Pertemuan ke-4 Analsa Terapan: Metode Numerk 4 Oktober Persamaan Non Non--Lner: Metode NewtonNewton-Raphson Dr.Eng. Agus S. Muntohar Metode Newton Newton--Raphson f( f( f( + [, f(] + = α + + f( f ( Gambar Ilustras geometrk metode Newton-Raphson. Dr.Eng. Agus S. Muntohar
Dervas f( f( B tan(α = AB AC f ( f '( = + C + α A + = f ( f ( Gambar Dervas metode Newton-Raphson. Pertemuan ke-4 Algortma Metode Newton- Raphson Persamaan Non-Lner: Metode Newton- Raphson 4
Langkah Evaluas f( secara smbolk Asums nla awal dar akar persamaan 5 Langkah Tetapkan suatu nla perkraan awal dar akar persamaan untuk memperkrakan nla baru akar persamaan + sebaga + = - f f ( ( 6
Langkah Htung nla absolut dar kesalahan perkraan relatf ε a + - a = + 7 Langkah 4 Cek? Bandngkan nla absolut dar kesalahan perkraan relatf dengan nla tolerans kesalahan yang dtetapkan ε s. a > s Yes Kembal ke Langkah untuk memperkrakan nla baru akar persamaan No Berhent penghtungan Bla jumlah teras melebh batas maksmum teras, maka penghtungan dapat dhentkan. 8
Contoh Buku Papan Gambar Papan yang dbeban buku. Suatu papan kayu sepanjang 9 n menerma beban berupa susunan buku-buku yang memlk tngg bervaras dar 8 ½ hngga n. Ukuran papan adalah /8 n tebal dan lebar n. Modulus Elaststas papan kayu terebut adalah.667 Ms (mega square nch. Tentukan defleks vertkal maksmum papan kayu tersebut, bla defleks vertkal mengkut persamaan berkut: ν( = -.5-8 5.667-6 4 +.449-4.857 adalah jarak dmana terjad defleks maksmum. Defleks maksmum dperoleh dar dv f ( = = d 9 Contoh (Cont. Letak yang memberkan defleks maksmum dberkan dengan persamaan f ( = -.67665-8 4.6689-5 +.748 -.859 = Catatan: Akar-akar persamaan dcar dengan kal teras. Nla absolut dar kesalahan perkraan relatf dhtung pada setap akhr teras. Jumlah dgt pentng dtentukan pada teras terakhr.
Contoh (Cont. Solus..5. Fungs f(.5 -.5 5 5 5 -. -.5 -. (m Gambar Grafk fungs f(. -8 4-5 - f( =.67665.6689 +.748 f(.857= Contoh (Cont. Solus f f' Penyelesaan Nla perkraan awal dar akar persamaan dambl = -8 4-5 - ( = 67665.. 6689 + 748. -8-5 - ( =.766 867. +. 5496 = Iteras ke-. 857= Akar persamaan dhtung dar: f ( = f '( 8 4 5.67665 (.6689 ( +.748 ( = 8 5.766 (.867 ( +.5496 ( 8.4956 =.79 = = 4.94 ( 4.99.857
Contoh (Cont. Solus..5. Fung gs f(.5 -.5 5 5 5 -. -.5 -. (m f( Slope Gambar 4 Grafk perkraan akar persamaan pada teras ke- Contoh (Cont. Solus Nla absolut dar kesalahan perkraan relatf ea pada teras ke- adalah: a = 4.94 = 4.94 =.8% Jumla dgt pentng adalah, karena nla ea > 5% (nla tolerans kesalahan perkraan relatf 4
Contoh (Cont. Solus Iteras ke-: Akar persamaan dhtung dengan menggunakan hasl akar persamaan sebelumnya, yatu: f ( = f ' ( ( (.67665 4.94.6689 4.94 8 4 5 ( ( ( ( +.748 4.94.857 = 4.94 8 5.766 4.94.867 4.94 +.5496 4.94 4 6.989 = 4.94.97 4.94.649 = 4.57 = ( 5 Contoh (Cont. Solus..5. Fung gs f(.5 -.5 5 5 5 -. -.5 -. (m f( Slope Gambar 5 Grafk perkraan akar persamaan pada teras ke- 6
Contoh (Cont. Solus Nla absolut dar kesalahan perkraan relatf ea pada teras ke- adalah: a = 4.57 4.94 = 4.57 =.486% Jumla dgt pentng adalah, karena nla ea > 5% (nla tolerans kesalahan perkraan relatf 7 Eample Cont. Iteras ke-: Akar persamaan dhtung dengan menggunakan hasl akar persamaan sebelumnya, yatu: f ( = f '( ( (.67665 4.57.6689 4.57 8 4 5 ( ( ( ( +.748 4.57.857 = 4.57 8 5.766 4.57.867 4.57 +.5496 4.57 9 4.778 6 = 4.57 = 4.57 (.475 = 4.57.94 8
