Turunan Fungsi dan Aplikasinya

Bab 8 Sumber: www.duniacyber.com Turunan Fungsi dan Aplikasinya Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakan konsep, siat, dan aturan dalam perhitungan turunan ungsi; menggunakan turunan untuk menentukan karakteristik suatu ungsi dan memecahkan masalah; merancang model matematika yang berkaitan dengan ekstrim ungsi, menyelesaikan modelnya, dan menasirkan hasil yang diperoleh. Pembahasan limit ungsi yang telah Anda pelajari di Bab 7 dapat dikembangkan pada pembahasan turunan ungsi karena dengan mengetahui turunan ungsi, Anda dapat mempelajari siat-siat ungsi. Siat-siat ungsi tersebut misalnya, kemonotonan ungsi, ekstrim ungsi, kecukupan ungsi, dan titik balik ungsi. Di samping itu, Anda juga dapat mengaitkan turunan ungsi dengan kecepatan sesaat serta dapat menggunakan turunan ungsi untuk mempelajari aplikasi permasalahan sederhana, seperti permasalahan berikut. Banyak minyak pelumas (selama satu tahun) yang digunakan oleh suatu kendaraan yang bergerak dengan kecepatan v km/jam memenuhi persamaan Q v 0 liter. Dengan 45 memahami konsep turunan, Anda dapat menentukan jumlah maksimum minyak pelumas yang digunakan dalam 4 tahun. A. Konsep Turunan B. Menentukan Turunan Fungsi C. Persamaan Garis Singgung pada Kurva D. Fungsi Naik dan Fungsi Turun E. Maksimum dan Minimum Fungsi F. Turunan Kedua G. Nilai Stasioner H. Menggambar Graik Fungsi Aljabar 9

Diagram Alur Untuk mempermudah Anda dalam mempelajari bab ini, pelajarilah diagram alur yang disajikan sebagai berikut. Limit menghasilkan teori Turunan menyelesaikan masalah ( ) lim 0 a g ( ) 0 menentukan Aplikasi menentukan menentukan menentukan rumus ' lim lim a g a g' ' ' '' lim lim a g' ' a g'' Laju Perubahan Fungsi Gradien Interval Fungsi Naik/ Turun Titik Balik Maks./Min. dan Titik Belok Tes Kompetensi Awal Sebelum mempelajari bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut.. Sebuah garis melalui titik (, 5) dan (7, ). Tentukan gradien garis tersebut. Jelaskan pula cara mencarinya.. sin (α ± β) =.... cos (α + β) =... 4. tan (α + β) =... 5. cos α =... 6. () = +, tentukan ( + ) dan (a + b). 7. =... 8. Tentukan gradien garis singgung kurva di titik 94 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

A. Konsep Turunan Untuk memahami konsep dasar turunan, tinjaulah dua masalah yang kelihatannya berbeda. Masalah pertama adalah masalah garis singgung, sedangkan masalah kedua adalah masalah kecepatan sesaat. Satu dari kedua masalah itu menyangkut geometri dan lainnya yang menyangkut mekanika terlihat seperti tidak ada hubungan. Sebenarnya, kedua masalah itu merupakan kembaran yang identik. Agar lebih jelasnya, pelajari uraian berikut.. Garis Singgung Amati Gambar 8.. Misalkan A adalah suatu titik tetap pada graik y = (( ) dan B adalah sebuah titik berdekatan yang dapat dipindah-pindahkan sepanjang graik y = (( ). Misalkan, titik A berkoordinat (a, (a)) maka titik B berkoordinat (a + Δ, (a + Δ)). Garis yang melalui A dan B mempunyai gradien (kemiringan) a a. Garis ini memotong graik di dua titik A dan B yang berbeda. Jika titik B bergerak sepanjang kurva y = () mendekati titik A maka nilai Δ semakin kecil. Jika nilai Δ mendekati nol maka titik B akan berimpit dengan titik A. Akibatnya, garis singgung (jika tidak tegak lurus pada sumbu-) adalah garis yang melalui A(a, (a)) dengan gradien y (a) O Gambar 8. y (a + ) y = () B(a +, (a + )) A(a, (a)) a a + m AB lim 0 a a...() Pertanyaan: Mengapa persamaan garis singgung tidak boleh tegak lurus sumbu-? Contoh 8. Tentukan gradien garis singgung pada kurva a. () = di titik dengan absis b. () = di titik dengan absis a. m lim l im 0 0 4 lim lim 4 4 0 0 Jadi, gradien garis singgung kurva () = di titik dengan absis = adalah m = 4. (a + ) (a) A(a, (a)) O a a + Gambar 8. y = () B(a +, (a + )) Turunan Fungsi dan Aplikasinya 95

b. m lim lim 0 0 lim 0 7 9 lim 0 lim 0 lim 7 7 0 Jadi, gradien garis singgung kurva () = di titik dengan absis = adalah m = 7. Tabel 8. Selang Waktu 0 0,8 0,9 0,99 0,999 0,9999,000,00,0,5 5,0000 47,0000 48,5000 49,8500 49,9850 49,9985 50,005 50,050 50,500 57,5000 65,0000. Kecepatan Sesaat Misalkan, ungsi () = 5 + 0 menyatakan jarak (dalam km) yang ditempuh sebuah mobil setelah jam perjalanan selama selang waktu 0. Kecepatan rata- rata mobil itu selama perjalanannya adalah 5 0 5 0 0 0 50 km/jam Sekarang, coba amati kecepatan rata-rata mobil dalam selang c d. Untuk keperluan ini, buatlah Tabel 8.. Amati tabel tersebut. Nilai mendekat ke bilangan 50 jika lebar selang waktunya dibuat semakin mengecil (Δ mendekati nol). Nilai 50 tersebut disebut kecepatan (sesaat) pada =. Sekarang, dapat dipahami bahwa kecepatan sesaat diperoleh melalui proses limit terhadap kecepatan rata-rata dengan cara membuat nilai-nilai mendekat ke- atau Δ dekat ke nol. Dalam lambang matematika kecepatan sesaat pada = ditulis lim lim 0 0 5 0 50 lim 50 0 Jadi, kecepatan mobil pada saat = adalah 50 km/jam. 96 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menyatakan kecepatan sesaat v di = a? Cobalah nyatakan dengan katakata Anda sendiri. Uraian tersebut menggambarkan deinisi kecepatan sesaat v di = a, yaitu v a a lim v lim 0 rata-rata 0...() Sekarang, tentunya Anda dapat melihat mengapa Anda menyebut kemiringan dari garis singgung dan kecepatan sesaat adalah kembaran identik. Amatilah kedua rumus tersebut, yaitu rumus () dan (). Kedua rumus tersebut menggunakan nama berlainan untuk konsep yang sama, tetapi dalam situasi yang berlainan. Sumber: Dokumentasi Penerbit Gambar 8. Jarak yang ditempuh mobil ini mengikuti ungsi () = 5 + 0. Berapakah kecepatan rata-ratanya? Contoh 8. Sebuah benda bergerak sepanjang garis lurus sehingga kedudukannya setelah detik memenuhi persamaan () = 6 +, dengan () dinyatakan dalam meter. a. Tentukan kecepatan rata-rata benda dalam selang waktu. b. Berapa kecepatan sesaat benda pada = detik? a. 6 6 9 Jadi, kecepatan rata-ratanya adalah 9 m/s. b. lim 0 6 6 lim 0 68 6 44 5 lim 0 lim 6 776 76 0 Jadi, kecepatan pada saat = atau pada detik kedua adalah 76 meter/detik. Turunan Fungsi dan Aplikasinya 97

