BAB II PENCARIAN AKAR PERSAMAAN NON LINIER
|
|
- Indra Sasmita
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 BAB II PENCARIAN AKAR PERSAMAAN NON LINIER PENDAHULUAN Dalam bab ii, kita aka membahas tetag beberapa metode umerik yag dapat diguaka utuk meemuka akar-akar persamaa o-liier. Masalah yag aka kita bahas tersebut secara matematis dapat diteragka sebagai pecaria hargaharga x sedemikia higga memeuhi persamaa o-lier ( x ) = 0. Maakala kita megataka bahwa ( x ) adalah ugsi o-liier dalam x, ii berarti bahwa ( x ) tidak diyataka dalam betuk ax + b, dimaa a da b merupaka kostata da maakala kita megataka bahwa ( x ) adalah ugsi aljabar, ii berarti bahwa ugsi tersebut tidak melibatka betuk dieresial d y dx. Masalah meemuka akar dari suatu persamaa o liier ii merupaka masalah yag mucul dalam berbagai disipli ilmu. Cotoh sederhaa dari 2 persamaa oliier adalah persamaa kuadratik yag berbetuk ( x) = ax + bx + c Persamaa o liier yag lai misalya, a x x x x = 0 ( x) b. tah x ta x = 0 c. x si = 0 Dalam keyataaya, akar-akar persamaa o liier tersebut tidak mudah utuk ditemuka secara aalitik, kecuali pada kasus-kasus sederhaa. Oleh sebab itu, alasa utama megapa peyelesaia masalah pecaria akar persamaa oliier memerluka pedekata umerik disebabka karea peyelesaia megguaka cara Pecaria Akar Persamaa Noliier 11
2 aalitik biasaya aka meemui kesulita, meskipu persamaa tersebut kelihataya sederhaa. Hal iilah yag mejadi sebab megapa metode umerik mejadi sagat diperluka dalam memecahka persoala-persoala dalam bidag sais da tekologi bahka ekoomi sekalipu. Di dalam bab ii kita aka mempelajari berbagai tekik pedekata umerik utuk masalah medapatka akar persamaa oliier. Cara termudah sudah kita perlihatka secara sekilas pada bab 1 yaitu dega cara grais. Tekik tersebut sebearya tidak termasuk ke dalam metode umerik, megigat tekik ii tidak melewati seragkaia kaidah-kaidah aalisis umerik. Meskipu demikia kita aka membahasya karea pada saatya ati aka sagat bergua ketika kita memerluka terkaa awal dari sebuah akar persamaa yag dicari. Disampig itu, beberapa metode umerik aka dibahas secara detail atara lai metode bagi dua (bisectio), Newto-Raphso, posisi palsu (regula alsi/iterpolasi liier), Secat da metode iterasi lagsug. Cotoh soal juga aka diberika utuk memberika gambara jelas terhadap metode yag dipelajari. 2.1 METODEM GRAFIK Pecaria akar persamaa oliier dega megguaka metode graik merupaka cara palig sederhaa dibadigka dega metode umerik yag ada. Utuk medapatka akar-akar persamaa ii cukup dilakuka pegeplota ugsi yag aka dicari akar persamaaya dalam raah tertetu. Sebagai cotoh, misalya diigika akar-akar persamaa dari ugsi x =x si x exp x. Kita dapat megeplot secara sederhaa ugsi tersebut dega megguaka salah satu paket sotware matematika seperti terlihat pada gambar 2.1. Dalam buku ii pegeplota graik dilakuka dega megguaka Matlab. Dega mearik garis perpotoga atara graik ( x ) dega sumbu-x, maka kita dapat memperkiraka akar-akar persamaa yag dimilikiya. Satu akar persamaa terletak kira-kira di x = 0,59 da yag lai berkisar di x = 0,81. Hasil Pecaria Akar Persamaa Noliier 12
3 yag diperoleh tetuya relati kasar jika dibadigka dega megguaka metode umerik yag aka dipelajari selajutya. Gambar 2.1. Pecaria akar persamaa dega metode graik. 2.2 METODEM BAGI DUA UA (BISECTION ISECTION) Metode bagi dua merupaka metode aalisis umerik palig sederhaa diatara metode-metode aalisis laiya. Metode ii termasuk metode yag robust atau tagguh. Artiya, meskipu metode ii ideya sagat sederhaa amu selalu dapat meemuka akar persamaa yag dicari. Salah satu kekuraga yag dimiliki oleh metode ii adalah bahwa kita harus meetuka dua terkaa awal, yaitu x a da x b yag megurug sebuah akar persamaa yag idcari, sehigga apabila a = da ( x ) x a b =, maka aka dipeuhi 0. Cotoh dari masalah ii b digambarka pada gambar 2.2. Apabila dipeuhi a b = 0 maka salah satu dari x a da x b yag berada pada x 1 atau keduaya merupaka akar persamaa yag dicari. Algoritma dasar dari metode bagi dua dapat diyataka sebagai berikut: 1) Tetuka x = ( x + x ) 2 c a b a b Pecaria Akar Persamaa Noliier 13
4 2) Tetuka c = x c, a = x a da b = x b. 3) Apabila x c =0, maka x = xc merupaka peyelesaia eksakya. 4) Apabila < 0, maka akar persamaa berada di dalam iterval a [ x a, x c ]. c 5) Apabila > 0 atau < 0, maka akar persamaa berada di a c c b dalam iterval [ x c, x b ] 6) Ulagi prosedur omor 2) higga 5) sampai iterval yag megurug akar persamaa sudah sagat sempit. Gambar 2.2. Pecaria akar persamaa dega metode bagi dua. Pecaria Akar Persamaa Noliier 14
5 MULAI Meetuka (x) Masuka terkaa awal xa, xb Meetuka a=(xa) da b=(xb) Apakah a*b < 0? TIDAK YA Masuka harga Tol, =0, xc=0 Ulagi terkaa awal xa da xb while abs((xc)) > tol =+1; xc=(xa+xb)/2 TIDAK Apakah (xa)(xc) < 0? YA xa=xc, a=c xb=xc b=c CETAK vs xc STOP Gambar 2.3 Baga alir utuk program metode bagi dua Pecaria Akar Persamaa Noliier 15
6 (, ) c b Dega selalu megupdate iterval ( x, x ) baik dega (, ) a b x x maupu x x tergatug pada iterval maa yag megurug akar persamaa x 0, maka kesalaha (error) dalam peaksira terhadap akar persamaa ( x ) = 0 adalah ratarata dari kedua iterval tersebut dibagi dua. Kita aka megulagi prosedur membagi dua iterval secara terus meerus higga ditemuka akar persamaa yag sudah sagat dekat dega harga eksakya atau syukur-syukur diperoleh harga eksakya. a c KONVERGENSI METODE BAGI DUA Oleh karea iterval (, ) x x selalu megurug akar persamaa x 0, maka a b berarti bahwa kesalaha pegguaa x a atau x b sebagai taksira akar persamaa pada iterasi yag ke harus memeuhi N < xaxb. Nah, karea iterval [ x a, x b ] selalu dibagi dua pada setiap iterasi, maka + 1 = / 2 (2-1) Ugkapa yag lebih umum, jika x merupaka taksira harga terhadap akar x = x 0 pada iterasi ke, maka kesalaha peaksira ii diyataka oleh e = x x (2-2) 0 Dalam bayak kasus, kita dapat meyataka kesalaha pada lagkah ke tersebut sebagai p +1 C e (2-3) e = Tada pagkat p pada persamaa (2-3) meyataka orde kovergesi. Semaki besar harga p, maka laju kovergesi ke arah peyelesaia dari metode tersebut aka semaki cepat atau palig tidak e + 1 < e. Utuk skema dega orde pertama, yaitu dega harga p = 1, maka C < 1 pada proses kovergesiya. Pecaria Akar Persamaa Noliier 16
7 Utuk metode bagi dua kita dapat megestimasi e sebagai. Betuk dari persamaa (2-1) selajutya meyaraka p = 1 da C = 1/ 2, yag meyataka bahwa skema tersebut termasuk orde pertama da koverge secara liier. Kovergesi ke arah ilai akar persamaa aka selalu dijami asalka ( x) kotiu pada seluruh iterval peguruga awal. KRITERIA HENTI METODE BAGI DUA Biasaya, pecaria akar persamaa secara umerik tidak aka perah meemuka harga eksak dega kesalaha sama dega ol. Yag dapat dilakuka hayalah pedekata dega tigkat ketelitia tertetu. Utuk meghidari pecaria akar secara terus-meerus tapa heti, maka diperluka suatu syarat agar proses tersebut dapat dihetika. Nah hal ii perlu dega apa yag dimaaka harga tolerasi. Harga tolerasi utuk meghetika pecaria terus meerus ii dapat diatur sesuai kebutuha. Cotoh 2.1 Ditijau sebuah ugsi oliier x =cos x x seperti digambarka pada gambar 2.4. Dega megguaka metode bagi dua aka ditujukka cara memperoleh akar persamaa cos x x=0. Terkaa awal utuk megurug akar diberika x = 0 da x=1.0. Gambar 2.4 Graik ugsi x =cos x x Pecaria Akar Persamaa Noliier 17
