NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN DARI MATRIKS TRIDIAGONAL NISA RACHMANI G

NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN DARI MATRIKS TRIDIAGONAL NISA RACHMANI G5435 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 8

ABSTRACT NISA RACHMANI. Eigevales a Eigevectors of Triiagoal Matrix. Spervise by NUR ALIATININGTYAS a TEDUH WULANDARI MAS OED. Let A be a matrix. The scalar λ is calle a eigevale of A if there is a ozero vector x i R so that Ax λx. Vector x is sai to be a eigevector of A correspoig to the eigevale λ. A triiagoal matrix is a matrix which has zero elemets except the elemets at the mai iagoal, the elemets at the first iagoal below the mai iagoal (sbiagoal) a the elemets at the first iagoal above the mai iagoal (speriagoal). I this paper, all the etries o the sbiagoal a speriagoal are ifferet, while all the etries o the mai iagoal are the same a eote by b, except at the first a last colms. The etry at the first colm a at the first row is α + b, while the etry at the last colm a at the last row is β + b. All etries i this triiagoal matrix are complex mbers. I this paper, several cases of triiagoal matrices are iscsse, a for each case, it s eigevales a eigevectors will be iscsse i a theorem.

ABSTRAK NISA RACHMANI. Nilai Eige a Vetor Eige ari Matris Triiagoal. Dibimbig oleh NUR ALIATININGTYAS a TEDUH WULANDARI MAS OED. Misala A aalah sat matris. Salar λ isebt ilai eige ata ilai arateristi ari A ia terapat sat vetor taol x, sehigga Ax λx. Vetor x isebt vetor eige ata vetor arateristi yag berpaaa ega ilai eige λ. Matris triiagoal aalah sat matris yag mempyai etri-etri berilai ol ecali paa iagoal tama, i bawah iagoal tama (sbiagoal) a i atas iagoal tama (speriagoal). Dalam arya ilmiah ii, setiap etri paa sbiagoal a speriagoal aalah berbea, seaga etri-etri paa iagoal tama aalah sama, iotasia ega b, ecali paa olom pertama a olom terahir. Etri paa olom pertama baris pertama yait α + b, seaga etri paa olom terahir baris terahir yait β + b. Setiap etri paa matris triiagoal aalah bilaga omples. Dalam arya ilmiah ii, matris triiagoal tesebt iraia alam beberapa ass, a alam setiap ass, ilai eige a vetor eigeya aa ibahas alam sat teorema.

NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN DARI MATRIKS TRIDIAGONAL Sripsi Sebagai salah sat syarat t memperoleh gelar Saraa Sais paa Faltas Matematia a Ilm Pegetaha Alam Istitt Pertaia Bogor Oleh: NISA RACHMANI G5435 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 8

Jl : Nilai Eige a Vetor Eige ari Matris Triiagoal Nama : Nisa Rachmai NIM : G5435 Meyeti : Pembimbig I, Pembimbig II, Dra. Nr Aliatiigtyas, M.Si. Teh Wlaari Mas oe, M.Si. NIP. 3 779 5 NIP. 3 3 6 Megetahi : Dea Faltas Matematia a Ilm Pegetaha Alam Istitt Pertaia Bogor Dr. rh. Hasim, DEA NIP. 3 578 86 Taggal Lls :

RIWAYAT HIDUP Pelis ilahira i Jaarta paa taggal Mei 985 ari pasaga Dolah Abrachma a Yoyoh Hriah. Pelis merpaa aa etiga ari tiga bersaara. Tah 3 pelis lls ari SMUN 8 Jaarta a paa tah yag sama iterima sebagai mahasiswi Departeme Matematia, Faltas Matematia a Ilm Pegetaha Alam, Istitt Pertaia Bogor melali alr SPMB (Selesi Peerimaa Mahasiswa Bar). Selama megiti egiata perliaha, pelis atif alam epaitiaa yag iseleggaraa oleh Baa Esetif Mahasiswa map oleh GUMATIKA (Ggs Mahasiswa Matematia) paa perioe 4/5.

KATA PENGANTAR Pi a syr e hairat Allah SWT atas rahmat a aria-nya sehigga pelis apat meyelesaia arya ilmiah ii. Shalawat serta salam tercrah epaa ga ita abi besar Mhamma SAW yag telah memberia sri talaa epaa matya higga ahir ama. Karya ilmiah ii iss sebagai salah sat syarat t memperoleh gelar Saraa Sais paa program sti Matematia. Pelis megcapa terima asih epaa :. Ib Dra. Nr Aliatiigtyas, M.Si sela Pembimbig I yag telah melaga wat t memberia bimbiga, pegaraha, semagat, a sara sehigga pelis apat meyelesaia arya ilmiah ii.. Ib Teh Wlaari Mas oe, M.Si sela Pembimbig II atas bimbiga a sara yag telah iberia. 3. Ib Dra.Faria Ham, M.Si sela Pegi yag telah memberia sara a masaya. 4. Kelarga i rmah (Mama, Bapa, sami tercita Ial, aa tersayag Boi a aa mba Ia) terima asih atas oa, cita, semagat, a asih sayagya. 5. Kelarga aa i aparteme (Aa, mba Tati, a epoaa yag lc Darryl) terima asih atas oa, cita, semagat, a asih sayagya. 6. Dose-ose atas ilm yag telah iberia epaa pelis, serta staff eparteme matematia (b Ae, b Marisi, b Ssi, mas Yoo, mas Boo, mas Dei, ll) terima asih atas bataya selama i Departeme Matematia. 7. Sahabat-sahabat: Iwit, Ifi, Jaa, Metha, Via, Gatha, Amie, Garo, Mia, Icha, Achie, Mchie, Om Rama, Be, Azis, Rsli, Mato, Sri, Elis, Mita, Uly, Kafi, Ari, Ali, Mayag, Heri, Waliah, Sawa, Dimas, Fee, Jay, Abay, Marli, Nchie, Ptra, Uve, Berry, Prima, Ya, Dwi Pspa, Aam, Lili, Ato, Ucp, Demi, a Komeg, terima asih atas oa, semagat a ebersamaaya selama ii. 8. Tema-tema: Tities, Kre, Tia, Echie, Fitri, a math 4 laiya, terima asih atas oa, semagat a bataya selama ii. 9. Ka Sgeg 38, Ria, a Rita, sela pembahas, terima asih atas bataya.. Tema-tema Wisma Ug (Maryam, Rai, mba Uphi, mba Nesa, Sali, ll), terima asih atas oa, semagat a ebersamaaya selama ii.. Sema piha yag it membat a pelis tia apat meyebta sat per sat. Semoga arya ilmiah ii apat bermafaat bagi piha yag membaca. Bogor, Agsts 8 Nisa Rachmai

DAFTAR ISI Halama DAFTAR LAMPIRAN... ix I PENDAHULUAN. Latar Belaag.... Ta... II LANDASAN TEORI. Matris.... Determia a Sifat-sifatya....3 Nilai Eige a Vetor Eige....4 Rag Vetor a Kebebasa Liear....5 Bilaga Komples... 3.6 Grp, Rig, a Lapaga... 3.7 Trigoometri... 4.8 Fgsi, Pemetaa Ietitas, a Pemetaa Ietif... 4.9 Matris Blo (Partisi Matris)... 4 III PEMBAHASAN 3. Matris Triiagoal... 5 3. Kass... 7 3.. Kass gail... 3.. Kass geap... 5 3.3 Kass... 7 IV KESIMPULAN DAN SARAN... 9 V DAFTAR PUSTAKA... 9 LAMPIRAN... viii

DAFTAR LAMPIRAN Halama Bti Teorema... Bti Teorema 4... 8 3 Bti Teorema 5... 3 4 Bti Teorema 6... 4 5 Bti Teorema 7... 49 6 Bti Teorema 8... 5 7 Bti Proposisi... 55 ix

BAB I PENDAHULUAN. Latar belaag Kata vetor eige aalah campra ari bahasa Jerma a bahasa Iggris. Dalam bahasa Jerma, eige apat iteremaha sebagai sebearya ata arateristi ; oleh area it, ilai eige apat iamaa ilai sebearya ata ilai arateristi. Dalam alabar liear, ia aa persamaa Ax λx ega A aalah sat matris a persamaa tersebt mempyai peyelesaia taol x, maa λ isebt sebagai ilai eige ari A a x isebt vetor eige ari A yag berpaaa ega λ. Dalam arya ilmiah ii aa icari ilai eige a vetor eige ari matris triiagoal yag berra. Matris triiagoal aalah matris yag mempyai etri yag berilai ol paa selai iagoal tama, i bawah iagoal tama (sbiagoal) a i atas iagoal tama (speriagoal). Selai it, etri paa matris triiagoal aalah bilaga omples area bilaga omples aalah bet mm ari bilaga yag lai termas bilaga real. Lagipla ilai eige a vetor eige ari matris triiagoal yag mecap bilaga real telah ibahas i b Matrix Theory oleh Zhag. Ut mecari ilai eige a vetor eige ibtha poliomial arateristi, sehigga alam arya ilmiah ii terlebih ahl aa ibahas poliomial arateristi ari sat matris triiagoal. Karya ilmiah ii merpaa reostrsi tlisa Sai Koachi (6) yag berl Eigevales a Eigevectors of Triiagoal Matrices. Sebelmya Sai Koachi telah membat sat tlisa yag berl Eigevales a Eigevectors of Triiagoal Matrices with Noeqal Diagoal Etries yag meai salah sat aca ari arya ilmiah ii a persamaa yag telah ibtia i tlisa tersebt tia iabara i arya ilmiah ii.. Ta Ta ari arya ilmiah ii aalah t mecari ilai eige a vetor eige ari matris triiagoal t beberapa ass. BAB II LANDASAN TEORI. Matris Defiisi (Matris) Sebah matris aalah ssa segi empat si-si ari bilaga-bilaga. Bilagabilaga alam ssa tersebt iamaa etri alam matris. [Ato, 998] Defiisi (Matris arat berore ) Sebah matris A ega baris a olom iamaa matris arat berore, a etri-etri a, a,..., a iataa beraa paa iagoal tama ari A (lihat (.)). a a a a a a A (.) a a a [Ato, 998] Defiisi 3 (Matris Triiagoal) Sat matris triiagoal yag berra, iotasia sebagai T, aalah matris ega etri-etri t i ia i > (lihat (.)). a b c a b c a b T. (.) c a b c a [Zhag,999] Defiisi 4 Etri-etri tepat i bawah iagoal tama ari matris triiagoal isebt sbiagoal a etri-etri tepat i atas iagoal tama ari matris triiagoal isebt speriagoal. [Koachi, 6]

