. _.- '~.- BabX EstimasiStatistik

Transkripsi

1 . _.- '~.- BabX EstimasiStatistik KAT A KUNCI estimator kosiste adalah estimator yag cederug sara dega ilai sebearya meskipu ukura sampel semaki lama semaki besar. estimator dalah kuatitas yag didasarka dari observasi sampel yag ilaiya diambil sebagai idikator dari ilai parameter populasi yag tidak diketahui (sebagai cotoh, rata-rata sampel x serig diguaka sebagai estimator dari mea populasi yag tidak diketahui 11) estimator likelihood maksimum adalah sebuah estimator yag mempuyai atribut sebagai berikut: jika ilai sesugguhya dari parameter yag tidak diketahui mempuyai ilai ii, maka probabilitas peroleha sampel yag diobservasi dimaksimumka. iferesia statistik adalah proses pegguaa observasi sampel utuk megestimasi karakteristik dari populasi. estimator tidak bias adalahestimator yagilaiharapaya samadega ilai sesugguhya dari parameter yag diestimasi. Higga saat ii, dalam sebagia besar problem-problem yag telah kita kerjaka, kita telah megetahui sebelumya apa itu probabilitas. Sebagai cotoh, ketika kita megambil kartu-kartu atau melempar uag, kita dapat meghitug semua probabilitas secara eksplisit. Tetapi sebelumya kita tidak tahu probabilitas dari hampir seluruh problem-problem yata. Kita hars megguaka metode iferesia statistik utuk megestimasiya. Di bawah ii beberapa cotoh pegguaa iferesia statistik utuk megestimasi probabilitas: Aggaplah bahwadistribusi tiggi bada dari semua orag di egara ii dapatdigambarka oleh distribusi ormal. Tetapi sebelumya kita tidak tahu berapa mea (u) dari distribusi tersebut. Oleh karea itu kita hars megestimasiya. Misalya kita sedag melakuka peelitia utuk megukur berat molekul dari suatu bahakimia. Secararata-rata, adadapat berharap bahwahasil pegukura aka merupaka ilai sesugguhyadari beratmolekul. Tetapi juga, setiappegukura biasayamegadug kesalaha acak. Kadag-kadag serig masuk akal utuk megaggap bahwa hasil aktual dari setiap pegukura mempuyai distribusi ormal da rata-rata (mea)ya merupaka ilai yag sesugguhya dari kuatitas yag ada ukur. 135

2 . Aggaplah kita megetahui dua macam ujia seseorag yag diberika secara acak dimaa korelasi keduaya tidak kita ketahui. Kita mecoba megestimasi korelasiya. EST/MAS/ MEAN Kita aka memikirka masalah umum dalam megestimasi mea 0.1)dari variabel acak X yag mempuyai distribusi ormal. Kuatitas populasi yag tidak diketahui seperti u disebut parameter. Misalya kita mempuyai data observasi sebayak dari ilai variabel acak, yag kita sebut sebagai: XI' X2,... X' Kita perlu membuat asumsi petig, yaitu bahwa masig-masig ilai dari X adalah idepede (bebas) terhadap ilai-ilai yag lai. (Proses pegambila disebut pemiliha sampel acak yag berukura yag diambil dari distribusi tertetu). Jelaslah estimasi kita utuk rata-rata (mea) adalah: (estimasi mea) =x - Quatitas ii haya merupaka ilai rata-rata dari keseluruha X; kita meyebut x atau rata-rata sampel. Quatitas x adalah salah satu cotoh dari statistik. Statistik adalah fugsi tertetu dari obyek-obyek dalam variabel acak. Pada waktu statistik diguaka utuk megestimasi ilai dari kuatitas yag tidak diketahui, aka disebut estimator. Dalam kasus ii x diguaka sebagai estimator utuk J.LKadag-kadag tada topi kecil 0.1) diletakka di atas kuatitas utuk meujukka bahwa itu adalah estimatorutuk parameter. Pemyataa 'J..l=x berarti kita megguakarata-rata sampelx sebagai estimatorutuk rata-rata populasi (pupulatio mea) J.LPerkiraka (estimate) adalah ilai dari estimator dalam ligkuga tertetu. Jika sampel yag kita amati terdiri dari agka-agka s,4/10,12 da 4, maka x = 'J..l=7 adalah perkiraa (estimate) utuk mea (rata-rata) pupulasi. Apa yag kita lakuka meujukka rata-rata sampel x mempuyai beberapa hal mearik pada waktu diguaka utuk megestimasi mea. YANG HARUS DIINGA T 1. Iferesia statistik adalah suatu proses pegguaa iformasi dari pegamata sampel utuk megestimasi sifat dari populasi berdasarka sampel yag dipilih. 2. Statistik adalah suatu kuatitas yag dihitug dega megguaka ilai-ilai yag diamati dari sampel. 3. Estimator adalah statistik yag diguaka utuk megestimasi ilai dari kuatitas populasi yag tidak diketahui. Sebagai cotoh; rata-rata sampel: - x= 136

