IfiityJual Ilmiah Pogam Studi Matematia STKIP Siliwagi Badug, Vol, No., Septembe HIMPUNAN KOMPAK PADA RUANG METRIK Oleh : Cee Kustiawa Juusa Pedidia Matematia FPMIPA Uivesitas Pedidia Idoesia eeustiawa@yahoo.om ABSTRACT Maalah ii meyaia defiisi da teoema-teoema himpua ompa yag betuua utu meetua eompaa suatu himpua pada uag meti. Misala E adalah suatu himpua yag tida osog pada uag meti (X,d). Aa ditetua apaah E meupaa himpua ompa atau bua, yaitu dega megguaa defiisi ompa atau dega megguaa teoema-teoema megeai himpua ompa. Kata Kui : Ruag Meti, Peseitaa, Titi Limit, Iteval Besaag, Selimut Tebua, Himpua Tebua, Himpua Tetutup, da Himpua Tebatas. This pape pesets the defiitios ad theoems of ompat set whih aimed to detemie the ompatess of a set i a meti spae. Suppose E is a o-empty set i a meti spae (X, d). Be detemied whethe E is ompat set o ot, by usig the defiitio of a ompat set o use theoems o ompat sets. Keywods : Meti spaes, Neighbohood, Limit poit, Nested iteval, Ope oveig, Ope set, Closed set, ad Bouday set. Pedahulua Utu meetua eompaa suatu himpua telebih dahulu aa dibiaaa megeai defiisi uag meti, defiisi selimut tebua (o pe ove) utu suatu himpua, defiisi himpua ompa da teoema-teoema pada himpua ompa, ataa lai; Teoema Heie-Boel, Teoema Bolzao-Weiestass da teoema-teoema yag laiya yag behubuga dega himpua ompa. Defiisi Misala X himpua yag tida osog. Fugsi d : X x X R disebut fugsi meti (fugsi aa) ia utu setiap p, q X belau : (i) d(p,q) d(p,q) = p = q (ii) d(p,q) = d(q,p) (iii) d(p,q) d(p,) + d(,q), X. 38
IfiityJual Ilmiah Pogam Studi Matematia STKIP Siliwagi Badug, Vol, No., Septembe Himpua X dega fugsi meti d disebut uag meti da ditulis dega otasi (X,d). Cotoh Himpua R dega meti biasa d(x,y) = x - y, x,y R meupaa uag meti, sebab memeuhi etiga sifat meti pada Defiisi. Defiisi Selimut tebua himpua E pada uag meti (X,d) adalah eluaga himpua tebua { G } di X sehigga E G. Cotoh (a) (X,d) = (R,d) uag meti biasa, E = (-,), { } =, G N. N { G } N adalah selimut tebua utu E sebab E G (, ). (b) (X,d) = (R,d) uag meti biasa, F = (,), { } =, G N +. N { G } N adalah selimut tebua utu F sebab F G (, ). Defiisi 3 Himpua K dalam uag meti (X,d) diataa ompa ia setiap tebua utu K memuat selimut bagia behiggaya utu K. selimut Jadi himpua T dalam uag meti (X,d) diataa tida ompa ia ada selimut tebua utu T yag tida memuat selimut bagia behiggaya utu T. Cotoh (a) (X,d) = (R,d) uag meti biasa, himpua F = (,) tida ompa, sebab ada selimut tebua utu F yag tida memuat selimut bagia behiggaya, yaitu { } =, G N + N G,, N da F G. meupaa selimut tebua utu F tetapi (b) Sedaga H = [,] dega meti biasa meupaa himpua ompa sebab setiap selimut tebua utu H memuat selimut bagia behiggaya utu H. 39