. Determia a Sifat-sifatya Defiisi 5 (Determia) Determia ari sat matris A berore, iotasia sebagai et( A ), aalah sat salar yag iasosiasia ega matris A a iefiisia secara itif sebagai: a, ia et ( A) aa + a A +... + a A, ia > ega + A ( ) et ( M ),,..., aalah ofator-ofator yag iasosiasia ega etri-etri alam baris pertama ari A. [Leo, ] Teorema Jia A aalah sat matris segitiga atas ata bawah yag berra, maa etermia ari A sama ega hasil ali elemeeleme iagoal tama ari A. [Leo, ] Defiisi 6 (Sifat-sifat Determia) Operasi baris I. Pertara a baris (ata olom) ari sat matris aa megbah taa ari etermia. II. Megalia sat baris ata olom ari sat matris ega sat salar sama aibatya ega megalia ilai ari etermia ega salar tersebt. III. Memlaha peralia ari sat baris (ata olom) paa baris lai (ata olom lai) tia aa megbah ilai ari etermia. [Leo, ] Teorema [Matris Siglar] Sat matris A berore aalah siglar ia a haya ia et ( A ). [Leo, ] Teorema 3 (Atra Cramer) Misala A aalah matris tasiglar berore a misala b R. Misala A i aalah matris yag iperoleh ega meggati olom e- i ari A ega b. Jia x aalah peyelesaia tggal ari Ax b, maa ( Ai ) ( A) et xi t i,,...,. et [Leo, ].3 Nilai Eige a Vetor Eige Defiisi 7 (Nilai Eige, Vetor Eige, Persamaa Karateristi a Poliomial Karateristi) Misala A aalah sat matris. Salar λ isebt ilai eige ata ilai arateristi ari A ia terapat sat vetor taol x, sehigga Ax λx. Vetor x isebt vetor eige ata vetor arateristi yag berpaaa ega ilai eige λ. Persamaa Ax λx apat itlisa alam bet ( A λi) x. (.3) Persamaa (.3) aa mempyai peyelesaia tatrivial ia a haya ia A λi siglar ata secara eivale et ( A λi) x. (.4) Jia etermia paa persamaa (.4) iraia maa iapata sat poliomial bereraat alam pebah λ p ( λ) et ( A λi ). Poliomial ii isebt poliomial arateristi a persamaa (.4) isebt persamaa arateristi t matris A. [Leo, ] Teorema 4 Misala A aalah sat matris berore. Himpa ari setiap ilai eige yag berbea ari matris A aalah taosog a mempyai palig baya ilai eige yag berbea. Bti: lihat [Lacaster & Tismeetsy,985]. Defiisi 8 Misala A aalah sat matris berore. Jia A mempyai ilai eige yag berbea maa matris A isebt seerhaa. [Lacaster & Tismeetsy,985].4 Rag Vetor a Kebebasa Liear Defiisi 9 (Rag Vetor) Misala V aalah himpa i maa iefiisia operasi-operasi pemlaha a peralia ega salar. Dega ii apat iartia bahwa t setiap pasag elemeeleme x a y i alam V, apat iasosiasia ega eleme x+ y yag tggal yag ga beraa i V, a t setiap eleme x i V a setiap salar α,

3 apat iasosiasia ega eleme αx yag tggal i alam V. Himpa V bersamasama ega operasi-operasi pemlaha a peralia ega salar iataa membet sat rag vetor ia asioma-asioma berit terpehi A. x + y y+ x t setiap x a y i V. A. ( x+ y) + z x+ ( y+ z ) t setiap x, yz, i V. A3. Terapat eleme i V sehigga x+ x t setiap x V. A4. Ut setiap x V terapat eleme x V sehigga x+ ( x). α x+ y αx+ αy t setiap salar A5. α a setiap x a y i V. α + β x αx+ β x t setiap salar A6. α a β a setiap x V. A7. ( αβ ) x α ( β x ) t setiap salar α a β a setiap x V. A8.. x x t setiap x V. [Leo, ] Defiisi (Bebas Liear) Vetor-vetor v, v,..., v alam rag vetor V isebt bebas liear ia cv + cv +... + c v, megaibata sema salar-salar c, c,..., c hars sama ega. [Leo, ] Defiisi (Bergatg Liear) Vetor-vetor v, v,..., v alam rag vetor V isebt bergatg liear ia terapat salar-salar c, c,..., c yag tia semaya ol sehigga cv + cv +... + c v. [Leo, ].5 Bilaga Komples Defiisi (Bilaga Komples) Bilaga omples aalah sat pasaga terrt ari bilaga real yag iyataa ega ( ab, ) ata a+ biega i. [Ato, 998].6 Grp, Rig, a Lapaga Defiisi 3 (Grp) Grp G, aalah himpa G ega operasi bier a memehi asiomaasioma berit G. Operasi bier bersifat asosiatif ( x y) z x ( y z), x, y, z G. G. Aa sr e i G sehigga e x x e x, x G (sr e isebt sr ietitas t G ega operasi bier ). G3. Ut setiap a G, aa sr a' G sehigga a' a a a' e (sr a ' isebt ivers ari a ega operasi bier ). [Fraleigh, 994] Defiisi 4 (Grp Abel) Grp G, isebt grp Abel ia operasi bier bersifat omtatif yait x, y G, x y y x. [Fraleigh, 994] Defiisi 5 (Rig) Rig R, +, aalah himpa R ega a operasi bier + a, isebt pemlaha a peralia, a memehi asioma-asioma berit: R. R, + aalah grp Abel. R. Operasi peralia bersifat asosiatif. R3. Ut setiap abc,, R, berla Hm istribtif iri: a ( b+ c) ( a b) + ( a c) a Hm istribtif aa: ( a+ b) c ( a c) + ( b c). [Fraleigh, 994] Defiisi 6 (Rig Komtatif) Rig ega operasi peralia yag bersifat omtatif aalah rig omtatif. [Fraleigh, 994] Defiisi 7 (Usr Kesata) Rig R ega sr ietitas sehigga x x x, x R aalah rig ega sr esata. Usr ietitas alam rig aalah sr esata (es). [Fraleigh, 994] Defiisi 8 (Lapaga) Misala R aalah rig. Lapaga aalah rig omtatif yag mempyai sr

4 esata serta setiap sr taolya mempyai ivers yait a R sehigga aa a a, a R. [Fraleigh, 994].7 Trigoometri Defiisi 9 (Kesamaa Trigoometri) Kesamaa trigoometri aalah hbga atara fgsi-fgsi trigoometri, yait. si θ + cos θ. si ( θ) siθ 3. cos( θ) cosθ 4. si ( θ + π) siθ 5. cos( θ + π) cosθ 6. si ( x + y) si xcos y+ cos xsi y 7. si ( x y) si xcos y cos xsi y 8. cos( x y) cos xcos y+ si xsi y 9. si x si xcos x. cos x cos x si x. cos x cos x. cos x si x 3. si ( π + θ) si ( π θ) si ( θ π) siθ si ( θ) π π π 4. si + θ si θ si θ cosθ [Stewart, ].8 Fgsi (Pemetaa), Pemetaa Ietitas, a Pemetaa Ietif Defiisi (Fgsi) Misala A a B aalah a himpa. Fgsi f ari A e B aalah atra yag memaaa setiap eleme x alam himpa A secara tepat ega sat eleme, yag isebt f ( x ), alam himpa B. [Stewart, ] Defiisi (Pemetaa) Misala A a B aalah a himpa. Fgsi f ari A e B bisa ga isebt bahwa f memetaa A e B (ata pemetaa A e B ) a itlis f : A B. [Golberg, 976] Defiisi (Pemetaa Ietitas) Misala A aalah sat himpa. Pemetaa A e A isebt pemetaa ietitas, iotasia, A I ia a aggota ari A maa I A ( a) a ata apat itlis I : A A. A [Krtz, 99] Defiisi 3 (Pemetaa Ietif) Misala A a B aalah a himpa. Fgsi f memetaa A e B. Fgsi f aalah ietif ia a haya ia wz, A, ia f( w) f( z) maa w z. [Krtz, 99].9 Matris Blo (Matris Terpartisi) Defiisi 4 (Matris Blo) Misala A, B, C, a D aalah sat matris, ega A aalah matris arat berore a D aalah matris arat berore m. Matris M isebt matris blo A B ia M. C D [Zhag,999] Teorema 5 Misala M aalah matris blo. Jia A mempyai ivers, maa et M et Aet( D CA B ), a ia AC CA, maa et M et( AD CB ). Bti: lihat [Zhag,999].

