ESTIMASI PARAMETER REGRESI DATA PANEL MODEL EFEK TETAP BERDISTRIBUSI POISSON TERGENERALISASI TERBATAS MENGGUNAKAN METODE MAKSIMUM LIKELIHOOD Fahri 1, Kresa, Aisa 3 ABSTRAK Data pael adalah data hasil pegaata pada beberapa idividu (uit crosssectioal) yag asig asig diaati dala beberapa periode watu yag beruruta (uit watu). Pada peelitia ii diguaa data pael dega variabel julah ecelaaa lalu litas, julah pelaggara lalu litas da odisi liguga. Utu eetua hubuga fugsioal atar variabel tersebut aa aa diguaa aalisis regresi dala hal ii regresi Poisso tergeeralisasi terbatas. Model regresi data pael yag diguaa dala peelitia ii adalah Model Efe Tetap (MET) dega egguaa data hitug (cout data) yag baya diteua pada ejadia yag jarag terjadi yaitu Kecelaaa Lalu Litas. Keudia, dala MET aa ditabaha variabel boea utu egizia terjadiya perbedaa ilai paraeter yag ada. Setelah itu, aa ditetua odel regresi data pael berdistribusi Poisso tergeeralisasi terbatas diaa paraeter-paraeter regresi diestiasi dega egguaa Metode Maxiu Lielihood Estiatio (MLE) da Newto Raphso. Hasil odel regresi tiap idividu yag diteua pada peelitia ii eilii perbedaa ilai error yag sigifia. Kata Kuci : Data Hitug, Kecelaaa Lalu Litas, Maxiu Lielihood Estiatio (MLE), Model Efe Tetap (MET), Model Data Pael, Newto Raphso, Regresi Poisso Tergeeralisasi Terbatas, LSDV. 1. Pedahulua Pada suatu peelitia, variabel diaati dala watu atau periode tertetu. Nau teradag variabel yag diguaa dala peelitia perlu utu diaati lebih dari satu ali pada watu atau periode yag berbeda selaa asa peelitia atau pegaata. Pegaata terhadap variabel peelitia yag diguaa pada suatu uit pegaata di watu yag saa disebut data cross sectio, sedaga pegaata terhadap variabel depede da variabel idepede pada suatu uit pegaata di watu yag berbeda disebut data tie series. Da data pael erupaa gabuga atara data tie series da cross-sectioal. Aalisis regresi yag serig diguaa pada data pael disebut dega aalisis regresi data pael. Terdapat 3 pedeata dala egestiasi odel data pael, yaitu Model Efe Uu (MEU), Model Efe Tetap (MET) da Model Efe Aca (MEA). Pada peelitia ii aa dibahas odel data pael dega etode efe tetap (MET) egguaa Ordiary Least Square (OLS) dega eabaha variabel boea/seu. Selajutya pada aalisis odel tersebut aa diguaa data uatitatif dala hal ii data hitug (cout). Aalisis regresi yag diguaa pada data hitug 1
(cout) adalah regresi Poisso. Pada regresi Poisso diguaa data yag egalai equisdispersi. Aa tetapi pada data pael, cederug diteua terjadiya overdispersi. Pada data yag egalai overdispersi apabila diaalisis dega regresi Poisso aa stadar error peduga oefisie regresi aa lebih ecil dari ilai sebearya atau uderestiate. Utu egatasi asalah tersebut, salah satu etode yag dapat diguaa adalah aalisis regresi Poisso tergeeralisasi terbatas Pada regresi Poisso tergeeralisasi terbatas terdapat persaaa regresi yag tergatug pada paraeter-paraeter. Paraeter diartia sebagai hasil peguura yag eggabara arateristi dari suatu populasi. Paraeter biasaya tida dietahui ilaiya, sehigga dilaua peasira atau estiasi. Dala tulisa ii, peulis egguaa asiu lielihood yag erupaa salah satu etode dari peasir