IfiityJual Ilmiah Pogam Studi Matematia STKIP Siliwagi Badug, Vol, No., Septembe Utu lebih elasya silaha ambil bebeapa otoh selimut tebua utu H, tetapi itu bua meupaa buti. Teoema 4 Jia K himpua ompa dalam uag meti (X,d) maa K tetutup. Buti: Diambil p K sebaag, emudia utu setiap q K dibuat peseitaa V (p) da W (q) dega ai-ai d( p, q) maa V ( p) W ( q). Jadi W ( q) qk meupaa selimut tebua utu K. Kaea K ompa maa ada q, q,, q sehigga K W i( q i ). i Misala W W i( q i ) da V V i( p) maa W V dega W da i i V tebua. Aibatya K V da beati V K. Dega ata lai tedapat himpua tebua V yag memuat p dega sifat V K. Hal ii beati p titi iteio K. Kaea p K sebaag maa K tebua. Jadi K tetutup. Teoema 5 Himpua bagia tetutup dai himpua ompa adalah ompa. Atiya ia K ompa, B K da B tetutup maa B ompa. Buti: Diambil sebaag selimut tebua G utu B. Kaea B tetutup maa B tebua. Aibatya G B meupaa selimut tebua utu K. Kaea K ompa maa ada,,, sehigga K G i B. Dilai piha B K maa dipeoleh B G i i i. Hal ii beati B ompa. Aibat 6 Jia F himpua tetutup da K ompa maa F K ompa. 4
IfiityJual Ilmiah Pogam Studi Matematia STKIP Siliwagi Badug, Vol, No., Septembe Buti: Kaea K ompa maa bedasaa teoema 4, K tetutup. Dilai piha F tetutup maa F K tetutup. Aibatya F K himpua bagia tetutup dai himpua ompa K da bedasaa teoema 5, F K ompa. Teoema 7 Jia { K } eluaga himpua ompa pada uag meti (X,d) sehigga setiap eluaga bagia behiggaya mempuyai iisa ta osog maa K. Atiya ia K himpua ompa utu setiap da N, maa K. K i i utu setiap Buti: Diambil satu aggota eluaga tetetu sebaag misalya K. Kaea K ompa utu setiap maa K tetutup utu setiap. Misala K tebua utu setiap. Aa dipelihata K K. G maa G Adaia K K maa K K K G. Beati { G } meupaa selimut tebua utu K. Kaea K ompa maa ada,,, sehigga K G i K i K i ata lai K K i i i i i. Dega atau K K K K. Hal ii otadisi dega yag dietahui bahwa setiap eluaga bagia behigga mempuyai iisa ta osog. Dega demiia pegadaia salah da hauslah K K utu setiap. Kaea K sebaag maa K. 4
IfiityJual Ilmiah Pogam Studi Matematia STKIP Siliwagi Badug, Vol, No., Septembe Aibat 8 Jia { K } eluaga himpua ompa yag ta osog dega K K utu setiap N maa K. Buti: Dietahui K himpua ompa utu setiap. Kaea K m m K utu setiap N maa K K m da beati K. Bedasaa teoema 7 maa K. Teoema 9 Jia E himpua bagia ta behigga dalam himpua ompa K maa E mempuyai titi limit di K. Buti: Adaia E tida mempuyai titi limit di K. Jadi ia p K maa p bua titi limit dai E atau ada peseitaa N (p) sehigga N ( p) \ { p} E. Dega demiia setiap N (p) tadi haya memuat palig baya satu titi aggota E yaitu titi p sedii. Jadi N ( p) meupaa selimut tebua utu K da uga meupaa selimut pk tebua utu E sebab E K. Kaea K ompa maa tedapat p, p,, p sehigga K N ( pi ) da uga E N ( pi ). Padahal setiap N (p i ) haya i memuat palig baya satu aggota E da ii beati aggota E behigga. Hal ii otadisi dega yag dietahui bahwa E ta behigga. Dega demiia pegadaia salah da hauslah E mempuyai titi limit di K. i Teoema Jia {I } baisa iteval tetutup da tebatas di R sehigga I I + utu setiap N maa I. 4