. Turunan Fungsi di = a Jika ungsi y = () terdeinisi di sekitar = a maka y lim lim. 0 0 y Jika lim ada maka nilainya disebut turunan ungsi (( ) 0 di = a. Turunan ungsi ialah suatu ungsi juga, yaitu ungsi turunan yang dilambangkan dengan ( ). Untuk menyatakan turunan di = a dinyatakan dengan (a). Jadi, a a lim 0 a atau a lim 0 a a Contoh 8. Tantangan untuk Anda Coba Anda tunjukkan lim cos 0. 0 Gunakan konsep limit untuk menyelesaikan soal berikut ini. Jika () =, tentukan '(5). a a ' a lim 0 5 ' lim 0 lim 0 0 lim li 0 9 0 0 Contoh 8.4 Tentukanlah () ungsi-ungsi berikut ini. a. () = + b. () = cos a. ' lim 0 lim 0 li 0 98 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

b. cos ' lim cos c os 0 cos lim 0 lim cos cos lim sin sin 0 0 cos cos lim sin lim sin 0 0 cos 0sin sin Tokoh Matematika Contoh 8.5 Panjang sebuah persegipanjang sama dengan tiga kali lebarnya. Tentukan laju perubahan luas terhadap lebar untuk lebar = 5 cm. Misalkan, lebar = l cm maka panjang = p = l = l dan luas = L = p l = l.l = l. Jadi, L = (l) = l. Laju perubahan luas terhadap lebar l untuk l = 5 adalah L (5). L5 h L5 5 h, 5 L ' 5 lim lim 0 h 0 h 5 0hhh 75 0h h lim lim 0 h 0 h li h 0 0 4. Mengenal Notasi Leibnitz Anda telah mempelajari bahwa turunan ungsi () dinotasikan dengan '(). Nilai Δ menyatakan perubahan nilai, yaitu Δ =. Adapun perubahan ( + Δ) () menyatakan perubahan nilai ungsi () dinotasikan dengan Δ. Selanjutnya, bentuk limit tersebut dapat dituliskan menjadi lim. 0 Selain itu, terdapat notasi lain untuk menyatakan turunan ungsi, yaitu d. Diketahui ungsi d y = ()...() Gottried Wilhelm Leibnitz (646 76) Gottried Wilhelm Leibnitz adalah orang jenius. Ia ahli dalam bidang hukum, agama, politik, sejarah, ilsaat, dan matematika. Bersama Newton merumuskan pengertian dasar tentang kalkulus dierensial. Leibnitz pun dikenal karena menemukan suatu jenis mesin hitung. Sumber: Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid, 990 Turunan Fungsi dan Aplikasinya 99

sehingga turunan ungsi () dapat dituliskan menjadi dy d = y ' = '() Notasi tersebut diperkenalkan oleh seorang ahli matematika Jerman, yaitu Gottried Wilhelm Leibnitz (646 76) sehingga dinamakan notasi Leibnitz, tepatnya notasi Double d Leibnitz. Misalkan () =, tentukanlah d a. d b. nilai sehingga a. b. d d Contoh 8.6 d d = lim lim 0 0 lim li 00 0 d d = maka = = ±. Jadi, nilai yang memenuhi d d = adalah = ±. Contoh 8.7 Sebuah benda bergerak sehingga jarak yang ditempuh memenuhi persamaan s = (t) = t t. Tentukanlah laju perubahan sesaat jarak terhadap waktu t. Tentukanlah nilai t sedemikian sehingga laju perubahan jarak terhadap waktu adalah 5. Laju perubahan sesaat jarak terhadap waktu adalah ds d t tt lim dt dt t 0 tt ttt lim t 0 t t lim t t t t t t t 0 t tt tt t tt lim lim t 0 t t t t t 0 00 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

Apabila laju perubahan jarak terhadap waktu sama dengan 6, diperoleh d d = t t 5 = t t t t = 8 t = 9 Jadi, laju perubahan sama dengan 5 terjadi pada saat t = 9 sekon. Tes Kompetensi Subbab A Kerjakanlah pada buku latihan Anda.. Gunakan konsep limit untuk menyelesaikan soal-soal berikut. a. Jika (( ) = +, tentukan '( ). b. Jika (( ) = + 6, tentukan '( ). c. Jika (( ) =, tentukan '( ). d. Jika (( ) =, tentukan '( ).. Gunakan konsep limit untuk menyelesaikan soal-soal berikut. a. Jika ( ) = 4, tentukan '( ). b. Jika (( ) = 6, tentukan '(). c. Jika (( ) =, tentukan '(5). d. Jika (( ) =, tentukan '().. Dengan menggunakan konsep limit, tentukan gradien garis singgung pada kurva berikut ini. a. (( ) = 5 di titik dengan absis = b. () = + 5 di titik dengan absis = c. (( ) = di titik dengan absis = d. di titik dengan absis = 4 4. Dengan menggunakan konsep limit, hitung nilai d dari ungsi berikut untuk yang d diberikan. a. () = di = b. () = 5 di = 4 c. () = + di d. () = cos di = Gunakan konsep limit untuk soal-soal berikut. 5. Sebuah benda bergerak, kedudukannya setelah t sekon memenuhi persamaan S (t) = t +4t. a. Berapa kecepatan rata-rata pada selang waktu t = sekon dan t = 5 sekon? b. Berapa kecepatan sesaat pada waktu t = sekon? 6. Sebuah perusahaan mendapatkan keuntungan setelah t tahun sebesar.500.000t 5.000t. a. Berapa besar keuntungan antara t = tahun dan t = 4 tahun? b. Berapa laju keuntungan sesaat pada t = tahun? 7. Gunakan rumus turunan untuk mencari turunan ungsi-ungsi berikut. a. () = 6 +4 d. () = sin b. () = a + b e. () = cos c. () = +. () = tan Turunan Fungsi dan Aplikasinya 0

B. Menentukan Turunan Fungsi Proses mendapatkan turunan suatu ungsi secara langsung yang menggunakan deinisi turunan, yaitu dengan menyusun hasil bagi selisih dan menghitung limitnya, memakan waktu dan membosankan. Tentunya, Anda perlu mengembangkan cara atau proses yang akan memungkinkan Anda untuk memperpendek proses yang berkepanjangan itu. Untuk itu, pelajari uraian berikut ini.. Menentukan Turunan Fungsi (( ) = a n Misalkan, ungsi () = a n dengan n =,, dan. Untuk n =, diperoleh () = a dan turunan ungsi tersebut adalah ' lim 0 a a a a a a lim lim lim 0 0 0 = a...() Untuk n =, diperoleh ( ) = a dan turunan ungsi tersebut adalah ' ( ) = lim 0 a a = lim 0 a a = lim 0 = lim a 0 = a Dengan cara yang sama, coba Anda cari turunan ungsi () = a, () = a 4 dan () = a 5. Anda dapat menurunkan hal seperti ini untuk ungsi-ungsi berikut. (( ) = a 6, ( ) = 6a 5 (( ) = a 5, ( ) = 5a 4 (( ) = a n, ( ) = na n 0 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menduga bentuk umum turunan ungsi? Cobalah nyatakan bentuk tersebut dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep yang telah Anda pelajari tersebut memperjelas kesimpulan berikut. Misalkan, (( ) = a n, dengan n bilangan asli maka '( ) = na n. Untuk n = 0, () = a n menjadi () = a 0 = a. Fungsi () = a dinamakan ungsi konstan sehingga untuk berapa pun nilai, nilai ungsinya tetap, yaitu a. Turunan ungsi konstan adalah lim 0 a a lim lim 0 0 lim 0 0 0 0 sehingga rumus tersebut berlaku untuk n bilangan bulat sebagai berikut. Misalkan, (( ) = a n dengan n bilangan bulat makaa '( ) = an n untuk (( ) = a, '( ) = 0 dengan a sebarang bilangan real. Contoh 8.8 Tentukanlah turunan ungsi-ungsi berikut ini. a. () = 4 b. () = 8 a. () = 4 maka '() = 4 4 =4 b. () = 8 maka ' () = 8() = 4 Tantangan untuk Anda Rumus ini juga berlaku untuk n = a a Tunjukkanlah dengan cara limit. Tentukan d untuk ungsi-ungsi berikut. d a. 4 b. g Contoh 8.9 8 d a. 4 5 d dg b. g maka g ' 8 d 8 9 8 8 Turunan Fungsi dan Aplikasinya 0

. Menentukan Turunan Fungsi (( ) = a n dengan n Bilangan Rasional Misalkan, () =, turunan ungsi () adalah Contoh 8.0 Diketahui tinggi badan seorang anak pada usia tahun sampai tahun adalah tetap, yaitu T(t) = 0 cm. Tentukanlah laju pertumbuhan (laju pertumbuhan sesaat) tinggi badan anak tersebut. Jelaskan. Tinggi badan anak tersebut pada usia tahun sampai tahun tetap. Oleh karena itu, T(t) = 0 adalah ungsi konstan sehingga T (t) = 0. Dengan kata lain, laju pertumbuhan tinggi badan anak tersebut adalah nol atau tinggi badan anak tersebut pada usia tahun sampai tahun tidak mengalami perubahan. lim 0 lim 0 lim lim 0 0 lim 0 Dengan cara yang sama seperti di atas, coba Anda cari turunan ungsi () = / dan () = /5. Dari uraian tersebut dapatkah Anda menduga bentuk umum turunan ungsi () = a n? Cobalah nyatakan bentuk tersebut dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep turunan ungsi () = a n yang telah Anda pelajari tersebut memperjelas kesimpulan berikut. Misalkan, () = a n, dengan n bilangan rasional maka turunannya adalah '() = na n. Contoh 8. Tentukan turunan ungsi-ungsi berikut. a. 4 b. c. 04 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

4 4 a. 4 k ' 4 4 4 4 4 b. maka 5 5 5 5 c. 5 5 k ' 5. Turunan Fungsi Berbentuk y = u ± v Diketahui, ungsi y = (( ) dengan (( ) = u(( ) + v(( ), dalam hal ini u() dan v() ungsi yang dapat diturunkan di = a untuk a bilangan real. Dengan demikian, a a a a lim 0 ua va u v ' a lim a a 0 u u v lim 0 ua lim u 0 lim v v 0 u ' v ' a Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menduga bentuk umum turunan ungsi y = u ± v? Cobalah nyatakan bentuk tersebut dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep turunan ungsi y = u ± v yang telah Anda pelajari tersebut memperjelas kesimpulan berikut. Misalkan, a adalah bilangan real sebarang sehingga berlaku y ' = '(a) = u'(a) + v'(a) ; untuk y = u + v maka y'=u' + v' Dengan cara yang sama, coba Anda tunjukkan bahwa untuk y = u v maka y' = u' v'. Turunan Fungsi dan Aplikasinya 05

Contoh 8. Pe embahasan Soal Diketahui (( ) = 5 + g(( ) = + Jika h(( ) = (( ) g( ) maka h ( ) adalah... h(( )= (( ) g( ) = 5 + ( + ) = + 8 h (( ) = Soal UMPTN 997 Tentukan turunan ungsi berikut. a. () = c. () = sin + cos b. () = + a. () = maka '() = 6 b. () = + = + maka '() = = c. '() = cos sin 4. Turunan Fungsi y = c. u Diketahui, ungsi y = () dengan () = c. u(), dalam hal ini c konstanta dan u() ungsi yang dapat diturunkan di = a untuk a bilangan real sehingga a a ' a lim 0 c ua c u lim 0 c lim u u cu ' 0 Misalkan, a adalah sebarang bilangan real sehingga untuk y = (a) = c. u(a) berlaku '(a) = c. u'(a). Akibatnya, dari y = cu berlaku y' = c. u'. Contoh 8. Tentukan turunan ungsi berikut. a. () = b. () = 8 c. () = cos d. () = 5 a. () = maka '() = 6 b. () = 8 = 8 maka '() = 8 = 8 c. () = cos maka () = sin 06 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

d. () = 5 6 = 5 5 maka ' 6 5 6 = 6 5 5 6 5 6 6 5 5 5. Turunan Fungsi y = uv Diketahui, ungsi y = () dengan () = u() v(), dengan u() dan v() adalah ungsi yang dapat diturunkan di = a, untuk a bilangan real. Oleh karena itu a a ua va ua va ' a lim lim 0 0 ua va lim ua va u v u v a a a a 0 a lim u vaua ua 0 v v u u li ua a a a a lim va 0 0 ua v ' a v a u ' a Oleh karena itu, jika y = () = u() v() dengan a bilangan real sebarang berlaku '(a) = u(a) v'(a) + v(a) u'(a). Untuk y = u v, maka y' = uv'+vu'. Contoh 8.4 Tentukan turunan ungsi berikut. a. () = (5 ) ( ) b. () = cos sin a. () = (5 ) ( ) Misalkan, u = 5 maka u' = 0 dan v = maka v' = sehingga '( ) = u ( ). v' ( ) + v ( ) u' ( ) = (5 ). + ( ). 0 = 0 0 + 5 = 45 0 b. ( ) = sin cos Misalkan, u si n k u ' cos dan v cos k v' sin sehingga '()= u (). v' () + v (). u' () = sin ( sin ) + cos. cos = cos sin = cos ( cos ) = cos = cos Pe embahasan Soal Turunan dari y = ( ) ( + ) adalah... Misalkan, u = ( ) maka u = ( )( ) = ( ). Misalkan, v = ( + ) v = y = uv y = u v + uv = ( )( + ) + ( ) () = ( )[( ) + ( )] = ( )( ) = ( )( )( + ) = ( )( + ). Soal UMPTN 999 Turunan Fungsi dan Aplikasinya 07

6. Turunan Fungsi y = u n Diketahui y = (u) dengan (u) = u n dan u = g(). Jika ungsi u = g() dapat diturunkan di = a, untuk a bilangan real maka g g g'(a) = lim 0 Oleh karena a bilangan real sebarang maka g g u g'() = lim g'() = lim 0 0 Dengan cara yang sama, dapatkah Anda memperoleh y '(u) = lim? u 0 u Untuk Δ mendekati nol maka Δ u mendekati nol sehingga yy u u lim dan g ' lim u 0 u u 0 y lim u 0 u lim g ' u 0 y u lim u 0 u ug ' yy lim ug ' u 0 y' u ' Contoh 8.5 Tentukan turunan ungsi berikut. a. (( ) = ( + ) 9 c. (( ) = b. (( ) = (5 + ) + sin cos. a. (( ) = ( + ) 9 Misalkan, u = + maka u (( ) = 6 sehingga ( ) = u 9 ( ) = 9u 8. u (( ) = 9( + ) 8. 6 = 54 ( + ) 8 b. (( ) = (5 + ) + = ( u) = u n, '(u) = nu n sehingga y'() = nu n u'(). Untuk y = u n maka y' = nu n u'(). 5 '( ) = (5 + ) + = 6(5 + ) + c. sin cos cos 9 sin cos sin cos 08 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

7. Aturan Rantai Perhatikan kembali uraian materi tentang ungsi y = u n. Dari uraian tersebut, diperoleh bahwa untuk y = (u) = u n dengan u = g() maka turunannya y' = nu n u'(). Hasil tersebut menggambarkan aturan rantai. Misalkan, y = (u) dan u = g(). ( o g)() = {g{ ()} = (u) = y Jika ungsi g mempunyai turunan di dan ungsi mempunyai turunan di u, turunan ungsi komposisi y = {g{ ()} = o g() ditentukan sebagai berikut. ( o g)'() = '(g ()). g'() atau dy dy d du du d. Contoh 8.6 Tentukan turunan ungsi y = 6. Misalkan, u = maka y = u 6. du d dy 5 6u du dy dy du d du d 5 6u 5 6 5 8. Turunan Fungsi y = Diketahui, ungsi y = () dengan () = u, dalam hal v ini u() dan v() ungsi yang dapat diturunkan di = a untuk a bilangan real maka u v Turunan Fungsi dan Aplikasinya 09

Situs Matematika Anda dapat mengetahui inormasi lain tentang Fungsi dan Turunannya melalui internet dengan mengunjungi situs berikut. u u v v '(a)= lim lim 0 0 v u u v = lim 0 v v v u v u u u va = lim 0 v v u v = lim = 0 u v a va u vava u u v lim v lim lim u a lim 0 0 0 0 lim v v 0 v = u ' a v a ua v' a u' a v u a a v ' a va va va Oleh karena itu, jika y = ( ( ) = u dengan a sebarang bilangan v real sehingga berlaku '(a) = u ' a v a u a v' a va maka '() = u ' v u v'. v Untuk y = u uv ', berlaku y' = uv' v v. Contoh 8.7 Tentukan turunan ungsi berikut. a. () = cosec b. () = tan a. () = cosec = sin Misalkan u = maka u' = 0 dan v = sin maka v' = cos. ()= u uv ' uv' sehingga '() = v v = 0 i cos cos cot sin sin cosec si n 0 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

sin b. ( ( ) = tan = cos Misalkan u = sin maka u' = cos dan v = cos maka v' = sin. cos cos sin sin cos sin '( ) = cos cos cos = sec. Contoh 8.8 Tentukan turunan ungsi berikut. a. (( ) = b. (( ) = a. Misalkan, u = maka u' = dan v = + maka v' =. (( ) = u v sehingga '( ) = u ' v u v' v = 4 b. (( ) = Misalkan, u = ( ) ( + ) maka u = ( ) ( + ) + ( ) () v = maka v = 44. (( ) = u sehingga '( v ) = u 'v u v v = = 4 6 9 4 4 4 = 4 6 8 4 4 = = Pe embahasan Soal Jika ( ( ) = 4, maka turunan ( ) adalah... ( ( ) = 4 y 4 maka = ( ) = d 4y y 4 4 d 4 Soal UMPTN 997 Turunan Fungsi dan Aplikasinya

Contoh 8.9 Tes Kompetensi Subbab B Sebuah peluru ditembakkan vertikal ke atas dengan kecepatan awal 0 m/detik. Kedudukan peluru setelah t detik memenuhi persamaan h(t) = 0t t 6t² dengan h(t) adalah tinggi peluru yang diukur dalam meter. a. Carilah kecepatan peluru pada saat,5 detik. b. Kapan peluru berhenti? Diketahui: Kecepatan awal peluru = 0 m/detik. Kedudukan peluru padaa t detik = h(t) = 0t t 6t². Ditanyakan: a. Kecepatan peluru pada saat,5 detik. b. Kapan peluru berhenti. Pengerjaan: a. Dalam isika, kecepatan merupakan turunan dari kedudukan terhadap waktu sehingga v(t) = h'(t) = 0 t. Jadi, kecepatan peluru pada saat t =,5 adalah v(,5) = 0 (,5) = m/detik. b. Peluru akan berhenti ketika kecepatannya nol sehingga v(t ) = 0 0 t t = 0 t =,5. Jadi, peluru berhenti pada saat,5 detik. Kerjakanlah pada buku latihan Anda. Tentukan turunan ungsi-ungsi berikut.. (( ) = 4 5 +. (( ) =. (( ) = 9 9 4. (( ) = 8 4 5. (( ) = 4 6. (( ) = 5 7. (( ) = ( )( + ) 8. (( ) = 4 ( 5) 9. (( ) = ( + 5)( ) 0. (( ) = ( )( ). (( ) = 8. (( ) = 8 5. (( ) = sin ( + ) 4. (( ) = 5 sin( ) 5. (( ) = sin 6. (( ) = 4 cos( 6 ) 7. (( ) = tan (5 + ) 8. (( ) = tan ( 5) 9. (( ) = cot(5 ) 0. Luas permukaan kubus berusuk cm ditunjukkan oleh ungsi L(( ) = 6. Tentukan laju perubahan luas (L) terhadap untuk = 7 cm dengan cara menghitung L (7). Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

. Panjang dan lebar sebuah persegipanjang adalah + dan. Carilah laju perubahan luas terhadap untuk lebar 6 cm.. Sebuah perusahaan memproduksi sejumlah barang () dengan biayaa p( ) = + 5. Jika biaya total marginal dideinisikan sebagai dp, tentukan biaya total marginal d untuk memproduksi barang itu. Berapa biaya total untuk memproduksi 0 barang?. Pendapatan koperasi "Maju" dalam tahun, mulai Januari 004 adalah P(( ) = 0, 4 dengan P dalam jutaan rupiah. a. Tentukan laju perubahan sesaat P pada Januari 006. b. Tentukan laju perubahan sesaat P pada Januari 009. 4. a. Misalkan pertumbuhan bakteri pada waktu t memenuhi persamaan N(t) = tt t. Tentukan laju pertumbuhan bakteri tersebut. b. Populasi penduduk pada suatu daerah memenuhi persamaan N = 40.000 Tentukan dn dt. 4 600 t.. t C. Persamaan Garis Singgung pada Kurva Telah Anda ketahui bahwa kemiringan (gradien) garis singgung kurva y = () di titik A(a, (a)) adalah '(a) = lim 0 Persamaan garis lurus yang melalui titik P((, y ) dengan gradien m adalah y y = m( ) Dengan demikian, persamaan garis singgung g di titik A(a, (a)) pada kurva adalah y (a) = '(a) ( a) Tentukan persamaan garis singgung pada kurva berikut. a. () = di titik (, 4) b. y = di titik yang memiliki absis = dan =. Contoh 8.0 a. Persamaan garis singgung pada kurva () = di titik (, 4) adalah y 4= '( ) ( ( )). () = maka '() = sehingga '( ) = ( ) = 4 Jadi, persamaan garis singgung pada kurva () = di titik (, 4) adalah y 4 = 4 ( + ) y = 4 4. Turunan Fungsi dan Aplikasinya

Pe embahasan Soal Kurva y = ( + ) memotong sumbu-y di titik A. Persamaan garis singgung pada kurva tersebut di A adalah... A adalah titik potong kurva y = ( + ) terhadap sumbu-y. absis A = 0 y A = (0 + ) = 4 m = dy d = ()( ( + ) m A = (0)(0 +) = 0 Persamaan garis singgung y y A = m A ( A ) y 4 = 0 y =4 Soal UMPTN 00 b. Untuk absis =. Persamaan garis singgung pada kurva () = adalah y () = '() ( ) () dan '() ditentukan sebagai berikut: () = maka () = =. '() = sehingga '() =. = Jadi, persamaan garis singgung pada kurva () = di titik (, ) adalah y = ( ) y =. Untuk absis =. Persamaan garis singgung pada kurva () = adalah y () = '() ( ) () dan '() ditentukan sebagai berikut: () = maka () = = 8. '() = sehingga '() =. = Jadi, persamaan garis singgung pada kurva () = di titik (,8) adalah y 8 = ( ) y = 6. Menentukan Persamaan Garis Singgung pada Kurva jika Gradien Garis Singgung Diketahui Untuk menentukan persamaan garis singgung pada kurva apabila gradien garis singgung diketahui, pelajari beberapa contoh berikut. Contoh 8. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva berikut. a. y = (( ) di titik (, 4) jika '( ) = + 6 b. y = ( ( ) dengan n ( ) = yang tegak lurus terhadap garis y = 4. a. Persamaan garis singgung pada kurva y = ( ) di titik (, 4), menurut rumus adalah y () = '() ( ). Diketahui () = 4 dan '( ) = + 6 maka '() =. + 6. = 9. Jadi, persamaan garis singgung di titik (, 4) adalah y 4 = 9 ( ) y = 9 5. b. Jika g: y = m + n adalah garis singgung pada kurva y = dan tegak lurus terhadap garis h: y = maka ( 4 m 4 ) = m = 4. Persamaan garis singgung pada kurva y = adalah y (( ) = '( ) ( ) dengan absis titik singgung pada kurva y =. Selanjutnya, nilai ditentukan sebagai berikut. '( ) = 6 maka a '( ) = 6. 4 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

Diketahui '( ) = 4 sehingga 6 = 4 = 4 = ±. Untuk =, diperoleh ( ) =. = 6. Persamaan garis singgung yang tegak lurus terhadap garis y = 4 adalah y 6 = 4 ( ) y = 4. Coba Anda tentukan persamaan garis singgung untuk =. Tes Kompetensi Subbab C Kerjakanlah pada buku latihanmu.. Tentukan persamaan garis singgung kurvakurva berikut. a. () = di titik (,4) b. () = di titik (, ) c. () = + di titik (, 0) d. () = 7 di =4. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = () pada titik yang diketahui jika gradien garis singgungnya diberikan oleh persamaan berikut. a. '() = 4 4 di (, ) b. '( ) = 6 di (0,0) c. '( ) = di (,) d. '( ) = di (, ). a. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = yang sejajar garis y =. b. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = 4 + 5 yang tegak lurus y = +. c. Tentukan koordinat pada kurva y= + 0 agar garis singgung kurva di titik itu mempunyai gradien 7. d. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = di titik potong kurva itu dengan sumbu-. 4. Garis y = + memotong parabola y = + + di titik A dan B. Tentukan persamaan garis singgung parabola itu di titik A dan B. 5. Garis singgung kurva y = di titik 4 (,) memotong sumbu- di titik A dan memotong sumbu-y di titik B. Tunjukkan bahwa koordinat titik A dan B adalah A(,0) dan B(0, ). D. Fungsi Naik dan Fungsi Turun Diketahui, sebuah peluru ditembakkan ke atas dan lintasannya digambarkan sebagai kurva dari ungsi y = (), seperti pada Gambar 8.5. Peluru bergerak naik dari titik A ke titik B, kemudian bergerak turun dari titik B ke titik C. Dikatakan disebut naik dalam daerah D = { a b} sebab semakin besar nilai menyebabkan nilai ungsi semakin bertambah besar. Fungsi disebut turun dalam daerah D = { b c} sebab semakin besar nilai menyebabkan nilai ungsi semakin kecil. Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menyatakan suatu ungsi disebut monoton naik dan suatu ungsi disebut monoton turun? Cobalah nyatakan dengan kata-kata Anda sendiri. y B A C O a b c Gambar 8.5 Turunan Fungsi dan Aplikasinya 5

turun Gambar 8.6 y A O P y naik B P D C P a b c Gambar 8.7 y A P B g P D C P g g O a b c Gambar 8.8 Deinisi 8. Misalkan terdeinisi pada selang I. Kita katakan bahwa: monoton naik pada I jika untuk setiap pasangan bilangan a dan b dalam I, a < b mengakibatkan (a) < (b); monoton turun pada I jika untuk setiap pasangan bilangan a dan b dalam I, a < b menyebabkan (a) > (b). Sekarang amati Gambar 8.7. Titik P adalah titik sebarang pada graik yang terletak pada selang (0, a), titik P adalah titik sebarang pada graik yang terletak pada selang (a, b) dan titik P adalah titik sebarang pada graik yang terletak pada selang (b, c). Apabila Anda membuat garis singgung di P, P, dan P yang diberi nama g, g, dan g seperti pada Gambar 8.8 maka garis singgung g memiliki gradien positi (condong ke kanan), garis singgung g memiliki gradien negati (condong ke kiri), dan garis singgung g memiliki gradien positi (condong ke kanan). Coba Anda jelaskan dengan kata-kata Anda sendiri, mengapa g memiliki gradien positi, g memiliki gradien negati, dan g memiliki gradien positi. Gradien garis singgung di suatu titik pada graik dapat ditentukan dengan turunan ungsi. Untuk ungsi naik dan ungsi turun memenuhi teorema berikut. Misalkan, ungsi dapat diturunkan pada selang terbuka (a, b). Jika '() > 0 untuk setiap dalam selang (a, b) maka ungsi naik pada selang (a, b). Jika '() < 0 untuk setiap dalam selang (a, b) maka ungsi turun pada selang ( a, b). Contoh 8. Periksa naik atau turunnya ungsi-ungsi berikut.. () = pada selang (0,). () = 0 pada selang (0,0). () = maka '() =. Misalkan, p anggota (0, ) sehingga 0 < p <. '(p) = p < 0 untuk p > 0 sehingga () = pada selang (0, ) merupakan ungsi turun.. () = 0 maka '() = 0. Misalkan, p anggota (0, 0) sehingga 0 < p < 0. '(p) = 0 p > 0 untuk p < 5 dan '(p) = 0 p < 0 untuk p > 5. Dengan demikian, () = 0 pada selang (0, 0) merupakan ungsi naik dan ungsi turun. 6 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

Contoh 8. Periksa naik atau turunnya ungsi () = cos pada selang-selang berikut. a. 0, b., () = cos maka '() = sin. a. () = cos pada selang 0, Misalkan, p adalah anggota 0, sehingga 0 < p <. '(p) = sin p < 0 untuk 0 < p < sehingga () = cos pada selang 0, merupakan ungsi turun. b. () = cos pada selang,. Misalkan, p anggota, sehingga π < p < π. '(p) = sin p > 0 untuk π < p < sehingga () = cos pada selang, merupakan ungsi naik. Contoh 8.4 Tentukan pada interval (0, π) di mana tempat ungsi () = cos ( + π) merupakan ungsi naik atau ungsi turun. () = cos ( + π), maka '() = sin ( + π). Agar ungsi () = cos ( + π) merupakan ungsi naik maka '() > 0 sehingga sin ( + π) > 0. Untuk menyelesaikan pertidaksamaan ini, gunakan diagram tanda melalui tahapan berikut: sin ( + π) = 0 sin ( + π) = sin 0 + π = 0 ± k π, k bilangan bulat = π ± k π Oleh karena (0, π) maka nilai yang memenuhi adalah = π sehingga diperoleh diagram tanda berikut. 0 π π Dari diagram tanda tersebut interval yang menghasilkan sin ( + π) > 0 adalah 0 < < π. Turunan Fungsi dan Aplikasinya 7

y π π Gambar 8.9 Jadi, () = cos ( + π) merupakan ungsi naik pada interval 0 < < π, seperti diperlihatkan pada Gambar 8.9. Fungsi () = cos( + π) merupakan ungsi turun, jika '() < 0 sehingga '() = sin ( + π) < 0. Dengan menggunakan diagram tanda, interval yang menghasilkan sin( + π) < 0 adalah π < <. Jadi, () = cos ( + π) merupakan ungsi turun pada interval π < < π, seperti diperlihatkan pada Gambar 8.9. Tes Kompetensi Subbab D Kerjakanlah pada buku latihan Anda.. Periksalah, apakah ungsi-ungsi berikut pada selang [0,],[.],[,0] merupakan ungsi naik atau ungsi turun. a. (( ) = + 9 b. (( ) = 6 + c. (( ) = 4 + 0 d. (( ) = + e. (( ) = 6 + 9 +. (( ) = 4 + 7. Periksalah, apakah ungsi-ungsi (( ) pada selang [0, ], [, π],[π, ], [, π] merupakan ungsi naik atau ungsi turun. a. (( ) = sin b. (( ) = cos( ) c. (( ) = sin ( + ) d. (( ) = sin ( π) e. (( ) = cos ( + π). (( ) = cos. Tunjukkan bahwa untuk setiap bilangan real, ungsi ( ) = selalu turun. 4. Jika ( ) merupakan ungsi naik pada suatu interval I, tunjukkan bahwa a. (( ) + c dengan c konstanta juga naik; b. ( ) merupakan ungsi turun. 5. Konsentrasi K(t), suatu obat dalam darah pasien memenuhi persamaan t K 06,, 0 t 4 t 4 t 4 dengan t menunjukkan waktu (dalam jam) setelah pemberian obat. Tentukan interval di mana konsentrasi obat naik, dan interval di mana konsentrasi obat turun. E. Maksimum dan Minimum Fungsi Anda telah mempelajari ungsi kuadrat dan graiknya di Kelas IX. Pada pembahasan mengenai hal tersebut, Anda telah dapat menentukan titik ekstrim maksimum atau titik ekstrim minimum dari ungsi kuadrat melalui proses aljabar bilangan real. Perlu diketahui bahwa proses tersebut tidak dapat dikembangkan untuk menentukan titik ekstrim ungsiungsi yang lebih rumit. Ternyata dengan menggunakan turunan Anda dapat menentukan titik ekstrim segala jenis ungsi yang dapat diturunkan bahkan juga yang kontinu. Agar lebih jelasnya, amati uraian berikut. 8 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

Gambar 8.0 memperlihatkan graik y = () =. Anda mungkin memahami bahwa ungsi y = () = mempunyai nilai minimum pada = 0 sebab () = (0) = 0 =. Turunan ungsi () = adalah '() =. Anda dapat memeriksa bahwa a '( ) < 0 untuk < 0 dan '( ) > 0 untuk > 0 serta '(0) = 0 pada = 0. Oleh karena itu, () turun untuk < 0 dan ( ) naik untuk > 0. Bagaimana dengan ungsi di = 0, apakah naik atau turun? Fungsi () di = 0 tidak turun atau naik, titik ini disebut titik stasioner. Deinisi 8. Jika ungsi mencapai titik ekstrim pada ( a, (a)) dan terdierensialkan pada titik itu maka titik (a, (a)) merupakan titik stasioner atau '() = 0. y y = '( ) < 0 O '( ) > 0 '(0) = 0 Gambar 8.0 y Jika Anda amati graik y = () =, tampak adanya perubahan kemonotonan di sekitar = 0 dari turun menjadi naik. Adanya perubahan kemonotonan dari turun menjadi naik menyebabkan adanya titik minimum sebagai tempat terjadinya perubahan kemonotonan itu sehingga pada titik = 0 ungsi bernilai minimum, yaitu () = (0) =. Sekarang, selidiki graik y = (( ) = pada Gambar 8.. Mudah diselidiki bahwa ungsi y = () = mempunyai nilai maksimum pada = 0 sebab (0) = 0 =. Turunan ungsi () = adalah '() =. Anda dapat menyelidiki bahwa '() > 0 untuk < 0 dan '() < 0 untuk > 0 serta '(0) = 0 pada = 0. Oleh karena itu, () naik untuk < 0, () turun untuk > 0, dan = 0 adalah titik stasioner. Jika Anda amati graik y = () =, tampak adanya perubahan kemonotonan di sekitar = 0 dari naik menjadi turun. Adanya perubahan kemonotonan dari naik menjadi turun menyebabkan adanya titik maksimum sebagai tempat terjadinya perubahan kemonotonan itu sehingga pada titik = 0 ungsi bernilai maksimum, yaitu () = (0) =. Pembahasan dilanjutkan tentang maksimum dan minimum dengan memeriksa ungsi () = dan () =. Kedua graik tersebut diperlihatkan pada Gambar 8.. Turunan pertama ungsi () = adalah '() =. Anda dapat memeriksa bahwa '( ) > 0 untuk 0 dan '( ) = 0 pada = 0. Oleh karena itu, () naik untuk < 0 atau > 0 dan = 0 adalah titik stasioner. Akibatnya, titik '( ) > 0 '( ) > 0 O '(0) = 0 '( ) < 0 y = Gambar 8. y (a) y = '( ) > 0 Turunan Fungsi dan Aplikasinya 9