5 BAB III PEMBAHASAN 3. Matris Triiagoal Misala iberia matris triiagoal alam bet sebagai berit α + b c a b c a b A c a β + b (3.) a c aalah a ega { } a { } barisa bagia yag higga ari barisa { a } a { c } ; a a c bilaga omples yag memehi sifat ari lapaga; α, β a b aalah bilaga omples. Misala bahwa, ia gail ac,,..., (3.), ia geap ega a aalah bilaga omples. Jia σ aalah pemetaa ietif ari himpa iteger sampai e alam himpa iteger yag berbea maa matris A meai α + b cσ aσ b c σ a b σ ( σ ) A cσ aσ β + b (3.3) a ( σ) A( σ) λ Ι aalah poliomial arateristiya. Jia σ i, ega i aalah pemetaa ietitas, maa A () i a () i iotasia bertrt-trt ega A a. Cotoh Misala iberia barisa: { a} { a, a, a3, a4,..., a7,..., a,..., a4,..., a8,... }.5,6,4 7,,...,5,...,7,...,,...,,... { c} { c, c, c3, c4,..., c7,..., c,..., c4,..., c8,... } 9 5 4,6 +, 4 + 7, 5,...,,...,,...,9,...,.5,... 5 7 Dari barisa i atas, iapata: 4 { a } {.5, 6, 4 7,} 4 { c } { 4,6, 4 7, 5} + + Dapat ibet matris triiagoal: 5 4.5 6 + A5 6 4+ 7 4 7 5 3 ega 9, ia gail ac,,..., 5, ia geap Jia aa pemetaa: σ : 7 3 4 4 8 maa a σ a 7 5 a 7 aσ aσ a 3 4 a σ a 4 8 9 c c σ 7 5

6 cσ c 5 7 cσ c 3 4 9 5 cσ c 4 8 a matris triiagoal A 5 meai A 5 ( σ ) 9 5 5 5 5 7 7 9 5 3 Cotoh Misala aa barisa: { a} { a, a, a3, a4, a5, a6..., a3,..., a,..., a6,..., a8,..., a3,..., a36,... } { 6, 4, 8,5 i 7, i, 3,..., i,...,,..., 9 i,...,i,...,3 i,...,8 8 i,... } { c} { c, c, c3, c4, c5, c6..., c3,..., c,..., c6,..., c8,..., c3,..., c36,... } { 9,8, 3,5 i 7, 7 i,,...,54 i,..., 6,...,6 i,..., 8i,..., 8 i,..., i,... } + + Dari barisa i atas, iapata 6 a 6, 4, 8,5 i 7, i, 3 { } { } 6 { c} { 9,8, 3, 5 i 7, 7 i, } + Dapat ibet matris triiagoal: 5 4 9 6 5 8 4 5 3 A7 8 5 5+ i 7 5 i 7 5 7i i 5 3 5 3 6 ega 54, ia gail ac,,..., 3, ia geap Jia aa pemetaa σ : 3 3 6 4 8 5 3 6 36 maa a σ a i 3 a a σ a a σ 3 6 9i aσ a 4 8 i a a σ 5 3 3i a a σ 6 36 8 8i c c σ 3 54i c σ c 6 c c σ 3 6 6i cσ c 4 8 8i c c σ 5 3 8i c c σ 6 36 + i a matris triiagoal A 5 meai

7 A 7 ( σ ) 5 4 54i i 5 6 5 6i 9i 5 8i i 5 8i 3i 5 + i 8 8i 5 3 6 3. Kass Dalam ass α β, matris A ( σ ) a poliomial arateristiya iotasia bertrt-trt ega A ( σ ) a ( σ ) seaga alam ass α ata β matris a poliomial arateristi tersebt iotasia ega A a. Ut mecari ilai eige ari matris triiagoal igaa persamaa berit yag telah ibtia i [Koachi, i press], yait Y + + cos θ, (3.4) ega Y b λ (3.5) a λ aalah ilai eige ari matris triiagoal. Sebelm mecari ilai eige matris triiagoal, terlebih l icari poliomial arateristiya yag iyataa alam Teorema berit ii. Teorema Jia maa ilai eige ari matris triiagoal A ( σ ) paa (3.3) tia bergatg paa etri bebas ( ai, ci, i,.., ), a pemetaa σ memperlihata bahwa oisi (3.) terpehi serta poliomial arateristi ari A σ aalah sebagai berit Jia m+ gail a ia mgeap ( ) ( ) Y α β si m+ θ+ αβy α β si mθ, siθ m si( m+ ) θ+ αβ ( α β ) Y + + si mθ+ αβ si( m ) θ. siθ m (3.6) (3.7) Bti: Aa ibtia persamaa (3.6) a (3.7). Karea bagia aa ari persamaa (3.6) a (3.7) tia bergatg paa σ, cp ibtia bahwa σ i, sehigga poliomial arateristi ari matris A σ iotasia ega. triiagoal Jia α ata β, maa Y c Y c Y c 3 3 α a β a + αβ a a Y c a Y c a Y c 3 3 c c c a Y a Y a Y (3.8) (Bti: lihat Lampira bagia A)

8 ega aalah poliomial arateristi t α β a a i alam sbiagoal a c i alam speriagoal memehi oisi (3.). Selatya, aa icari ega meggaa persamaa (3.6) a (3.7). Jia α β, persamaa (3.6) a (3.7) bertrt-trt meai ia m+ gail m si( m + ) θ ( ) Y (3.9) siθ ia m geap si( m+ ) θ + si mθ m ( ). (3.) siθ (Bti: lihat Lampira bagia B) Karea persamaa (3.9) a (3.) telah terbti, ea persamaa tersebt isbtitsi e persamaa (3.8) a iapata ia α ata β, maa ia m+ gail ia m geap ( ) ( ) m Y α β si( m+ ) θ + αβy α β si mθ siθ si( m+ ) θ + ( αβ + ( α + β ) Y) si mθ + αβ si ( m ) θ. siθ m (Bti: lihat Lampira bagia C) eige ari matris triiagoal B ( σ ) sama ega ilai eige ari matris Dari persamaa (3.7) apat iperoleh triiagoal A ( σ ). Proposisi berit ii. Bti: Proposisi Misala Aa ibtia ilai eige ari matris B ( σ ) aalah sat matris triiagoal A ( σ ) a B ( σ ) sama. triiagoal yag iperoleh ari matris Ut membtia bahwa ilai eige triiagoal A ( σ ) paa (3.3) ega ea matris triiagoal tersebt sama, cp membtia poliomial arateristi mear bilaga α a β. ea matris triiagoal tersebt sama. Dari Jia ra sat matris triiagoal Teorema iapata poliomial aalah yag berilai geap maa ilai arateristi berit ii. Ut A ( σ ) ( ) seaga t B ( σ ) si( m+ ) θ + αβ + α + β Y si mθ + αβ si m θ ( ) m ( ) ( ) siθ si( m+ ) θ + βα + β + α Y si mθ + βα si m θ ( ) m siθ si( m+ ) θ + αβ + α + β Y si mθ + αβ si m θ ( ) m siθ Karea poliomial arateristi ari σ B σ sama matris triiagoal A a maa ilai eige ari matris triiagoal σ B σ sama. A a

9 Dari σ, yait pemetaa ietif ari himpa iteger sampai e alam himpa iteger yag berbea, ata ari cotoh a iapata Aibat 3 berit ii. Aibat 3 Setiap etri alam sbiagoal a speriagoal ari matris triiagoal A σ paa (3.3) memehi oisi (3.). Selatya aa ibahas megeai vetor eige ari matris triiagoal A ( σ ). Misala ompoe ari vetor eige ( ) ( σ ),,..., yag berhbga ega ilai eige λ,,...,, iotasia ega ( ),,...,, aalah solsi ari persamaa liear ( ) ( α + ξ ) + cσ, ( ) aσ + ξ + cσ 3, (3.) ( a ) σ, β ξ + + ega ξ Y, ega Y memehi persamaa (3.4), a θ,,..., aalah solsi ari persamaa berit ii. Jia m+ aalah gail ξ α β si m+ θ + αβξ α β si mθ, (3.) a ia m aalah geap si ( m+ ) θ + αβ + ( α + β) ξ si mθ + αβ si ( m ) θ. (3.3) Karea hipotesis Teorema, yait, maa ξ Y, ega Y memehi persamaa (3.4). Jai persamaa (3.) aalah bergatg liear. Karea persamaa (3.) aalah bergatg liear, maa ega megelimiasi persamaa pertama ata baris pertama iperoleh ξ σ 3 ξ 3 σ 4 aσ + + c, aσ + + c, 3 ( a ) σ. β ξ + + Sistem persamaa liear i atas itlisa alam bet matris berit ii. ( ξ ) ( ) cσ a σ ( ) aσ ξ 3. c σ a ( β + ξ ) ( ) σ (3.4) Vetor eige ( ),,...,,,...,, paa sistem persamaa (3.4) apat icari ega meggaa Atra Cramer, yait ( ) ( σ ) ( ) Γ ( σ ),,...,,,...,, ( ) (3.5) ega