8 Peyelesaia Lagkah pertama, kita lakuka perhituga utuk terkaa awal yag diberika, yaitu Utuk x 1 =0.0 x 1 =cos 0 0.0=1 Utuk x 2 =1.0 x 2 =cos = = Dari dua harga ugsi yag berhubuga dega terkaa awal yag diberika hasilya diuji da meurut hituga diperoleh bahwa hasil kaliya berharga egati. Ii berarti bahwa harga terkaa tersebut telah megurug akar persamaa yag sedag dicari. Selajutya diteruska dega meghitug x 3 dega cara meratarataka kedua terkaa awal da dihitug x 3 x 3 = x x 1 2 =0.5 2 x 3 =0.5 =cos = Oleh karea ( x 3 ) berharga positi, maka akar persamaa berada di atara absis x 3 =0.5 da x 2 =1, karea ( x2 ) ( x 3 ) < 0. Lagkah berikutya adalah membuat setegah iterval berikutya yag megurug akar persamaa yag dicari. Demikia prosedur tersebut diulag-ulag higga iterval yag megurug akar tersebut sagat dekat dega akar eksakya. Utuk mempermudah proses memperoleh akar persamaa, maka dibawah ii diberika program komputer utuk memperoleh akar persamaa tersebut. Hasil ruig program juga diberika utuk memperjelas pemahama kita terhadap metode ii termasuk proses kovergesi ke arah akar persamaa yag dicari.. %PROGRAM Bagi Dua clear; close all; =ilie('cos(x)-x','x'); Pecaria Akar Persamaa Noliier 18
9 xa = iput('berika terkaa awal 1 :'); xb = iput('berika terkaa awal 2 :'); a = (xa); b = (xb); i (a*b > 0) prit('terkaa awal tdk megurug, Ulagi!!') break; ed; a = (xa); b = (xb); tol=1e-6; =0; xc=0; id=ope('bgd.txt','w'); while abs((xc))>tol =+1; xc = (xa + xb)/2.0; % proses membagi dua c = (xc); % pedekata akar persamaa i (a*c < 0.0) xb = xc; b = c; else xa = xc; a = c; ed; prit('%i % \',,xc); prit(id,'%i % \',,xc); ed close(id); load bgd.txt; x=bgd(:,1); y=bgd(:,2); plot(x,y,'liewidth',3.5) xlabel('i '); ylabel ('y'); Tabel 2.1 Hasil Ruig program Bagi Dua iterasi ke I x c Pecaria Akar Persamaa Noliier 19
10 METODEM POSISI PALSU Gambar 2.5 Proses pecaria akar persamaa ALSU (REGULA FALSI/INTERPOLASI LINIER) Metode posisi palsu mirip dega metode bagi dua. Kemiripaya terletak dalam hal diperluka dua harga taksira awal pada awal peguruga akar persamaa. Sedagka, perbedaaya terletak pada proses pecaria pedekata akar persamaa selajutya setelah pedekata akar saat ii ditemuka. Pecaria Akar Persamaa Noliier 20
11 Prisip pecaria akar persamaa dari metode ii didasarka pada pegguaa iterpolasi liier seperti diperlihatka pada gambar 2.6. Iterpolasi liier 1 dilakuka melalui dua titik pertama. Garis iterpolasi memotog sumbu x da dititik perpotoga tersebut kita dapatka pedekata akar yag pertama. Kemudia pedekata tersbut dievaluasi pada ugsi oliier sehigga diperoleh titik pada ugsi oliier tersebut. Kemudia dilakuka lagi iterpolasi melalui ujug sebelumya da diperoleh pedekata akar berikutya. Demikia seterusya, higga diperoleh harga pedekata akar yag sudah sagat dekat dega akar persamaa eksakya. Perhatika pula bahwa titik tolak iterpolasi berasal dari satu titik tertetu. Gambar 2.5 Metode Posisi Palsu Jika sebuah akar persamaa berada pada iterval [ x a, x b ], maka ugsi liier yag melalui titik x a, x a da x b, x b dapat dituliska sebagai y= x a x b x a x b x a x x a (2-4) Selajutya, jika peryataa (2-4) diyataka dalam x, maka dapat ditulis sebagai Pecaria Akar Persamaa Noliier 21
12 x= x a x b x a x b x a y x a (2-5) Saat garis iterpolasi memotog sumbu x di titik x c, x c, dimaa harga x c =0 diyataka oleh x c =x a x b x a x b x a x = x x x x a b b a a x b x a (2-6) Setelah meemuka titik x b, maka sekarag iterval [ x a, x b ] dibagi mejadi [ x a, x c ] da [ x c, x b ]. Apabila dipeuhi x a x c 0, maka akar yag dicari berada di dalam iterval [ x a, x c ], sebalikya jika x a x c 0 atau x c x b 0, maka akar tersebut berada di dalam iterval [ x c, x b ]. Sekarag diupdate harga x b yag baru dega harga x c yag baru saja kita peroleh, sehigga pecaria akar persamaa tetap pada iterval [ x a, x b ]. Prosedur iterpolasi diulag lagi higga akar taksira mecapai koverge ke akar sebearya. Kelemaha dari metode posisi palsu ii adalah bahwa salah satu ujugya tidak megalami perpidaha atau staga seperti terlihat pada gambar 2.2. Dega demikia pedekata ke harga akar sebearya haya berasal dari salah satu ujug saja. Algoritma metode posisi palsu dapat diyataka sebagai berikut 1) Berika terkaa awal x a da x b yag megurug akar persamaa. 2) Utuk meguji bahwa terkaa awal megurug akar persamaa maka ujilah apakah x a x b 0, jika ya maka terkaakita sudah bear. 3) Tetuka salah satu titik yag aka diguaka sebagai titik tolak iterpolasi liier misalya x a, a. 4) Tetuka x c dega cara Pecaria Akar Persamaa Noliier 22
13 x c =x a x b x a x b x a x a atau x c = x a x b x b x a x b x a 5) Update harga x b dega x c da b dega c. 6) Ulagi proses dari poi 4) higga ditemuka harga x c yag sudah sagat dega akar sebearya. Oleh karea pada setiap lagkah akar persamaa selalu terkurug dalam suatu iterval, maka kovergesi dapat dijami seperti halya pada metode bagi dua. Metode tersebut dapat memberika harga eksak jika ugsi liier. MULAI Meetuka (x) Masuka terkaa awal xa, xb Meetuka a=(xa) da b=(xb) TIDAK Apakah a*b < 0? YA Memasukka Tol, =0, xc=0 Ulagi terkaa awal xa da xb while abs((xc)) > tol =+1; xc=xa-(xb-xa)/(b-a)*a xb=xc b=c CETAK vs xc STOP Gambar 2.7 Diagram alir program Regula Falsi Pecaria Akar Persamaa Noliier 23
14 Cotoh 2.2 Ditijau sebuah ugsi oliier x =cos x 0.5 seperti digambarka pada gambar 2.4. Dega megguaka metode regula alsi aka ditujukka cara memperoleh akar persamaa cos x 0.5=0. Terkaa awal utuk megurug akar diberika x = 0 da x= /2 Peyelesaia Gambar 2.7 plot garaik ugsi Pertama, kita lakuka perhituga pada harga ugsi utuk terkaa awal yag diberika, yaitu Utuk x ( x ) = 0, = 0 = cos = Utuk x π ( x π ) ( π ) = 2, = 2 = cos = x =cos x 0.5 Kedua, kita tetuka harga x 3 yag merupaka titik di sumbu-x sebagai hasil perpotoga graik ugsi di sumbu tersebut,yaitu Pecaria Akar Persamaa Noliier 24
15 x x x ( 0)( 0.5) ( π / 2)( 0.5) ( 0.5) ( 0.5) = = = ( ) = cos( ) 0.5 = Ketiga, setelah diketahui harga dari x 3, maka kita dapat tetuka bahwa akar persamaa terkurug dalam iterval [ x, x 2 3 ]. Selajutya dicari x 4 dega cara seperti pada butir kedua x x x ( π / 2)( ) ( )( 0.5) ( ) ( 0.5) = = = 3 2 ( ) = cos( ) 0.5 = Keempat, dari butir ketiga dapat diketahui bahwa sekarag akar persamaa terkurag dalam iterval [ x, x 2 4 ] hitug utuk x 5 ya x x x ( π / 2)( ) ( )( - 0.5) ( ) (- 0.5) = = = 4 2 ( ) = cos( ) 0.5 = Selajutya,marilah kita Keeam, ulagi lagkah-lagkah tersebut higga x sampai diperoleh harga ( x ) medekati ol. Cotoh program komputer utuk pecaria akar persamaa dega metode Regula Falsi ditujukka dibawah ii. Hasil ruig program komputer dapat dilihat pada tabel 2.2. %PROGRAM Regula Falsi clear; close all; =ilie('si(x)-0.5','x'); xa = iput('berika terkaa awal 1 :'); xb = iput('berika terkaa awal 2 :'); a = (xa); b = (xb); i (a*b > 0) Pecaria Akar Persamaa Noliier 25
16 prit('terkaa awal tdk megurug, Ulagi!!') break; ed; a = (xa); b = (xb) tol=1e-6; id=ope('regula.txt','w'); =0; % iisialisasi o iterasi xc=0; % iisialisasi utuk xc while abs((xc))>tol =+1; xc = xa - (xb-xa)/(b-a)*a; c = (xc); xb = xc; b = c; prit('%i % %\',,xc,c); prit(id,'%i % %\',,xc,c); ed close(id); load regula.txt; x=regula(:,1); y=regula(:,2); plot(x,y,'liewidth',3.5) xlabel('i '); ylabel ('y'); Tabel 2.2 Hasil Ruig program Posisi salah iterasi ke I x c Pecaria Akar Persamaa Noliier 26
17 Gambar 2.8 Proses pecaria akar persamaa oliier cos x 0.5=0 2.4 METODEM ETODE NEWTON-RAPHSON Metode Newto-Raphso merupaka metode yag palig serig diguaka diatara metode-metode pecaria akar persamaa yag lai. Metode ii sederhaa, amu cukup hadal dalam medapatka akar persamaa oliier, dega catata terkaa awal yag diberika cukup dekat. Metode Newto-Raphso tidak memerluka dua buah terkaa awal seperti halya metode bagi dua da Regula Falsi, melaika cukup satu saja tetapi diusahaka terkaa tersebut cukup dekat dega akar persamaa yag dicari. Ide dari metode ii dapat dijelaska sebagai berikut. Jika kita memberika satu terkaa awal x= x terhadap akar persamaa x 0, maka kita memiliki titik x, x pada ugsi. Dega mearik garis siggug pada titik tersebut da Pecaria Akar Persamaa Noliier 27