titi. Ide dasar etode asiu lielihood adalah eetua paraeter yag easiala eugia dari data sapelya.. Tijaua Pustaa.1. Kosep Data Pael Data pael adalah data yag erupaa hasil dari pegaata pada beberapa idividu (uit cross-sectioal) yag asig-asig diaati dala beberapa periode watu yag beruruta (uit watu). Model regresi data pael secara uu dapat diyataa pada persaaa beriut : y it = β 0 + βx it + ε it i = 1,, N t = 1,, T (1) dega: y it = Variabel depede utu uit cross sectio e-i da periode watu e-t, β 0 = Kostata itercept, X it = Vetor Variabel idepede utu uit cross sectio e-i da periode watu e-t, β = Vetor Koefisie slope, ε it = Error regresi utu uit cross sectio e-i da periode watu e t,.. Regresi Poisso Pada odel regresi Poisso, fugsi peghubug yag diguaa adalah fugsi peghubug log area fugsi log ejai bahwa ilai variabel yag diharapa dari variabel respoya aa berilai o-egatif. Beriut ii adalah fugsi peghubug yag diguaa utu odel regresi Poisso. l E(y x) = l(μ it ) = β 0 + β 1 x 1it + β x it + + β x it μ it = exp(β 0 + j=1 β j x jit ) = exp( β 0 + β 1 x 1it + β x it + + β x it ().3. Model Efe Tetap Secara uu betu regresi data pael pada MET ialah y it = β 0i + β j x jit + ε it i = 1,,3,, N t = 1,,3,, T (3)
Hal ii juga eberia asusi bahwa slope (β) diaggap osta bai atar uit cross sectio aupu atar uit tie series sedaga itercept dari odel berbeda atar uit cross sectio. Salah satu cara utu eperhatia uit cross sectio atau uit tie series adalah dega easua variabel boea/seu (duy variabel) utu egizia terjadiya perbedaa ilai paraeter, bai litas uit cross sectio aupu atar uit tie series. betu uu odel regresi efe tetap dega peabaha variabel duy yaitu: y it = β 01 + β 0 D i + β 03 D 3i + β 1 x 1it + β x it + ε it (4) diaa jia D i = 1 aa yag laiya berilai 0. Dala egguaa Model Efe Tetap (MET) dega peabaha variabel duy, odel regresi Poisso dapat dibetu dega egasusia. y it ~ Poisso (λ it ), λ it = μ it = exp (β 01 + β 0l D li + β j x jit ) (5) l= Pr[Y it = y it ] = λ y it e λ it it y it!.4. Distribusi Poisso Tergeeralisasi Terbatas Distribusi Poisso tergeeralisasi diguaa utu data iteger o-egatif dega paraeter θ da λ, diaa 0 λ < 1 da θ > 0. Misala paraeter λ = αθ ebuat λ berbadig lurus dega θ sehigga paraeter edua λ dibatasi da eyebaba odel distribusi Poisso tergeeralisasi terbatas sebagai beriut: P(X; θ, α) = { θx x 1 e θ(1+αx) (1 + αx) x! 0 laiya j=1 ; x = 0,1,, diaa ax { θ 1, 1 4 } α θ 1. Diataa bahwa ea da variasi distribusi Poisso tergeeralisasi terbatas pada pers. (7) yaitu μ = da (1 αθ) σ = sehigga odel regresi Poisso tergeeralisasi terbatas ejadi: P(Y = y x i ) = { ( 1+αμ )y (1 + αy) μ μ(1+αy) exp( y 1 1+αμ ) θ ; y = 0,1,, θ (6) (7) (1 αθ) 3 0 laiya.5. Uji Chi-Square Uji ii diguaa utu eetua apaah data yag diteliti berdistribusi Poisso atau tida.6. Uji Pearso Chi-Square Uji ii diguaa utu eetua apaah data egalai overdispersi atau tida..7. Uji Hausa Uji ii dilaua utu egetahui apaah odel tasira yag aa dipaai adalah odel efe tetap atau odel efe aca dega lagah-lagah sebagai beriut: (8) 3