ξ cσ a σ aσ ξ cσ aσ ξ ( Γ ) ( σ ) aσ c σ ξ aσ + c a ( ) Kolom e- σ σ ( β + ξ ), ( ) Nilai paa persamaa (3.5) iteta ari persamaa (3.6) a (3.7) ega α a igati ega iperoleh persamaa berit ii. sehigga Jia m+ gail si si m m+ θ + βξ mθ ( ), (3.6) siθ a ia m geap ( ξ ) β si mθ β si ( m ) θ ( ) m ( ), (3.7) siθ t setiap,...,. Pertara olom e- ega olom ( e- ari Γ ) ( σ ), meghasila ( ) ( ) Λ ( σ ) ( σ ) ( ),,...,, (3.8) ( ega Λ ) ( σ ) aalah etermia ari matris blo berit ii. ( T ) ( σ ) C ( σ ), ( ) ( σ ) S ega ( ) aσ ξ cσ aσ ( ) ( σ T ) c σ ξ a σ aalah matris ega orer a ( ) iagoal a, a,..., a serta ( σ ) σ σ ξ cσ + aσ + ( ) S ( σ ) c σ aσ ( β + ξ ) aalah matris triiagoal ega orer yag memehi oisi (3.). Karea T σ mempyai ivers maa σ σ C σ T σ S σ a... a, (3.9) t setiap,..., a,...,, ega ( ) σ iberia oleh persamaa (3.6) a (3.7) t α a igatia ega sehigga iperoleh persamaa berit ii. Jia gail

si θ ( βξ) si θ + + ( ), ia gail, si θ (3.) + ( ξ ) si si β θ β θ ( ), ia geap, siθ a ia geap + ( ξ β) si θ β si θ ( ), ia gail, ( ) siθ (3.) si + θ ( ) si + βξ θ ( ), ia geap, siθ t setiap,..., a,...,. Dega meybstitsi persamaa (3.8) ega (3.9) iapata ( ) ( ) ( σ ) ( ) aσ... a σ ( ) (3.) ( ) ( ) ( ) aσ... a σ ( ),..., a,...,. Dega meybstitsi persamaa (3.6), (3.7), (3.) a (3.) ega persamaa (3.) iapata persamaa berit ii. Jia gail ( ) ( ) σ a ia geap ( ) ( ) σ si + θ + ( βξ) si θ, ia gail, + si θ + ( βξ) si θ + ( ) ξ β si si θ β θ ( ) + si θ + ( βξ) si θ ( ξ β) si θ β si θ t setiap,..., a,...,, ega si si, ia geap, + ξ β si θ β si θ, ia gail, si ( ) si + θ + βξ θ, ia geap, ξ β θ β θ (3.3) (3.4)

µ σ aσ... aσ,,...,. Searag iefiisia ρ ( σ ) ( ) µ ( σ),,...,, ( ) ( ) ega µ ( σ ) iberia i ( ) a µ ( σ ). 3.. Kass gail Jia α β, maa iperoleh Teorema 4 berit ii. Teorema 4 Jia α β, maa ilai eige λ ( σ ),,..., ari matris triiagoal A ( σ ) paa (3.3) tia bergatg paa etri bebas ( ai, ci, i,.., ), a pemetaa σ memperlihata bahwa oisi (3.) terpehi serta iperoleh λ b+ + + cos θ,,..., m, b + + cos θ, m+,..., m, b,. (3.5) Vetor eige ( ) t ( ) σ σ,..., σ,,.., aalah sebagai berit si + θ + si θ, ia gail, ( ) ( σ) ρ ( σ) + ( λ) b si θ, ia geap, (3.6) a σ a a, ia geap,..., ia gail, ( ) σ σ ( ),...,, a σ, a (3.7) ρ σ iberia i π,,..., m, + θ. ( m) π, m+,..., m. + (Bti: lihat Lampira ) ( ) ( ) ( ) Jia α a β, persamaa (3.) meai ξ si m+ θ + ξ si mθ ξ + si m+ θ + ξ si mθ ξ + si m+ θ + ξ + si mθ ( ξ )( θ θ) + si m+ + si m. (3.8) Jia persamaa (3.9) isbstitsi ega fgsi trigoometri siηcosς si( η + ς ) + si( η ς ) m + θ ega η θ a ς, maa persamaa (3.8) meai m + θ ( ξ ( + ) ) si θ cos. Karea hipotesis Teorema yait maa m + θ ( ξ ( + ) ) si θ cos. (3.9) Jia α a β, persamaa (3.) meai

3 ( ) ( ) ( ) ξ + + si m+ θ + ξ + + si mθ ξ + + si m+ θ + ξ + + si mθ ξ + + si m+ θ + ξ + + si mθ ( ξ )( θ θ) + + si m+ + si m (3.3) Jia persamaa (3.3) isbstitsi ega fgsi trigoometri siηcosς si( η + ς ) + si( η ς ) m + θ ega η θ a ς, maa persamaa (3.3) meai m + θ ( ξ + ( + ) ) si θ cos. Karea hipotesis Teorema yait maa m + θ ( ξ + ( + ) ) si θ cos (3.3) Jia persamaa (3.9) a (3.3) igabga, maa ± + m + θ si θ cos. (3.3) ( ξ ( ) ) Dari persamaa (3.3) iapata Teorema 5 berit ii. Teorema 5 Jia α a β ata β a α, maa ilai eige λ ( σ ),,..., ari matris triiagoal A ( σ ) paa (3.3) tia bergatg paa etri bebas ( ai, ci, i,.., ) a pemetaa σ memperlihata bahwa oisi (3.) terpehi serta iperoleh b+ + + cos θ,,..., m, λ b + + cos θ, m+,..., m, b ( α + β),. (3.33) ( vetor eige ) ( ) ( ) t σ σ,..., ( σ),,.., aalah sebagai berit ia α a β si + θ + [ b+ λ] si θ, ia gail, ( σ) ρ ( σ) + ( b ) si θ si θ, ia geap, + λ + (3.34),..., a ( ) ( σ) ρ ( σ),...,, ia gail,, ia geap, ia β a α si + θ + [ + b λ] si θ, ia gail, ( σ) ρ ( σ) + ( b ) si θ si θ, ia geap, + λ + (3.35),..., a

4 ( ) ( σ) ρ ( σ),...,,, ia gail,, ia geap, ρ σ iberia i a π,,..., m, θ ( m) π, m+,..., m. (Bti: lihat Lampira 3) Jia α a β, persamaa (3.) meai ξ + si m+ θ + ξ + si mθ ( ξ ) ( ( m ) θ mθ) ξ + si m+ θ ξ + si mθ + si + si. (3.36) Jia persamaa (3.36) isbstitsi ega fgsi trigoometri cosηsiς si ( η + ς ) si ( η ς ) m + θ ega η θ a ς, maa persamaa tersebt meai m + θ ( ξ + ) cos θ si. Karea hipotesis Teorema yait maa m + θ ( ξ + ) cos θ si. (3.37) Jia α a β, persamaa (3.) meai ξ + si m+ θ + ξ + si mθ ( ξ ) ( ( m ) θ mθ) ξ + si m+ θ + ξ + si mθ + si + si. (3.38) Jia persamaa (3.38) isbstitsi ega fgsi trigoometri cosηsiς si( η + ς ) si( η ς ) m + θ ega η θ a ς, maa persamaa (3.38) meai m + θ ( ξ + ) cos θ si. Karea hipotesis Teorema yait maa m + θ ( ξ + ) cos θ si (3.39) Jia persamaa (3.37) a (3.39) igabga maa m + θ ( ξ ± ( ) ) cos θ si. (3.4) Dari persamaa (3.4) iapata Teorema 6 berit ii. Teorema 6 Jia α a β ata β a α, maa ilai eige λ ( σ ),,..., ari matris triiagoal A ( σ ) paa (3.3) tia bergatg paa etri bebas ( ai, ci, i,.., ) a pemetaa σ memperlihata bahwa oisi (3.) terpehi serta iperoleh b+ + + cos θ,,..., m, λ b + + cos θ, m+,..., m, b ( α + β),. (3.4) vetor eige ( ) t ( ) σ σ,..., σ,,.., aalah sebagai berit ia α a β

5 si + θ + [ b+ λ] si θ, ia gail, + ( b ) si θ si θ, ia geap, + λ + (3.4) ( ) ( σ) ρ ( σ),..., a ( ) ( σ) ρ ( σ),..,, ( ), ia gail,, ia geap, ( ) ia β aα si + θ + [ + b λ] si θ, gail, ( σ) ρ ( σ) + ( b ) si θ si θ, geap, + λ + (3.43),..., a ( ) ( σ) ρ ( σ),..,, ( ), ia gail, ( ) +, ia geap, ega ρ ( σ ) iberia i ( ) a ( ) π,,..., m, θ ( ( m) ) π, m+,..., m. (Bti: lihat Lampira 4) 3.. Kass geap Jia αβ, persamaa (3.3) meai si ( m+ ) θ + + ( α + β) ξ si mθ + si ( m ) θ ( α β) ξ θ ( θ θ) si m+ θ + α + β ξ si mθ + si m θ + si m + si m+ + si m. (3.44) Jia persamaa (3.44) isbstitsi ega fgsi trigoometri siηcosς si η + ς + si η ς ega η mθ a ς θ, maa persamaa (3.44) meai ( α β) ξ θ ( θ θ ) + si m + si m cos α + β ξ simθ + cosθ simθ cosθ + α + β ξ simθ. (3.45) Persamaa (3.45) isbstitsi e persamaa (3.4), iapata ξ + ( α + β) ξ si mθ ξ ( α + β) ξ + si mθ (3.46) ega si mθ ata ξ ( α + β) ξ +, (3.47) sehigga iapata Teorema 7 berit ii.