18 diperpajag higga memotog sumbu x, maka kita aka memperloleh pedekata akar lebih dekat dega terkaa sebelumya. Selegkapya dapat dijelaska dega pedekata geometris seperti terlihat pada gambar 2.5. Disampig megguaka pedekata geometris, metode ii juga dapat dituruka dari ekspasi deret Taylor disekitar titik x= x, yaitu x 1 = x h ' x 1 2 h2 ' ' x O h 3 (2-7) dega h= x 1 x Gambar 2.9 Gambara grais metode Newto-Raphso Dega megabaika suku kuadratik da suku-suku yag lebih tiggi laiya serta dega megambil x 1 =0 megigat pada titik x= x 1 graik memotog sumbu x, maka aka diperoleh harga pedekata akar persamaa x 1 = x x ' x Dari ugkapa (2-8), misalka terkaa awal adalah x= x 1, maka (2-8) Pecaria Akar Persamaa Noliier 28
19 Pedekata akar kedua adalah x 2 = x 1 x 1 ' x 1 Harga pedekata x yag ketiga adalah x 3 = x 2 x 2 ' x 2 (2-9) (2-10) Secara geometris, x + 1 dapat ditasirka sebagai harga pedekata akar persamaa pada sumbu x saat graik ugsi x memotog sumbu x. Metode Newto-Raphso terbukti memiliki laju kovergesi lebih cepat dibadigka dega metode bagi dua maupu metode Regula Falsi. Aka tetapi, syarat yag harus dipeuhi adalah bahwa taksira awal yag diberika harus sedekat mugki dega harga eksakya. Hal ii utuk megatisiasi seadaiya ugsi oliierya tidak seperti yag kita harapka. Seperti cotoh pada gambar 2.9 ditujukka bahwa akibat pegambila terkaa awal yag jauh dari harga eksak meyebabka pecaria tidak perah meemuka harga eksakya. Gambar 2.9 Metode Newto-Raphso tidak perah megalami kovergesi Algoritma metode Newto-Raphso 1. Berika terkaa awal utuk akar persamaa x a 2. Evaluasi x da ' x pada x= x a Pecaria Akar Persamaa Noliier 29
20 3. Hitug pedekata akar berikutya dega 4. Setelah medapatka pedekata akar persamaa yag baru yaitu x a ', maka jadika x a ' tersebut sebagai x a. 5. Ulagi lagkah ke 2 higga 4 sampai diperoleh x a KONVERGENSI METODE NEWTON RAPHSON Selajutya kita aka melihat proses kovergesi dari metode Newto- Raphso. Utuk tujua ii, kita perlu megigat kembali ekspasi deret Taylor utuk x di sekitar x = x0 dimaa x 0 merupaka harga eksak dari akar persamaa yag dicari. x = x 0 x x 0 ' x x x 0 2 ' ' x 0 O x x 0 3 (2-11) Kemudia ugkapa (2-11) kita substitusika ke dalam ugkapa iterasi utuk megetahui seberapa tigkat kesalaha metode ii pada iterasi yag ke + 1. Ugkapa (2-12) dibawah ii meggambarka tigkat kesalaha metode Newto- Raphso. e = x x = x x = e 0 ( x0 ) ( x ) ( x ) '( x ) 1 2 e '( x0 ) + e "( x0 ) ' x + e " x ( x0 ) " = e e '( x0 ) + e "( x0 ) e 2 '( x0 ) ' x0 2 " x0 1 2 " x0 3 = e e + e e + O ( e ) ' x 2 ' x 1 " = e + O e 2 ' dega megigat kembali bahwa x 0 =0. (2-12) Pecaria Akar Persamaa Noliier 30
21 Jika kita perhatika persamaa (2-12), maka kita dapat megetahui bahwa kesalaha yag dialami oleh metode Newto-Raphso adalah sebadig dega kuadrat dari kesalaha sebelumya. Apabila kesalaha perhituga sebelumya adalah e, maka pada iterasi selajutya kesalahaya mejadi 2 e + 1 = e. Oleh sebab itu, metode Newto-Raphso dikataka memiliki laju kovergesi orde dua. Dari persamaa (2-12) tersebut, kita juga memperoleh iormasi lai, yaitu dega melihat kehadira turua pertama yaitu ' pada bagia peyebut. Hal ii meujukka bahwa metode ii tidak aka megalami kovergesi jika turua pertama dari tersebut musah (berharga ol) di sekitar akar persamaa yag dicari. Cotoh 2.3 Peyelesaia Permasalaha sama dega cotoh 2.2, tetapi megguaka metode Newto- Raphso. Terkaa awal diberika x=2.5. Kita tidak dapat memberika terkaa awal x = 0 karea turua disii sama dega ol. Iterasi ke-1 x 0 =cos x 0 0.5= ' x 0 = si x 0 = x 1 = x 0 x 0 ' x 0 = Iterasi ke-2 x 1 =cos x 1 0.5= ' x 1 = si x 1 = x 2 =x 1 x 1 ' x 1 = Iterasi ke-3 x 2 =cos x 2 0.5= ' x 2 = si x 2 = x 3 =x 2 x 2 ' x 2 = Pecaria Akar Persamaa Noliier 31
22 Iterasi ke-4 x 3 =cos x 3 0.5= ' x 3 = si x 3 = x 4 =x 3 x 3 ' x 3 = Iterasi ke-5 x 4 =cos x 4 0.5= ' x 4 = si x 4 = x 5 =x 4 x 4 ' x 4 = Utuk harga x 6, x 7,... da seterusya dapat diperoleh dega memberika batas tolerasi tertetu sebagai syarat heti pecaria akar. Program Newto- Raphso dibawah ii meggambarka proses pecaria akar persamaa da hasiya terlihat pada tabel tabel 2.3. Pecaria Akar Persamaa Noliier 32
23 MULAI Meetuka (x) da '(x) Masuka terkaa awal Xa tolerasi, =0; Meetuka (xa) da '(xa) while abs((xa)) > tol =+1; xa=xa-(xa)/'(xa); CETAK vs xa STOP Gambar 2.10 Diagram alir progra Newto Raphso %PROGRAM Newto Raphso clear; close all; =ilie('cos(x)-0.5','x'); d=ilie('-si(x)','x'); % Mulai proses Newto Raphso xa = 2.5; % terkaa awal; tol=1e-8; % syarat heti pecaria akar pers. =1; % iisialisasi o iterasi id=ope('ewto.txt','w'); while (abs((xa))> tol) =+1; xa=xa-(xa)/d(xa); % proses mecari akar pers. prit('%i % \',,xa); % mecetak hasil prit(id,'%i % \',,xa); Pecaria Akar Persamaa Noliier 33
24 ed close(id); load ewto.txt; x=ewto(:,1); y=ewto(:,2); plot(x,y,'liewidth',3.5) xlabel('i '); ylabel ('y'); Tabel 2.3 Hasil Ruig program Bagi Dua Iterasi xa METODEM SECANT Gambar 2.11 Proses pecaria akar persamaa oliier cos x 0.5=0 Pada dasarya metode ii sama dega metode Newto-Raphso, perbedaaya haya terletak pada pedekata utuk turua pertama dari saja. Pedekata ' pada metode Secat didekati dega ugkapa beda higga yag didasarka pada taksira akar sebelumya (beda mudur), yaitu Pecaria Akar Persamaa Noliier 34
25 ( x ) ( x ) ( x ) 1 ' (2-13) x x 1 Selajutya, persamaa beda higga (2-13) tersebut disubstitusi ke skema Newto-Raphso (2-11) sehigga diperoleh x + 1 ( x x 1 ) ( x ) ( x ) 1 ( x ) = x (2-14) Jika kita perhatika, ugkapa (2-14) ii idetik dega metode Regula Falsi seperti yag telah dibahas di pasal yag lalu. Perbedaaya adalah metode Regula Falsi selalu meggatika salah satu dari dua taksira akar sehigga akar selalu dalam keadaa terkurug da titik-titik lama selalu diupdate mejadi titik yag baru. Sedagka metode Secat tidak memerluka dua taksira awal yag harus megurug akar persamaa. Gambara secara grais metode Secat yag sedag mecari akar persamaa terlihat pada gambar Sedagka graik 2.14 meyataka kegagala metode ii meemuka akar yag dicari. Dalam beberapa kasus swappig dua taksira awal x 1 da x 2 dapat megubah perilaku metode tersebut dari koverge mejadi diverge. Algoritma metode Secat 1. Berika dua terkaa awal x a da x b 2. Hitug x c dega cara x c =x b x b x a x b x a x b 3. Set x a =x b, a = b da x b = x c, b = c 4. Ulagi poi 2 da 3 sampai x c tidak berubah secara sigiika. Pecaria Akar Persamaa Noliier 35
26 MULAI Meetuka (x) Masuka terkaa awal xa, xb, Tol, =0, xc=0 TIDAK Apakah xa ~= xb? YA Meetuka a=(xa) da b=(xb) Ulagi terkaa awal xa da xb while abs((xc)) > tol =+1; xc=xb-(xb-xa)/(b-a)*b xa=xb, xb=xc a=b, b=c CETAK vs xc STOP Gambar 2.12 Diagram alir program Secat Pecaria Akar Persamaa Noliier 36
27 Gambar 2.13 Pecaria akar persamaa megguaka metode Secat. Gambar Metode Secat megalami divergesi KONVERGENSI METODE SECANT Tigkat kovergesi metode Secat dapat diperoleh dega cara yag sama seperti pada pembahasa metode sebelumya. Dega megguaka ekspasi Taylor, maka ugsi ( x) dapat dideretka di sekitar x 0 utuk x da x+ 1 yaitu Pecaria Akar Persamaa Noliier 37