1. Ruusa hipotesis statistiya, yaitu : H 0 Rado Effect H 1 Fixed Effect. Buat riteria uji, yaitu : Tola H0 jia ilai statisti Hausa χ α,df atau p-value < 0,05. Statisti uji Hausa ii egiuti distribusi statisti chi-uadrat dega derajat bebas, dega adalah baya variabel idepede..8. Masiu Lielihood Estiatio Misala terdapat pegaata y 1, y,, y yag asig-asig epuyai suatu pdf f(y i, θ), i = 1,,,. Fugsi lielihood adalah suatu fugsi dari θ yaitu l(θ) = f(y 1, θ) f(y, θ) = i=1 f(y i, θ). (10) Jia θ adalah aggota suatu selag terbua da l(θ) terdiferesial da epuyai suatu ilai asiu pada selag tersebut, aa MLE adalah suatu peyelesaia dari persaaa asiu lielihood. d l(θ) = 0 (11) dθ.9. Newto Raphso Metode ewto raphso adalah etode pedeata yag egguaa satu titi awal da edeatiya dega eperhatia slope atau gradiet pada titi tersebut. Titi pedeata e +1 ditulisa dega : X +1 = X f(x) f (x) 3. Hasil da Pebahasa 3.1 Fp Model Regresi Poisso Tergeeralisasi Terbatas Pada regresi Poisso tergeeralisasi terbatas, variabel Y eilii distribusi Poisso diaa: P(Y = y) = f(θ, λ) f(θ, λ)didefeisia pada persaaa (.1) yaitu: e (θ+yλ) y 1 P(y; θ, λ) = θ(θ + yλ) ; y = 0,1,, Jia paraeter λ diisala ejadi λ = αθ aa fugsi epadata peluag distribusi poisso tergeeralisasi terbatas ejadi: (1) e (θ+αθy) y 1 P(y; θ, λ) = θ(θ + αθy) P(X; θ, λ) = θθ y 1 e (θ+αy) y 1 (1 + αy) P(X; θ, λ) = θ y e (θ+αy) y 1 (1 + αy) ; y = 0,1,, ; y = 0,1,, ; y = 0,1,, 4
Model regresi Poisso tergeeralisasi terbatas adalah sebagai beriut: μ(1 + αy) μ y exp ( P(Y = y) = ( 1 + αμ ) (1 + αy) y 1 1 + αμ ) ; y = 0,1,, θ θ (1 λ) 3. dega ea da variasi adalah μ =, 1 λ σ = 3. Maxiu Lielihood Estiatio Fugsi Lielihood regresi Poisso tergeeralisasi terbatas sebagai beriut: l(μ i, y i ) = {( μ i ) y i i=1 1+αμ (1 + αyi ) yi 1 } i exp{ ( μ i (1+αy i ) i=1 )} 1+αμ i y i! ; y = 0,1,, (4.1) l= + dega μ i = exp(β 01 + l= β 0l D li + j=1 β j x jit ) da β = (β 01 + β 0l D li β j x jit ). Logarita atural dari fugsi lielihood (4.1) yaitu: j=1 e β 01 + β 0l D l= li+ j=1 β j x jit l L(α, β) = (y i l ( 1 + α. e β 01 + β 0l D li i=1 ( (e β 01 + β 0l D li l= + β j x jit 1 + α. e β 01 + β 0l D li l= + j=1 β j x jit )) + (y i 1)l(1 + αy i ) j=1 ) (1 + αy i ) ) l y i! (13) l= + j=1 β j x jit Utu easir setiap paraeter α, β 01, β j, β 0l aa persaaa (13) diturua secara parsial terhadap paraeter paraeter yag bersesuaia da disaaa dega ol. 1. Peasir utu paraeter α l L(α, β) = 0 α i=1 ( ( (y i. e β 01+ β 0lD li 1 + α. e β (e β 01+ l= + j=1 β j x jit ) = 0 (14) l= + j=1 β j x jit. Peasir utu paraeter β 01 l L(α, β) β 01 = 0 ( 1 + α. e β i=1 y i l= + j=1 β j x jit l= β 0l D li + β j x jit y i ) + (y i 1) ( ) 1 + αy i j=1 ) (y i e β (eβ 01+ (1 + α. e β l= β 0lD li + β j x jit (1 + α. e β l= + j=1 β j x jit ) l= + β j x jit j=1 ) ) j=1 ) (1 + αy i ) j=1 ) ) = 0 (15) l= + β j x jit 5
