Selag Kepercayaa (Cofidece Iterval) Pegatar Peduga titik (poit estimator) telah dibahas pada kuliah-kuliah sebelumya. Walau statistikawa telah berusaha memperoleh peduga titik yag baik, amu hampir bisa dipastika bahwa ilai dugaa (yag diperoleh) dari data cotoh tidak sama dega ilai parameter yag diduga (igi diketahui). Tidak ada petujuk yag meujukka bahwa ilai dugaa itu sama, dekat atau bahka jauh dari ilai parameter yag sesugguhya. Statistikawa memberi alteratif berupa peduga selag (iterval estimator). Peduga selag ii buka alteratif yag berbeda sama sekali dega peduga titik, amu meambahka iformasi kepada peduga titik sejauh maakah ia berbeda dari parameter sasara dega peluag tertetu. Peduga Selag Peduga selag adalah suatu selag (iterval) dega titik batas bawah B da titik batas atas A
yag bersifat acak (radom) yag dega peluag tertetu kita yakii mecakup parameter yag diduga dega peluag tertetu. Jadi kita memperoleh peryataa: P( B A) x, 0x 1. Lazimya x diambil berilai 0.95 atau 0.99. Setelah data diperoleh, kita aka memperoleh selag kepercayaa ( ba, ) yag dega peluag x kita yakii mecakup paramater. Perlu diigatka bahwa b da a adalah kostata, tidak lagi bersifat acak. Selag ii kita igika pedek. Metode Pivot Metode pivot adalah suatu tekik (cara) yag bersifat umum utuk memperoleh peduga selag. Pivot adalah suatu kuatitas yag bersifat acak yag memiliki dua ciri: (1) merupaka fugsi dari statistik/peduga da parameter yag diduga, serta parameter itu merupaka satusatuya parameter; () mempuyai sebara
peluag yag diketahui da tidak bergatug pada parameter. Utuk suatu kostata tertetu, 0 1, da juga kostata a da b, dega b a, adaika P( b f ( ˆ, ) a) 1. Jika ˆ diketahui, maka pertidaksamaa itu diharapka dapat diselesaika utuk, sehigga diperoleh selag ilai-ilai yag memeuhi pertidaksamaa itu. Telada 1. Buatlah selag kepercayaa 95% bagi parameter berdasarka cotoh acak X1, X,..., X dari populasi N(, ) bila ragam diketahui. Jawab. Kita tahu bahwa ˆ X. Kita tahu pula bahwa jika X N(, ) maka X N(, ). Karea sebara X bergatug pada parameter yag tidak diketahui, maka X tidak dapat dijadika pivot. Aka tetapi kalau dilakuka trasformasi Z X
maka Z dapat dijadika pivot karea Z haya merupa fugsi dari X da parameter da Z N(0,1) tidak bergatug pada parameter. Dari sebara ormal baku kita peroleh P( z Z z ) 0.95 P 0.05 0.05 1.96 Z 1.96 0.95 dalam hal ii z0.05 1.96 adalah ilai peubah acak Z yag luas daerah sebelah kaaya 0.05. X Dega mesubstitusika ilai Z ke dalam peryataa peluag itu diperoleh
X P1.96 1.96 0.95 P1.96 X 1.96 0.95 1.96 1.96 PX X 0.95 1.96 1.96 PX X 0.95 Jadi, selag kepercayaa 95% bagi adalah 1.96 1.96 X, X. Jadi titik batas 1.96 bawahya adalah B X da titik batas 1.96 atasya A X. Telada. Buatlah selag kepercayaa 99% bagi parameter berdasarka cotoh acak X1, X,..., X
dari populasi N(, ) amu bila kali ii ragam tidak diketahui ilaiya. Jawab X Kali ii Z tidak dapat dijadika pivot karea Z juga merupaka fugsi dari selai fugsi dari. Tetapi kalau kita gati dega pedugaya s i ( X ) 1 i X 1, maka T X s Dapat dijadika pivot karea T merupaka fugsi dari X da saja da T mempuyai sebara t- Studet dega derajat bebas 1 yag tidak bergatug pada parameter. Dari tabel sebara t- Studet kita peroleh
P t T t 0.005( 1) 0.005( 1) X Pt0.005( 1) t0.005( 1) s yag dega mudah secara aljabar dapat dimaipulasi mejadi 0.99 0.99 PX t s t s 0.005( 1) 0.005( 1) X 0.99 Jadi titik batas bawah selag kepercayaa 99% bagi bila ragam tidak diketahui adalah t0.005( 1) s B X da titik batas atas t0.005( 1) s A X. Soal Latiha 1. Buat selag kepercayaa 95% bagi ragam populasi N,. Tetuka lebih dulu pivotya. dari sebara ormal
Telada 3. Adaika cotoh acak X1, X,..., X mempuyai sebara U(0, ). Buat selag kepercayaa 90% bagi da tafsirka selag yag ada peroleh. Jawab. Dapat ditujukka bahwa peduga kemugkia maksimum bagi adalah U max 1 i X i Peubah acak U mempuyai fugsi kepekata peluag (fkp) 1 u fu ( u), 0 u yag bergatug pada. Jadi U tidak dapat dijadika pivot, di sampig U buka fugsi dari U parameter. Sekarag defiisika Y. Dega megguaka tekik Jacobia dapat diperlihatka (tujukka) bahwa fkp dari p.a. Y adalah
f y y y 1 Y ( ), 0 1 Jadi Y memeuhi kedua syarat utuk dijadika pivot (apakah syarat). Sekarag harus dicari a da b sehigga U Pb a 0.90 Perhatika bahwa fugsi kepekata kumulatifya adalah Dega demikia sehigga atau F ( y) y, 0 y 1 Y F ( b) 0.05 da F ( a) 0.95 Y b 0.05 da a 0.95 b 0.05 da a 0.95 Sekarag kita memperoleh Y
P P P U 0.05 0.95 0.90 1 1 0.90 0.95 U 0.05 U U 0.95 0.05 Jadi, selag kepercayaaya adalah U U, 0.95 0.05 0.90 Ii dapat ditafsirka sebagai berikut. Bila kita megulag-ulag, misalya 100 kali, megambil cotoh berukura dari populasi U(0, ), da dari setiap cotoh itu dibuat selag kepercayaa dega rumus di atas, sehigga diperoleh 100 selag kepercayaa, maka kurag lebih 90 selag kepercayaa itu aka mecakup parameter yag sebearya.