3 ~ diguaka sebagai estimator utuk rata-rata (mea) populasi yag tidak diketahui. Nilai populasi yag tidak diketahui disebut parameter. MAXIMUM LIKELIHOOD ESTIMA TOR Aggaplah ilai sesugguhya dari J.ladalah Tetapi rata-rata dari sampel tertetu adalah 7. Kejadia ii tidak dikehedaki. Di sisi laijika J.l=7, maka kita igi medapatka ilai 7 utuk rata-rata sampel. Dalam keyataa utuk setiap ilai kemugkia Jl, kita dapat meghitug probabilitas utuk medapatka ilai tertetu X utuk rata-rata sampel. Kita tidak aka megestimasi J.lyag haya mempuyai satu ilai, dimaa probabilitas utuk medapatka rata-rata sampelya sagat kecil. Kita aka memilih perkiraa utuk J.ldimaa probabilitas medapatka rata-rata sampel yag diamati besar. Secara umum ilai dari J.l yag memberika probabilitas terbesar utuk medapatka ilai observasi sebearya dari x disebut maximum likelihood estimator utuk J.L Ii dapat ditujukka bahwa rata-rata sampel x aka mejadi maxsimum likelihood estimator utuk J.L Metode dari maximum likelihood dapat juga diguaka utuk bayak tipe problem. Aggaplah, a adalah parameter yag tidak diketahui dalam distribusi probabilitas tertetu. Dalam bayak kasus kita dapat meghitug maximum likelihood estimator utuk a. Sebagai cotoh, kita dapat meujukka bahwa maximum likelihood estimator utuk varia (S2)dari distribusi ormal adalah: cr2= (Kita meyebut s/ sebagai varia sampel. Lihat bab2.) Jika kita mecoba utuk megestimasi probabilitas keberhasila p utuk variabel radom dega distribusi biomial, maka estimator likelihood maksimum adalah: Jumlah Keberhasila Jumlah Percobaa aggaplah bahwa x da y adalah dua variabel acak yag korelasiya tidak kita ketahui. Kita igi meggambarka estimator likelihood maksimum utuk korelasi. Misalya kita mempuyai pegamata, masig-masig utuk X da Y: (X1,Y1), (X2,Y2), (X3,Y3),.., (X,Y) Kita meghitug X,y, xy, Sx= -YX?- x2, da Sy=-Yf - f. Kemudia estimator likelihood maksimum utuk korelasi adalah: xy - xy s s x y

4 Kitameyebutkuatitas ii sebagai Koetisiekorelasi sampel. Sebagai cotoh, aggaplah kita mempuyai hasil observasi utuk X da Y: X:1O Y: o o Kemudia X = 7,43; x2 = 88,0; sx= 5,729; Y = 11,57;? = 135. Koetisie korelasi sampel adalah = 211,6;sy= 8.813;da xy 135-7,43 x 11,57 5,729 x 8,813 = 0,971 Hal petig lai dari estimator likelihood maksimum adalah yag disebut ivariace property. Aggaplah a adalah estimator likelihood maksimum bagi suatu parameter a, tetapi kita bear-bear igi tahu estimator likelihood maksimum dari...ja.jika kita terpaksa hars meebak, kita mugki megestimasi bahwa va adalah sama dega...ja,da kebetula kita bear. Misalya, estimator likelihood maksimum dari deviasi stadar (0-)adalah akar dari varia sampel. Secara umum, jika h(a) adalah fugsi sembarag dari parameter a, maka estimator likelihood maksimum dari h(a) adalah h(a). ESTIMATOR KONSISTEN Hal petig laiya yag kita igika dari estimator kita adalah bahwa estimator mempuyai sifat yag kosiste. Ada aka mejadi ragu da bigug bila meghadapi orag yag tidak kosiste, begitu juga bila ada meghadapi estimator yag tidak kosite.iilah apa yag kita maksud dega sifatkosiste (ajeg) dari estimator. Aggaplah kita mampu utuk meigkatka ukura sampel kita lebih besar da dega demikia kita medapatka pegamata yag lebih bayak dari variabel acak X. Dalam kasus ii, apakah kita tahu bahwa ilai bar dari x aka lebih medekati mea (rata-rata) dari J.latau ada kemugkia lebih jauh? Estimator yag kosiste adalah estimator yag aka bergerak medekati ilai sebearya bila jumlah eleme sampel ditambah. ESTIMATOR TIDAK BIAS Pertayaa petig lai yag mugki kita tayaka adalah apakah estimator merupaka ilai sebearya? Estimator dikataka tidak bias bila ilai harapa dari estimator sama dega ilai sesugguhya dari parameter yag kita estimasi. Sebagai cotoh, kita telah tahu bahwa E(X) = J.1,jadi rata-rata sampel adalah estimator yag tidak bias dari rata-rata populasi ~ Tetapi jika kita meghitug harapa dari varia sampel (SI2),aka kita dapatka bahwa : 138

