Peyelesaia Persamaa No Liier Metode Iterasi Sederhaa Metode Newto Raphso Permasalaha Titik Kritis pada Newto Raphso Metode Secat Metode Numerik Iterasi/NewtoRaphso/Secat
- Metode Iterasi Sederhaa- Metode iterasi sederhaa adalah metode yag memisahka dega sebagia yag lai sehigga diperoleh : = g(). Cotoh : y=-e diubah mejadi : g()=e g() iilah yag mejadi dasar iterasi pada metode iterasi sederhaa Metode iterasi sederhaa secara grafis dijelaska sebagai berikut : Y y= y=g() 3 2 0 X Grafik Metode Iterasi Sederhaa y=,g=e Metode Numerik Iterasi/NewtoRaphso/Secat 2
Cotoh Peyelesaia Metode Iterasi Sederhaa Selesaika +e = 0 Jawab : Persamaa diubah mejadi g() = -e Ambil titik awal di 0 = -, maka Iterasi : = -e - = -0.3679 F() = 0,3243 Iterasi 2 : = -e -0,3679 = -0,6922 F() = -0,973 Iterasi 3 : = -e -0,6922 = -0,50047 F() = 0,0577 Iterasi 4 : = -e -0,50047 = -0,60624 F() = -0,06085 Iterasi 5 = = -e -0,60624 = -0,5454 F() = 0,03427 Pada iterasi ke 0 diperoleh = -0,56843 da F() = 0,03427. Metode Numerik Iterasi/NewtoRaphso/Secat 3
Algoritma Metode Iterasi Sederhaa. Defiisika F() da g() 2. Tetuka tolerasi error (e) da iterasi maksimum () 3. Tetuka pedekata awal 4. Utuk iterasi = s/d atau F() > e X i = g( i -) Hitug F( i ) 5. Akar adalah terakhir yag diperoleh. Metode Numerik Iterasi/NewtoRaphso/Secat 4
Metode Newto Raphso Metode Newto Raphso adalah metode pedekata yag megguaka satu titik awal da medekatiya dega memperhatika slope atau gradie pada titik tersebut. Titik pedekata ke + dituliska sebagai berikut : F F + = ( ) ( ) 2 0 X Gambar Metode Newto Raphso Metode Numerik Iterasi/NewtoRaphso/Secat 5
Cotoh Peyelesaia Metode Newto Raphso Selesaika persamaa - e - = 0 dega titik pedekata awal 0 =0 f() = - e - f ()=+e - f(0) = 0 - e -0 = - f (0) = + e -0 = 2 = 0 f f ( ) ( ) 0 = 0 = 0,5 2 0 f() = -0,0663 da f () =,60653 ( ) ( ) f 0,0653 2 = = 0,5 = f,60653 0,5663 f(2) = -0,003045 da f(2) =,56762 ( 2 ) ( ) f 0,003045 3 = 2 = 0,5663 = f,56762 2 0,56743 f(3) = -,96.0-7. Suatu bilaga yag sagat kecil. Sehigga akar persamaa = 0,56743. Metode Numerik Iterasi/NewtoRaphso/Secat 6
Algoritma Metode Newto Raphso. Defiisika fugsi F() da F () 2. Tetuka tolerasi error (e) da iterasi maksimum () 3. Tetuka ilai pedekata awal 0 4. Hitug F(0) da F (0) 5. Utuk iterasi i = s/d atau f( i ) > e F F i + = i ( ) ( ) Hitug f( i+ ) da f ( i+ ) 6. Akar persamaa adalah ilai i+ yag terakhir diperoleh. Metode Numerik Iterasi/NewtoRaphso/Secat 7
Permasalaha Metode NewtoRaphso Metode ii tidak dapat diguaka ketika titik pedekataya berada pada titik ekstrim atau titik pucak, karea pada titik ii ilai F () = 0 sehigga ilai peyebut dari F( ) = ol, secara grafis dapat dilihat sebagai berikut : F ( ) akar persamaa titik pucak Bila titik pedekata berada pada titik pucak, maka titik selajutya aka berada di tak berhigga. Grafik Pedekata Newto Raphso, dg. Titik Pedekata ada di Titik Pucak Metode Numerik Iterasi/NewtoRaphso/Secat 8
Permasalaha Metode NewtoRaphso Metode ii mejadi sulit atau lama medapatka peyelesaia ketika titik pedekataya berada di atara dua titik stasioer. akar persamaa Titik pedekata titik pucak Bila titik pedekata berada diatara dua titik pucak aka dapat megakibatka hilagya peyelesaia (divergesi). Hal ii disebabka titik selajutya berada pada salah satu titik pucak atau arah pedekataya berbeda. Grafik Pedekata Newto Raphso, dg. Titik pedekata berada diatara 2 titik pucak Metode Numerik Iterasi/NewtoRaphso/Secat 9