IfiityJual Ilmiah Pogam Studi Matematia STKIP Siliwagi Badug, Vol, No., Septembe Buti: Misala I = [a, b ]. Kaea I I + utu setiap N maa a a b. Dega ata lai { a : N} tebatas e atas oleh b da beaibat { a : N} mempuyai supimum ataa sup { a : N }. Jadi a utu setiap N. () Selautya aa dituua b utu setiap N. Diambil sebaag N. Jia maa a a b da ia maa a b b. Jadi b batas atas { a : N }. Aibatya b da aea N sebaag maa b utu setiap N. () Dai pesamaa () da () dipeoleh a b utu setiap N atau [ a, b ] I atau I. Teoema Jia {I } baisa sel- tetutup da tebatas di R sehigga I I + utu setiap N maa I. Buti: dega bilaga bulat positif Misala I { x : x ( x, x,, x ), a x b,, }. Diambil I [ a, b] maa I tetutup da tebatas utu setiap, N. Kaea I I + utu setiap N maa I I (+) utu setiap N. Jadi {I } meupaa iteval besaag, tetutup da tebatas, da bedasaa teoema * * tedapat x sehigga a x b utu setiap,. Kemudia * * * * dibetu x ( x, x,, x ) maa x * I utu setiap N. Dega demiia I Teoema Setiap sel- selalu ompa. Buti: Diambil sebaag sel- misalya I yag memuat titi-titi x ( x, x,, x ) sehigga a x b,. Misal adalah paag diagoal dai sel I 43
IfiityJual Ilmiah Pogam Studi Matematia STKIP Siliwagi Badug, Vol, No., Septembe tesebut yaitu ( b a ). Jadi utu setiap x, y I belau x y. Adaia I tida ompa maa ada selimut tebua {G } utu I yag tida memuat selimut bagia behiggaya utu I. Diambil a b, maa iteval-iteval [a, ] da [,b ] membagi sel I meadi bagia da amaa setiap bagiaya itu dega Q i, i. Maa palig sediit ada satu Q i yag tida diselimuti oleh eluaga bagia behigga {G } da sebut Q i yag tida diselimuti tadi oleh I. Kemudia I dibagi lagi dega a megambil d,, maa diataaya ada yag tida diselimuti oleh {G } da amaa I. Jia poses diteusa maa dipeoleh (a) I I I (b) I tida dapat diselimuti oleh setiap eluaga bagia behigga {G } () Jia x, y maa x y utu setiap N sebab, I ia x, y I belau x y ia x, y I belau x y (diagoal I = diagoal I) ia x, y I belau x y (diagoal I = diagoal I ) ia x, y belau x y (diagoal I = diagoal I - ) I Dai (a) da bedasaa teoema maa tedapat x * utu setiap N da aea {G } selimut tebua utu I maa x * G utu suatu. Kaea G himpua tebua maa x * meupaa titi iteio G atiya tedapat bilaga > sehigga x * y utu setiap y G. Diambil yag uup besa sehigga maa bedasaa [] dipeoleh x y utu setiap x, y I. Dega ata lai I G utu setiap N da hal ii otadisi dega (b). Jadi pegadaia salah da hauslah I ompa. I Teoema 3 Jia E R maa peyataa beiut equivale (a) E tetutup da tebatas 44
IfiityJual Ilmiah Pogam Studi Matematia STKIP Siliwagi Badug, Vol, No., Septembe (b) E ompa () Setiap himpua bagia ta behigga pada E mempuyai titi limit di E. Buti: (a) (b) Kaea E tebatas maa E temuat dalam suatu sel I yag ompa (teoema ). Aibatya E meupaa himpua bagia tetutup dalam himpua ompa I da bedasaa teoema 5 maa E ompa. (b) () Misal F himpua bagia ta behigga didalam E yag ompa maa bedasaa teoema 9, F mempuyai titi limit di E. () (a) Dietahui setiap himpua bagia ta behigga dalam E mempuyai titi limit di E. Aa dipelihata E tetutup da tebatas. (i) E tebatas di R ia tedapat MR sehigga utu setiap x E da suatu y R belau x y M. Adaia E tida tebatas maa ada x E sehigga x utu setiap N da suatu y R. Dibetu S { x : x E, x, N} maa S E, S ta behigga da tida mempuyai titi limit di E. Hal