ODUL 5 Peubah Acak Diskret Khusus Terdapat beberapa peubah acak diskret khusus yag serig mucul dalam aplikasi. Peubah Acak Seragam ( Uiform) Bila X suatu peubah acak diskret dimaa setiap eleme dari X mempuyai kesempata yag sama utuk terpilih (mucul) maka distribusi dari X adalah seragam ( uiform). Adapu fkp dari X adalah P ( X ),2,3,..., 0 selaiya. Peubah Acak Beroulli da Biomial isal suatu percobaa yag keluaraya diklasifikasika sebagai sukses da gagal. Jika = bila keluaraya sukses da =0 bila keluaraya gagal, maka fugsi kepadata peluag dari X adalah P(0) = P(X=0) = -p = q P() = P (X=) = p Dimaa 0 p adalah peluag sukses, p+q = Peubah acak X dikataka peubah acak Beroulli jika fugsi kepadata peluagya adalah persamaa P( X ) p q 0, 0 selaiya ODUL PELUAG PRODI AT.UB 204-28
Jika percobaa Beroulli dilakuka kali secara bebas, dimaa masig masig meghasilka sukses dega peluag p atau gagal dega peluag -p=q. Da jika X peubah acak yag meyataka bayakya sukses yag terjadi dari percobaa, maka X dikataka peubah acak Biomial dega parameter (,p). Dega demikia dapat dikataka bahwa peubah acak Beroulli adalah peubah acak Biom ial dega parameter (,p). Fugsi kepadata peluag dari peubah acak Biomial dega parameter (,p) adalah Suatu P( X ) p ( p) 0,,2,... 0 yag lai percobaa dikataka berdistribusi biomial jika memeuhi kriteria : a. Percobaa dilakuka pegulaga sejumlah kali secara bebas. b. Setiap pegulaga haya ada dua hasil yag mugki yaitu sukses atau gagal. c. Peluag utuk hasil sukses adalah p da peluag hasil yag gagal adalah q=-p Cotoh Lima koi yag setimbag dilemparka. Jika hasil dari lempara bebas, temuka fugsi kepadata peluag dari bayakya gambar yag mucul. Jawab: Percobaa dalam soal adalah percobaa Biomial dega = 5 da p = ½. Sehigga fugsi kepadata peluag dari bayakya gambar yag mucul adalah p( ) P( X ) 5 (0.5) (0.5) 5 0,,2,3,4,5 Soal : ODUL PELUAG PRODI AT.UB 204-29
Suatu ujia terdiri atas 0 pertayaa piliha gada, masig masig dega 4 kemugkia jawaba da haya satu yag bear. a. Hitug peluag seorag yag mejawab haya secara meebak ebak saja memperoleh 0 jawaba yag bear! b. Hitug peluag seorag mejawab bear lebih dari 5 pertayaa! Peubah Acak Poisso Peubah acak X yag mempuyai ilai salah satu dari ilai 0,,2, dikataka peubah acak Poisso dega parameter jika utuk >0, e p( ) P( X ), =0,,2,! 0 selaiya Peubah acak Poisso dapat diguaka sebagai pedekata peubah acak biomial dega parameter (,p) bila besar da p cukup kecil sehigga p adalah ukura yag cukup. Dega kata lai, jika percobaa yag bebas, setiap percobaa meghasilka sukses dega peluag p dilakuka, maka bila besar da p cukup kecil sehigga p cukup, bayakya sukses yag terjadi dapat didekati dega peubah acak Poisso dega parameter =p. Beberapa cotoh peubah acak yag megikuti hukum peluag Poisso Bayakya hasil produksi yag cacat dari suatu mesi. Bayakya orag dalam suatu populasi yag hidup sampai 00 tahu Bayakya kecelakaa lalu litas pada suatu daerah. Bayakya omor telepo yag salah yag di-dial dalam suatu hari Cotoh : ODUL PELUAG PRODI AT.UB 204-30
isalka suatu mesi cetak membuat kesalaha secara acak pada kertas cetak, rata rata 2 kesalaha tiap kertas. Hitug peluag bahwa dalam satu kertas yag dicetak, terdapat satu kesalaha cetak. Jawab. isalka Y adalah peubah acak yag meyataka bayakya kesalaha cetak dari suatu kertas, maka Y mempuyai sebara Poisso dega = 2. aka peluag bahwa dalam suatu kertas yag dicetak terdapat satu kesalaha cetak adalah P ( Y ) 2 e 2! 0.27 Soal : Rata-rata bayakya taker miyak yag tiba tiap hari di suatu pelabuha adalah 0. Pelabuha tersebut haya mampu meerima palig bayak 5 taker perhari. Hitug peluag bahwa pada suatu hari tertetu taker terpaksa dimita pergi karea pelabuha tidak mampu melayai! Peubah Acak Geometri Suatu percobaa Beroulli yag dilakuka berulag-ulag sehigga didapat sukses yag pertama terjadi. Jika X peubah acak meyataka bayakya percobaa yag diperluka higga didapat sukses yag pertama maka P ( X = ) = q - p =,2, (2.4) Peubah acak X yag mempuyai fu gsi kepadata peluag seperti persamaa di atas dikataka berdistribusi geometri dega parameter p Cotoh Hituglah peluag bahwa seseorag yag melemparka sekepig uag ODUL PELUAG PRODI AT.UB 204-3