28 1 2 3 ( ) = ( 0 ) + '( 0 ) + '' ( 0 ) + ( ) ( 1 ) = ( 0 ) + 1 '( 0 ) + 1 '' ( 0 ) + ( 1 ) x x e x e x O e x x e x e x O e 2 (2-15) dimaa x 0 merupaka akar persamaa eksak. Jika ugkapa (2-15) disubstitusika ke ugkapa iterasi, maka kesalaha pada iterasi yag ke + 1 diperoleh e = x x ( x ) = x x x x 0 1 x x e '( x0 ) + e "( x0 ) +... = e 2 e e e '( x0 ) + e "( x0 ) '( 0 ) "( 0 )... 2 e x + e x e '( x0 ) + e "( x0 ) +... = e 2 ( e e 1 ) 1 ( e e 1 ) '( x0 ) 1 + ( e + e 1 ) "( x0 ) " x 0 1 " x 0 = e e + e ( e ) + e '( x0 ) 2 '( x0 ) (2-15) 1 '' ( x0 ) 1 2 '' ( x0 ) 3 = e e + e ( e + e 1 ) e + O ( e ) 2 ' x 2 ' x 1 ( x ) ( x ) 1 '' = e e + O e 2 ' (2-16) Perhatika bahwa ugkapa utuk e + 1 megadug usur e da e 1. Padahal, biasaya kita haya meyataka e + 1 dalam betuk e saja. Oleh sebab itu, dega meuliska Pecaria Akar Persamaa Noliier 38
29 β '' (2-17) ( x ) 0 α e + 1 = e 2 '( x0 ) kemudia mesubstitusikaya ke dalam ugkapa perambata kesalaha (2-16), aka diperoleh e ( x0 ) ( x ) '' = e e ' 0 ( x0 ) ( x ) '' x '' x = e 2 ' x 2 ' x '' = 2 ' 0 β / α 0 0 1/ α β / α e α + 1 α e (2-18) Apabila peryataa (2-18) dibadigka dega peryataa (2-17), maka diperoleh = 1 = = 1 = (2-19) Jadi metode tersebut berorde buka bilaga bulat yaitu 1,61803 (golde ratio). Cotoh 2.4 Peyelesaia Permasalaha sama dega cotoh 2.2, tetapi megguaka metode Secat. Terkaa awal diberika pada titik x = 0 da x = π / 2. Iterasi = 1 Iterasi =2 x 0 =0, x 1 = x 0 =cos x 0 0.5=0.50 x 1 =cos x 1 0.5= 0.50 x 2 =x 1 x x 1 0 x 1 x 0 x = Pecaria Akar Persamaa Noliier 39
30 Iterasi =3 x 1 =1.5708, x 2 = x 1 =cos x 1 0.5= 0.50 x 2 =cos x 2 0.5= x 3 =x 2 x x 2 1 x 2 x 1 x = Iterasi =4 x 2 =0.7854, x 3 = x 2 =cos x 2 0.5= x 3 =cos x 3 0.5= x 4 =x 3 x x 3 2 x 3 x 2 x = x 3 =1.0154,x 4 = x 3 =cos x = x 4 =cos x 4 0.5= x 5 =x 4 x 4 x 3 x 4 x 3 x 4 = Utuk harga x 6, x 7,... da seterusya dapat dibuat melalui program komputer seperti ditujukka oleh program Secat da hasil ruig programya dapat dilihat pada tabel 2.4. %PROGRAM Secat clear; close all; =ilie('cos(x)-0.5','x'); xa = iput('berika terkaa awal 1 :'); xb = iput('berika terkaa awal 2 :'); a = (xa); b = (xb); i (a==b) prit('dua terkaa awal sama, Ulagi!!') break; ed; tol=1e-10; Pecaria Akar Persamaa Noliier 40
31 =0;xc=0; id=ope('secat.txt','w'); while abs((xc))>tol =+1; xc = xb - (xa-xb)/(a-b)*b; xa = xb; a = b; xb = xc; b = (xb); c=(xc); prit('%i % \',,xc); prit(id,'%i % \',,xc); ed close(id); load secat.txt; x=secat(:,1); y=secat(:,2); plot(x,y,'liewidth',3.5) xlabel('i '); ylabel ('y'); Tabel 2.4 Hasil Ruig program Secat Iterasi x c Pecaria Akar Persamaa Noliier 41
32 SOAL LATIHAN x = 97,8 19,55x + 16,3x 10,8x dega 6. Tetuka akar riil dari ugsi 2 3 a) metode grais b) megguaka metode bagi dua c) megguaka metode posisi palsu d) megguaka metode Newto Raphso e) megguaka metode Secat. 7. Guaka metode bagi dua utuk meetuka akar terbesar dari 2 x = 0,2x + 3,4x + 4 Guaka terkaa awal x 0 = 4 da x 1 = 4. Badigka kecepata kovergesiya dega metode posisi palsu dega terkaa awal sama. 3. Guka metode bagidua utuk memperoleh peyelesaia higga ketelitia 10 2 utuk persamaa x 4 2 x 2 4 x 2 4 x 4=0 pada setiap iterval berikut ii a) [ 2,1] b) [0,2] c) [2,3] d) [ 1,1] 4. Guaka metode bagidua utk memperoleh peyelesaia higga ketelitia 10 3 utuk persamaa x=ta x dalam iterval [4,4.5] 5. Guaka metode bagi dua utuk medapatka hasil peyelesaia dega ketelitia higga 10 5 utuk masalah berikut ii. a) x 2 x =0 utuk 0 x 1 b) e x x 2 3x 2=0 utuk 0 x 1 c) x cos x 2 x 2 3 x 1=0 utuk 0.2 x 0.3 da 1.2 x 1.3 d) 2 x cos 2 x x 1 2 =0 utuk 3 x 2 da 1 x 0 6. Tetuka akar riil dari ugsi 3 x = 5,3x 4,5x 10 Pecaria Akar Persamaa Noliier 42
33 a) megguaka metode grais b) megguaka metode bagi dua 7. Jika diberika persamaa o-liier x 3 N+10 x+1=0 a) Carilah ugsi iterasi Newto-Raphso x utuk memperoleh akar-akar dari persamaa o-liier tersebut. b) Dega megguaka metode Newto-Raphso, jika utuk memperoleh akar persamaa tersebut pertama kali diberika terkaa x 0 =1, maka dapatka empat hasil iterasi x 1, x 2, x 3 da x 4 utuk medekati akar persamaa o-liier tersebut. c) Berdasarka pada hasil poi b, perkiraka berapa jumlah iterasi yag diperluka utuk memperoleh ketelitia 16 digit. ( petujuk : metode Newto-Raphso memiliki ketelitia orde 2, sehigga setiap iterasi memilki ketelitia sebesar kuadrat dari hasil iterasi sebelumya). 8. Guaka metode Regula Falsi utuk meetuka akar persamaa higga ketelitia 10 2 utuk persamaa x 4 3 x 2 3=0 dalam iterval [1,2]. 9. Misalka x 2 6=0, carilah akar persamaaya dega metode Newto Raphso jika terkaa awal x 0 =1 10. Jika diketahui persamaa oliier x 3 cos x=0, maka carilah akar persamaaya jika terkaa awal diberika pada memberika terkaa awal pada x=0. Jelaska jawab Ada! x= 1. Dapatkah kita 11. Pertayaa sama dega omor 10, tetapi dega metode Secat da Regula Falsi dega terkaa awal x=0 da x= Dega megguaka metode Newto Raphso, carilah pedekata akar persamaa berikut ii higga ketelitia 10 5 a) e x 2 x 2cos x 6=0, utuk 1 x 2 b) l x 1 cos x 1 =0, utuk 1.3 x 2 c) 2 x cos 2 x x 2 2 =0, utuk 2 x 3 da 3 x 4 Pecaria Akar Persamaa Noliier 43
34 d) x 2 2 l x=0, utuk 1 x 2 da e x 4 e) e x 3 x 2 =0, utuk 0 x 1 da 3 x 5 ) si x e x =0, utuk 0 x 1, 3 x 4 da 6 x Dega megguaka metode graik, perkiraka akar akar persamaa o liier 5cos 2x x=0 Buatlah ugsi iterasi Newto-Raphso pedekata akar persamaa tersebut. x utuk memperoleh 14. Berapa jumlah deret suku deret taylor dari ugsi si x jika diguaka utuk medekati si 1 higga mecapai ketelitia 5 digit. 15. a. Dapatka dua akar persamaa dari ugsi o liier x =160 x x+ 2 higga ketelitia 9 digit di belakag koma dega megguaka metode umerik apa saja. b. Hituglah akar-akar persamaa tersebut dega megguaka cara stadard (misalya rumus abc) da kalkulator. c. Badigka hasil yag diperoleh atara poi a da poi b, apakah yag dapat Saudara simpulka dari membadigka hasil ii. 11. Guaka metode bagi dua utuk meghampiri ilai 3 dega tolerasi kebeara higga [Petujuk: guaka pemisala x =x 2 3.] 12. Dega megguaka metode bagi dua, hituglah hampira dari dega kebeara sampai tolerasi Dideiisika sebuah ugsi oliier berbetuk x =si x yag maa berharga ol pada setiap bilaga x iteger. Tujukka bahwa ketika 1 a 0 da 2 b 3 metode bagi dua coverge pada a) 0, jika a b 2 b) 2, jika a b 2 c) 1, jika a b=2 Pecaria Akar Persamaa Noliier 44
35 14. Guaka metode Newto Raphso utuk meyelesaika persamaa x2 x si x 1 cos 2 x=0 2 dega terkaa awal x= 2. Lakuka iterasi higga diperoleh ketelitia higga Jelaska megapa hasilya tidak lazim seperti peyelesaia dega metode Newto Raphso. Selesaika juga jika terkaa awal adalah x=5 da 15. Poliomial orde 4 x=10 x =230 x 4 18 x 3 9 x x 9 memiliki dua harga ol, satu berada pada iterval [ 1,0] da satuya lagi di [0,1]. Carilah dua harga yag meyebabka ugsi tersebut berharga ol higga ketelitia 10 6 a) metode Regula Falsi b) metode Secat c) metode Newto Raphso dega 16. Sebuah beda jatuh dari ketiggia h 0 dipegaruhi oleh gaya gesek udara. Jika massa beda adalah m da ketiggia beda setelah jatuh selama t detik adalah h(t), maka di ketiggia beda setiap saat dideiisika sebagai h t =h 0 mg k t m2 g 1 e kt/ m k 2 dega g =32.17 t / s 2, k adalah koeisie gesek udara dalam lb-s/t. Dimisalka h 0 =300 t, m=25lb da k=0.1 lb-s/t maka carilah waktu yag dibutuhka utuk sampai ditaah jika perhituga waktu dimulai dari 0.01 detik. Pecaria Akar Persamaa Noliier 45
Persamaan Non-Linear
Persamaa No-Liear Peyelesaia persamaa o-liear adalah meghitug akar suatu persamaa o-liear dega satu variabel,, atau secara umum dituliska : = 0 Cotoh: 2 5. 5 4 9 2 0 2 5 5 4 9 2 2. 2 0 2 5. e 0 Metode
Lebih terperinciMETODE NUMERIK JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS BRAWIJAYA 7/4/2012 SUGENG2010. Copyright Dale Carnegie & Associates, Inc.