6 Teorema 7 Jia αβ, maa ilai eige λ ( σ ),,..., ari matris triiagoal A σ paa (3.3) tia bergatg paa etri bebas ( a, c, i,.., ) i i a pemetaa σ memperlihata bahwa oisi (3.) terpehi serta iperoleh b+ + + cos θ,,..., m, b + + cos θ, m,...,m, λ 4 α + β + α β + (3.48) b,, ( α + β) ( α β) + 4 b,. ( ) t ( ) vetor eige σ σ,..., σ,,.., aalah sebagai berit ( b λ β) si θ β si θ, ia gail, si + θ + ( β( b λ) ) si θ, ia geap, (3.49) ( ) ( σ) ρ ( σ) ega,,.., a π,,..., m, θ ( m+ ) π, m,...,m. vetor eige ρ σ iberia i ( ) ( σ ) a ( ) ( σ ), bertrttrt, berhbga ega ilai eige λ a imaa λ yag iberia i persamaa (3.4), θ apat ilihat i persamaa (3.4), (3.5) a (3.47). (Bti: lihat Lampira 5) Jia α β ±, persamaa (3.3) meai si ( m+ ) θ + + ( ) ξ si mθ si ( m ) θ θ ( θ θ) si m+ si m θ si m+ si m, (3.5) Persamaa (3.5) isbstitsi ega fgsi trigoometri cosηsiς si η + ς si η ς ega η mθ a ς θ, maa persamaa tersebt meai cosmθ siθ cosmθ siθ, (3.5) sehigga iapata Teorema 8 berit ii. Teorema 8 Jia α β ±, maa ilai eige λ ( σ ),,..., ari matris triiagoal ( σ ) etri bebas ( a, c, i,.., ) A paa (3.3) tia bergatg paa i i a pemetaa σ memperlihata bahwa oisi (3.) terpehi serta iperoleh

7 λ b+ + + cos θ,,..., m, b + + cos θ, m +,...,, (3.5) ( ) t ( ) vetor eige σ σ,..., σ,,.., aalah sebagai berit ia α β ( b λ ) si θ si θ, ia gail, ( σ) ρ ( σ) si + θ + ( ( b λ) ) si θ, ia geap, (3.53) a ia α β ( b λ + ) si θ + si θ, ia gail, si + θ + ( + ( b λ) ) si θ, ia geap, (3.54) ( ) ( σ) ρ ( σ) ρ σ iberia i ( ) ega,,.., a ( ) π,,..., m, θ ( m ) π, m+,...,. (Bti: lihat Lampira 6) 3.3 Kass Dari [Koachi, i press] iperoleh Proposisi 9 berit ii. Proposisi 9 Jia, maa ilai eige λ ( σ ),,..., ari matris triiagoal ( σ ) etri bebas ( a, c, i,.., ) A paa (3.3) tia bergatg paa i i a pemetaa σ memperlihata bahwa oisi (3.) terpehi serta poliomial arateristi ari matris triiagoal A ( σ ) aalah sebagai berit ia ( ξ ) ξ α ξ βξ, ia gail; + + ( ξ ) ( ξ ( α β) ξ αβ), ia geap; (3.55) a ia ( ξ ) ξ β ξ αξ, ia gail; ( ξ ) ( )( ξ αξ ξ βξ ), ia geap; (3.56) ega ξ Y iberia i (3.4). Proposisi 9 telah ibtia i [Koachi, i press]. Aibat lagsg ari proposisi tersebt aalah Proposisi berit ii. Proposisi Jia, maa ilai eige λ ( σ ),,..., ari matris triiagoal ( σ ) etri bebas ( a, c, i,.., ) A paa (3.3) tia bergatg paa i i a pemetaa

8 σ memperlihata bahwa oisi (3.) terpehi, serta iperoleh ) Jia α β maa ia, ilai eige berrag meai tiga, yait { b±, b } ata ia gail a, ilai eige aalah { b±, b } a ia geap a, haya aa a ilai eige, yait { b± }. ) Jia α ata β maa ia gail a, ilai eige berrag meai lima, yait b±, b α, b β ± β + 4 ; ia gail a, ilai eige ga meai lima, yait b±, b β, b α ± α + 4 ; ia geap a, ilai eige meai empat, yait { b±, b α, b β } ; a ia geap a, ilai eige meai eam, yait 3) Setiap vetor eige b±, b α ± α + 4, b β ± β + 4. ( ) t ( ) σ σ,..., σ,,.., aalah seerhaa, yait 3.) Jia λ seerhaa ia ( b λ ), ia gail,, gail, ( b ) λ ( b λ), ia geap,, + ( b ) λ, ia gail,, geap, ( b ) λ ( b λ), ia geap, ( ) ( σ) ν ( σ) a ia ( b λ ) ( b λ), ia gail,, gail, + ( b ) λ, ia geap,, ( b λ) ( b λ), ia gail,, geap, ( b ) λ, ia geap, ( ) ( σ) ν ( σ) (3.57) (3.58),..., a,...,, ega σ σ ν σ a... a,,...,.

9 3.) Jia λ tia seerhaa maa setiap ompoe aalah ol ecali empat ompoe terahir yag palig baya a yag ihitg secara lagsg. (Bti: lihat Lampira 6) BAB IV KESIMPULAN DAN SARAN 4. Kesimpla Berasara pembahasa yag telah iraia i atas, iperoleh beberapa esimpla sebagai berit:. Matris triiagoal yag berra gail a geap mempyai rmsa poliomial arateristi yag berbea sehigga ilai eige a vetor eige mempyai rmsa yag berbea ga.. Jia geap maa ilai eige ari matris triiagoal B ( σ ), yait iperoleh ari matris triiagoal A ( σ ) ega mear bilaga α a β, aalah sama ega ilai eige ari matris triiagoal A ( σ ). 3. Setiap eleme alam matris triiagoal A ( σ ) memehi oisi (3.). 4. Persamaa (3.5) berla t assass tertet seperti paa Teorema 4, Teorema 5, Teorema 6, Teorema 7 a Teorema 8. 5. Ut ass, vetor eige haya bergatg paa β a tia bergatg paa α. 6. Ut ass, vetor eige tia bergatg paa α a β. 4. Sara Bagi yag bermiat t memperlas tema ari arya ilmiah ii, pelis meyaraa t membahas ilai eige a vetor eige ari matris triiagoal ega syarat yag berbea, misalya setiap variabel ari iagoal tama matris triiagoal berbea ata membahas ilai eige a vetor eige ari matris selai matris triiagoal. BAB V DAFTAR PUSTAKA Ato H. 998. Alabar Liear Elemeter. E e-5. Silaba P, Ssila IN, peeremah; Silalahi P, oretor. Jaarta: Erlagga. Teremaha ari: Elemetary Liear Algebra. Fraleigh JB. 994. A First Corse i Abstract Algebra. E e-5. Massachsetts: Aiso-Wesley Pblishig Compay, Ic. Golberg RR.976. Methos of Real Aalysis. E e-. New Yor: Joh Wiley & Sos, Ic. Koachi S. 6. Eigevales a Eigevectors of Triiagoal Matrices. ELA 5: 5-33. Koachi S. 6. Eigevales a Eigevectors of Triiagoal Matrices with Noeqal Diagoal Etries. ELA, I press. Krtz DC, Lhrs M, Wallis R, eitor.. 99. Foatios of Abstract Mathematics. New Yor: McGraw-Hill, Ic. Lacaster P, Tismeetsy M. 985. The Theory of Matrices, with Applicatios. E e-. Harcort Brace Jovaovich, Pblishers. Sa Diego: Acaemic Press, Ic. Leo SJ.. Alabar Liear a Apliasiya. E e-5. Boa A, peeremah. Jaarta: Erlagga. Teremaha ari: Liear Algebra with Applicatios. Stewart J.. Kalls. E e-4, ili. Gawa H & Ssila IN, peeremah;

Jaarta: Erlagga. Teremaha ari: Calcls. Zhag F. 999. Matrix Theory: Basic Reslt a Techiqes. New Yor: Spriger- Verlag, New Yor.

LAMPIRAN

Lampira Bti Teorema A. Bti persamaa (3.8) Jia α ata β, maa A σ λi ( α b) λ + Y α Jia aalah poliomial arateristi ega α β, maa α A ( σ ) λi α + b c λ a β + b λ Y α c a Y β ( Y α)( Y β) ac Y αy βy + αβ Y αy βy + αβ Jia aalah poliomial arateristi ega α β, maa α Y β Y + αβ A ( σ ) λi 3 3 3 α + b c λ a b c λ a β b + λ Y α c a Y c a Y β Y c a c ( Y α ) c a Y β Y β ( Y α) Y( Y β) c( a Y β ) ( Y α) Y( Y β) ( Y α) ( Y β) Y Y αy βy + αβ Y + α Y + β Y αy βy + αβy Y + α Y + β Y Y Y α Y β Y + αβy 3 3 Jia 3 aalah poliomial arateristi ega α β, maa Y c Y c 3 3 α β + αβ Y a Y a Y

3 ( σ ) 4 A4 λi4 α + b c λ a b c λ a b c 3 λ a3 β + b λ Y α c a Y c a Y c3 a3 Y β Y c a c ( Y α ) a Y c3 c Y c3 a3 Y β a3 Y β ( Y α) Y( Y( Y β) ) c( a( Y β) ) c a( Y( Y β) ) ( Y α) Y( Y βy ) ( Y β) Y( Y β) 3 ( Y α) Y βy Y Y + β Y βy Y βy Y Y + Yβ αy + αβy + αy+ αy αβ Y + βy+ α β αβ 4 3 3 Y Y Y Y + Y Y Y Y Y Y + Y Jia 4 aalah poliomial arateristi ega α β, maa Y c Y c Y c 4 4 α a Y c3 β a Y c + αβ a Y a Y a Y 4 3 3 ( σ ) 3 5 A5 λi5 α + b c λ a b c λ a b c3 λ a3 b c4 λ a4 β b + λ Y α c a Y c a Y c3 a3 Y c4 a4 Y β Y c a c a Y c3 Y c3 ( Y α ) c a3 Y c4 a3 Y c4 a Y β a Y β 4 4