ODUL PELUAG PRODI AT.UB 204-32 logam yag setimbag, memerluka 4 lempara sampai diperoleh sisi gambar. Jawab. Dega megguaka distribusi geometrik dega =4 da p = ½, dapat diperoleh P(X = 4) = /2 ( /2) 3 = /6 Cotoh : Suatu kerajag yag terdiri dari bola putih da bola hitam. Bola diambil secara acak, sampai bola hitam terambil. Diasumsika setiap bola yag terambil dikembalika lagi sebelum pegambila berikutya, berapa peluag bahwa () tepat pegambila diperluka da (2) miimal k pegambila dibutuhka. Jawab. isalka bahwa X adalah bayakya pegambila yag diperluka utuk megambil bola hitam, maka X aka memeuhi persamaa di atas dega p = /(+). Sehigga. X P ) ( ) ( 2. ) ( k k X P k k
Peubah Acak Biomial egatif Bila ada seragkaia percobaa Beroulli dega peluag sukses p da peluag gagal q. Bila terjadi pegulaga da diataraya tepat ada r kejadia yag sukses maka X adalah bayakya kejadia yag gagal yag terjadi diatara pegulaga da telah terjadi r buah kejadia yag sukses. Ilustrasi :.GS SG S S ada (r-) sukses diatara ((-) pegulaga. Sehigga ada [(-)-(r-)] = -r yag gagal. Peluag r r r p q [( ) ( )] p r p r q r Dega memisalka - r = ( ) r p ( p),2,3,... r P X 0 selaiya Peubah acak yag fugsi kepadata peluagya megikuti persamaa di atas dikataka sebagai peubah acak biomial egatif dega parameter (r,p) Cotoh : Hituglah peluag seseorag yag melemparka tiga uag logam aka medapatka semua sisi gambar atau semua sisi agka utuk yag kedua kaliya pada lempara yag kelima Jawab. Dega megguaka distribusi biomial egatif dega =5, r=2 da p=2/8 = ¼. aka peluag seseorag yag melempar 3 uag logam aka ODUL PELUAG PRODI AT.UB 204-33
medapatka semua sisi gambar atau semua sisi agka utuk yag kedua kaliya pada lempara yag kelima adalah P ( X 5 5) 2 4 2 3 4 3 4 627 64 37 256 Peubah Acak Hipergeometrik Bila dalam suatu populasi terbatas terdapat dua kelompok ( misal cacat da tidak cacat) masig masig bayakya D da -D. Dipilih usur secara acak tapa pegembalia. Jika X adalah bayakya yag terpilih yag berasal dari kelompok D ( cacat) maka fugsi kepadata peluag dari X adalah D D P( X ) 0,,2,...mi(, D) 0 selaiya Peubah acak X yag mempuyai fugsi kepadata peluag seperti pada persamaa di atas dikataka berdistribusi hipergeometrik Cotoh : Seseorag hedak meaami halama belakag da depa rumahya dega taama buga. Dari sebuah kotak yag berisi 3 umbi tulip da 4 umbi mawar, ia megambil 3 umbi secara acak utuk ditaam di halama depa da sisaya ditaam di halama belakag. Berapa peluag ketika musim berbuga tiba di halama depa berbuga tulip da 2 mawar? Jawab. Dega megguaka distribusi hipergeometrik maka diketahui bahwa = 7, D= 3, = 3 da =. Sehigga peluag bahwa ketika musim berbuga di halama depa berbuga tulip da 2 mawar adalah ODUL PELUAG PRODI AT.UB 204-34
3 4 3! 4! 2!2! 2!2! P ( X ) 7 7! 3 3!4! Soal : 8 35 Suatu perusahaa mempuyai 20 doktor dega 5 diataraya adalah doktor terbaik di bidag tekik. Suatu tim yag terdiri dari 0 orag aka dibetuk utuk meyelesaika suatu permasalaha yag cukup berat. Berapa peluag kelima doktor terbaik yag dimiliki oleh perusahaa tersebut masuk dalam tim yag aka dibetuk? ODUL PELUAG PRODI AT.UB 204-35