METODE NUMERIK JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS BRAWIJAYA 7/4/0 SUGENG00 Copyright 996-98 Dale Caregie & Associates, Ic. Kesalaha ERROR: Selisih atara ilai perkiraa dega ilai eksakilai
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. matematika secara numerik dan menggunakan alat bantu komputer, yaitu:
4 BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Model matematis da tahapa matematis Secara umum tahapa yag harus ditempuh dalam meyelesaika masalah matematika secara umerik da megguaka alat batu komputer, yaitu: 2.1.1 Tahap
Lebih terperinciPenyelesaian Persamaan Non Linier
Peyelesaia Persamaa No Liier Metode Iterasi Sederhaa Metode Newto Raphso Permasalaha Titik Kritis pada Newto Raphso Metode Secat Metode Numerik Iterasi/NewtoRaphso/Secat - Metode Iterasi Sederhaa- Metode
Lebih terperinciI. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT
I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT. Pedahulua Pembahasa tetag deret takhigga sebagai betuk pejumlaha suku-suku takhigga memegag peraa petig dalam fisika. Pada bab ii aka dibahas megeai pegertia deret da
Lebih terperinciMETODE NUMERIK TKM4104. Kuliah ke-2 DERET TAYLOR DAN ANALISIS GALAT
METODE NUMERIK TKM4104 Kuliah ke- DERET TAYLOR DAN ANALISIS GALAT DERET TAYLOR o Deret Taylor adalah alat yag utama utuk meuruka suatu metode umerik. o Deret Taylor bergua utuk meghampiri ugsi ke dalam
Lebih terperinciBab 3 Metode Interpolasi
Baha Kuliah 03 Bab 3 Metode Iterpolasi Pedahulua Iterpolasi serig diartika sebagai mecari ilai variabel tergatug tertetu, misalya y, pada ilai variabel bebas, misalya, diatara dua atau lebih ilai yag diketahui
Lebih terperinciBab IV. Penderetan Fungsi Kompleks
Bab IV Pedereta Fugsi Kompleks Sebagaimaa pada fugsi real, fugsi kompleks juga dapat dideretka pada daerah kovergesiya. Semua watak kajia kovergesi pada fugsi real berlaku pula pada fugsi kompleks. Secara
Lebih terperinciMata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 4
Program Studi : Tekik Iformatika Miggu ke : 4 INDUKSI MATEMATIKA Hampir semua rumus da hukum yag berlaku tidak tercipta dega begitu saja sehigga diraguka kebearaya. Biasaya, rumus-rumus dapat dibuktika
Lebih terperinciBAB 6. DERET TAYLOR DAN DERET LAURENT Deret Taylor
Bab 6 Deret Taylor da Deret Lauret BAB 6 DERET TAYLOR DAN DERET LAURENT 6 Deret Taylor Misal fugsi f aalitik pada - < R ligkara dega pusat di da jari-jari R Maka utuk setiap titik pada ligkara itu f dapat
Lebih terperinci2 BARISAN BILANGAN REAL
2 BARISAN BILANGAN REAL Di sekolah meegah barisa diperkealka sebagai kumpula bilaga yag disusu meurut "pola" tertetu, misalya barisa aritmatika da barisa geometri. Biasaya barisa da deret merupaka satu
Lebih terperinciBab 7 Penyelesaian Persamaan Differensial
Bab 7 Peelesaia Persamaa Differesial Persamaa differesial merupaka persamaa ag meghubugka suatu besara dega perubahaa. Persamaa differesial diataka sebagai persamaa ag megadug suatu besara da differesiala
Lebih terperinciBARISAN DAN DERET. Nurdinintya Athari (NDT)
BARISAN DAN DERET Nurdiitya Athari (NDT) BARISAN Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) = a Fugsi tersebut dikeal sebagai barisa bilaga
Lebih terperinciBAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL
BAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL Defiisi Persamaa diferesial adalah persamaa yag melibatka variabelvariabel tak bebas da derivatif-derivatifya terhadap variabel-variabel bebas. Berikut ii adalah
Lebih terperinciProgram Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom. Barisan dan Deret
Program Perkuliaha Dasar Umum Sekolah Tiggi Tekologi Telkom Barisa da Deret Barisa Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) a Fugsi tersebut
Lebih terperinciPendekatan Nilai Logaritma dan Inversnya Secara Manual
Pedekata Nilai Logaritma da Iversya Secara Maual Moh. Affaf Program Studi Pedidika Matematika, STKIP PGRI BANGKALAN affafs.theorem@yahoo.com Abstrak Pada pegaplikasiaya, bayak peggua yag meggatugka masalah
Lebih terperinciBarisan. Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat sifat barisan Barisan Monoton. 19/02/2016 Matematika 2 1
Barisa Barisa Tak Higga Kekovergea barisa tak higga Sifat sifat barisa Barisa Mooto 9/0/06 Matematika Barisa Tak Higga Secara sederhaa, barisa merupaka susua dari bilaga bilaga yag urutaya berdasarka bilaga
Lebih terperinciBAB 4 LIMIT FUNGSI Standar Kompetensi Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah
BAB LIMIT FUNGSI Stadar Kompetesi Megguaka kosep it ugsi da turua ugsi dalam pemecaha masalah Kompetesi Dasar. Meghitug it ugsi aljabar sederhaa di suatu titik. Megguaka siat it ugsi utuk meghitug betuk
Lebih terperinciSecara umum, suatu barisan dapat dinyatakan sebagai susunan terurut dari bilangan-bilangan real:
BARISAN TAK HINGGA Secara umum, suatu barisa dapat diyataka sebagai susua terurut dari bilaga-bilaga real: u 1, u 2, u 3, Barisa tak higga merupaka suatu fugsi dega domai berupa himpua bilaga bulat positif
Lebih terperinci1 Persamaan rekursif linier non homogen koefisien konstan tingkat satu
Secara umum persamaa rekursif liier tigkat-k bisa dituliska dalam betuk: dega C 0 0. C 0 x + C 1 x 1 + C 2 x 2 + + C k x k = b, Jika b = 0 maka persamaa rekursif tersebut diamaka persamaa rekursif liier
Lebih terperinciSTUDI TENTANG BEBERAPA MODIFIKASI METODE ITERASI BEBAS TURUNAN
STUDI TENTANG BEBERAPA MODIFIKASI METODE ITERASI BEBAS TURUNAN Supriadi Putra, M,Si Laboratorium Komputasi Numerik Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Riau e-mail : spoetra@yahoo.co.id ABSTRAK Makalah ii
Lebih terperinciKekeliruan dalam Perhitungan Numerik dan Selisih Terhingga Biasa
Modul 1 Kekelirua dalam Perhituga Numerik da Selisih Terhigga Biasa D PENDAHULUAN Dr. Wahyudi, M.Pd. i dalam pemakaia praktis, peyelesaia akhir yag diigika dari solusi suatu permasalaha (soal) dalam matematika
Lebih terperinciPENGGGUNAAN ALGORITMA GAUSS-NEWTON UNTUK MENENTUKAN SIFAT-SIFAT PENAKSIR PARAMETER DAN
PENGGGUNAAN ALGORITMA GAUSS-NEWTON UNTUK MENENTUKAN SIFAT-SIFAT PENAKSIR PARAMETER DAN DALAM SUATU MODEL NON-LINIER Abstrak Nur ei 1 1, Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Tadulako Jl. Sukaro-Hatta Palu,
Lebih terperinciREGRESI LINIER DAN KORELASI. Variabel bebas atau variabel prediktor -> variabel yang mudah didapat atau tersedia. Dapat dinyatakan
REGRESI LINIER DAN KORELASI Variabel dibedaka dalam dua jeis dalam aalisis regresi: Variabel bebas atau variabel prediktor -> variabel yag mudah didapat atau tersedia. Dapat diyataka dega X 1, X,, X k
Lebih terperinciDefinisi Integral Tentu
Defiisi Itegral Tetu Bila kita megedarai kedaraa bermotor (sepeda motor atau mobil) selama 4 jam dega kecepata 50 km / jam, berapa jarak yag ditempuh? Tetu saja jawabya sagat mudah yaitu 50 x 4 = 200 km.