4 Y c a c Y c c Y Y a Y c c Y c c a a Y c c Y c ( α ) 3 3 3 3 3 4 4 3 4 4 a4 Y β a4 Y β a4 Y β a4 Y β ( Y α) Y Y( Y( Y β) ) c3( a3( Y β) ) c a( Y( Y β) ) c a Y( Y( Y β) ) c3( a3( Y β) ) ( Y α) Y Y( Y βy ) ( Y β) Y βy Y( Y βy ) ( Y β) 3 3 ( Y α) Y( Y βy Y Y β) Y βy ( ) Y βy Y Y β + + + + 4 3 3 ( Y α) Y βy Y Y Yβ Y βy ( ) + + + Y + βy + Y+ ( ) Y ( ) β 5 4 3 3 3 4 3 3 Y Y Y Y + Y Y + Y + ( ) Y Y + Y + Y + Y Y + Y Y ( ) Y + Y + Y + ( ) Y ( ) 5 3 3 3 3 4 Y Y Y Y + ( ) Y Y + Y + ( ) Y α Y Y Y 4 3 Y + β Y Y Y Y + + αβ Y Y Y β β β α αβ α α α β α α β α β β Jia aalah poliomial arateristi ega α β, maa 5 Y c Y a Y c 3 a Y c 5 5 α β αβ a Y c3 a3 Y c4 a Y c3 a3 Y a4 Y a3 Y + c Jai iapata Jia α ata β, maa Y c Y c Y c a Y c3 a Y c a Y c3 α a3 β a + αβ a3 c c c a Y a Y a Y Y c (3.8)

5 B. Bti persamaa (3.9) a (3.) Jia α β, persamaa (3.6) a (3.7) bertrt-trt meai Jia m+ gail m Y si( m+ ) θ ( ) siθ m si( m + ) θ ( ) Y siθ (3.9) Jia m geap m si( m+ ) θ + si mθ ( ) siθ si( m+ ) θ + si mθ m ( ) siθ si( m+ ) θ + si mθ m ( ) siθ (3.) Sebelmya aa iostrsi embali persamaa (3.9) a (3.) yag beraita ega a, iperoleh Jia m+ gail si( m+ ) θ + si mθ m ( ) siθ m si mθ ( ) Y siθ m si( m + ) θ ( ) Y siθ si mθ si mθ m si( m + ) θ m m Y( ) + Y( ) Y( ) siθ siθ siθ si( m+ ) θ + si m si m m θ m θ Y( ) Y( ) siθ siθ si( m+ ) θ + si mθ si mθ m m Y( ) Y( ) siθ siθ si( m+ ) θ + si mθ m m si mθ Y( ) Y( ) siθ siθ Y (L.)

6 Da ga iapata sat persamaa ega meggaa persamaa (L.), yait m Ym m 3 Jai, iapata m+ Ym m Y Y m m m m m m m m Y Y Y Y m ( m + m 3) Y Y Y Y m m m 3 m m 3 Y Selatya aa ibtia. Persamaa (3.9). Persamaa (3.) Bti:. Aa ibtia persamaa (3.9) ega isi, yait Ut, m Y Persamaa (3.9) terpehi Ut 3, m 3 3 Y Y Y Persamaa (3.9) terpehi Aggap bear persamaa (3.9) terpehi t setiap iteger < m + gail Aa ibtia iteger m+ bear Bti: Dega meggaa (3.4), persamaa (L.) meai m+ cosθ m m 3 Karea m a m 3 iaggap bear, maa m si mθ m si( m ) θ m+ cosθ ( ) Y ( ) Y siθ siθ m si mθ m si( m ) θ cosθ ( ) Y ( ) Y siθ siθ m si mθ cosθ si( m ) θ ( ) Y siθ siθ m si( m+ ) θ + si( m ) θ si( m ) θ ( ) Y siθ siθ m si( m + ) θ ( ) Y siθ Jai persamaa (3.9) terbti (L.). Dega meggaa persamaa (L.) t m+, iapata m+ + m m Y

7 Dega meggaa persamaa (3.9) t m+ a m, iapata m si( m+ ) θ m si mθ ( ) Y + ( ) Y si si m θ θ Y m si( m+ ) θ m si mθ ( ) + ( ) siθ siθ m ( ) siθ Jai persamaa (3.) terbti. si( + ) θ + si m mθ

8 C. Bti persamaa (3.6) a (3.7) Jia m+ gail si( m+ ) θ + si mθ si( m+ ) θ + si mθ m si( m + ) θ m m m si mθ ( ) Y α( ) β( ) + αβ( ) Y siθ siθ siθ siθ m Y si( m+ ) θ α si( m+ ) θ α si mθ β si( m+ ) θ β si mθ + αβysi mθ siθ ( ) m si si m+ θ Y α β + mθ α β + αβy siθ ( ) + + ( ) m Y α β si( m ) θ αβy α β si mθ ( ) siθ Jia m geap si( m+ ) θ + si m si m si ( m ) m θ m si m m si m θ + m θ θ θ ( ) α( ) Y β( ) Y + αβ( ) siθ siθ siθ siθ m si( m ) si m Ysi m Ysi m si m si ( m ) siθ θ θ α θ β θ αβ θ αβ θ + + + + ( ) m si( m+ ) θ + ( αy βy+ αβ) si mθ + αβ si ( m ) θ siθ si( m+ ) θ + ( αβ + ( α + β ) Y) si mθ + αβ si ( m ) θ m ( ) siθ Jai persamaa (3.6) a (3.7) terbti.

9 Lampira Bti Teorema 4 Aa ibtia persamaa (3.5) Dari persamaa (3.) a ietahi bahwa persamaa (3.4) a (3.5) berla, sehigga ega λ λ a θ θ, persamaa (3.4) meai Y + + cosθ cosθ b Y ± + + b λ ± + + cosθ λ ± + + cosθ Jai b+ + + cos θ,,..., m λ b + + cos θ, m +,..., m Selatya aa icari t m+. Dari persamaa (3.) a hipotesis α β iperoleh ξ si ( m+ ) θ, area, maa ξ ata si( m + ) θ. Jia ξ, ari persamaa ξ Y iperoleh Y a ari persamaa (3.5) iperoleh b λ λ b sehigga b+ + + cos θ,,..., m λ b + + cos θ, m+,..., m b, Selatya aa icari θ. Dari persamaa (3.) ega α β ga iperoleh si( m + ) θ si( m + ) θ si ( m+ ) θ + π,,..., m π θ,,..., m m + π θ,,..., m + Jia m+,...,m ( m) π θ, m+,..., m + Jai π,,..., m + θ ( m) π, m+,...,m + Aa ibtia persamaa (3.6) Dari persamaa (3.3) a hipotesis β, iperoleh

3 si + θ + si θ, ia gail + si θ + si θ σ + ξ si θ, ia geap + si θ + si θ,..., a,...,. Dega meggaa a ξ b λ, iperoleh si + θ + si θ, ia gail + si θ si θ ( ) ρ ( σ) + ( σ ) ( ) + b λ si θ, ia geap + si θ + si θ,..., a,...,. Spaya,...,, iefiisia + σ si θ + si θ,,...,. Jai si + θ + si θ, ia gail ( ) ( σ) ρ ( σ) + ( b λ) si θ, ia geap,...,,,...,. ( ) Aa ibtia persamaa (3.7) Paa saat, ari persamaa (3.5) iperoleh λ b. Jai λ b Y ξ + + cosθ. (L.) Selatya, t meyelesaia persamaa (L.), terlebih ahl aa icari θ. Nilai θ aalah selai ilai ari persamaa θ i atas yait θ π,, sehigga cosθ, a persamaa (L.) meai + + ( + ) +

3 Karea ξ a θ π,, ari persamaa (3.3) a hipotesis β, iperoleh si + π + si π ( ) ( ), ia gail σ + si π + si π, ia geap,..., a, + + si + π + si π ( ) ( ), ia gail σ si + π + si π, ia geap,..., a. Dega meggaa si ( π + θ) si ( π θ) si ( θ π) siθ si ( θ) iperoleh + + si π si π ( ) ( ), ia gail σ si π si π, ia geap Karea + a gail maa ( ) ( ) σ µ σ,...,. Dega meggaa ( ) ρ ( σ) ( σ ),...,, ( ) ( σ ),...,., ia gail, ia geap a, iperoleh, ia gail, ia geap ( σ) ρ, ia gail, ia geap ( ) ( ) Karea gail, iperoleh ( ) ρ ( σ), ia gail ( σ ), ia geap,...,. ( ) Spaya,...,, iefiisia ( ) ( σ ) ( ) si + π si π, sehigga

3 sehigga iperoleh ( ), ia gail ( σ) ρ ( σ), ia geap,...,. Dega meggaa ( ) a a, iperoleh ( ), ia gail ( ) σ aσ... a σ, ia geap,...,, ( ), ia gail ( ) ( σ ) aσ... a σ, ia geap,...,. Karea a gail maa gail, sehigga ( ) ( ) a... a, ia gail σ σ σ, ia geap,...,.

33 Lampira 3 Bti Teorema 5 Aa ibtia persamaa (3.33) Dari persamaa (3.) a ietahi bahwa persamaa (3.4) a (3.5) berla, sehigga ega λ λ a θ θ, persamaa (3.4) meai Y + + cosθ Y ± + + cosθ b λ ± + + cosθ λ b± + + cosθ Jai b+ + + cos θ,,..., m λ b + + cos θ, m +,..., m Selatya aa icari t m+. m + Dari persamaa (3.3), iperoleh ( ξ ± ( + ) ), ata si θ, m + θ Jia si θ, maa cos, a sebaliya. Jia ( ξ ± ( + ) ), maa ari hipotesis teorema 5 iperoleh ξ ( α + β) ξ ( α + β) Y ( α + β) b λ ( α + β ) λ b ( α + β ) sehigga b+ + + cos θ,,..., m λ b + + cos θ, m+,..., m b ( α + β), θ ata cos. Selatya, t mecari θ igaa persamaa (m + ) si θ si (m + ) θ + π,,..., m π θ,,..., m m + π θ,,..., m Jia m+,...,m ( m) π θ, m+,...,m m + si θ, a iperoleh

34 Jai π,,..., m θ ( m) π, m+,...,m Aa ibtia persamaa (3.34) Jia α a β Dari persamaa (3.3), iperoleh si + θ + ( ξ) si θ, ia gail + si θ + ξ si θ σ + ( ξ ) si θ si θ, ia geap + si θ + ( ξ) si θ,..., a,...,, si + θ + ( ξ) si θ, ia gail + si θ + ξ si θ σ + ( ξ ) si θ si θ, ia geap + si θ + ( ξ) si θ,..., a,...,, si + θ + ( ξ) si θ, ia gail + si θ + ξ si θ σ + ( ξ) si θ + si θ, ia geap + si θ + ( ξ) si θ,..., a,...,. Dega meggaa ( ) a ξ b λ, iperoleh si + θ + ( b+ λ) si θ, ia gail + si θ ( b ) si θ ( ) ρ ( σ) + + λ ( σ ) ( ) ( b + ) si θ si + λ + θ, ia geap + si θ + ( b+ λ) si θ,..., a,...,.