3. Peasir utu paraeter β 0l l L(α, β) β 0l = 0 y i D li ( 1 + α. e β i=1 l= + j=1 β j x jit 4. Peasir utu paraeter β j l L(α, β) β j = 0 y i x jit ( 1 + α. e β i=1 l= + j=1 β j x jit (D lie β 01+ l= β 0lD li + β j x jit (1 + α. e β (x jite β 01+ j=1 ) (1 + αy i ) j=1 ) ) = 0 (16) l= + β j x jit l= β 0lD li + β j x jit (1 + α. e β j=1 ) (1 + αy i ) j=1 ) ) = 0 (17) l= + β j x jit Turua turua parsial dari fugsi log lielihood pada halaa sebeluya jia diyataa dala betu atris aa ejadi: A = l l (α, β) α l l (α, β) β 01 l l (α, β) β 0 l l (α, β) β 03 l l (α, β) β 1 l l (α, β) [ β ] dari persaaa (14), (15),...,(17) eghasila estiator yag berbetu iplisit sehigga dala pegapliasia pada data dibutuha solusi ueri. Sesuai dega pebahasa pada BAB II aa aa dilaua etode Newto Raphso. 3.1 Newto Raphso Dala etode ii aa ditetua atris Hessia diaa elee eleeya erupaa turua edua dari fugsi log lielihood terhadap setiap paraeterya. Betu atris Hessia sebagai beriut : H = α α β 01 α β 0 α β 03 α β 1 [ α β β 01 α β 01 β 01 β 0 β 01 β 03 β 01 β 1 β 01 β β 0 α β 0 β 01 β 0 β 0 β 03 β 0 β 1 β 0 β β 03 α β 03 β 01 β 03 β 0 β 03 β 03 β 1 β 03 β β 1 α β 1 β 01 β 1 β 0 β 1 β 03 β 1 β 1 β β α β β 01 β β 0 β β 03 β β 1 Lagah lagah dala egestiasi setiap paraeter dega etode ewto raphso adalah sebagai beriut: 1. Tetua ilai awal utu α, β 01, β 0, β 03, β 1 da β β ] 6
. Tetua tasira α, β 01, β 0, β 03, β 1 da β dega ruus; α r+1 α r β 01 β 01 β 0 β 03 β 1 [ β ] = β 0 β 03 β 1 [ β ] H 1 A (18) 3. Apliasi pada Data Pada peelitia ii aa diguaa data julah ecelaaa (Y), julah pelaggara lalu litas (X1), da odisi liguga / julah hari huja (X) yag diobservasi elalui tiga daerah yaitu Kota Maassar, Kota Palopo, da Kabupate Sijai selaa 1 bula pada tahu 010. Dala pegapliasia MET pada data ecelaaa aa ditabaha variabel duy yag disesuaia dega julah idividu atau uit cross sectio yag diaati. Hal ii dilaua utu eghidari terjadiya jebaa duy yaitu ultiolieartas sepura. Dala data ecelaaa yag diaati terdapat tiga uit idividu sehigga julah variabel duy yag aa ditabaha dala data adalah sebaya dua. Pada peelitia ii aa ditabaha variabel duy utu daerah Kota Maassar, da Kabupate Sijai. Sedaga Kota palopo aa ejadi base. Utu lebih jelasya lihat tabel 1. Tabel 1 Data Julah Kecelaaa, Pelaggara Lalu Litas, da Kodisi Liguga / Hari HujaSetiap Bula pada Tahu 010 dega Peabaha Variabel Duy NO DAERAH BULAN Y X1 X D D3 1 Jauari 80 16 0 0 Februari 3 146 15 0 0 3 Maret 1 104 4 0 0 4 April 4 165 19 0 0 5 Mei 1 10 3 0 0 6 Jui 7 186 0 0 0 PALOPO 7 Juli 0 00 0 0 0 8 Agustus 1 90 4 0 0 9 Septeber 3 96 19 0 0 10 Otober 168 0 0 11 Noveber 3 164 18 0 0 1 Deseber 1 85 19 0 0 13 Jauari 108 735 7 1 0 14 Februari 99 1475 19 1 0 15 MAKASSAR Maret 135 069 17 1 0 16 April 108 437 16 1 0 17 Mei 119 691 18 1 0 7
18 Jui 94 157 17 1 0 19 Juli 75 89 14 1 0 0 Agustus 113 643 17 1 0 1 Septeber 194 888 4 1 0 Otober 06 403 5 1 0 3 Noveber 8 4098 1 1 0 4 Deseber 01 3660 8 1 0 5 Jauari 3 1 17 0 1 6 Februari 1 7 10 0 1 7 Maret 1 6 8 0 1 8 April 4 16 1 0 1 9 Mei 8 13 0 1 30 Jui 3 13 1 0 1 31 SINJAI Juli 5 19 0 1 3 Agustus 13 9 0 1 33 Septeber 4 19 8 0 1 34 Otober 0 13 0 1 35 Noveber 3 18 8 0 1 36 Deseber 4 4 3 0 1 Suber : Hasil Olaha Utu eperoleh tasira lielihood dari setiap paraeter aa aa diguaa ruus (19). Pada peelitia ali ii batas iterasi yag dipaai adalah 100 ali iterasi. Adapu ilai awal utu setiap paraeter α, da β adalah sebagai beriut. α r 1,968 β 01 7 β 0 β = 6 03 0 β 1 0,05 [ β ] [ 0,6 ] Dari proes iterasi higga e seratus didapata ilai tasira utu asig asig paraeter regresi sebagai beriut: α r+1 1,381 β 01 13,0 β 0 9,546 β = 03 1,591 β 1 0,03 [ β ] [ 0,668] 3.3 Model Ragresi Poisso Model regresi Poisso utu asig asig daerah adalah sebagai beriut : 8
Kota Palopo μ Palopo t = exp(13,0 + 0,03 x 1Palopot 0,668 x Palopot ) Kota Maassar μ MKS t = exp(13,0 + 9,546D Ms + 0,03 x 1 Ms t 0,668 x Ms t ) Kabupate Sijai μ Sijai t = exp(13,0 + 1,591D Sijai + 0,03 x 1Sijai t 0,668 x Sijait ) Tabel. Nilai error utu Kota Palopo, Kota Maassar, da Kabupate Sijai NO PALOPO MAKASSAR SINJAI 1.174 0.563 0.74 3.36 30.801 7.094 3 1.618 9.799 8.407 4 0.15 45.931.965 5 0.996 39.437 4.113 6 3.06 38.333.116 7 4.6 76.863.573 8.66 13.148 6.9 9 0.46 35.04 5.706 10 0.19 17.463 5.975 11 1.77 39.06 6.683 1 5.885 6.956 9.161 Julah 6.56 49.54 6.433 Dilihat dari distribusi ilai error utu setiap odel regresi etiga daerah aa dapat diiterpretasia bahwa odel regresi yag eilii ilai error teredah adalah Kota Palopo. 4. Kesipula da Sara 4.1 Kesipula Berdasara hasil aalisis sebeluya, disipula bahwa odel terbai regresi data pael egguaa MLE pada aga ecelaaa di tiga daerah di Sulawesi Selata pada tahu 010 adalah odel Kota Palopo : μ Palopo t = exp(13,0 + 0,03 x 1Palopot 0,668 x Palopot ) 9
diaa julah pelaggara lalu litas bepegaruh positif dega aga ecelaaa, sedaga julah hari huja/pegaruh liguga berpegaruh egatif dega aga ecelaaa, serta edua variabelya sigifia. 4. Sara Dala peelitia ii odel regresi yag dihasila pada daerah tertetu dari MLE eilii julah error yag besar. Oleh area itu disaraa utu peelitia selajutya egguaa etode / odel efe yag berbeda atau dega eabaha julah idividu da watu pegaata dala data pael yag diguaa. DAFTAR PUSTAKA Astuti, A. M.(009). Fixed Effect Model (FEM) pada regresi data pael: Studi asus tetag persetase ahasiswa yag lulus tepat watu di Istitut Teologi Sepuluh Noveber Surabaya. Tesis, Surabaya. Baltagi, BH., 005, Ecooetrics Aalysis of Pael Data, Joh Wiley & Sos, Chichester. Caero, A.C. ad Trivedi, P.K. (1998). Regressio Aalysis of Cout Data. Cabridge, UK. Fadhillah,F. (011). Apliasi Regresi Bioial Negatif da Geeralized Poisso Dala Megatasi Overdispersio Pada Regresi Poisso. Sripsi, Jaarta. Fajar, E. http://id.scribd.co/doc/14349896/part-4-pdf. [ diases taggal 14 otober 015] Faoye, F. (1993). Restricted Geeralized Poisso Regressio Model. Couicatios I Statistics Theory Ad Methods. Gujarati, D. (004).Basic Eooetrics, 4 th editio. McGraw-Hill, New Yor. Hadijah.(010). Aalisis Data Pael Model Efe Aca Pada Data Keisia di Provisi Sulawesi Selata. Sripsi, Maassar. Hsiao, C. (003), Aalysis of Data Pael, th editio. Cabridge Uiversity Press, West Nyac, NY, USA. Megawati,M.S.(011). Model Regresi Zero Iflated Negative Bioial (ZINB) Pada Data Hitug Apliasiya Pada Data Pederita Peyait Dea Berdarah Di RS. Wahidi Sudirohusodo. Sripsi, Maassar. Mustiasari, Ia (011), Aalisis Data Pael Model Efe Tetap pada Data Keisia di Provisi Sulawesi Selata. Sripsi. FMIPA Uiversitas Hasauddi. Sudari,I (01). Regresi Poisso da Peerapaya Utu Meodela Hubuga Usia da Perilau Meroo Terhadap Julah Keatia Pederita Peyait Kaer Paru-Paru, FMIPA Uiversitas Adalas, Padag. Wachidah, L. (009). Uji Kecocoa Chi-Kuadrat utu distribusi Poisso Pada Data Asurasi. Sripsi, Pedidia Mateatia FMIPA UNY, Yogyaarta. 10