Lebih terperinciBAB 3 ENTROPI DARI BEBERAPA DISTRIBUSI
BAB 3 ENTROPI DARI BEBERAPA DISTRIBUSI Utuk lebih memahami megeai etropi, pada bab ii aka diberika perhituga etropi utuk beberapa distribusi diskrit da kotiu. 3. Distribusi Diskrit Pada sub bab ii dibahas
Lebih terperinciSolusi Numerik PDP. ( Metode Beda Hingga ) December 9, 2013. Solusi Numerik PDP
( Metode Beda Higga ) December 9, 2013 Sebuah persamaa differesial apabila didiskritisasi dega metode beda higga aka mejadi sebuah persamaa beda. Jika persamaa differesial parsial mempuyai solusi eksak
Lebih terperinciB a b 1 I s y a r a t
34 TKE 315 ISYARAT DAN SISTEM B a b 1 I s y a r a t (bagia 3) Idah Susilawati, S.T., M.Eg. Program Studi Tekik Elektro Fakultas Tekik da Ilmu Komputer Uiversitas Mercu Buaa Yogyakarta 29 35 1.5.2. Isyarat
Lebih terperinciHimpunan/Selang Kekonvergenan
oki eswa (fmipa-itb) Deret Pagkat Kita aka mempelajari beberapa tehik utuk meyajika suatu fugsi f (x) dalam betuk deret pagkat (power series), yaitu meetuka derat pagkat c (x a) sehigga f (x) = c (x a)
Lebih terperinci6. Pencacahan Lanjut. Relasi Rekurensi. Pemodelan dengan Relasi Rekurensi
6. Pecacaha Lajut Relasi Rekuresi Relasi rekuresi utuk dereta {a } adalah persamaa yag meyataka a kedalam satu atau lebih suku sebelumya, yaitu a 0, a,, a -, utuk seluruh bilaga bulat, dega 0, dimaa 0
Lebih terperinciPendugaan Selang: Metode Pivotal Langkah-langkahnya 1. Andaikan X1, X
Pedugaa Selag: Metode Pivotal Lagkah-lagkahya 1. Adaika X1, X,..., X adalah cotoh acak dari populasi dega fugsi kepekata f( x; ), da parameter yag tidak diketahui ilaiya. Adaika T adalah peduga titik bagi..
Lebih terperinciDistribusi Pendekatan (Limiting Distributions)
Distribusi Pedekata (Limitig Distributios) Ada 3 tekik utuk meetuka distribusi pedekata: 1. Tekik Fugsi Distribusi Cotoh 2. Tekik Fugsi Pembagkit Mome Cotoh 3. Tekik Teorema Limit Pusat Cotoh Fitriai Agustia,
Lebih terperinciBARISAN DAN DERET. 05/12/2016 Matematika Teknik 1 1
BARISAN DAN DERET 05//06 Matematika Tekik BARISAN Barisa Tak Higga Kekovergea barisa tak higga Sifat sifat barisa Barisa Mooto 05//06 Matematika Tekik Barisa Tak Higga Secara sederhaa, barisa merupaka
Lebih terperinciIII PEMBAHASAN. λ = 0. Ly = 0, maka solusi umum dari persamaan diferensial (3.3) adalah
III PEMBAHASAN Pada bagia ii aka diformulasika masalah yag aka dibahas. Solusi masalah aka diselesaika dega Metode Dekomposisi Adomia. Selajutya metode ii aka diguaka utuk meyelesaika model yag diyataka
Lebih terperinciDeret Fourier. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul Deret Fourier Prof. Dr. Bambag Soedijoo P PENDAHULUAN ada modul ii dibahas masalah ekspasi deret Fourier Sius osius utuk suatu fugsi periodik ataupu yag diaggap periodik, da dibahas pula trasformasi
Lebih terperinciStudi Komparatif Metode Newton dan Metode Tali Busur untuk Menghampiri Akar Persamaan f(x)=0
Lapora Peelitia Studi Komparatif Metode Newto da Metode Tali Busur utuk Meghampiri Akar Persamaa f()= Peeliti: Drs. Sahid, MSc. Jurusa Pedidika Matematika Fakultas Matematika da Ilmu Pebetahua Alam Uiversitas
Lebih terperinciDERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES)
MATEMATIKA II DERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES) sugegpb.lecture.ub.ac.id aada.lecture.ub.ac.id BARISAN Barisa merupaka kumpula suatu bilaga (atau betuk aljabar) yag disusu sehigga membetuk suku-suku yag
Lebih terperinciBAB 3 METODE PENELITIAN
Sedagka itegrasi ruas kaa utuk ersamaa (3b) diperoleh ds / = S... (36) Dega demikia pesamaa yag harus dipecahka adalah l 1 1 u u = S (37) Dari ersamaa (37) diperoleh persamaa utuk u u S = exp S 1exp S...
Lebih terperinciterurut dari bilangan bulat, misalnya (7,2) (notasi lain 2
Bab Bilaga kompleks BAB BILANGAN KOMPLEKS Defiisi Bilaga Kompleks Sebelum medefiisika bilaga kompleks, pembaca diigatka kembali pada permasalah dalam sistem bilaga yag telah dikeal sebelumya Yag pertama
Lebih terperinciHendra Gunawan. 12 Februari 2014
MA1201 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 2013/2014 12 Februari 2014 Bab Sebelumya 8. Betuk Tak Tetu da Itegral Tak Wajar 8.1 Betuk Tak Tetu 0/0 82 8.2 Betuk Tak Tetu Laiya 8.3 Itegral Tak Wajar dg
Lebih terperinciAn = an. An 1 = An. h + an 1 An 2 = An 1. h + an 2... A2 = A3. h + a2 A1 = A2. h + a1 A0 = A1. h + a0. x + a 0. x = h a n. f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3
BAB XII. SUKU BANYAK A = a Pegertia: f(x) = a x + a x + a x + + a x +a adalah suku bayak (poliom) dega : - a, a, a,.,a, a, a 0 adalah koefisiekoefisie suku bayak yag merupaka kostata real dega a 0 - a
Lebih terperinciSolusi Numerik Persamaan Transport
Solusi Numerik Persamaa Trasport M. Jamhuri December 16, 2013 Diberika persamaa Trasport u t + 2u x = 0 1) Diberika persamaa Trasport u t + 2u x = 0 1) Diskretka persamaa trasport 1) dega megguaka persamaa
Lebih terperinciGalat dan Perambatannya
Modul 1 Galat da Perambataya Prof. Dr. Bambag Soedijoo P PENDHULUN ada Modul 1 ii dibahas masalah galat atau derajat kesalaha da perambataya, dega demikia para peggua modul ii diharapka telah memahami
Lebih terperinciIII BAB BARISAN DAN DERET. Tujuan Pembelajaran. Pengantar
BAB III BARISAN DAN DERET Tujua Pembelajara Setelah mempelajari materi bab ii, Ada diharapka dapat:. meetuka suku ke- barisa da jumlah suku deret aritmetika da geometri,. meracag model matematika dari
Lebih terperinciModul 7. METODE NEWTON-RAPHSON (Tangent) untuk Solusi Akar PERSAMAAN ALJABAR NON-LINIER TUNGGAL
Modul 7 METODE NEWTON-RAPHSON (Taget utuk Solusi Akar PERSAMAAN ALJABAR NON-LINIER TUNGGAL A. Pedahulua Pada modul terdahulu, walaupu kecepata kovergesi telah dapat ditigkatka secara lumaya berarti pada
Lebih terperinciKalkulus Rekayasa Hayati DERET
Kalkulus Rekayasa Hayati DERET 1 Isi Bab Pedahulua Barisa tak-higga Deret tak-higga Deret Positif : Uji kekovergea Deret Gati Tada Deret Pagkat Deret Taylor da Maclauri 2 Kompetesi Dasar Setelah megikuti
Lebih terperinciAn = an. An 1 = An. h + an 1 An 2 = An 1. h + an 2... A2 = A3. h + a2 A1 = A2. h + a1 A0 = A1. h + a0. x + a 0. x = h a n. f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3
SUKU BANYAK A Pegertia: f(x) x + a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a 2 +a 1 adalah suku bayak (poliom) dega : - a, a 1, a 2,.,a 2, a 1, a 0 adalah koefisiekoefisie suku bayak yag merupaka kostata real dega a 0 - a
Lebih terperinciPOSITRON, Vol. II, No. 2 (2012), Hal. 1-5 ISSN : Penentuan Energi Osilator Kuantum Anharmonik Menggunakan Teori Gangguan
POSITRON, Vol. II, No. (0), Hal. -5 ISSN : 30-4970 Peetua Eergi Osilator Kuatum Aharmoik Megguaka Teori Gaggua Iklas Saubary ), Yudha Arma ), Azrul Azwar ) )Program Studi Fisika Fakultas Matematika da
Lebih terperinciLIMIT. = δ. A R, jika dan hanya jika ada barisan. , sedemikian hingga Lim( a n
LIMIT 4.. FUNGSI LIMIT Defiisi 4.. A R Titik c R adalah titik limit dari A, jika utuk setiap δ > 0 ada palig sedikit satu titik di A, c sedemikia sehigga c < δ. Defiisi diatas dapat disimpulka dega cara
Lebih terperinciARTIKEL. Menentukan rumus Jumlah Suatu Deret dengan Operator Beda. Markaban Maret 2015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN
ARTIKEL Meetuka rumus Jumlah Suatu Deret dega Operator Beda Markaba 191115198801005 Maret 015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN PUSAT PENGEMBANGAN DAN PEMBERDAYAAN PENDIDIK DAN TENAGA KEPENDIDIKAN
Lebih terperinciREGRESI DAN KORELASI
REGRESI DAN KORELASI Pedahulua Dalam kehidupa sehari-hari serig ditemuka masalah/kejadia yagg salig berkaita satu sama lai. Kita memerluka aalisis hubuga atara kejadia tersebut Dalam bab ii kita aka membahas
Lebih terperinciSTATISTICS. Hanung N. Prasetyo Week 11 TELKOM POLTECH/HANUNG NP
STATISTICS Haug N. Prasetyo Week 11 PENDAHULUAN Regresi da korelasi diguaka utuk megetahui hubuga dua atau lebih kejadia (variabel) yag dapat diukur secara matematis. Ada dua hal yag diukur atau diaalisis,
Lebih terperinciJURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 7. No. 1, 31-41, April 2004, ISSN :
Vol. 7. No. 1, 31-41, April 24, ISSN : 141-8518 Peetua Kestabila Sistem Kotrol Lup Tertutup Waktu Kotiu dega Metode Trasformasi ke Betuk Kaoik Terkotrol Robertus Heri Jurusa Matematika FMIPA UNDIP Abstrak
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN Latar Belakang
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakag Dalam keadaa dimaa meghadapi persoala program liier yag besar, maka aka berusaha utuk mecari peyelesaia optimal dega megguaka algoritma komputasi, seperti algoritma
Lebih terperinciBarisan Aritmetika dan deret aritmetika
BARISAN DAN DERET BILANGAN Peyusu: Atmii Dhoruri, MS Kode: Jejag: SMP T/P: / A. Kompetesi yag diharapka. Meetuka suku ke- barisa aritmatika da barisa geometri. Meetuka jumlah suku pertama deret aritmatika
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. Dalam tugas akhir ini akan dibahas mengenai penaksiran besarnya
5 BAB II LANDASAN TEORI Dalam tugas akhir ii aka dibahas megeai peaksira besarya koefisie korelasi atara dua variabel radom kotiu jika data yag teramati berupa data kategorik yag terbetuk dari kedua variabel
Lebih terperinciInduksi matematik untuk memecahkan problema deret dan bilangan bulat bentuk kuadrat sempurna
Iduksi matematik utuk memecahka problema deret da bilaga bulat betuk kuadrat sempura Oleh: Sutopo Jurusa Fisika FMIPA UM sutopo@fisika.um.ac.id Ditulis pada sekitar bula Februari 2011. Diuggah pada 3 Desember
Lebih terperinciKestabilan Rangkaian Tertutup Waktu Kontinu Menggunakan Metode Transformasi Ke Bentuk Kanonik Terkendali
Jural Tekika ISSN : 285-859 Fakultas Tekik Uiversitas Islam Lamoga Volume No.2 Tahu 29 Kestabila Ragkaia Tertutup Waktu Kotiu Megguaka Metode Trasformasi Ke Betuk Kaoik Terkedali Suhariyato ) Dose Fakultas
Lebih terperinciBARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA
BARIAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA Bajar/Barisa Tak Higga Barisa tak higga { } adalah suatu fugsi dari dimaa daerah domaiya adalah himpua bilaga bulat positif (bilaga asli). Cotoh: Bila.. maka fugsi
Lebih terperincih h h n 2! 3! n! h h h 2! 3! n!
Dieresiasi Numerik Sala satu perituga kalkulus yag serig diguaka adala turua/ dieresial. Coto pegguaa dieresial adala utuk meetuka ilai optimum (maksimum atau miimum) suatu ugsi y x mesyaratka ilai turua
Lebih terperinciBab 8 Teknik Pengintegralan
Catata Kuliah MA3 Kalkulus Elemeter II Oki Neswa,Ph.D., Departeme Matematika-ITB Bab 8 Tekik Pegitegrala Metoda Substitusi Itegral Fugsi Trigoometrik Substitusi Merasioalka Itegral Parsial Itegral Fugsi
Lebih terperinciSetelah mempelajari modul ini Anda diharapkan dapat: a. memeriksa apakah suatu pemetaan merupakan operasi;
Modul 1 Operasi Dr. Ahmad Muchlis B PENDAHULUAN erapakah 97531 86042? Kalau Ada megguaka kalkulator, jawabaya amat bergatug pada tipe kalkulator yag Ada pakai. 9 Kalkulator ilmiah Casio fx-250 memberika
Lebih terperinciBAB III TAKSIRAN KOEFISIEN KORELASI POLYCHORIC DUA TAHAP. Permasalahan dalam tugas akhir ini dibatasi hanya pada penaksiran
BAB III TAKSIRAN KOEFISIEN KORELASI POLYCHORIC DUA TAHAP Permasalaha dalam tugas akhir ii dibatasi haya pada peaksira besarya koefisie korelasi polychoric da tidak dilakuka peguia terhadap koefisie korelasi
Lebih terperinciBAB II TEORI MOTOR LANGKAH
BAB II TEORI MOTOR LANGKAH II. Dasar-Dasar Motor Lagkah Motor lagkah adalah peralata elektromagetik yag megubah pulsa digital mejadi perputara mekais. Rotor pada motor lagkah berputar dega perubaha yag
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB LANDASAN TEORI.1 Distribusi Ekspoesial Fugsi ekspoesial adalah salah satu fugsi yag palig petig dalam matematika. Biasaya, fugsi ii ditulis dega otasi exp(x) atau e x, di maa e adalah basis logaritma
Lebih terperinciBAB V. INTEGRAL. Lambang anti-turunan (integral tak-tentu) oleh Leibniz adalah... dx, sehingga
BAB V. INTEGRAL 5.. Ati Turua (Itegral Tak-tetu) Defiisi: F suatu ati-turua f pada selag I jika da haya jika D F() = f() pada I, yaki F () = f() utuk semua dalam I. (Jika suatu titik ujug I, F () haya
Lebih terperinciBAB VI BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA
BAB VI BARIAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA Bajar/Barisa Tak Higga Barisa tak higga { },,,,, adalah suatu fugsi dari dimaa daerah domaiya adalah himpua bilaga bulat positif (bilaga asli). Cotoh: Bila,,,..,
Lebih terperinciOleh : Bambang Supraptono, M.Si. Referensi : Kalkulus Edisi 9 Jilid 1 (Varberg, Purcell, Rigdom) Hal
BAB. Limit Fugsi Ole : Bambag Supraptoo, M.Si. Referesi : Kalkulus Edisi 9 Jilid (Varberg, Purcell, Rigdom) Hal 56 - Defiisi: Pegertia presisi tetag it Megataka bawa f ( ) L berarti bawa utuk tiap yag
Lebih terperinciMA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan
MA1201 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 2016/2017 3 Februari 2017 Bab Sebelumya 8. Betuk Tak Tetu da Itegral Tak Wajar 8.1 Betuk Tak Tetu 0/0 8.2 Betuk Tak Tetu Laiya 8.3 Itegral Tak Wajar dg Batas
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Matematika merupakan suatu ilmu yang mempunyai obyek kajian
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakag Masalah Matematika merupaka suatu ilmu yag mempuyai obyek kajia abstrak, uiversal, medasari perkembaga tekologi moder, da mempuyai pera petig dalam berbagai disipli,
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB LANDASAN TEORI.1 Aalisis Regresi Istilah regresi pertama kali diperkealka oleh seorag ahli yag berama Facis Galto pada tahu 1886. Meurut Galto, aalisis regresi berkeaa dega studi ketergatuga dari suatu
Lebih terperinciPenerapan Metode Bagi-Dua (Bisection) pada Analisis Pulang-Pokok (Break Even)
Peerapa Metode Bagi-Dua (Bisectio) pada Aalisis Pulag-Pokok (Break Eve) Oleh: Nur Isai Jurusa Pedidika Matematika FMIPA UNY Yogyakarta Email: urisai001@yahoo.com Abstrak Persoala dalam mecari akar persamaa
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB PENDAHULUAN. Latar Belakag Statistika iferesi merupaka salah satu cabag statistika yag bergua utuk meaksir parameter. Peaksira dapat diartika sebagai dugaa atau perkiraa atas sesuatu yag aka terjadi
Lebih terperincii adalah indeks penjumlahan, 1 adalah batas bawah, dan n adalah batas atas.
