Deret Taylor & Derensal Numerk Matematka Industr II
Maclaurn Power Seres Deret Maclaurn adalah penaksran polnom derajat tak hngga 0 0! 0 n n 0 n! Notce: Deret nnte tak hngga menyatakan bahwa akhrnya deret n sama dengan ungs sebenarnya, bukan penaksran lag!
DERET TAYLOR Persamaan Deret Taylor Deret Taylor merupakan dasar untuk menyelesakan masalah dalam metode numerk,terutama penyelesaan persamaan derensal. Bentuk umum deret Taylor: n 1 ' '' '''... Rn 1!! 3! n! Jka suatu ungs dketahu d ttk dan semua turunan terhadap dketahu pada ttk tersebut, maka dengan deret Taylor dapat dnyatakan nla pada ttk +1 yang terletak pada jarak dar ttk. 3 n Order Order 1 : ungs d ttk +1 : ungs d ttk +1,,..., n : turunan pertama, kedua,..., ke n dar ungs +1 : jarak antara dan +1 : kesalahan pemotongan R n! : operator aktoral
Dalam praktek sult memperhtungkan semua suku pada deret Taylor tersebut dan basanya hanya dperhtungkan beberapa suku pertama saja. 1. Memperhtungkan satu suku pertama order nol Perkraan order nol 1 Artnya nla pada ttk +1 sama dengan nla pada. Perkraan tersebut benar jka ungs yang dperkrakan konstan. Jka ungs tdak konstan, maka harus dperhtungkan suku-suku berkutnya dar deret Taylor.. Memperhtungkan dua suku pertama order satu DERET TAYLOR Persamaan Deret Taylor 1 ' 1! 3. Memperhtungkan tga suku pertama order dua Perkraan order satu 1 ' 1! ''! Perkraan order dua
DERET TAYLOR Persamaan Deret Taylor Contoh Dketahu suatu ungs = - 3 + 1 0 + 8,5. Dengan menggunakan deret Taylor order nol, satu, dua dan tga, perkrakan ungs tersebut pada ttk +1 = 0,5 berdasar nla ungs pada ttk = 0. Solus: 1. Memperhtungkan satu suku pertama order nol 1 0,5 0 0 10 00 8,5 8,5. Memperhtungkan dua suku pertama order satu 1 0,5 8,5 60 8,5 10 1,5 0 ' 3 1! 0,5 0 '0 1! 40 00,5
DERET TAYLOR Kesalahan Pemotongan Deret Taylor akan memberkan perkraan suatu ungs yang benar jka semua suku dar deret tersebut dperhtungkan. Dalam prakteknya hanya beberapa suku pertama saja yang dperhtungkan sehngga haslnya tdak tepat sepert pada penyelesaan analtk. Sehngga terdapat kesalahan error yang dsebut dengan kesalahan pemotongan truncaton error, R n, yang dtuls: R n O n1 n1 n1 n 1! n n... n! O n+1 berart kesalahan pemotongan mempunya order n+1 atau kesalahan adalah sebandng dengan langkah ruang pangkat n+1. Kesalahan pemotongan tersebut adalah kecl apabla: 1.Interval adalah kecl..memperhtungkan lebh banyak suku dar deret Taylor
DIFERENSIAL NUMERIK Derensal Turunan Pertama Derensal numerk dgunakan untuk memperkrakan bentuk derensal kontnyu menjad bentuk dskret. Untuk menghtung derensal turunan pertama dapat dturunkan berdasar deret Taylor, yang dapat dtulskan dalam bentuk: 1 ' O 1! 1 ' O y C maju terpusat Turunan pertama dar terhadap ttk ddekat oleh kemrngan gars yang melalu ttk B, dan ttk C +1, +1. Bentuk derensal d atas dsebut derensal maju order satu. A B mundur -1 +1
DIFERENSIAL NUMERIK Derensal Turunan Pertama Jka data yang dgunakan adalah ttk dan -1 maka dsebut derensal mundur, dan deret Taylor menjad: Atau... 3! '''! '' 1! ' 3 1 1! ' 1 O ' 1 O A B C -1 +1 maju terpusat mundur y
DIFERENSIAL NUMERIK Derensal Turunan Pertama A B C -1 +1 maju terpusat mundur y Jka data yang dgunakan adalah ttk -1 dan +1 maka dsebut derensal terpusat. Apabla pers. derettaylor dkurang pers. Deret Taylor untuk derensal mundur ddapat : atau atau... 3! ''' 1! ' 3 1 1 6 ''' ' 1 1 ' ' 1 1 O
y C DIFERENSIAL NUMERIK Derensal Turunan Pertama maju terpusat A B mundur -1 +1
DIFERENSIAL NUMERIK Derensal Turunan Kedua Apabla pers. derettaylor derensal maju dtambah pers. Deret Taylor derensal mundur ddapat turunan kedua: atau atau... 4! 4 ''''! '' 1 1 1 '''' '' 1 1 '' 1 1 O
Contoh Msal = 0,5 3 + 0,5 + 0,5 + 0,5 Penyelesaan eksak 0 = 0.5 1 = 1.5 Orde berapa penyelesaan numerk mendekat/sama dengan penyelesaan analtk/eksak? Berapa perkraan ungs tersebut pada orde 0, 1, dan 3 pada ttk +1=1 dan memlk jarak=1 dar ttk = 0.
Untuk order 0 : +1 = 0 +1 = 0 1 = 0.5 Kesalahanpemotongan: Rn= 1.5 0.5 = 1 Untuk order 1 : +1 = + 1! 0+1 = 0.5 +0,75 + + 0,5 1 = 0.5 + 0.75 0 + 0 +0.5 = 0.75 Kesalahanpemotongan Rn= 1.5 0.75 = 0.75
Untuk orde : +1 = 0.5 + 0.5 * 1 + 1 * 1/1/ = 1.5 Kesalahan pemotongan Rn= 1.5 1.5 = 0.5 Untuk orde 3 : +1 = 0.5 + 0.5 + 0.5 + 0.5 = 1.5 Kesalahan pemotongan: Rn= 1.5 1.5= 0 terbukt
Soal Dketahu = 3 + 1 0 + 8,5 Dengan deret Taylor orde 0, 1, dan 3; perkrakan ungs tersebut pada ttk +1 = 0,5 berdasar nla ungs pada ttk =0 Dketahu = 3 + 1 0 + 8,5 Dengan deret Taylor orde 0, 1, dan 3; perkrakan ungs tersebut pada ttk +1 = 0,5 berdasar nla ungs pada ttk =0
Soal Derensas Numerk 1. Dketahu = 0,5 3 + 0,5 + 0,5 + 0,5. Perkrakan turunan pertama dan kedua dar persamaan tersebut d ttk = 0,5 dengan menggunakan langkah ruang = 0,5!. Dketahu = 3 + 1 0 + 8,5. Perkrakan turunan pertama dan kedua dar persamaan tersebut d ttk = 0,5 dengan menggunakan langkah ruang = 0,5 dan = 0,5!