35 Spaya,...,, iefiisia + ( σ) ( ) si θ + ( b+ λ ) si θ,,...,. Jai si + θ + ( b+ λ) si θ, ia gail ( σ) ρ ( σ) + ( b ) si θ si θ, ia geap + λ +,...,,,...,. Aa ibtia paa saat. Dari persamaa (3.33), iperoleh λ b ( α + β ). b λ α + β a ari persamaa (3.5) iperoleh Jai Dari hipotesis α a β, persamaa (L3.) meai Y + Y + + + + cosθ + + cosθ cosθ cos θ + π, θ π, Y ( α + β ) (L3.) Karea θ π,, ari persamaa (3.3) a hipotesis β, iperoleh si + π + ( ξ ) si π, ia gail + si π + ξ si π σ + ( ξ ) si π si π, ia geap + si π + ( ξ ) si π,..., a, + + si + π + ( ξ ) si π, ia gail si + π + ξ si π σ ( ξ ) si + π si π, ia geap si + π + ( ξ ) si π,..., a. Dega meggaa si π + θ si π θ si θ π siθ si θ

36 iperoleh + + si π ( ξ ) si π, ia gail si π ξ si π σ ( ξ ) si π + si π, ia geap si π ( ξ ) si π,..., a, + si π, ia gail si π ( ) ( ) σ si π, ia geap si π,..., a, si ( ) π, ia gail si π σ si ( ) π, ia geap si π,..., a, si ( ) π, ia gail si π σ si ( ) π, ia geap si π,...,, si ( ) π, ia gail si π σ si ( ) π, ia geap si π,...,, ( si π cos π cos π si π), ia gail si π σ si π cos π cos π si π, ia geap si π,...,. Jia gail maa cos π cos(m + ) π ( m ) si π si + π ata ia geap maa

37 cos π cos mπ si π si mπ Jai ( si π ) si π, ia gail σ si π, ia geap si π,...,, ia gail ( ) ( ) σ, ia geap,...,. Dega meggaa ( ), iperoleh, ia gail ( ) ρ ( σ) ( σ ), ia geap ( ),...,. Spaya,...,, iefiisia ( ) ( σ ) ( ) sehigga iperoleh, ia gail ( ) ( σ) ρ ( σ), ia geap,...,. Aa ibtia persamaa (3.35) Jia α a β Dari persamaa (3.3), iperoleh si + θ + ( + ξ) si θ, ia gail + si θ + + ξ si θ σ + ( ξ + ) si θ + si θ, ia geap + si θ + ( + ξ) si θ,..., a,...,

38 si + θ + ( + ξ) si θ, ia gail + si θ + + ξ si θ σ + ( ξ + ) si θ + si θ, ia geap + si θ + ( + ξ) si θ,..., a,..., si + θ + ( + ξ) si θ, ia gail + si θ + + ξ si θ σ + ( + ξ) si θ + si θ, ia geap + si θ + ( + ξ) si θ,..., a,...,. Dega meggaa ( ) a ξ b λ, iperoleh si + θ + ( + b λ) si θ, ia gail + si θ ( b ) si θ ( ) ρ ( σ) + + λ ( σ ) ( ) + ( + b λ) si θ + si θ, ia geap + si θ + ( + b λ) si θ,..., a,...,. Spaya,...,, iefiisia + ( σ) ( ) si θ + ( + b λ ) si θ,,..., Jai si + θ + ( + b λ) si θ, ia gail ( σ) ρ ( σ) + ( b ) si θ si θ, ia geap + λ +,...,,,...,. Aa ibtia paa saat. Dari persamaa (3.33), iperoleh λ b ( α + β ) b λ α + β a ari persamaa (3.5) iperoleh Jai Dari hipotesis α a β, persamaa (L3.) meai Y ( α + β ) (L3.)

39 Y Y + + + + cosθ + + cosθ cosθ cos θ + π, θ π, Karea θ π,, ari persamaa (3.3) a hipotesis β, iperoleh si + π + ( + ξ ) si π, ia gail + si π + + ξ si π σ + ( ξ + ) si π + si π, ia geap + si π + ( + ξ ) si π,..., a + + si + π + ( + ξ ) si π, ia gail si + π + + ξ si π σ ( ξ + ) si + π + si π, ia geap si + π + ( + ξ ) si π,..., a Dega meggaa si ( π + θ) si ( π θ) si ( θ π) siθ si ( θ) iperoleh + + si π ( + ξ ) si π, ia gail si π + ξ si π σ ( ξ + ) si π si π, ia geap si π ( + ξ ) si π,..., a

4 + si π, ia gail si π ( ) ( ) σ si π, ia geap si π,..., a si ( ) π, ia gail si π σ si ( ) π, ia geap si π,..., a si ( ) π, ia gail si π σ si ( ) π, ia geap si π,..., si ( ) π, ia gail si π σ si ( ) π, ia geap si π,..., ( si π cos π cos π si π), ia gail si π σ si π cos π cos πsi π, ia geap si π,..., Jia gail maa cos π cos(m + ) π ( m ) si π si + π ata ia geap maa cos π cos mπ si π si mπ Jai ( si π ) si π σ µ σ,...,, ia gail si π, ia geap si π

4, ia gail ( ) ( ) σ, ia geap,...,. Dega meggaa ( ), iperoleh, ia gail ( ) ρ ( σ) ( σ ), ia geap ( ),...,. Spaya,...,, iefiisia ( ) ( σ ) ( ) sehigga iperoleh, ia gail ( ) ( σ) ρ ( σ), ia geap,...,.

4 Lampira 4 Bti Teorema 6 Aa ibtia persamaa (3.4) Dari persamaa (3.) a ietahi bahwa persamaa (3.4) a (3.5) berla, sehigga ega λ λ a θ θ, persamaa (3.4) meai Y + + cosθ cosθ b Y ± + + b λ ± + + cosθ λ ± + + cosθ Jai b+ + + cos θ,,..., m λ b + + cos θ, m +,..., m Selatya aa icari t m+. m + Dari persamaa (3.4) iperoleh ξ ± ( ), cos θ, m + θ Jia cos θ, maa si a sebaliya. Jia ξ ± ( ), maa ari hipotesis teorema 6 iperoleh ξ ± ( ) ξ ( α + β) ξ ( α + β) Y ( α + β) b λ ( α + β ) λ b ( α + β ) sehigga b+ + + cos θ,,..., m λ b + + cos θ, m+,..., m b ( α + β), Selatya, t mecari θ igaa persamaa (m + ) cos θ (m + ) cos θ cos π (m + ) cos θ cos π (m + ) θ π + π,,..., m π π θ,,..., m θ si. m + cos θ a iperoleh

43 π π θ,,..., m ( ) π θ,,..., m Jia m+,...,m ( ( m) ) π θ, m+,...,m Jai ( ) π,,..., m θ ( ( m) ) π, m+,...,m Aa ibtia persamaa (3.4) a (3.43) Bti: Aalog bti persamaa (3.34) a (3.35) area persamaa (3.3) haya bergatg paa ilai β seaga ilai β paa teorema 6 sama ega teorema 5. Aa ibtia paa saat. Aa ibtia:. Jia α a β. Jia α a β Bti:. Jia α a β Dari persamaa (3.4) yag telah terbti, iperoleh λ ( + ) Jai b λ α + β Y ( α + β ) Dari hipotesis α a β iperoleh Y Y + + + cosθ + cosθ cosθ cosπ θ π, b α β Karea θ π,, ari persamaa (3.3) a hipotesis β, iperoleh si + π + ( ξ ) si π, ia gail + si π + ξ si π σ + ( ξ ) si π si π, ia geap + si π + ( ξ ) si π,..., a,

44 + + si + π + ( ξ ) si π, ia gail si + π + ξ si π σ ( ξ ) si + π si π, ia geap si + π + ( ξ ) si π,..., a. Dega meggaa π π π si + θ si θ si θ cosθ iperoleh + + cos π ( ξ ) cos π, ia gail cos π ξ cos π σ ( ξ ) cos π + cos π, ia geap cos π ( ξ ) cos π,..., a, + cos π, ia gail cos π ( ) ( ) σ cos π, ia geap cos π,..., a, cos π, ia gail cos π ( ) ( ) σ cos π, ia geap cos π,...,,

45 ( ) cos π, ia gail cos π ( ) ( ) σ cos π, ia geap cos π,...,, ( ) ( ) cos π cos π si π si π, ia gail cos π σ cos π cos π si π si π, ia geap cos π,...,. Jia gail maa ( ) ilaiya gail ata geap sehigga si π. Jia geap maa ilaiya gail ata geap sehigga si π. Jai ( ) cos π cos π, ia gail cos π σ cos π cos π, ia geap cos π,...,, ( ) cos π, ia gail ( ) ( ) σ cos π, ia geap,...,. ( ) Jia gail maa ilaiya gail ata geap sehigga ilai ari ( ) cos π aalah ata -, tergatg ilai. Jia geap maa ilaiya gail ata geap sehigga ilai ari cos π aalah ata -, tergatg ilai.