Contoh (Cont. Solus..5. Fungs s f(.5 -.5 5 5 5 -. -.5 -. (m f( Slope Gambar 6 Grafk perkraan akar persamaan pada teras ke- 9 Contoh (Cont. Solus Nla absolut dar kesalahan perkraan relatf ea pada teras ke- adalah: a = 4.57 4.57 = 4.57 = < 5.677 % 5 % Akar persamaan, Xm 6 4 8 6 4 Iteras ke-n 4 5 5 5 5 εa Kesalahan perkraan m ea
Contoh (Cont. Solus Jumlah dgt pentng dberkan oleh nla terbesar m dar: log.677.454 a 5 5 5 (.454.5.5 Maka, m = 6 jumlah dgt pentng untuk akar persamaan 4.57 adalah 6 yatu 4.575. m m m log m m 5 (.454 = 6. 4756 Contoh (Cont. Solus Defleks maksmum papan terjad pada jarak = 4.57 nch dar tep kr. ν( = -.5-8 (4.57 5.667-6 (4.57 4 +.449-4 (4.57.857(4.57 = -.9 nch (ke bawah
Pertemuan ke-4 Persamaan Non-Lner: Metode Newton- Raphson Kelebhan dan kekurangan metode Newton Raphson Kelebhan Lebh cepat memperoleh hasl yang konvergens (quadratc convergence. Hanya memerlukan satu nla perkraan. 4
Kekurangan: Dvergens pada ttk balk (nflecton pont Bla nla perkraan awal atau teras yang dgunakan adalah berdekatan dengan ttk balk dar fungs f( maka dapat memberkan hasl awal yang dvergen. Msalnya, untuk persamaan f( = ( +.5 =. Akar persamaan dperkrakan oleh = ( +.5 ( + Tabel menyajkan hasl teras akar persamaan. Akar persamaan mula mengalam dvergens pada teras ke- 6 karena nla perkraan sebelumnya.9589 dekat dengan ttk balk fungs f( pada =. Namun setelah teras ke-8 dperoleh nla yang konvergen mendekat nla eksak pada =.. 5 Kekuragan Ttk Balk Tabel Dvergens d dekat ttk balk Iteraton Number 5..656.7465.84 4.6 5.9589 6.9 7 9.746 8. f ( = ( +.5 = Gambar 8 Dvergens pada ttk balk 6
Kekurangan Pembagan Nol Untuk persamaan fungs f 6 ( =. +.4 = Akar persamaan dperkrakan dar + =. +.4.6 Untuk = dan =., menghaslkan pembag nol. 6 Gambar 9 Kesultan pembagan nol atau mendekat nol 7 Kekurangan Gelombang dekat nla maksmum dan mnmum lokal Hasl yang dperole dar metode Newton- Raphson dmungknkan tdak tetap atau bergelombang (oscllaton terhadap nla makssmum atau mnmum tanpa hasl yang konvergen, tetap konvergen d dekat nla maksmum atau mnmum lokalnya. Konds menyebabkan pembagan dengan nol atau mendekat nol. Contohnya untuk akar persamaan dar f( = + = adalah tdak real. 8
Kekurangan Gelombang dekat nla maksmum dan mnmum lokal Tabel Gelombang d dekat nla maksmum dan mnum lokasl dalam metode Newton-Raphson. Iteraton Number f( ε a %...5.5..75 5.6 8.57.57.9 476.47 4.4.874 9.66 5.59.57 5.8 6.766.9 89.88 7 5.795 4.94.99 8.6955 9.66.9 9.97678.954 75.96 6 f( 5 4 - - -.75 -.4.5.4 - Gambar Gelombang dekat nla mnmum lokasl dar fungs f( = + 4 9 Kekurangan Lompatan Akar (Root Jumpng Dalam beberapa kasus dmana fungs f( berbentuk gelombang dan memlk sejumlah akar persamaan, maka dmungknkan akan dplh nla perkraan yang dekat dengan akar tersebut. Akan tetap, nla perkraan mungkn akan lompat dan konvergen dengan nla akar persamaan lannya. Sebaga contohnya f ( = sn = f( Bla dplh =.4π = 7.598 Akan konvergen ke =, darpada ke = π = 6.885.5.5-4 6 8 -.67.5499 4.46 7.598 -.5 - -.5 Gambar Kasus lompatan akar pada fungs f( = sn =