80 80 0 0 0 0 0 08 0 0 0 80 0 0 88 80 80 0 8 0 0 0 08 0 0 0 80 0 0 88 80 80 0 8 80 0 0 08 0 0 0 80 0 0 88 80 80 0 8 80 80 0

6 08 0 0 0 80 0 0 88 80 80 0 8 80 80 80 as = 80 Hasil Itegrasi pertama dega Metode Romberg adala 80 Itegrasi edua dalam ara x = 60 0 0 0 60 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 60 0 0 0 60 60 0 0 60 0 0 0 0 0 0 0 60 0 0 0 60 60 0 0 60 60 60 0 60 60 60 60

6 as = 60 Hasil Itegrasi edua dega Metode Romberg adala 60 Watu Komputasi = 0.5 Coto. Peyelesaia itegra ( x, y) xy y x e xy dega batas bawa daera itegrasi (x) = 0,, batas atas daera itegrasi (x) =,5, batas bawa daera itegrasi (y) = 0,5, batas atas daera itegrasi (y) =, da bayaya iterasi yag dilaua 5 adala ========================================================= *****************PROGRAM INTEGRAL LIPAT DUA**************** ********SELESAIAN NUMERIK DENGAN METODE ROMBERG******* ********************BY: ISWATUL KHASANAH******************* ======================================================== Persamaa Aljabar da Espoesial = Ilie uctio: (x,y) = (*x.*y.^ * sqr(x^+)*e^*x*y^ /sqrt(*y^+) Masua batas bawa iterval (y)=0.5 Masua batas atas iterval(y)=. Masua batas bawa iterval(x) =0. Masua batas atas iterval(x)=.5 Masua bayaya iterasi yag dilaua = ========================================================= Itegrasi pertama dalam ara y =.7000

6.0e+00 *.699 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0e+00 *.699 0 0 0 0.50 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0e+00 *.699 0 0 0 0.50 0.9709 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0e+00 *.699 0 0 0 0.50 0.9709 0 0 0.86 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

6.0e+00 *.699 0 0 0 0.50 0.9709 0 0 0.86.0509 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0e+00 *.699 0 0 0 0.50 0.9709 0 0 0.86.0509.9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0e+00 *.699 0 0 0 0.50 0.9709 0 0 0.86.0509.9 0 0.060 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0e+00 *.699 0 0 0 0.50 0.9709 0 0 0.86.0509.9 0 0.060.96 0 0 0 0 0 0 0 0

65.0e+00 *.699 0 0 0 0.50 0.9709 0 0 0.86.0509.9 0 0.060.96.0580 0 0 0 0 0 0 0.0e+00 *.699 0 0 0 0.50 0.9709 0 0 0.86.0509.9 0 0.060.96.0580.0887 0 0 0 0 0 0.0e+00 *.699 0 0 0 0.50 0.9709 0 0 0.86.0509.9 0 0.060.96.0580.0887 0 6.6878 0 0 0 0.0e+00 *.699 0 0 0 0.50 0.9709 0 0 0.86.0509.9 0 0.060.96.0580.0887 0 6.6878 7.787 0 0 0

66.0e+00 *.699 0 0 0 0.50 0.9709 0 0 0.86.0509.9 0 0.060.96.0580.0887 0 6.6878 7.787 8.08 0 0.0e+00 *.699 0 0 0 0.50 0.9709 0 0 0.86.0509.9 0 0.060.96.0580.0887 0 6.6878 7.787 8.08 8.05 0.0e+00 *.699 0 0 0 0.50 0.9709 0 0 0.86.0509.9 0 0.060.96.0580.0887 0 6.6878 7.787 8.08 8.05 8.7 as = 8.7e+00 Hasil Itegrasi pertama dega Metode Romberg adala 87.958 ======================================================== Itegrasi edua dalam ara x =.000

67.0e+00 * 8.05 0 0 0 0 5.695 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0e+00 * 8.05 0 0 0 0 5.695. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0e+00 * 8.05 0 0 0 0 5.695. 0 0 0.8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0e+00 * 8.05 0 0 0 0 5.695. 0 0 0.8.98 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

68.0e+00 * 8.05 0 0 0 0 5.695. 0 0 0.8.98.7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0e+00 * 8.05 0 0 0 0 5.695. 0 0 0.8.98.7 0 0.790 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0e+00 * 8.05 0 0 0 0 5.695. 0 0 0.8.98.7 0 0.790. 0 0 0 0 0 0 0 0.0e+00 * 8.05 0 0 0 0 5.695. 0 0 0.8.98.7 0 0.790..07 0 0 0 0 0 0 0.0e+00 *

69 8.05 0 0 0 0 5.695. 0 0 0.8.98.7 0 0.790..07.06 0 0 0 0 0 0.0e+00 * 8.05 0 0 0 0 5.695. 0 0 0.8.98.7 0 0.790..07.06 0.78 0 0 0 0.0e+00 * 8.05 0 0 0 0 5.695. 0 0 0.8.98.7 0 0.790..07.06 0.78.07 0 0 0.0e+00 * 8.05 0 0 0 0 5.695. 0 0 0.8.98.7 0 0.790..07.06 0.78.07.06 0 0.0e+00 * 8.05 0 0 0 0 5.695. 0 0 0

70.8.98.7 0 0.790..07.06 0.78.07.06.06 0.0e+00 * 8.05 0 0 0 0 5.695. 0 0 0.8.98.7 0 0.790..07.06 0.78.07.06.06.06 as =.06e+00 Hasil Itegrasi edua dega Metode Romberg adala 06.6 Watu Komputasi = 0.7 Peyelesaia itegral lipat dega megguaa itegrasi Romberg merupaa peyelesaia yag cuup pajag da rumit. Hal tersebut dapat di liat pada alama. Aa tetapi, dega batua omputer, maa peyelesaia tersebut dapat terselesaia dega muda. Peyelesaia itegral lipat dua dega itegrasi Romberg pada sripsi ii memilii dua program utama, yaitu itegrasi awal dalam ara x da dalam ara y. User dapat memili program utama yag diigia. Pada coto-coto yag diberia peulis di atas, program utama yag dipili adala dalam ara y, berarti ilai x osta. Pemilia itegrasi awal dalam ara x atau dalam ara y, sebearya tida mempegarui asil air itegrasi. Hal ii sesuai deiisi itegral lipat sebagai beriut: