ANALISIS REGRESI TERPOTONG (TRUNCATED) ATAS BAWAH DAN PENERAPANNYA SKRIPSI

Transkripsi

1 ANALISIS REGRESI TERPOTONG (TRUNCATED) ATAS BAWAH DAN PENERAPANNYA SKRIPSI Diajuka kepada Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Uiversitas Negeri Yogyakarta utuk memeuhi sebagia persyarata gua memperoleh gelar Sarjaa Sais Oleh: Ika Puji Astuti NIM PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 20

2 PERSETUJUAN ANALISIS REGRESI TERPOTONG (TRUNCATED) ATAS BAWAH DAN PENERAPANNYA Oleh: Ika Puji Astuti SKRIPSI Telah disetujui pada taggal 9 April 20 Utuk diujika di depa Paitia Peguji Skripsi Prodi Matematika Jurusa Pedidika Matematika Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Uiversitas Negeri Yogyakarta Pembimbig, Dr. Djamillah BW, M.Si NIP ii

3 SKRIPSI ANALISIS REGRESI TERPOTONG (TRUNCATED) ATAS BAWAH DAN PENERAPANNYA Disusu oleh: Ika Puji Astuti Telah dipertahaka di depa dewa Peguji Skripsi Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam, Uiversitas Negeri Yogyakarta Pada taggal 26 April 20 da diyataka telah memeuhi syarat gua memperoleh gelar Sarjaa Sais. Susua Dewa Peguji Nama Jabata Tada Taga Taggal Dr. Djamilah, B.W. NIP: Dr. Hartoo NIP: M. Susati, M.Si. NIP: Elly Arliai, M.Si. NIP: Ketua Peguji Sekretaris Peguji Peguji Utama Peguji Pedampig Yogyakarta, 26 April 20 Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Uiversitas Negeri Yogyakarta Deka Dr. Ariswa NIP: iii

4 SURAT PERNYATAAN Yag bertada taga di bawah ii, saya: Nama : Ika Puji Astuti NIM : Prodi/Jurusa : Matematika/Pedidika Matematika Fakultas : Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Judul TAS : Aalisis Regresi Terpotog (Trucated) Atas Bawah da Peerapaya Dega ii meyataka bahwa skripsi ii adalah hasil pekerjaa saya sediri da sepajag sepegetahua saya tidak berisi materi yag dipublikasika atau ditulis oleh orag lai atau pedapat yag ditulis atau telah diguaka sebagai persyarata peyelesaia studi di pergurua tiggi lai kecuali pada bagia tertetu yag saya ambil sebagai acua atau kutipa dega megikuti tata peulisa karya ilmiah yag telah lazim. Apabila terbukti peryataa saya ii tidak bear, maka sepeuhya mejadi taggug jawab saya. Yogyakarta, 05 April 20 Yag meyataka Ika Puji Astuti iv

5 MOTTO Allah tidak aka membebai seseorag melaika sesuai dega kesaggupaya (QS. Al Baqarah : 286) Sesugguhya sesudah kesulita itu ada kemudaha. Maka apabila kamu telah selesai (dari suatu urusa), kerjakalah dega suguh suguh (urusa) yag lai. Da kepada Tuhamulah hedakya kamu berharap (QS. Al Isyiroh : 6-8) v

6 PESEMBAHAN Segala puji haya bagi Allah SWT, Tuha semesta alam yag seatiasa memberika karuia da petujuk, sehigga saya dapat meyelesaika peulisa skripsi ii. Karya ii ku persembahka utuk: Oragtuaku Tercita Terimakasih atas segala cita, kasih sayag, perhatia, pegorbaa, dukuga, da utaia do a yag tak perah terputus utuk Aada. Semoga karya kecil ii dapat mejadi salah satu wujud bakti Aada utuk Bapak da Ibu Tercita. Adikku Tersayag Meskipu kau terkadag meyebalka, amu kaulah satu satuya saudara kadugku, da aku sagat meyayagimu. Guru guru yag ku hormati Terimakasih utuk ilmu ilmu yag telah diajarka, pegalama, da segala ispirasi yag ditularka. Sahabat sahabatku: Wiwik, desi, rita, mita, ayomi, da Tema tema Mat NR 06. Thas tuk solidaritas, dukuga, kegilaaya selama ii. Kalia ka slalu dihati. vi

7 ANALISIS REGRESI TREPOTONG (TRUNCATED) ATAS BAWAH DAN PENERAPANNYA Oleh: Ika Puji Astuti NIM ABSTRAK Peyusua skripsi ii adalah utuk mejelaska cara memperoleh mea, variasi, da model regresi terpotog atas bawah, cara memperoleh estimator parameter pada model regresi terpotog atas bawah, da mejelaska cotoh peerapa model regresi terpotog atas bawah. Pada aalisis regresi terpotog atas bawah, pembatasa ilai pada variabel depede meyebabka distribusiya berubah mejadi distribusi ormal terpotog atas bawah. Mea Y yag semula µ berubah mejadi mea terpotog atas bawah variasi Y yag semula 2 berubah mejadi: da model regresi yag semula Y i = β 0 + X β + X 2 β 2 + ε berubah mejadi model regresi terpotog sebagai berikut: Dega,,,,, atas.,, a = ilai batas bawah, b = ilai batas Utuk memperjelas kajia tetag aalisis regresi terpotog atas bawah, maka diberika cotoh peerapaya. Pada cotoh (), dilakuka peelitia utuk megetahui hubuga atara besar modal, biaya pemasara, dega ilai pejuala. Dega peelitia yag dibatasi pada ilai pejuala yag berada diatara Rp. Milyar sampai Rp.5 Milyar. Pada cotoh (2), dilakuka peelitia utuk megetahui hubuga atara persetase persalia bayi ditolog bida atau dokter, persetase balita berstatus gizi baik, dega agka kematia bayi per 000 kelahira. Dega peelitia dibatasi pada agka kematia bayi yag berada diatara 40 sampai 70 agka kematia. Dari peelitia tersebut diperoleh bahwa model regresi terpotog lebih tepat diguaka utuk meggambarka hubuga dalam kasus data terpotog dibadigka dega regresi liier. Hal itu ditujukka dega membadigka ilai R 2 da Ajusted R 2 pada model regresi terpotog dega ilai R 2 da Ajusted R 2 pada regresi liier. Hasilya ilai R 2 da Ajusted R 2 pada model regresi terpotog utuk dua cotoh tersebut lebih besar daripada ilai R 2 da Ajusted R 2 pada regresi liier. vii

8 KATA PENGANTAR Puji da syukur peulis haturka kepada Allah SWT yag telah melimpahka rahmat da hidayah-nya sehigga memberika kekuata, kemudaha, kemampua da kelapaga hati kepada peulis dalam meyelesaika tugas akhir skripsi dega judul Aalisis Regresi Terpotog (Trucated) Atas Bawah da Peerapaya gua memeuhi sebagia persyarata utuk memperoleh gelar Sarjaa Sais pada Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Peulis meyadari aka kelemaha serta keterbatasa yag ada sehigga dalam meyelesaika skripsi ii, peulis memperoleh batua dari berbagai pihak. Dalam kesempata ii peulis meyampaika terimakasih kepada:. Bapak Dr. Ariswa sebagai Deka Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Uiversitas Negeri Yogyakarta yag telah memberika kesempata peulis dalam meyelesaika studi. 2. Bapak Dr. Hartoo sebagai Ketua Jurusa Pedidika Matematika Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Uiversitas Negeri Yogyakarta. 3. Ibu Atmii Dhoruri, M.S sebagai Ketua Program Studi Matematika Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Uiversitas Negeri Yogyakarta. 4. Ibu Himmawati P.L, M.Si sebagai pembimbig akademik yag berkea memberika iformasi da pegaraha selama peulis duduk di bagku perkuliaha. viii

9 5. Ibu Dr. Djamillah B.W, M.Si sebagai pembimbig skripsi yag berkea memberika waktu bimbiga serta dega peuh kesabara memberi pegaraha dalam meyusu skripsi. 6. M. Susati, M.Si, Elly Arliai, M.Si. da Dr. Hartoo sebagai peguji skripsi yag berkea memberika pertayaa, masuka (sara) utuk perbaika skripsi. 7. Bapak da Ibu Dose Jurusa Pedidika Matematika Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Uiversitas Negeri Yogyakarta yag telah memberika ilmu kepada peulis, semoga ilmu yag diberika dapat bermafaat. 8. Semua pihak yag tidak dapat peulis sebutka satu persatu yag telah membatu dalam meyelesaika skripsi ii. Peulis meyadari bahwa skripsi ii masih bayak kekuraga baik isi maupu susuaya. Utuk itu kritik da sara yag bersifat membagu seatiasa peulis harapka. Semoga amal da kebaika dari semua pihak medapatka balasa dari Allah SWT. Akhirya peulis megucapka terima kasih da semoga skripsi ii dapat bermafaat tidak haya bagi peulis tetapi juga bagi para pembaca. Ami. Yogyakarta, 05 April 20 Peulis Ika Puji Astuti ix

10 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... HALAMAN PERSETUJUAN... HALAMAN PENGESAHAN... HALAMAN PERNYATAAN... HALAMAN MOTTO... HALAMAN PERSEMBAHAN... ABSTRAK... KATA PENGANTAR... DAFTAR ISI... DAFTAR TABEL... i ii iii iv v vi vii viii x xii BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakag Masalah... B. Pembatasa Masalah... 3 C. Rumusa Masalah... 3 D. Tujua Peulisa... 4 E. Mafaat Peulisa... 4 BAB II DASAR TEORI A. Disrtibusi Normal... 5 B. Probalitas Bersyarat da Ekspetasi Bersyarat... 6 C. Matrik... 8 D. Metode Kemugkia Maksimum Likelihood... 9 E. Metode Newto Raphso... F. Aalisis Regresi Liier... 4 G. Ukura statistik utuk Memilih Model Regresi Terbaik... 6 BAB III PEMBAHASAN A. Mea, Variasi, da Model Regresi Terpotog Atas Bawah... 7 a. Mea da Variasi Terpotog Atas Bawah... 7 b. Model Regresi Terpotog Atas Bawah B. Estimasi Parameter Megguaka Metode Kemugkia Maksimum C. Peerapa Model Regresi Terpotog Atas Bawah Cotoh a. Hubuga Atara Besar Modal (X), Biaya Pemasara (X2), da Nilai Pejuala (Y) b. Uji Koefisie Secara Parsial utuk Model Regresi Liier c. Uji Koefisie Secara Parsial utuk Model Regresi Terpotog Atas Bawah d. Membadigka Model Regresi Terpotog atas Bawah dega Regresi Liier x

11 Cotoh a. Hubuga Atara Persetase Persalia Bayi Ditolog Bida atau Dokter (X), Persetase Balita Bersetatus Gizi Baik (X2), dega Agka Kematia Bayi per 000 Kelahira (Y) 49 b. Uji Koefisie Secara Parsial utuk Model Regresi Liier c. Uji Koefisie Secara Parsial utuk Model Regresi Terpotog Atas Bawah d. Membadigka Model Regresi Terpotog atas Bawah dega Regresi Liier BAB IV PENUTUP A. Kesimpula B. Sara DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN xi

12 DAFTAR TABEL Tabel 3. Tabel 3.2 Tabel 3.3 Perbedaa Distribusi Normal dega Distribusi Normal Terpotog Atas Bawah Perbedaa Model Regresi Liear dega Model Regresi Terpotog Atas Bawah Data Besar Modal (X ), Biaya Pemasara (X 2 ), da Nilai Pejuala (Y) Tabel 3.4 Nilai koefisie, t hitug, da p-value Persamaa Regresi Liier 42 Tabel 3.5 Tabel 3.6 Tabel 3.7 Nilai Koefisie Regresi Terpotog atas Bawah, Nilai z hitug, da p-value Nilai Ukura Statistik R 2 da Adjusted R 2 pada Model Regresi Terpotog Atas Bawah da Regresi Liier Data Peresetase Persalia Bayi Ditolog Bida atau Dokter (X ), Peersetase Balita Bersetatus Gizi Baik (X 2 ), dega Agka Kematia Bayi per 000 Kelahira (Y) Tabel 3.8 Nilai koefisie, t hitug, da p-value Persamaa Regresi Liier 52 Tabel 3.9 Tabel 3.0 Nilai Koefisie Regresi Terpotog atas Bawah, Nilai z hitug, da p-value Nilai Ukura Statistik R 2 da Adjusted R 2 pada Model Regresi Terpotog Atas Bawah da Regresi Liier xii

13 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakag Dalam peelitia serig dijumpai dua variabel atau lebih yag salig berhubuga. Peeliti biasaya megguaka model utuk meggambarka suatu hubuga fugsioal atar variabel. Dega model itu peeliti aka berusaha memahami, meeragka, megedalika, da memprediksi hubuga atar variabel yag diteliti. Tekik aalisis yag diguaka utuk megambarka hubuga atara dua atau lebih variabel tersebut diamaka aalisis regresi. Variabel dalam aalisis regresi serig diamaka variabel depede atau variabel tak bebas (respos) Y da variabel idepede atau variabel bebas (regresor) X. Pada model regresi liear Y i = β 0 + X β + X 2 β X i β i + ε i, data sampel diaggap berasal dari suatu populasi yag berdistribusi ormal dega mea µ i da variasi 2. Hal ii berarti bahwa variabel depede Y i berdistribusi N(µ i, 2 ) da ε i adalah galat acak yag diasumsika berdistribusi ormal N(0, 2 ) (Sembirig, 2003 : 38). Model regresi liear ii merupaka model regresi liear dimaa variabel depedeya tidak megalami pembatasa ilai. Namu dalam suatu peelitia, serigkali dijumpai bahwa variabel depede Y perlu dibatasi utuk tujua tertetu. Pembatasa peelitia pada suatu ilai tertetu pada suatu populasi meyebabka distribusi data berubah.

14 2 Jika variabel depede Y terbatas pada suatu titik tertetu, da variabel idepedeya haya diobservasi jika variabel depedeya diobservasi, maka model regresi ii disebut model regresi terpotog. Adaya pemotoga (trucatio) meyebabka ada tiga kemugkia betuk distribusi yag diperoleh, yaitu distribusi terpotog bawah, terpotog atas, atau terpotog atas bawah. Data yag diguaka utuk regresi terpotog adalah data terpotog. Karea data terpotog, maka titik potogya harus diketahui, misalka a da b, dimaa b merupaka titik potog atas da a merupaka titik potog bawah dari data yag diobservasi. Dapat diperoleh data terpotog atas bawah apabila haya dilakuka observasi pada data yag berada diatara a da b (a < Y i < b). Sampel distribusi ormal terpotog diambil dari suatu subpopulasi sehigga jika populasiya berdistribusi ormal, maka distribusi dari subpopulasi adalah distribusi ormal terpotog (Greee, 997 : 949). Dega demikia pegetahua tetag distribusi dari data yag sebearya diambil aka sagat membatu dalam pecaria estimator parameter regresi terpotog. Karakteristik data pada data terpotog, seperti mea da variasi, juga aka ikut berubah. Hal ii meyebabka model regresiya juga aka ikut berubah, sehigga perhituga koefisie-koefisie regresi yag semula cukup mudah aka mejadi lebih sulit. Walaupu perhituga koefisie-koefisie regresi terpotog mejadi lebih sulit, aka tetapi sagat diperluka utuk megguaka regresi terpotog ii dalam masalah-masalah tertetu.

15 3 Oleh karea itu, pegkajia tetag bagaimaa cara megestimasi parameter pada aalisis regresi terpotog atas bawah mejadi petig. Apalagi kajia tetag aalisis regresi terpotog atas bawah tersebut belum perah didapatka pada saat perkuliaha di Prodi Matematika Uiversitas Negeri Yogyakarta (UNY). Padahal didalam masalah sehari-hari, peeliti dapat saja meemuka masalah-masalah yag megharuska diguakaya aalisis regresi terpotog atas bawah. Misalya megguaka aalisis regresi terpotog utuk meggambarka hubuga atara bayakya ligkar tahu pada kayu, pajag kayu, dega umur kayu. Dimaa umur kayu dibatasi pada umur kayu yag lebih dari 0 tahu da kurag dari 5 tahu. Utuk lebih memperjelas, maka aka diberika cotoh peerapa model regresi terpotog atas bawah. B. Pembatasa Masalah Skripsi ii membahas regresi terpotog atas bawah, yaitu model regresi dimaa ilai variabel depede Y dibatasi pada ilai a < Y i < b, dega a da b merupaka suatu kostata. C. Rumusa Masalah Berdasarka latar belakag masalah, maka didapatka rumusa masalah sebagai berikut:. Jika ilai pada variabel depede terpotog atas bawah, bagaimaakah mea, variasi, da model regresi terpotog atas bawah?

16 4 2. Bagaimaa cara memperoleh estimator parameter pada model regresi terpotog atas bawah? 3. Bagaimaa cotoh peerapa model regresi terpotog atas bawah? D. Tujua Peelitia Tujua peelitia atau pegkajiaya adalah:. Mejelaska mea, variasi, da model regresi terpotog atas bawah. 2. Mejelaska cara memperoleh estimator parameter pada model regresi terpotog atas bawah. 3. Mejelaska cotoh peerapa model regresi terpotog atas bawah. E. Mafaat Peelitia Hasil peelitia atau hasil kajia ii diharapka dapat meambah referesi mahasiswa matematika da statistika tetag tekik aalisis regresi, khususya aalisis regresi terpotog atas bawah.

17 BAB II DASAR TEORI A. Distribusi Normal Defiisi 2. (Bai & Egelhardt, 992 : 8) Jika suatu variabel radom kotiu X berdistribusi ormal dega mea µ da variasi 2 yag diotasika dega X ~ N (µ, 2 ), maka X mempuyai fugsi desitas: f x µ, 2 ) = x µ 2 2π e 2, utuk - < x <, - < µ <, 0 < <. Defiisi 2.2 (Bai & Egelhardt, 992 : 9) Jika X ~ N (µ, 2 ), maka variabel radom Z = X µ megikuti distribusi ormal stadar dega mea 0 da variasi diotasika dega Z ~ N (0,), mempuyai fugsi desitas φ(z) = f (z 0,) = 2π e 2 z 2, utuk - < z <. Fugsi distribusi kumulatif Z didefiisika sebagai (z) = z φ t dt. Defiisi 2.3 (Bai & Egelhardt, 992 : 9) Jika variabel radom Z berdistribusi ormal stadar dega fugsi desitas peluag φ(z), dapat ditujukka bahwa:. φ(z) = φ(-z). 2. φ'(z) = -z φ(z). Bukti:. φ(-z) = 2π e 2 ( z) 2 = 2π e 2 z 2 = φ(z). 5

18 6 2. φ'(z) = δ 2π e 2 z 2 δz = -z 2π e 2 z 2 = -z φ(z). B. Probabilitas Bersyarat da Ekspetasi Bersyarat Defiisi 2.4 (Bai & Egelhardt, 992 : 53) Jika X da Y mempuyai fugsi desitas peluag bersama f(x, y), maka fugsi peluag bersyarat dari X, dega syarat Y = y adalah f(x y) = f (x,y) f (y) dimaa - < y < da f(y) > 0. Teorema 2. (Greee, 997 : 757) Jika Y adalah variabel radom kotiu dega fugsi desitas peluag f(y) da ilai a da b adalah suatu kostata, dega Y terpotog atas pada ilai b da terpotog bawah pada ilai a, maka fugsi desitas peluag dari peubah acak terpotog atas bawah Y adalah: asal Prob a < Y < b > 0. Bukti: f y a < Y < b = f(y) Prob (a < Y < b) f y = f y Y a Prob Y a + f y a < Y < b Prob a < Y < b + f y Y b Prob Y b Karea Y terpotog bawah pada ilai a da terpotog bawah pada ilai b, maka Prob(Y a) = 0 da Prob(Y b) = 0, diperoleh: f y = 0 + f y a < Y < b Prob a < Y < b + 0 = f y a < Y < b Prob a < Y < b

19 7 sehigga f y a < Y < b = f(y) Prob a < Y < b Teorema 2.2 Y adalah variabel radom kotiu dega fugsi desitas peluag f y aka mempuyai suatu fugsi desitas peluag terpotog f y a < Y < b, dimaa a da b suatu kostata, apabila memeuhi syarat sebagai berikut:. f y a < Y < b 0 ; < y < + 2. f y a < Y < b dy = Bukti:. Karea f(y) merupaka fugsi desitas peluag yag memeuhi sifat f(y) 0 utuk setiap y, maka f(y) 0 da Prob a < Y < b > 0 sehigga f y a < Y < b f y a < Y < b dy a = 0 dy + f y a < Y < b dy + 0 dy b a b = 0 + f y a < Y < b dy + 0 = a b f(y) Prob(a < Y < b) dy a f y dy = Prob(a < Y < b) = = b a Prob(a < Y < b) Prob(a < Y < b) b

20 8 Dari bukti diatas dapat disimpulka bahwa f y a < Y < b merupaka fugsi desitas peluag terpotog. Defiisi 2.5 (Bai & Egelhardt, 992 : 80) Jika X da Y adalah peubah acak kotiu yag berdistribusi bersama da mempuyai fugsi desitas peluag bersama f(x, y), maka:. E(X y) = x f x y) dx. 2. E(X 2 y) = x 2 f x y dx. 3. Var(X y) = x E x 2 f x y) dx. C. Matriks Teorema 2.3 (Greee, 997: 5). Jika vektor A = a a 2 a, x = x x 2 x, maka: x x A = x A x = A. Bukti: x A = a x + a 2 x a x = A x. x x A = x A x = A = x a x + a 2 x a x = x x 2 x a x + a 2 x a x a x + a 2 x a x a x + a 2 x a x

21 9 = a a 2 a = A Teorema 2.4 (Greee, 997: 5). maka: Jika y = x A, dega x = x x 2 x da A = a a 2 a k, Dega demikia: Bukti: y = y y 2 y k = x a x a 2 x a k. x x A = A Berdasarka teorema 2.3, maka diperoleh: y x = y x y 2 x y k x = x a x x a 2 x x a k x = a a 2 a k = A D. Metode Kemugkia Maksimum Likelihood Defiisi 2.6 (Bai & Egelhardt, 992: 293) Fugsi desitas peluag bersama dari variabel radom Y, Y 2,, Y yag tergatug pada θ, yaitu f, ditaksir di y, y 2,, y ilaiya f y, y 2,, y ; θ disebut fugsi likelihood.

22 0 Utuk y, y 2,, y kosta, f y, y 2,, y ; θ haya tergatug pada θ, da diotasika L(θ). Apabila (Y, Y 2,, Y ) merupaka sampel radom berukura dari distribusi dega fugsi desitas f, maka: L θ = f y ; θ f y 2 ; θ f y ; θ = Defiisi 2.7 (Bai & Egelhardt, 992: 294) f(y i ; θ) Misalka L adalah fugsi desitas peluag bersama dari (Y, Y 2,, Y ), yag tergatug pada parameter θ, yaitu L θ = f y, y 2,, y ; θ. Nilai dari θ yag meghasilka ilai maksimum utuk L θ disebut Maksimum Likelihood Estimate (MLE) utuk θ, da diyataka dega simbol θ. Jadi ilai θ memeuhi: f y, y 2,, y ; θ = max f y, y 2,, y ; θ θ Ω Utuk meetuka ilai θ yag memaksimumka L θ, L θ harus diderivatifka dega lagkah lagkah sebagai berikut:. Nilai θ diperoleh dari derivatif pertama. L θ = 0 θ 2. Nilai θ dikataka memaksimumka L θ jika: 2 θ 2 L θ θ=θ < 0

23 Selai memaksimumka fugsi likelihood, ilai θ juga memaksimumka loglikelihood, l L θ. Nilai yag memaksimumka l L θ diperoleh dega cara sebagai berikut:. Nilai θ diperoleh dari derivatif pertama. l L θ = 0 θ 2. Nilai θ dikataka memaksimumka l L θ jika: 2 θ 2 l L θ θ=θ < 0 Fugsi l L θ biasaya lebih serig diguaka karea pegguaaya lebih mudah dari pada L θ. E. Metode Newto Raphso Metode Newto Raphso adalah salah satu metode utuk meyelesaika persamaa oliear secara iteratif, seperti persamaa Likelihood. Dasar dari metode ii adalah pedekata deret Taylor (Greee, 997:49). Deret Taylor: f θ = f θ 0 p + i i f θ 0 θ θ 0 i, dimaa θ 0 adalah ilai i! θ 0 estimasi awal. Peurua rumus Newto Raphso yag diguaka utuk mecari ilai estimasi parameter dega iterasi dari pedekata deret Taylor adalah sebagai berikut: Hampira (pedekata) dapat diperoleh dega memotog deret setelah suku turua pertama diperoleh, yaitu:

24 2 f θ f θ 0 + f θ 0 θ θ 0 dimaa θ 0 adalah ilai estimasi awal yag diambil. f θ dapat ditulis F θ θ dimaa pada perpotoga dega sumbu θ, dapat ditulis kembali mejadi: F θ θ = 0. Persamaa tersebut F θ θ G θ0 + H θ 0 θ θ 0 dega: G θ 0 = derivatif pertama dari F(θ) pada saat θ = θ 0, H θ 0 = derivatif kedua dari F(θ) pada saat θ = θ 0. karea F θ θ = 0, maka 0 = G θ 0 + H θ 0 θ θ 0. Dari persamaa dapat diperoleh estimasi baru, misal θ'. G θ0 θ = θ 0 H θ 0 Pada iterasi yag pertama aka didapat ilai estimasi θ 2, dega meggati θ 0 dega θ', secara umum utuk iterasi ke-m dapat ditulis: G θm θ m+ = θ m H θ m Persamaa diatas adalah rumus dari metode Newto Raphso utuk mecari estimasi θ yag memaksimumka suatu fugsi (Sahid, 2005: 58). Lebih rigkas, lagkah-lagkah metode Newto Raphso tersebut adalah sebagai berikut:. Ambil estimasi awal dari θ, misal θ Didapat estimasi yag baru, yaitu θ = θ 0 G θ 0 H θ 0.

25 3 3. Pada iterasi pertama diperoleh θ 2 dega meggati θ 0 dega θ, maka: θ 2 = θ G θ. H θ 4. Secara umum iterasi ke-m didapat θ m+ = θ m G θm H θ m. 5. Iterasi aka berheti ketika d = θ m θ m+ ε, dega ε medekati ol, ideks m ukura iterasi. Metode Newto Raphso ii dapat diperluas utuk medapatka solusi persamaa dega lebih dari satu parameter, misal θ, θ 2,, θ p da iterasiya sebagai berikut: G θm θ m+ = θ m H θ m sedagka θ m+ da θ m dalam betuk vektor: θ m+ = θ m+ θ p m+ da θ m = θ m θ p m Jika F merupaka fugsi dari p parameter, yaitu θ, θ 2,, θ p, maka: H = 2 F θ θ 2 2 F θ θ p θ 2 F θ 2 θ θ θ 2 θ θ p 2 F θ 2 F θ θ p θ 2 θ 2 p = 2 F θ x θ 2 F θ x p θ Dimaa H disebut matrik Hessia da vektor turua parsial (vektor gradie derivatif pertama) dapat ditulis:

26 4 G = F θ θ F θ θ 2 F θ θ p (Tulisa Dwi Ispriyati, eprits.udip.ac.id/387//tulisa_siji.pdf). F. Aalisis Regresi Liier Aalisis regresi adalah suatu proses melakuka estimasi utuk memperoleh suatu hubuga atara suatu variabel depede (terikat) dega satu atau lebih variabel idepede (bebas) (Atmaja, 2009 : 65). Asumsi-asumsi yag medasari model regresi liier (Atmaja, 2009 : 68) adalah:. Utuk setiap ilai X (variabel idepede), terdapat suatu kelompok ilai Y (variabel depede) da ilai Y tersebut berdistribusi ormal. Setiap Distribusi ii =. Normal 2. Memiliki deviasi stadar yag sama Y Garis Regresi Satu Deviasi Stadar Satu Deviasi Stadar Ketiga rata-rata Y terletak pada garis regresi X X 2 X 3

27 5 2. Rata-rata dari distribusi ormal Y ii, semuaya terletak pada garis liier regresi. 3. Deviasi stadar dari distribusi ormal Y tersebut semuaya sama. 4. Nilai-ilai Y bersifat idepede (tidak salig tergatug) secara statistik. Artiya, ilai Y yag dipilih utuk suatu ilai X tidak tergatug pada ilai Y utuk ilai X yag lai. Utuk megetahui apakah koefisie regresi β i pada model regresi Y = β 0 + X β + + X p β p + ε i sigifika atau tidak sigifika, dapat dilakuka dega megguaka uji t (Nachrowi & Hardius Usma, 2002 : 24). Adapu lagkah lagkah pegujia hipotesis yag dimaksud adalah. Hipotesis: H 0 : β i = 0 H : β i 0 2. Taraf sigifikasi: α 3. Statistik uji: t = β i β i S β i Aka tetapi karea yag aka diuji adalah apakah β = 0, maka ilai βi dalam persamaa harus digati ol. Maka uji t mejadi: β i t = S β i 4. Kriteria keputusa: Tolak hipotesis ol (H 0 ) apabila t hitug < -t α/2; - p atau t hitug > t α/2; p. 5. Perhituga: 6. Kesimpula:

28 6 G. Ukura Statistik utuk Memilih Model Regresi Terbaik Ada bayak ukura statistik yag dapat diguaka utuk memilih model regresi terbaik. Namu disii peulis haya megguaka dua ukura statistik, yaitu R square (R 2 ) da Adjusted R 2 (R 2 disesuaika), (R K Sembirig : 46).. Koefisie determiasi gada (R 2 ). Nilai R 2 meujukka proporsi seberapa besar variabel idepede mempegaruhi variabel depede. R 2 = = y i y 2 y i y 2 = SST SSE SST = SSE SST = SSR SST dega: SST = Sum Square Total, SSR = Sum Square Regressio, SSE = Sum Square Error. Model regresi terbaik adalah model dega ilai R 2 terbesar. 2. Adjusted R 2 (R 2 disesuaika). Nilai R 2 diatas masih mempuyai kelemaha, yaitu besarya dipegaruhi oleh peubah bebas dalam model, sehigga sulit meyataka R 2 yag optimum. Utuk megatasi kelemahaya maka diguaka Adjusted R 2. Adjusted R 2 = SSE ( p) ( ) = SST ( ) ( p) R2 dega: SSE = Sum Square Error, SST = Sum Square Total, p = bayakya parameter dalam regresi termasuk kosta, = bayak data. Model regresi terbaik adalah model dega ilai Adjusted R 2 terbesar.

29 BAB III PEMBAHASAN Sebelum mecari estimasi parameter regresi terpotog atas bawah, harus diketahui terlebih dahulu karakteristik distribusi ormal terpotog atas bawah utuk kemudia mecari model regresi terpotog atas bawah. Hal tersebut utuk mempermudah lagkah selajutya dalam melakuka estimasi terhadap parameter-parameter regresi terpotog atas bawah. Utuk itu, berikut ii aka dicari terlebih dahulu karakteristik distribusi ormal terpotog atas bawah da model regresi terpotog atas bawahya. A. Mea, Variasi, da Model Terpotog Atas Bawah a. Mea da Variasi Terpotog Atas Bawah Sebelum pembetuka model regresi terpotog, terlebih dahulu harus ditetuka karakteristik distribusi ormal terpotogya. Dalam hal ii aka ditetuka mea terpotog da variasi terpotog dari regresi terpotog atas bawah. Teorema 3. Jika Y adalah suatu variabel radom kotiu yag berdistribusi ormal dega mea µ da variasi 2, da apabila Y terpotog atas pada ilai b da terpotog bawah pada ilai a, maka mea terpotog da variasi terpotogya adalah: i.e Y a < Y < b = μ ( β α ) ii.var Y a < Y < b = α β 2 δ α + δ β β +β β β 7

30 8 Dega α = Bukti: β = φ α Ф β Ф α φ β Ф β Ф α φ α = 2π e 2 α 2,, α = a μ,, β = b μ, φ β = 2π e 2 β 2, β Ф β Ф α = φ z dz. α δ α = α α α, 0 < δ α < utuk setiap α. δ β = β β β, 0 < δ β < utuk setiap β. Diketahui fugsi desitas terpotogya adalah: f y a < Y < b = f(y) Prob a < Y < b Fugsi desitas terpotog tersebut dapat dituliska sebagai berikut: ) f y = 2π e 2 y μ 2 misal: φ y μ = 2π e 2 y μ 2, maka diperoleh: f y = φ y μ.() b 2) Prob a < Y < b = f y dy a = a b 2π e y μ 2 2 dy misal: t = y μ ; y = t + μ dy = dt utuk y = a t = a μ ; y = b t = b μ.

31 9 maka: Prob a < Y < b = = b μ a μ b μ a μ 2π e 2 t 2 dt 2π e 2 t 2 dt b μ = φ(t)dt a μ = Ф b μ Ф a μ.(2) Dari () da (2), maka diperoleh: f y a < Y < b = f(y) Prob a < Y < b = Ф y μ φ b μ Ф a μ Setelah diketahui fugsi desitas peluag terpotog atas bawah, maka selajutya dapat dicari mea da variasi terpotog atas bawah. i. Mea terpotog atas bawahya adalah b E(Y a < Y < b) = y f y a < Y < b dy = a y f(y) Prob(a < Y < b) dy b a

32 20 = b a Ф y y μ φ b μ Ф a μ dy misal: α = a μ b μ da β = z = y μ ; y = μ + z, dy = dz, utuk y = a z = a μ y = b z = b μ = α, = β, maka: E Y a < Y < b = α β (μ + z) φ z Ф β Ф α dz = = Ф β Ф α Ф β Ф α β (μ + z) φ z dz α β β μ φ z dz + z φ z dz α α = Ф β Ф α μ Ф z α α β 2π e 2 z 2 d 2 z2 = Ф β Ф α μ Ф β Ф α 2π e β 2 z 2 α = Ф β Ф α μ Ф β Ф α φ β φ α = μ β (α)

33 2 Jadi, diperoleh E(Y a < Y < b) = μ β (α), dega φ α a μ α =, α =, Ф β Ф α φ β b μ β =, β =, Ф β Ф α φ α = 2π e 2 α 2, φ β = 2π e 2 β 2, β Ф β Ф α = φ z dz. α ii. Variasi terpotog atas bawahya adalah Var Y a < Y < b = E Y 2 a < Y < b E(Y a < Y < b) 2 Karea E(Y 2 a < Y < b) belum diketahui, maka harus dicari terlebih dahulu. b E(Y 2 a < Y < b) = y 2 f y a < Y < b dy = a b y 2 f(y) Prob(a < Y < b) dy a = b a Ф b μ y 2 y μ φ a μ Ф dy misal: α = a μ b μ da β =, z = y μ ; y = μ + z, utuk y = a z = a μ = α y = b z = b μ = β

34 22 maka: E Y 2 a < Y < b = α β (μ + z) 2 φ z Ф β Ф α dz = α β μ 2 + 2μz + 2 z 2 φ z Ф β Ф α dz = Ф β Ф α μ2 φ z dz + 2μ = α β α β zφ z dz + 2 z 2 φ z dz Ф β Ф α μ2 Ф z β α 2μ φ z β α + 2 z 2 α β 2π e 2 z2 α β 2π e Utuk meyelesaika itegral z 2 dz diguaka α u dv = u v v du, dega memisalka: u = z, du = dz, β 2 z 2 dz dv = z 2π e 2 z 2 dz, β β β v = dv = z 2π 2 z 2 dz = z α α α φ z dz = φ β φ α maka: α β z 2 2π e 2 z2 β dz = z z α β = u dv α 2π e 2 z2 dz

35 23 β maka diperoleh: = u v v du α β = β φ β α φ α φ z dz α β = βφ β α φ α + φ z dz = β φ β φ α + Ф β Ф α α E(Y 2 a < Y < b) = Ф β Ф α μ2 Ф β Ф α 2μ φ β φ α 2 β φ β α φ α + 2 Ф β Ф α = μ μ β α 2 (β β α α ) dega α = β = φ α Ф β Ф α φ β Ф β Ф α φ α = 2π e 2 α 2,, α = a μ,, β = b μ, φ β = 2π e 2 β 2, β Ф β Ф α = φ z dz. α Karea ilai E(Y 2 a < Y < b) sudah diketahui, maka dapat dicari variasi terpotogya. Var Y a < Y < b = E Y 2 a < Y < b E(Y a < Y < b) 2 = μ μ β α 2 β β α α μ β (α) 2

36 24 = μ μ β α 2 β β α α μ 2 + 2μ β α 2 β α 2 = 2 2 β β + 2 α α 2 2 β 2 2 α α β = β + β β 2 2 α α α α β = 2 2 β β + β 2 α α α α β = 2 2 β β + β β β β β 2 δ α α β = 2 2 δ β β + β β β 2 δ α α β = α β 2 δ α + δ β β + β β β Jadi, variasiya adalah Var Y a < Y < b = α β 2 δ α + δ β β +β β β, dega δ α = α α α, 0 < δ α < utuk setiap α. δ β = β β β, 0 < δ β < utuk setiap β. Setelah diperoleh karakteristik dari distribusi ormal terpotog atas bawah (mea da variasi terpotog atas bawah), maka dapat dibuat tabel yag mejelaska perbedaa atara distribusi ormal dega distribusi ormal terpotog atas bawah. Perbedaa atara distribusi ormal dega distribusi ormal terpotog atas bawah disajika dalam Tabel 3..

37 25 Tabel 3. Perbedaa Distribusi Normal dega Distribusi Terpotog Atas Bawah Perbedaa Distribusi Distribusi Terpotog Atas Bawah Normal Sumber Populasi Subpopulasi data sampel Batas < Y < a < Y < b variabel depede Y Mea μ μ β (α) Variasi 2 Var Y a < Y < b = α β 2 δ α + δ β β + β β β Dega melihat hasil pada Tabel 3., dapat disimpulka bahwa mea da variasi dari distribusi ormal dega mea da variasi dari distribusi ormal terpotog atas bawah pada umumya berbeda. b. Model Regresi Terpotog Atas Bawah Pada model regresi liear diasumsika bahwa variabel depede Y berdistribusi ormal. Model regresi liearya ditulis sebagai berikut: Y = β 0 + X β + X 2 β X k β k + ε. Apabila percobaa dilakuka sebayak kali, maka persamaaya dapat ditulis: y = β 0 + x i β + x 2i β x ki β k + ε i, i =, 2,,. Betuk matriksya diyataka sebagai berikut: y y 2 y = x x 2 x k x 2 x 22 x k2 x x 2 x k β 0 β β + ε 0 ε ε

38 26 dega kata lai: y i = X i β + ε i, i =, 2,,. dimaa: x i = x i x 2i, maka X i = x i x 2i x i, x i β = β 0 β β, da ε i = ε 0 ε ε. Disii x i, x 2i,, x ki adalah fixed values dari k variabel idepede pada percobaa ke-i, y i adalah variabel depede pada eksperime ke-i. β adalah parameter populasi yag besarya tidak diketahui. Sedagaka ε i disii diasumsika berdistribusi ormal idepede dega mea 0 da variasi 2. ε i da ε j tidak berkolerasi sehigga kovariasiya adalah cov ε i, ε j = 0 utuk semua i j, i =, 2,,. Sehigga didapat: E Y i x i = X i β. Y i x i ~ N X i β, ó 2. Maka mea da variasi terpotog atas bawahya mejadi: E Y i a < Y i < b = μ β α = μ b μ a μ = X i β b X i β a X i β

39 27 Var Y i a < Y i < b = α β 2 δ α + δ β β + β β β = a μ b μ 2 δ a μ + δ b μ b μ b μ + b μ b μ = a X i β b X i β 2 δ a X i β + δ b X i β b X i + b X i β b X i β b X i β adalah: Dari uraia di atas, maka model regresi terpotog atas bawahya Y i = E Y i a < Y i < b + ε i = X i β b X i β dega Y i = Y i a < Y i < b. a X i β + ε i Adaya peguraga suku b X i β a X i β meyebabka model regresi terpotog atas bawahya berbetuk oliear dalam β da X i. ε i mempuyai mea 0 da variasiya: Var ε i = a X i β b X i β

40 28 2 δ a X i β + δ b X i β b X i β b X i β + b X i β b X i β Setelah megetahui betuk model regresi terpotog atas bawahya, maka dapat dibuat tabel perbedaa atara model regresi liear dega model regresi terpotog atas bawah. Perbedaa atara model regresi liear dega model regresi terpotog atas bawah disajika dalam Tabel 3.2. Tabel 3.2 Perbedaa Model Regresi Liear dega Model Regresi Terpotog Atas Bawah Perbedaa Regresi Liear Regresi Terpotog Atas Bawah Batas < Y i < a < Y i < b variabel depede Y Betuk Liear Noliear persamaa Y i = X i β + ε i Y regresi i = X i β b X i β a X i β +ε i Mea E Y i x i = X i β E y i a < Y i < b = X i β b X i β a X i β Variasi Var Y i = 2 Var y i a < Y i < b = a X i β b X i β 2 δ a X i β + δ b X i β b X i β b X i β + b X i β b X i β

41 29 Karea model regresi terpotog atas bawah oliear, maka pegestimasia parameterya megguaka metode kemugkia maksimum atau Maksimum Likelihood Estimatio (MLE). B. Estimasi Parameter Megguaka Metode Kemugkia Maksimum Metode kemugkia maksimum adalah suatu metode estimasi parameter yag memaksimumka Fugsi Likelihood. Sebelumya telah didapat fugsi desitas peluag terpotog atas pada iali b, da terpotog bawah pada ilai a, dega variabel acak Y. Apabila variabel acak Y meggati sampel acak y, y 2,, y, da meggati µ dega X i β diperoleh fugsi desitas peluag terpotog sebagai berikut: f y i a < Y i < b = Ф b X i β φ y i X i β Ф a X i β maka didapat fugsi Likelihood: L = = = f y i a < Y i < b Ф b X i β φ y i X i 2π e Ф b X i β β Ф a X i β 2 y i X i β 2 Ф a X i β

42 30 Sehigga fugsi Loglikelihood yag diperoleh: l L = 2 l 2π + 2 l 2 2 y i X i β 2 l Ф b X i β Ф a X i β = 2 l 2π l 2 + y i X i β l Ф b X i β Ф a X i β misal: γ = β da θ =.(3) maka: l L = 2 l 2π l θ 2 + θy i x i γ l Ф θb x i γ Ф θa x i γ Nilai θ da γ aka diestimasi megguaka MLE: l L θ, γ G = θ γ = 0 Derivatif pertama dari l L atau l L θ = θ 2 θ 2 l L θ l 2π l θ 2 + θy i x i γ 2 2 l Ф θb x i γ Ф θa x i γ, diperoleh sebagai berikut: +

43 3 = 2 = = = = θ 2 2θ + 2y i θy i x i γ + 2 aφ θa x i γ Ф θb x i γ Ф θa x i γ 2 bφ θb x i γ Ф θb x i γ Ф θa x i γ θ y i θy i x i γ bφ θb x i γ aφ θa x i γ Ф θb x i γ Ф θa x i γ θ y i θy i x φ β i i γ b Ф β i Ф α + a φ α i i Ф β i Ф α i θ y i θy i x i γ b β i + a α i θ y iz i b β i + a α i dega: α i = β i = z i = θy i x i γ φ α i Ф β i Ф α i, α i = θa x i γ φ β i Ф β i Ф α i, β i = θb x i γ Sedagka utuk l L γ l L γ diperoleh sebagai berikut: = γ 2 γ 2 l 2π l θ 2 + θy i x i γ 2 2 l Ф θb x i γ Ф θa x i γ +

44 32 = 2 2x i θy i x i γ 2x i φ θb x i γ Ф θb x i γ Ф θa x i γ + 2x i φ θa x i γ Ф θb x i γ Ф θa x i γ = x i θy i x i γ + x i φ θb x i γ x i φ θa x i γ Ф θb x i γ Ф θa x i γ = x i z i + x i β i α i Sehigga gradiet derivatif pertamaya: l L θ, γ G = θ γ = θ y iz i b β i + a α i x i z i + x i β i α i Nilai G = 0 tidak dapat memberika peyelesaia,karea setelah loglikelihood dituruka, turuaya masih megadug parameter lai yag tidak diketahui ilaiya. Maka aka diguaka metode Newto Raphso. Pada metode ii dibutuhka juga derivatif kedua. Utuk mempermudah peurua, maka terlebih dahulu kita cari: Ф α i θ φ α i θ = θ Ф θa x i γ = a φ θa x i γ = a φ α i = θ φ θa x i γ = θ = 2π e 2 θa x i γ 2 2π a θa x i γ e 2 θa x i γ 2

45 33 = a θa x i γ 2π e 2 θa x i γ 2 = a θa x i γ φ θa x i γ α i θ = a α i φ α i = φ α i θ Ф β i Ф α i Ф α i γ φ α i γ = Ф β i Ф α i a α i φ α i φ α i b φ β i a φ α i Ф β i Ф α i 2 = a α i φ α i Ф β i Ф α i φ α i b φ β i a φ α i Ф β i Ф α i 2 = a α i α i α i b β ą a α i = γ Ф θa x i γ = x i φ θa x i γ = x i φ α i = γ φ θa x i γ = γ 2π e = 2π = x i θa x i γ 2 θa x i γ 2 x i θa x i γ e 2 θa x i γ 2 2π e = x i θa x i γ φ θa x i γ = x i α i φ α i 2 θa x i γ 2 α i γ = γ φ α i Ф β i Ф α i = Ф β i Ф α i x i α i φ α i φ α i x i φ β i + x i φ α i Ф β i Ф α i 2 = x i α i φ α i Ф β i Ф α + φ α i x i φ β i x i φ α i i Ф β i Ф α 2 i = x i α i α i + α i x i β i x i α i

46 34 maka derivatif kedua dari l L atau 2 l L θ θ 2 l L θ θ = θ = θ θ y iz i b β i + a α i θ y i θy i x i γ b β i + a α i adalah sebagai berikut: = θ 2 y iy i b b β i β i β i b β i a α i + a a α i α i α i b β i a α i = θ 2 y i 2 + b 2 β i β i + b β i b β i a α i a 2 α i α i a α i b β i a α i = θ 2 y i 2 + b 2 β i β i + b 2 2 β i a b α i β i a 2 α i α i a b α i β i + a 2 2 α i = θ 2 y i 2 + b 2 β i β i + b 2 2 β i 2a b α i β i a 2 α i α i + a 2 2 α i = ξ i Derivatif kedua dari l L atau 2 l L adalah sebagai berikut: θ γ 2 l L θ γ = γ θ y iz i b β i + a α i

47 35 = γ θ y i θy i x i γ b β i + a α i = x i y i b x i β i β i + β i x i β i x i α i + a x i α i α i + α i x i β i x i α i = x i y i b x i β i β i b x i 2 β i + b x i α i β i = ξ 2 i + a x i α i α i + a x i α i β i a x i 2 α i Derivatif kedua dari l L atau 2 l L γ θ 2 l L γ θ = θ = θ = θ x i z i + x i β i x i α i x i θy i x i γ + x i β i x i α i adalah sebagai berikut: x i y i + x i b β i β i β i b β i a α i = θ = θ x i a α i α i α i b β i a α i x i y i bx i β i β i b x i 2 β i + a x i α i β i + ax i α i α i + b x i α i β i ax i 2 α i x i y i bx i β i β i b x i 2 β i + ax i α i α i ax i 2 α i + a + b x i α i β i = ξ 2 i

48 36 Sedagka utuk 2 l L diperoleh hasil sebagai berikut: γ γ 2 l L γ γ = γ x iz i + x i β i x i α i = γ x i θy i x i γ + x i β i x i α i = x i x i + x i x i β i β i + β i x i β i x i α i x i x i α i α i + α i x i β i x i α i = x i x i + i x i β i β i + x i x i 2 β i x i x i α i β i = ξ 22 i x i x i α i α i x i x i α i β i + x i x i 2 α i diperoleh matriks Hessia: l L θ, γ H = θ θ, γ γ = ξ i ξ 2 i ξ 2 i ξ 22 i Dega demikia estimasi parameter dega megguaka batua Metode Newto Raphso mejadi: θ m+ θm m+ = γ γ m Hm G m Setelah pegestimasia θ, γ, maka berdasarka persamaa (3) estimasi β, dapat dilakuka dega γ = θ β da θ = θ. Utuk perhituga β i dilakuka dega megguaka software eviews 5, dimaa

49 37 estimasi parameter yag diperoleh megguaka batua metode iterasi umerik Newto Raphso. Setelah diperoleh estimasi parameter β,, maka model regresi terpotog atas bawah dapat dibetuk. Namu sebelumya dilakuka pegujia terhadap koefisie-koefisie yag diperoleh, utuk megetahui apakah koefisie-koefisie tersebut sigifika atau tidak sigifika utuk dimasukka kedalam persamaa regresi. Pegujiaya dilakuka dega megguaka software eviews 5. Utuk medapatka estimasi parameter β, dapat dilakuka dega beberapa metode, seperti LSE (Leas Square Error), Metode Mome, da laiya. Tetapi karea betuk persamaa regresi oliear meyebabka estimasi parameterya tidak diperoleh, hal tersebut karea turua pertama yag disamadegaka ol tidak memberika solusi. Jika estimasi parameterya tidak diperoleh, maka uji koefisie tidak dapat dilakuka. Dalam sekripsi ii, peulis megguaka metode MLE (Maksimum Likelihood Estimatio) yag memiliki sifat lebih umum sebagai acua utuk meetuka distribusi dari estimasi parameter, sehigga uji koefosie regresi dapat dilakuka. Pada regresi liier pegujia terhadap H 0 : β i = β i megguaka statistik: β i β i S β i ~ t p, dega = bayak data, da p = bayak parameter dalam model regresi termasuk kostata.

50 38 Pada regresi terpotog atas bawah, pegujia terhadap H 0 : β i = β i megguaka statistik: E β i β i ~N 0,, β l f y i a<y i <b; β 2 dega y i a < Y i < b = Ф b X i β φ y i X i β Ф a X i β, i =, 2,,. C. Peerapa Model Regresi Terpotog Atas Bawah Utuk lebih memperjelas kajia tetag aalisis regresi terpotog atas bawah, maka aka diberika cotoh peerapa model regresi terpotog atas bawah seperti berikut ii. Cotoh. Sebuah peelitia aka dilakuka utuk megetahui hubuga atara modal usaha, biaya pemasara, dega besar pejuala pertahu pada 30 tempat usaha. Berdasarka UU No.9/995 bahwa defiisi idustri meegah adalah mempuyai ilai pejuala pertahu lebih dari Rp. milyar da ilai pejuala kurag dari Rp.5 milyar ( Oleh karea itu, peelitia ii dibatasi pada ilai pejuala pertahu lebih dari Rp. milyar da kurag dari Rp. 5 milyar. Data berikut diilhami dari jural Kajia Faktor-faktor yag Mempegaruhi Perkembaga Usaha UKM ( yag disajika dalam Tabel 3.3.

51 39 Tabel 3.3 Besar Modal (X ), Biaya Pemasara (X 2 ), da Nilai Pejuala (Y) No. Nilai Pejuala (Y) (ribua) Besar Modal (X ) (ribua) Biaya Pemasara (X 2 ) (ribua) a. Hubuga Atara Besar Modal (X ), Biaya Pemasara (X 2 ), da Nilai Pejuala (Y) Hubuga atara besar modal, biaya pemasara, dega ilai pejuala dapat dimodelka sebagai berikut:

52 40 Model regresi liier: Y i = β 0 + X β + X 2 β 2 + ε Model regresi terpotog atas bawahya adalah Y = β 0 + X β + X 2 β X β + X 2 β X β + X 2 β 2 + ε dega Y = Y < Y < b. Uji Koefisie Secara Parsial utuk Model Regresi Liier Harus dilakuka pegujia terhadap koefisie koefisieya utuk megetahui apakah koefisie koefisie regresi tersebut sigifika atau tidak sigifika. Sebelumya aka dilakuka aalisis regresi liier dimaa variabel depedeya diaggap berdistribusi ormal tapa pemotoga. a) Uji ormalitas. Hipotesis H 0 : Data tidak berasal dari populasi berdistribusi ormal. H : Data berasal dari populasi berdistribusi ormal. 2. Taraf sigifikasi: α = 0,05 3. Statistik uji: Uji Kolmogorov-Smirov 4. Kriteria keputusa: Tolak H 0 jika p-value < 0, Hituga dari Lampira 2 (perhituga megguaka SPSS) didapat ilai p-value = 0, Kesimpula: Karea p-value = 0,04 < 0,05, maka H 0 ditolak.

53 4 Jadi, data berasal dari populasi berdistribusi ormal. b) Uji Liier utuk Model Regresi Liier. Hipotesis H 0 : Tidak ada hubuga liier atara besar modal, biaya pemasara, dega ilai pejuala. H : Ada hubuga liier atara besar modal, biaya pemasara, dega ilai pejuala. 2. Taraf sigifikasi: α = 0,05 3. Statistik uji: F = SSR k SSE k+, dega: SSR = Sum of Square Regressio SSE = Sum of Square Error. 4. Kriteria keputusa: Tolak H 0 jika p-value < 0, Hituga dari Lampira 3 (perhituga megguaka SPSS) didapat ilai p-value = 0, Kesimpula: Karea p-value = 0,000 < 0,05, maka H 0 ditolak. Jadi, ada hubuga liier atara besar modal, biaya pemasara, dega ilai pejuala. Selajutya aka diuji koefisie utuk regresi liier dega model regresi sebagai berikut: Y = β 0 + X β + X 2 β 2

54 42 c) Uji Koefisie Secara Parsial utuk Model Regresi Liier Harus dilakuka pegujia terhadap koefisie-koefisieya utuk megetahui apakah koefisie-koefisie regresi tersebut sigifika atau tidak sigifika,. Hipotesis: H 0 : β i = 0; i = 0,, da 2. H : β i 0; i = 0,, da Taraf sigifikasi: α = 0,05 3. Statistik uji: t = β i S β i ~t p, dega S β i adalah stadar error β i. 4. Kriteria keputusa: Tolak H 0 jika p-value < 0, Perhituga: Perhituga ilai koefisie, satistik uji, da p-value berdasarka data sampel dikerjaka megguaka program SPSS. Nilai-ilai koefisie, satistik uji, da p-value diambil dari Lampira 3, da disajika dalam Tabel 3.4. Tabel 3.4 Nilai koefisie, t hitug, da p-value Persamaa Regresi Liier. Variabel Koefisie t hitug p-value C ,657 2,43 0,023 X 0,793 2,695 0,02 X2 7,228 2,479 0,020

55 43 6. Kesimpula: Dari Tabel 3.4, dapat disimpulka bahwa ilai koefisie X, X 2, da kostata sigifika pada taraf 5%. Hal tersebut ditujukka dega melihat ilai p-value dari X, X 2, da kostata yag kurag dari 2,5%. Berarti besar modal (X ), biaya pemasara (X 2 ), da kostata berpegaruh secara sigifika terhadap variabel depede Y (ilai pejuala). c. Uji Koefisie Secara Parsial utuk Model Regresi Terpotog Atas Bawah Harus dilakuka pegujia terhadap koefisie-koefisie utuk megetahui apakah koefisie-koefisie regresi tersebut sigifika atau tidak sigifika.. Hipotesis: H 0 : β i = 0; i = 0,, da 2. H : β i 0; i = 0,, da Taraf sigifikasi: α = 0,05 3. Statistik uji: Z = β i var β i ~N 0,, dega var β i = E l f y a < Y β i < b; β 2 4. Kriteria keputusa: Tolak H 0 jika p-value < 0,025.

56 44 5. Perhituga: Perhituga ilai koefisie, satistik uji, da p-value berdasarka data sampel dikerjaka megguaka program eviews5. Perhituga ilai koefisie atau perameter dugaa ˆ dega i metode Newto Raphso koverge pada iterasi ke-4. Nilai-ilai koefisie, statistik uji, da p-value diambil dari Lampira da disajika dalam Tabel 3.5. Tabel 3.5 Nilai Koefisie Regresi Terpotog atas Bawah, Nilai z hitug, da p-value. Variabel Koefisie Z hitug p-value C ,, ,069 X 0, , ,0076 X 2 87,8095 2, , Kesimpula: Dari Tabel 3.5, dapat disimpulka bahwa ilai koefisie X, X 2, da kostata sigifika pada taraf 5%. Hal tersebut ditujukka dega melihat ilai p-value dari X, X 2, da kostata yag kurag dari 2,5%. Berarti besar modal (X ), biaya pemasara (X 2 ), da kostata berpegaruh secara sigifika terhadap variabel depede Y (ilai pejuala). Jadi, hubuga atara variabel depede dega variabel idepedeya dapat digambarka dalam betuk model regresi terpotog atas bawah dega koefisie yag sigifika sebagai berikut:

57 45 Y = , + 0,946264X + 87,8095X ,946264X + 87,8095X ,946264X + 87,8095X 2 dega Y = Y < Y < Model regresi terpotog dugaa diatas dapat diguaka utuk memprediksi ilai pejuala. Misalka sebuah usaha kecil meegah igi megetahui besar pejuala pertahu, dega modal (X ) yag dimiliki Rp (ribua) da biaya pemasaraya (X 2 ) Rp (ribua), maka prediksi ilai pejuala pertahuya: Y = , + 0,946264X + 87,8095X ,946264X + 87,8095X ,946264X + 87,8095X 2 dega Y = Y < Y < Masukka ilai-ilai X da X 2 pada model regresi diatas da ilai dugaa = ,2 (yag diperoleh dega melihat Lampira ), maka diperoleh: Y = , + 0, , , , , ,

58 46 = , , , , ,525 = , ,2 φ 3, Φ 3, Φ 0, φ 0, Φ 3, Φ 0, = 3427,35 Jadi, utuk modal (X ) yag dimiliki Rp (ribua) da biaya pemasaraya (X 2 ) Rp (ribua) diperoleh dugaa ilai pejuala sebesar Rp. 3427,35 (ribua) Selajutya aka ditujukka bahwa model regresi terpotog atas bawah lebih tepat diguaka utuk kasus data terpotog dibadigka model regresi liier. d. Membadigka Regresi Terpotog Atas Bawah dega Regresi Liier Utuk megetahui model regresi yag terbaik atara model regresi terpotog atas bawah dega regresi liier, dapat dilakuka dega membadigka ilai ukura statistik R 2 da Adjusted R 2 ya. Perbadiga ilai ukura statistik R 2 da Adjusted R 2 diambil dari Lampira da Lampira 3, da disajika dalam Tabel 3.6.

59 47 Tabel 3.6 Nilai Ukura Statistik R 2 da Adjusted R 2 pada Model Regresi Terpotog Atas Bawah da Regresi Liier. R 2 Adjusted R 2 terpotog Tidak terpotog terpotog Tidak terpotog 0, ,638 0, ,60 Dari Tabel 3.6, dapat disimpulka bahwa model regresi terpotog atas bawah lebih tepat diguaka dalam kasus data terpotog dibadigka dega aalisis regresi liier. Hal tersebut karea ilai R 2 da Adjusted R 2 pada regresi terpotog lebih besar dibadigka dega ilai R 2 da Adjusted R 2 pada regresi liier. Cotoh 2. Sebuah peelitia aka dilakuka utuk megetahui hubuga atara persetase persalia bayi ditolog bida atau dokter, persetase balita berstatus gizi baik, dega agka kematia bayi per 000 kelahira pada 26 daerah. Berdasarka stadar yag ditetapka oleh BPS (Bada Pusat Statistik), agka kematia bayi per 000 kelahira tergolog sedag apabila kematia bayi diatara 40 sampai 70 agka kematia ( Oleh karea itu, peelitia ii dibatasi pada agka kematia bayi per 000 kelahira yag lebih dari 40 tetapi kurag dari 70 agka kematia bayi. Data berikut diilhami dari data dalam buku Ekoometrika Teori da Aplikasi utuk ekoomi da bisis Edisi Kedua karaga Widarjoo (2007 : 20) yag meujukka hubuga atara Persetase persalia bayi ditolog bida atau dokter, persetase balita

60 48 Berstatus gizi baik, dega agka kematia bayi per 000 kelahira, amu sudah dimodifikasi agar mejadi sebuah data yag terpotog atas bawah, sesuai tujua peelitia. Tabel 3.7 Data Persetase Persalia Bayi Ditolog Bida atau Dokter (X ), Persetase Balita Berstatus Gizi Baik (X 2 ), dega Agka Kematia Bayi per 000 Kelahira (Y) Daerah Persetase Persalia Bayi Ditolog Bida atau Dokter (X ) Persetase Balita Berstatus Gizi Baik (X 2 ) Agka Kematia Bayi per 000 Kelahira (Y) 67,0 64,4 43,0 2 79,0 64,7 42,0 3 59,0 56,0 50,0 4 66,0 82,7 4,0 5 56,0 67, 45,0 6 6,0 63,8 48,0 7 50,0 63,0 53,0 8 57,0 60,9 46,0 9 94,0 77,4 4,0 0 49,0 62,8 57,0 57,0 69,5 42,0 2 78,0 7,6 43,0 3 57,0 69,3 53,0 4 79,0 74,0 45,0 5 35,0 50,3 69,0 6 29,0 6,3 60,0 7 45,0 58,0 54,0 8 56,0 7,5 42,0 9 54,0 63,0 69, ,0 73,9 4,0 2 68,0 64,2 46, ,0 65, 65, ,0 66, 45, ,0 70,5 52,0 25 4,0 72,9 42, ,0 70,7 54,0

61 49 a. Hubuga Atara Persetase Persalia Bayi Ditolog Bida atau Dokter (X ), Persetase Balita Berstatus Gizi Baik (X 2 ), dega Agka Kematia Bayi per 000 Kelahira (Y) Hubuga atara persetase persalia bayi ditolog bida atau dokter, persetase balita berstatus gizi baik, dega agka kematia bayi per 000 kelahira dapat dimodelka sebagai berikut: Model regresi liier: Y i = β 0 + X β + X 2 β 2 + ε Model regresi terpotog atas bawahya adalah Y = β 0 + X β + X 2 β 2 70 X β + X 2 β 2 dega Y = Y 40 < Y < X β + X 2 β 2 + ε b. Uji Koefisie Secara Parsial utuk Model Regresi Liier Harus dilakuka pegujia terhadap koefisie-koefisieya utuk megetahui apakah koefisie-koefisie regresi tersebut sigifika atau tidak sigifika. Sebelumya aka dilakuka aalisis regresi liier dimaa variabel depedeya diaggap berdistribusi ormal tapa pemotoga. a) Uji ormalitas. Hipotesis H 0 : Data tidak berasal dari populasi berdistribusi ormal. H : Data berasal dari populasi berdistribusi ormal. 2. Taraf sigifikasi: α = 0,05 3. Statistik uji: Uji Kolmogorov-Smirov 4. Kriteria keputusa: Tolak H 0 jika p-value < 0,05.

62 50 5. Hituga dari Lampira 5 (perhituga megguaka SPSS) didapat ilai p-value = 0, Kesimpula: Karea p-value = 0,00 < 0,05, maka H 0 ditolak. Jadi, data berasal dari populasi berdistribusi ormal. b) Uji Liier utuk Model Regresi Liier. Hipotesis H 0 : Tidak ada hubuga liier atara Persetase persalia bayi ditolog bida atau dokter, persetase balita Berstatus gizi baik, dega agka kematia bayi per 000 kelahira. H : Ada hubuga liier atara Persetase persalia bayi ditolog bida atau dokter, persetase balita Berstatus gizi baik, dega agka kematia bayi per 000 kelahira. 2. Taraf sigifikasi: α = 0,05 3. Statistik uji: F = SSR k SSE k+, dega: SSR = Sum of Square Regressio SSE = Sum of Square Error. 4. Kriteria keputusa: Tolak H 0 jika p-value < 0, Hituga dari Lampira 6 (perhituga megguaka SPSS) didapat ilai p-value = 0, Kesimpula: Karea p-value = 0,000 < 0,05, maka H 0 ditolak.

63 5 Jadi, ada hubuga liier atara Persetase persalia bayi ditolog bida atau dokter, persetase balita Berstatus gizi baik, dega agka kematia bayi per 000 kelahira. Selajutya aka diuji koefisie utuk regresi liier dega model regresi sebagai berikut: Y = β 0 + X β + X 2 β 2 c) Uji Koefisie Secara Parsial utuk Model Regresi Liier Harus dilakuka pegujia terhadap koefisie-koefisieya utuk megetahui apakah koefisie-koefisie regresi tersebut sigifika atau tidak sigifika,. Hipotesis: H 0 : β i = 0; i = 0,, da 2. H : β i 0; i = 0,, da Taraf sigifikasi: α = 0,05 3. Statistik uji: t = β i S β i ~t p, dega S β i adalah stadar error β i. 4. Kriteria keputusa: Tolak H 0 jika p-value < 0, Perhituga: Perhituga ilai koefisie, satistik uji, da p-value berdasarka data sampel dikerjaka megguaka program SPSS. Nilai-ilai koefisie, satistik uji, da p-value diambil dari Lampira 6, da disajika dalam Tabel 3.8.