4 D E R E T Kosep deret merupaka kosep matematika yag cukup populer da aplikatif khusuya dalam kasus-kasus yag meyagkut perkembaga da pertumbuha suatu gejala tertetu. Apabila perkembaga atau pertumbuha
Lebih terperinciSolusi Soal OSN 2012 Matematika SMA/MA Hari Pertama
Solusi Soal OSN Matematika SMA/MA Hari Pertama Soal 1. Buktika bahwa utuk sebarag bilaga asli a da b, bilaga adalah bilaga bulat geap tak egatif. = F P B (a, b) + KP K (a, b) a b Solusi. Pertama aka dibuktika
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA Pengertian
TINJAUAN PUSTAKA Pegertia Racaga peelitia kasus-kotrol di bidag epidemiologi didefiisika sebagai racaga epidemiologi yag mempelajari hubuga atara faktor peelitia dega peyakit, dega cara membadigka kelompok
Lebih terperincimempunyai sebaran yang mendekati sebaran normal. Dalam hal ini adalah PKM (penduga kemungkinan maksimum) bagi, ˆ ˆ adalah simpangan baku dari.
Selag Kepercayaa Cotoh Besar Jika ukura cotoh (sample size) besar, maka meurut Teorema Limit Pusat, bayak statistik megikuti/mempuyai sebara yag medekati ormal (dapat diaggap ormal). Artiya jika adalah
Lebih terperinciLEVELLING 1. Cara pengukuran PENGUKURAN BEDA TINGGI DENGAN ALAT SIPAT DATAR (PPD) Poliban Teknik Sipil 2010LEVELLING 1
LEVELLING 1 PENGUKURAN SIPAT DATAR Salmai,, ST, MS, MT 21 PENGUKURAN BEDA TINGGI DENGAN ALAT SIPAT DATAR (PPD) Jika dua titik mempuyai ketiggia yag berbeda, dikataka mempuyai beda tiggi. Beda tiggi dapat
Lebih terperinciPENENTUAN SOLUSI RELASI REKUREN DARI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT
Prosidig Semiar Nasioal Matematika da Terapaya 06 p-issn : 0-0384; e-issn : 0-039 PENENTUAN SOLUSI RELASI REKUREN DARI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT Liatus
Lebih terperinciBAB V ANALISA PEMECAHAN MASALAH
89 BAB V ANALISA PEMECAHAN MASALAH Dalam upaya mearik kesimpula da megambil keputusa, diperluka asumsi-asumsi da perkiraa-perkiraa. Secara umum hipotesis statistik merupaka peryataa megeai distribusi probabilitas
Lebih terperinciDeret dan Aproksimasi. Deret MacLaurin Deret Taylor
Deret da Aproksimasi Deret MacLauri Deret Taylor Tujua Keapa perlu perkiraa? Perkiraa dibetuk dari ugsi palig sederhaa polyomial. Kita bisa megitegrasika da medieresiasi dega mudah. Kita bisa guaka saat
Lebih terperinciMETODE NUMERIK UNTUK SIMULASI. Pemodelan & Simulasi TM09
METODE NUMERIK UNTUK SIMULASI Pemodela & Simulasi TM09 Metode Numerik ( Metode umerik dpt diklasiikasika mjd:. Metode satu-lagka atau sigle-step. Metode multistep Metode sigle-step Pada metode ii, utuk
Lebih terperinciInstitut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya. Model Sistem dalam Persamaan Keadaan
Istitut Tekologi Sepuluh Nopember Surabaya Model Sistem dalam Persamaa Keadaa Pegatar Materi Cotoh Soal Rigkasa Latiha Pegatar Materi Cotoh Soal Rigkasa Istilah-istilah Dalam Persamaa Keadaa Aalisis Sistem
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB PENDAHULUAN. Latar Belakag Didalam melakuka kegiata suatu alat atau mesi yag bekerja, kita megeal adaya waktu hidup atau life time. Waktu hidup adalah lamaya waktu hidup suatu kompoe atau uit pada
Lebih terperinciPendiferensialan. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul Pediferesiala Prof R Soematri D PENDAHULUAN alam modul ii dibahas fugsi berilai real yag didefiisika pada suatu iterval Defiisi derivatif suatu fugsi dimulai dega derivatif di suatu titik, kemudia
Lebih terperinciPengertian Secara Intuisi
Pegertia Secara Ituisi Coba Gambarka grafik fugsi-fugsi berikut.. f ( ) +, pada [0,].. ) pada [0, ] da.. Dari grafik fugsi yag kamu peroleh, apa yag dapat kamu kataka tetag ilai-ilai ketiga fugsi tersebut
Lebih terperinciC (z m) = C + C (z m) + C (z m) +...
4.. DERET PANGKAT Deret pagkat dari (x-m) merupaka deret tak higga yag betuk umumya adalah : i= i i C (z m) = C + C (z m) + C (z m) +... ( 4- ) C, C,... = kostata disebut koefisie deret m = kostata disebut
Lebih terperinciGambar 1. Partisi P dari empat persegi panjang R = [a, b] x [c, d] adalah dua himpunan i i
INTEGAL LIPAT. Itegral Lipat Dua dalam Koordiat Kartesius Pada bagia ii, dipelajari itegral lipat dua dalam. Misalka diketahui dua iterval tertutup [a, b] da [c, d]. Hasil kali kartesius dari kedua iterval
Lebih terperinciBAB III PEMBAHASAN. Pada BAB III ini akan dibahas mengenai bentuk program linear fuzzy
BAB III PEMBAHASAN Pada BAB III ii aka dibahas megeai betuk program liear fuzzy dega koefisie tekis kedala berbetuk bilaga fuzzy da pembahasa peyelesaia masalah optimasi studi kasus pada UD FIRDAUS Magelag
Lebih terperinciFungsi Kompleks. (Pertemuan XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya
TKS 4007 Matematika III Fugsi Kompleks (Pertemua XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusa Tekik Sipil Fakultas Tekik Uiversitas Brawijaya Pedahulua Persamaa x + 1 = 0 tidak memiliki akar dalam himpua bilaga real. Pertayaaya,
Lebih terperinciBAB VIII MASALAH ESTIMASI SATU DAN DUA SAMPEL
BAB VIII MASAAH ESTIMASI SAT DAN DA SAMPE 8.1 Statistik iferesial Statistik iferesial suatu metode megambil kesimpula dari suatu populasi. Ada dua pedekata yag diguaka dalam statistik iferesial. Pertama,
Lebih terperinciBAB III METODE PENELITIAN. penelitian yaitu PT. Sinar Gorontalo Berlian Motor, Jl. H. B Yassin no 28
5 BAB III METODE PENELITIAN 3.1 Lokasi Peelitia da Waktu Peelitia Sehubuga dega peelitia ii, lokasi yag dijadika tempat peelitia yaitu PT. Siar Gorotalo Berlia Motor, Jl. H. B Yassi o 8 Kota Gorotalo.
Lebih terperinci,n N. Jelas barisan ini terbatas pada dengan batas M =: 1, dan. barisan ini kovergen ke 0.
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNMUH PONOROGO SOAL UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP TA 03/04 Mata Ujia : Aalisis Real Tipe Soal : REGULER Dose : Dr. Jula HERNADI Waktu : 90 meit Hari, Taggal : Selasa,
Lebih terperinciBAB V UKURAN GEJALA PUSAT (TENDENSI CENTRAL)
BAB V UKURAN GEJALA PUSAT (TENDENSI CENTRAL) Setiap peelitia selalu berkeaa dega sekelompok data. Yag dimaksud kelompok disii adalah: Satu orag mempuyai sekelompok data, atau sekelompok orag mempuyai satu
Lebih terperinciPENAKSIRAN DAN PERAMALAN BIAYA D. PENAKSIRAN BIAYA JANGKA PANJANG E. PERAMALAN BIAYA
PENAKSIRAN DAN PERAMALAN BIAYA Ari Darmawa, Dr. S.AB, M.AB Email: aridarmawa_fia@ub.ac.id A. PENDAHULUAN B. PENAKSIRAN DAN PRAKIRAAN FUNGSI BIAYA C. PENAKSIRAN JANGKA PENDEK - Ekstrapolasi sederhaa - Aalisis
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1. Optimasi 2.1.1. Pegertia Optimasi Optimasi (Optimizatio) adalah aktivitas utuk medapatka hasil terbaik di bawah keadaa yag diberika. Tujua akhir dari semua aktivitas tersebut
Lebih terperinci1 n MODUL 5. Peubah Acak Diskret Khusus
ODUL 5 Peubah Acak Diskret Khusus Terdapat beberapa peubah acak diskret khusus yag serig mucul dalam aplikasi. Peubah Acak Seragam ( Uiform) Bila X suatu peubah acak diskret dimaa setiap eleme dari X mempuyai
Lebih terperinciMETODE PENELITIAN. dalam tujuh kelas dimana tingkat kemampuan belajar matematika siswa
19 III. METODE PENELITIAN A. Populasi da Sampel Populasi dalam peelitia ii adalah seluruh siswa kelas VIII SMP Negeri 8 Badar Lampug tahu pelajara 2009/2010 sebayak 279 orag yag terdistribusi dalam tujuh
Lebih terperinciHALAMAN Dengan definisi limit barisan buktikan limit berikut ini : = 0. a. lim PENYELESAIAN : jadi terbukti bahwa lim = 0 = 5. b.
Didowload dari ririez.blog.us.ac.id HALAMAN 36 37 5. Dega defiisi limit barisa buktika limit berikut ii : a. lim = 0 lim 1 2 + 3 = 0 > 0 h 1 = 2 + 3 0 = 1 2 + 3 1 2 1 2 1 2 < jadi terbukti bahwa lim =
Lebih terperinciPENGUJIAN HIPOTESIS. Atau. Pengujian hipotesis uji dua pihak:
PENGUJIAN HIPOTESIS A. Lagkah-lagkah pegujia hipotesis Hipotesis adalah asumsi atau dugaa megeai sesuatu. Jika hipotesis tersebut tetag ilai-ilai parameter maka hipotesis itu disebut hipotesis statistik.
Lebih terperinci