ii otadisi dega yag dietahui bahwa setiap himpua bagia ta behigga dalam E mempuyai titi limit di E. Jadi pegadaia salah da hauslah E tebatas. (ii) Adaia E tida tetutup di R maa ada x R titi limit E dega x E. Diambil maa ada x E dega x x maa ada x E dega x x maa ada x E dega x x Dibetu himpua S x : x E, x x maa S himpua bagia ta behigga pada E da haya mempuyai satu titi limit yaitu x dega x E. Jadi S himpua bagia ta behigga pada E da tida mempuyai 45
IfiityJual Ilmiah Pogam Studi Matematia STKIP Siliwagi Badug, Vol, No., Septembe titi limit di E. Hal ii otadisi dega yag dietahui. Jadi pegadaia salah da hauslah E tetutup. Teoema 4 (Teoema Heie-Boel) E R ompa ia da haya ia E tetutup da tebatas. Buti: Syaat uup ( ) sudah dibutia pada teoema 3 (a) (b) Syaat pelu ( ) (i) Aa dipelihata E tetutup yaitu E megadug seluuh titi limitya. Misal p sebaag titi limit E maa utu setiap peseitaa N (p) belau N ( p) \ { p} E. Aibatya N ( p) E utu setiap bilaga >. Jadi tedapat qe da q N ( p) { x : x p } yag beaibat q p utu setiap > atau q = p E. Kaea p sebaag titi limit dai E maa E megadug seluuh titi limitya. Dega ata lai E tetutup. (ii) Aa dituua E tebatas yaitu setiap x x y M. Diambil x E E da suatu y R belau sebaag da emudia dibetu peseitaa N ( x) { y : y, x y } ( ) meupaa selimut tebua utu E. Kaea E ompa maa tedapat x, x,, x sehigga R maa eluaga N x E N ( xi ). Diambil M mas { x y : x, y N ( xi ), i,,, } i maa utu setiap x E beati E tebatas. da suatu y R belau x y M. Hal ii Teoema 5 (Teoema Bolzao-Weiestass) Setiap himpua ta behigga da tebatas di R mempuyai titi limit di R. Buti: Misal E himpua ta behigga da tebatas di R maa E temuat dalam suatu sel I yag ompa da bedasaa teoema 9, maa E mempuyai titi limit pada I dega I R. Jadi E mempuyai titi limit di R. Cotoh (a) Jia A = (, ] R, apaah A ompa? Jawab : 46
IfiityJual Ilmiah Pogam Studi Matematia STKIP Siliwagi Badug, Vol, No., Septembe A tida ompa sebab ada selimut tebua {G } utu A yag tida memuat selimut,, =,, bagia behiggaya utu A, yaitu G Jelas A G (, ) tetapi A G sebab G,. (b) Apaah F 3 Jawab :,,,, ompa? A, =,,, tetapi Himpua titi limit dai F adalah F ' { }. Jadi F megadug semua titi limitya da beati F tetutup. Dilai piha F uga tebatas oleh [, ] da bedasaa teoema 4 (teoema Heie Boel) maa F adalah ompa. Kesimpula Dega megguaa defiisi ompa ita dapat meetua apaah suatu himpua ompa atau tida, tetapi aa yag lebih mudah adalah dega megguaa teoema Heie-Boel yaitu suatu himpua E pada uag meti (X,d) adalah ompa ia da haya ia E tetutup da tebatas. Dega memeisa etetutupa da etebatasa suatu himpua maa ita dapat meetua eompaa suatu himpua. Dafta Pustaa Apostol, T.M. (974). Mathematial Aalysis (Seod Editio). Addiso-Wesley Publishig Compay, I. Philippies. Batle, R.G. (976). The Elemets Of Real Aalysis (Seod Editio). Joh Wiley & Sos, I. USA. Mues, J.R. (975). Topologi (A Fist Couse). Petie-Hall, I, Eglewood Cliffs, New Jesey. USA. Rudi, W. (976). Piiples of Mathematial Aalysis (Thid Editio). MGaw-Hill. Sigapoe. 47