Peyelesaia Permasalaha Metode Newto Raphso Utuk dapat meyelesaika kedua permasalaha pada metode ewto raphso ii, maka metode ewto raphso perlu dimodifikasi dega :. Bila titik pedekata berada pada titik pucak maka titik pedekata tersebut harus di geser sedikit, i = i ±δ dimaa δ adalah kostata yag ditetuka dega demikia F ( i ) 0 da metode ewto raphso tetap dapat berjala. 2. Utuk meghidari titik-titik pedekata yag berada jauh, sebaikya pemakaia metode ewto raphso ii didahului oleh metode tabel, sehigga dapat di jami kovergesi dari metode ewto raphso. Metode Numerik Iterasi/NewtoRaphso/Secat 0
Cotoh Peyelesaia Permasalaha Metode Newto Raphso Selesaika persamaa :. e - + cos(2) = 0 Jawab : Bila megguaka titik pedekata awal 0 = 0,7628 f() =. e - + cos(2) f () = (-) e - 2 si (2) Sehigga f(0) =,086282 da f (0) = -0,00005 Grafik y=.e - +cos(2) 0 akar persamaa Metode Numerik Iterasi/NewtoRaphso/Secat
Iterasi megguaka metode Newto Raphso : iterasi f() f'() 0 0,7628,086282 -,5226E-05 7364,89 0,59434 -,608732696 2 7365,26-0,0227 -,9895369 3 7365,2 0,00036 -,99999987 4 7365,2-2,9E- -2 5 7365,2 3,3E-3-2 6 7365,2 3,3E-3-2 Akar yag ditemuka =7365 Pedekata awal 0=0.5 iterasi dari metode Newto Raphso: Iterasi f() f'() 0 0,5 0,843568 -,37967664,424-0,2406 -,62634933 2 0,963203 0,09463 -,86082504 3 0,973662 5,6E-05 -,84994627 4 0,973692 4,98E-0 -,8499347 5 0,973692 0 -,8499347 6 0,973692 0 -,8499347 Akar yag ditemuka adalah =0.973692 Metode Numerik Iterasi/NewtoRaphso/Secat 2
Algoritma Metode Newto Raphso dega Modifikasi Tabel. Defiisika fugsi F() 2. Ambil rage ilai = [ a,b] dega jumlah pembagi 3. Masukka torelasi error (e) da masukka iterasi 4. Guaka algoritma tabel diperoleh titik pedekata awal 0 dari : F(k). F(k+)<0 maka 0 = k 5. Hitug F(0) da F F [ abs( F ( 0 ))] (0) 6. Bila < e maka pedekata awal 0 digeser sebesar d (dimasukka) 0 = 0 + d hitug F(0) da F (0) 7. Utuk iterasi i= s/d atau F(i) e F ( i ) i = i F ( i ) hitug F(i) da F (i) bila F (i) < e maka i = i + d hitug F(i) da F (i) 8.Akar persamaa adalah terakhir yag diperoleh. Metode Numerik Iterasi/NewtoRaphso/Secat 3
Metode Secat Metode Secat merupaka perbaika dari metode regula-falsi da Newto Raphso, dimaa kemiriga dua titik diyataka secara diskrit, dega megambil betuk garis lurus yag melalui satu titik. y y0 = m( 0 Dimaa m diperoleh dari m ( f ( ) f ( ) ) ( ) Jika y=f(), y da diketahui, maka titik ke + adalah : y + y = m + Bila titik + diaggap sebagai akar persamaa maka y + = 0 sehigga + = = ( ) y Metode Numerik Iterasi/NewtoRaphso/Secat 4 ( ) y y + +
Cotoh Peyelesaia Metode Secat Selesaika persamaa 2 ( + ). e Jawab : Berdasarka gambar grafk didapatka akar terletak pada rage [0.8, 0.9], maka X0 = 0.8 da = 0.9, sehigga : y0 = F(0) = -0.6879 y = F() = 0.03758 Iterasi Metode Secat adalah sbb : Iterasi : Iterasi 2 : Iterasi 3 : 0 2 = y = y y0 Diperoleh akar = 0.882534 2 3 = 2 y2 = y2 y 3 2 4 = 3 y3 = y3 y2 0.8885 0.882528 0.882534 y 2 = 0.0053 y3 =.30 Metode Numerik Iterasi/NewtoRaphso/Secat 5 5 y4 = 4.90 9
2 Grafik fugsi y = ( + ). e utuk rage [-,] Metode Numerik Iterasi/NewtoRaphso/Secat 6
Algoritma Metode Secat. Defiisika fugsi F() 2. Tetuka tolerasi error (e) da iterasi maksimum () 3. Masukka dua ilai pedekata awal, dimaa diataraya terdapat akar (0 da ), guaka metode tabel atau grafis utuk medapatka titik pedekata 4. Hitug F(0) da F() sebagai y0 da y 5. Utuk iterasi i = s/d atau f( i ) > e i+ = i y Hitug y i+ =f( i+ ) i y i i 6. Akar persamaa adalah ilai yag terakhir diperoleh. y i i Metode Numerik Iterasi/NewtoRaphso/Secat 7