46 Jai ( ) ( ) ( ) σ ( ),...,., ia gail Dega meggaa ( ), iperoleh ( ) ρ ( σ) ( σ ) ( ),...,., ia geap ( ), ia gail, ia geap ( ) Spaya,...,, iefiisia ( ) ( σ ) ( ) sehigga iperoleh ( ) ( σ) ρ ( σ),...,. ( ), ia gail, ia geap ( ). Jia α a β Dari persamaa (3.4) yag telah terbti, iperoleh λ ( + ) Jai b λ α + β Y ( α + β ) Dari hipotesis α a β iperoleh Y Y + + + cosθ + cosθ cosθ cosπ θ π, b α β Karea θ π,, ari persamaa (3.3) a hipotesis β, iperoleh si + π + ( + ξ ) si π, ia gail + si π + + ξ si π σ + ( ξ + ) si π + si π, ia geap + si π + ( + ξ ) si π

47,..., a, + + si + π + ( + ξ ) si π, ia gail si + π + + ξ si π σ ( ξ + ) si + π + si π, ia geap si + π + ( + ξ ) si π,..., a. Dega meggaa π π π si + θ si θ si θ cosθ iperoleh + + cos π ( + ξ ) cos π, ia gail cos π + ξ cos π σ ( ξ + ) cos π cos π, ia geap cos π ( + ξ ) cos π,..., a, + cos π, ia gail cos π ( ) ( ) σ cos π, ia geap cos π,..., a, cos π, ia gail cos π ( ) ( ) σ cos π, ia geap cos π,...,,

48 ( ) cos π, ia gail cos π ( ) ( ) σ cos π, ia geap cos π,...,, ( ) ( ) cos π cos π si π si π, ia gail cos π σ cos π cos π si π si π, ia geap cos π,...,. Jia gail maa ( ) ilaiya gail ata geap sehigga si π. Jia geap maa ilaiya gail ata geap sehigga si π. Jai ( ) ( ) σ µ σ,...,, ( ) ( ) ( ) σ µ σ,...,. ( ) cos π cos π, ia gail cos π cos π cos π, ia geap cos π Jia gail maa cos ( ) cos π, ia gail cos π, ia geap ( ) π aalah ata -, tergatg ilai. ilaiya gail ata geap sehigga ilai ari

49 Jia geap maa ilaiya gail ata geap sehigga ilai ari cos π aalah ata -, tergatg ilai. Jai ( ) ( ) ( ) σ ( ),...,, ( ) ( ) ( ) σ ( ),...,., ia gail, ia geap +, ia gail, ia geap Dega meggaa ( ), iperoleh ( ) ρ ( σ) ( σ ) ( ),...,. Spaya,...,, iefiisia ( ) ( σ ) ( ) sehigga iperoleh ( ) ( σ) ρ ( σ),...,. ( ) ( ) + ( ), ia gail ( ) +, ia gail, ia geap, ia geap

5 Lampira 5 Bti Teorema 7 Aa ibtia persamaa (3.48) Dari persamaa (3.47) iperoleh Jia ξ α + β ξ + ( α + β) ± ( α + β) 4( ) ξ ( α + β) ± α + β + αβ 4 + 4 ξ Sbstitsi ega hipotesis αβ, maa ( α + β ) ± α + β + αβ 4αβ + 4 ξ ( α + β) ± α + β αβ + 4 ξ ( α + β) ± ( α + β) + 4 ξ ( α + β) ± ( α + β) + 4 b λ ( α + β) ± ( α + β) + 4 λ b Jai ( α + β) + ( α + β) + 4 b, λ ( α + β) ( α + β) + 4 b, Dari persamaa (3.3) a ietahi bahwa persamaa (3.4) a (3.5) berla, sehigga ega λ λ a θ θ, persamaa (3.4) meai Y + + cosθ cosθ b Y ± + + b λ ± + + cosθ λ ± + + cosθ Jai b+ + + cos θ,,..., m λ b + + cos θ, m,...,m Sehigga

5 λ b+ + + cos θ,,..., m b + + cos θ, m,...,m ( α + β) + ( α + β) + 4 b, ( α + β) ( α + β) + 4 b, Selatya, t mecari θ igaa persamaa si mθ a iperoleh si mθ si mθ + π,,..., m π θ,,..., m m π θ,,..., m m π θ,,..., m Jia m,..., m ( m+ ) π θ, m,..., m Jai π,,..., m θ ( m+ ) π, m,...,m Aa ibtia persamaa (3.49) Bti: Jia αβ maa persamaa (3.4) meai + ( ξ β) si θ β si θ, ia gail, ( ξ β) si θ β si θ ( ) ( ) σ si + θ + ( βξ) si θ, ia geap, ( ξ β) si θ β si θ,..., a,...,. Dega meggaa a ξ b λ, iperoleh

5 ( ) ( σ ) + ( b λ β) si θ β si θ, ia gail, ( b β) si θ β si θ ρ ( σ) λ si θ ( β( b ) ) si θ + + λ, ia geap, ( b λ β) si θ β si θ ( ),..., a,...,. Spaya,...,, iefiisia ( ) ( ) ( b λ β) si θ β si θ,,...,, maa + ( b λ β) si θ β si θ, ia gail ( σ) ρ ( σ) si + θ + ( β( b λ) ) si θ, ia geap,...,,,...,.

53 Lampira 6 Bti Teorema 8 Aa ibtia persamaa (3.5) Dari persamaa (3.5) a ietahi bahwa persamaa (3.4) a (3.5) berla, sehigga ega λ λ a θ θ, persamaa (3.4) meai Y + + cosθ cosθ b Y ± + + b λ ± + + cosθ λ ± + + cosθ Jai b+ + + cos θ,,..., m λ b + + cos θ, m +,..., Selatya, t mecari θ igaa persamaa cos mθ a iperoleh π cos mθ cos π cos mθ cos π mθ + π,,..., m π π θ,,..., m m ( ) π θ,,..., m Jia m+,..., ( ( m) ) π θ, m+,..., ( m ) π θ, m+,..., Jai ( ) π,,..., m θ ( m ) π, m+,..., Aa ibtia persamaa (3.53) Bti: Jia α β maa persamaa (3.4) meai

54 ( ) ( ) σ,..., a,...,, + ξ si θ si θ, ia gail, ( ) ( ξ ) si θ si θ si + θ + ( ξ ) si θ, ia ( ξ ) θ θ si si geap, + ( ξ ) si θ si θ, ia gail, ( ξ ) si θ si θ σ si + θ + ( ξ) si θ, ia geap, ( ξ ) si θ si θ,..., a,...,, Dega meggaa ( ) ( σ ) a ξ b λ, iperoleh + ( b λ ) si θ si θ, ia gail, ( b ) si θ si θ ρ ( σ) λ si θ ( ( b ) ) si θ + + λ, ia geap, ( b λ ) si θ si θ,..., a,...,. Spaya,...,, iefiisia ( ) ( ) ( b λ ) si θ si θ,,..., maa + ( b λ ) si θ si θ, ia gail ( σ) ρ ( σ) si + θ + ( ( b λ) ) si θ, ia geap,...,,,...,. Aa ibtia persamaa (3.54) Bti: Jia α β maa persamaa (3.4) meai

55 ( ) ( ) σ,..., a,...,, + ξ + si θ + si θ, ia gail, ( ξ + ) si θ + si θ si + θ + ( + ξ ) si θ, ia ξ θ θ ( ) + si + si geap, + ( ξ + ) si θ + si θ, ia gail, ( ξ ) + si θ + si θ σ si + θ + ( + ξ) si θ, ia geap, ( ξ + ) si θ + si θ,..., a,...,. Dega meggaa ( ) ( σ ) a ξ b λ, iperoleh + ( b λ + ) si θ + si θ, ia gail, ( b ) si θ si θ ρ ( σ) λ + + si ( ) si θ b + + + λ θ, ia geap, ( b λ + ) si θ + si θ,..., a,...,. Spaya,...,, iefiisia ( ) ( ) ( b λ + ) si θ + si θ,,...,, maa + ( b λ + ) si θ + si θ, ia gail ( σ) ρ ( σ) si + θ + ( + ( b λ) ) si θ, ia geap,...,,,...,.

56 Lampira 7 Bti Proposisi Ut meapata ilai eige, yait ega meyelesaia poliom arateristi yag terapat paa proposisi 9. Seaga t meapata vetor eige, yait ega meyelesaia persamaa (3.4), aalog bti ega ass, iapata ( ) ( σ ) ( ) σ σ ( ) a... a,,..., a,...,. ν σ a... a,,...,, maa Sbstitsi ega σ σ ( σ) ( ) σ ( ) ( ) v,,..., a,...,, ( selatya, icari a ), yait ia ( ) ξ ξ βξ ( ξ ) ( ξ β), ia gail; ia ( ) ξ ξ ξ β ia ( ξ ) ( ξ ξ βξ ), ia geap;, ia gail;, ia geap; ( ξ ) ( ξ βξ ) ( ξ ) ξ ξ βξ, ia gail, ia gail, ia geap ( ) ia ( ) ξ ξ β ξ ( ξ ) ξ ( ξ β), ia gail, ia geap, ia geap ( ξ ) ξ ( ξ β), ia gail, ia gail, ia geap ( ξ ) ξ β ξ ξ ξ ξ βξ ( ξ ) ( )( ξ βξ ξ ), ia gail, ia geap, ia geap Aa ibtia persamaa (3.57) Bti: Dari persamaa (L7.) iapata ia (L7.)