5 ( - l)cr2 Karea E(S[2)tidak sama dega S2,berarti s12 bukalah estimator tidak bias dari a2. Kita dapat meghitug statistik bar : s 2 I s22= = -l Li_( (Xi-X)2 -l Harapa dari statistik adalah: E(s/) =E ( s(2 -l )= E(sI2) -l = cr2 Dega demikia S22adalah estimator tidak bias dari varia. Igatlah bahwa S22dihitug dega cara yag sama, kecuali pejumlaha darijarak masig-masig Xke X dibagi dega -l daripada dibagi dega. Sekarag kita tahu megapa kita melakuka hal ii. Kita meyebut S(2sdebagai varia tipe 1 da S22sebagai varia tipe 2. Ii meggambarka situasi dimaa tidak mugki utuk meemuka estimator tuggal yag baik utuk setiap sifat yag diigika. Secara umum aka ada bayak estimator tidak bias yag berbeda-beda utuk parameter yag sama. Jika mugki kita igi memilih sebuah estimator yag mempuyai varia sekecil mugki. Karea estimator dalah statistik yag dihitug dari sampel acak, maka variabel acakyalah yag dapat dihitug variaya. (Dustribusi estimator serig disebut distribusi samplig dari estimator). Sebagai cotoh, aggaplah kita sedag mecoba utuk megestimasi rata-rata (mea) dari variabel acak X berdasarka sampel dari 3 observasi XI' x2' x3. Biasaya kita megguaka x= XI + x2 + x3 XI +-+-+x2 x Sebagai estimator. Kita tabu bahwa estimator adalah tidak bias. Kita aka meemuka vaa: Var(X) = 1/9 [Var(xl) + var(x2) + var(x3)] ~ cr2/3 139

6 -- ~ Aggaplah seseorag meerka bahwa kita hars megguaka estimator q sebagai berikut: q =x/2 + x/3 + x/6 Kita dapat meghitug: Xl x2 x3 E(q) =E (-) + E(-) + E (-) 236 = (1/2 + 1/3 + 1/6) E(x) = Il Karea E( q) = J.l,kita dapat melihat bahwa q adalah estimator tidak bias dari J..LJika kita meghitug variaya: Var(q) = 1/4 Var(xl) + 1/9 Var(X2) + 1/36 Var(x3) =14/36 a2 kita meemuka bahwa Var(Q) > Var(X). Dega demikia x adalah estimator yag lebih baik karea mempuyai varia yag lebih kecil, meskipu lebih jauh dari J..LKeyataaya bahwa sebuah estimator yag tidak bias tidak berarti bahwa ii adalah satu-satuya yag terbaik utuk diguaka. YANG HARUS DIINGAT 1. Adabebeapa sifatyag diharapkadimiliki oleh estimatorjika estimator itumeyediaka estimasi yag baik bagi parameter populsi. 2. Estimator likelihood maksimum mempuyai sifat-sifat sebagai berikut: jika ilai sesugguhyadari paramereryag tidakdiketahuimempuyaiilaiii, maka probabilitas utuk medapatka sampel yag diamati adalah maksimum. 3. Estimator kosiste adalahestimator yag ilaiya aka medekati ilai sebearyajika ukura sampel diperluas. 4. Estimatortiadk bias adalahestimatoryagilaiharapaya saradegailaisebearya. PENDEKA TAN SA YES/AN Pedekata petig laiya dalam estimasi statistik adalah pedekata Bayesia. Dalam pedekata ii diasumsika bahwa ada telah mempuyai beberapa iformasi tet3?g gambara ilai dari parameter yag sedag ad a cob a utuk diestimasi. Distribusi probabilitas ii disebut prior distributio. Setelah medapatka data observasi, ada mempelajari kembali distribusi probabilitas yag diestimasi berdasarka pada apa yag ada amati. Teori Bayes mejelaska bagaimaa mempelajari kembali estimasi probabilitas dari suatu kejadia dim aa ada medapatka lebih bayak lagi iformasi. Distribusi probabiolitas yag 140

7 idpelajari kembali didasarka pada observasi yag diketahui sebagai posterior distributio. Kita tidak aka membahas metode Bayesia dalam buku ii.l YANG HARUS DIINGAT 1. Apabila tersedia beberapa iformasi tetag ilai parameter yag diestimasi, distribusi probabilitas disebut Prior Distributio. 2. Apabila tersedia iformasi yag lebihbayak, prior distributio dapat dipelajari kembali dega megguaka teori Bayes, utuk medapatka posterior distributio. Dalam bab ii kita mempelajari berbagai cara utuk medapatka agka yag dapat diguaka utuk megestimasi ilai parameter yag tidak diketahui. Estimasi seperti itu disebut sebagai estimasi titik. Serigkali kita igi megetahui apakah ilai sebearya dari parameter medekati estimasi titik ataujauh dari estimasi titik. Utuk mejawab pertayaa ii kita hars meghitug estimasi iterval yag aka kita diskusika pada bab berikutya. ISTILAH-ISTILAH Pedekata Bayesia Estimator yag kosiste Estimasi Estimator Estimasi iterval Estimator likelihood maksimum YANG HARUS DIPELAJARI Parameter Estimasi titik Distribusi sampel Statistik Statistik iferesial Estimator yag tidak bias