y '() = '( ) < 0 '( ) > 0 0 (b) Gambar 8. y () a 0 b p c d Gambar 8. stasioner bukan merupakan titik ekstrim (maksimum atau minimum). Anda dapat mengamati dari Gambar 8.(a) bahwa graik y = selalu naik di sekitar = 0. jika Pada gambar 8.(b), () = = 0 jika 0 sehingga '() = < 0 untuk < 0 dan '() = > 0 untuk > 0. Adapun untuk menentukan '(0) digunakan konsep limit, yaitu sebagai berikut. 0 '(0) = lim lim lim 0 0 0 0 0 Dari Bab 7 tentang pengertian limit telah diterangkan bahwa limit ungsi tersebut tidak ada. Jadi, '(0) tidak ada atau tidak terdierensialkan. Oleh karena itu, () turun untuk < 0, () naik untuk > 0, dan = 0 bukan merupakan titik stasioner sehingga pada = 0 ungsi bernilai minimum. Sekarang amati Gambar 8.. Diketahui, ungsi () terdeinisi pada interval a d serta '(b) = '(c) = 0. Dari Gambar 8.. diperoleh uraian berikut. a. Untuk D = [ a, p] atau D = { a < < p}, nilai maksimum ungsi () adalah (b) sehingga = b menyebabkan '(b) = 0; nilai minimum ungsi () adalah (a) dan = a merupakan titik ujung kiri interval D. Nilai (b) > () untuk anggota D = [ a, p] sehingga (b) dinamakan nilai maksimum mutlak atau nilai maksimum global. Oleh karena (a) < () untuk anggota D = [ a, p] maka (a) disebut nilai minimum mutlak atau nilai minimum global. b. Untuk D = [ p, d] atau D = { p d}, nilai maksimum ungsi () adalah (d) dan = d merupakan titik ujung kanan interval D ; nilai minimum ungsi () sama dengan (c) dan = c menyebabkan '() = 0. Untuk D = [ p, d] nilai maksimum dan minimum ungsi (( ) merupakan nilai maksimum dan minimum global. c. Untuk D = [ a, d] atau D = { a d}, nilai balik maksimum (b) bukan merupakan nilai maksimum ungsi (), tetapi dinamakan nilai maksimum lokal atau maksimum relati; nilai balik minimum (c) bukan merupakan nilai minimum ungsi () akan tetapi dinamakan nilai minimum lokall atau minimum relati. 0 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

Untuk menentukan nilai minimum atau maksimum ungsi () dalam interval tertutup, terlebih dahulu ditentukan nilai () untuk nilai sebagai titik ujung interval domain ungsi () dan nilai yang menyebabkan '() = 0. Kemudian, bandingkan nilai-nilai tersebut. Contoh 8.5 Tentukan nilai maksimum dan minimum (( ) =, untuk: a. D = { }, b. D = { 6 4}. (( ) = '( ) = 4 4 = 0 = 4. a. = 4 anggota D = { } 4 4...() 4 8 ( ) = ( ) =...() () = () = 6...() Dari (), (), dan (), diperoleh () = 6 adalah nilai maksimum dan 4 merupakan nilai minimum ungsi (( ) = 8 dengan D = { }. b. = 4 bukan anggota D = { 6 4} ( 6) = ( 6) ( 6) = 78 ( 4) = ( 4) ( 4) = 6 Jadi, ungsi (( ) = dengan D = { 6 nilai maksimum ( 6) = 78 dan nilai minimum ( 4) = 6. 4} mempunyai Soal Terbuka Ari memiliki kawat yang panjangnya 8 cm kawat. Ia akan membuat bingkai berbentuk persegipanjang. Tentukan ukuran bingkai yang mungkin. Tentukan pula ukuran bingkai yang akan memberikan luas maksimum. Contoh 8.6 Selembar aluminium akan dibuat silinder tanpa tutup dengan volume 8.000ππ cm. Tentukan tinggi dan jari-jari alas silinder agar aluminium yang digunakan seminimal mungkin. Diketahui: Volume silinder tanpa tutup yang dibuat 8.000π cm. Ditanyakan: Tinggi dan jari-jari alas silinder agar luas aluminium minimal. Turunan Fungsi dan Aplikasinya

(a) (b) Gambar 8.4 (a) Selembar aluminium. (b) Silinder yang akan dibuat. Pengerjaan: Misalkan, volume silinder = V (r), tinggi silinder = t, jari-jari alas silinder = r, dan luas permukaan silinder = L ( r). V (r) = luas alas tinggi = π r t = 8.000π 8. 000 8. 000 sehingga t =...() r r L (r) = luas alas + luas selubung = π r² + πrt...() Substitusikan () ke () sehingga diperoleh L (r)= r r 8 000 rt. r r Nilai stasioner L (r) diperoleh jika nilai L' (r) = 0 sehingga 6 000 L' (r) = r. r 6. 000 0 r 6. 000 r 8. 000 r = 0...() Substitusikan () ke () sehingga diperoleh 8. 000 8. 000 t = 0 r 400 Jadi, tinggi silinder t = 0 cm dan jari-jari alas r = 0 cm. Contoh 8.7 Jumlah bahan bakar solar selama satu tahun yang dibutuhkan oleh suatu kendaraan yang bergerak dengan kecepatan v km/jam memenuhi persamaan Q(v) = 65 v + v v +.500 liter Tentukan jumlah maksimum solar yang dibutuhkan dalam empat tahun. Q(v) = 65 v +v v +.500 liter Nilai stasioner Q(v) diperoleh jika Q'(v) = 0 sehingga Q (( ) = 65 v + = 0 65 v = v = 65 Jumlah maksimum solar yang dibutuhkan selama satu tahun adalah Q(65) = 65 (65) + (65) +.500 =.565 liter Jumlah maksimum solar yang dibutuhkan empat tahun adalah 4.565 = 0.60 liter. Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

Tes Kompetensi Subbab E Kerjakanlah pada buku latihan Anda. Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum ungsi-ungsi berikut untuk domain yang diberikan.. () = 6 + 9 dengan a. D = { 0} b. D = { 0 } c. D = { 5} d. D = { 5 7}. () = 4 7 4 dengan a. D = { 0} b. D = { 0 } c. D = { } d. D = { }. () = ( ) ( 5) dengan a. D = { 0 } b. D = { 4} c. D = { 5} d. D = { 5 7} 4. Jika ungsi ( ) = + p + dengan daerah asal D = { } mencapai nilai minimum relati di =, tentukan nilai () dan p. 5. Jumlah dua bilangan bulat sama dengan 8. Tentukan bilangan-bilangan tersebut agar jumlah kuadratnya minimum. 6. Menurut Departemen Riset sebuah perusahaan, biaya produksi unit barang jenis A sebesar 4.000 + 6.000.000 rupiah per hari. Jika barang diproduksi, tentukan jumlah unit per hari yang harus diproduksi agar biaya produksi per unitnya minimum. 7. Dari selembar seng berbentuk persegipanjang, akan dibuat talang air. Kedua tepinya dilipat selebar, seperti pada gambar di samping. Jika lebar seng tersebut 40 cm, P Q S R a. tunjukkan bahwa luas penampang talang adalah L () = 40 ; b. tentukan ukuran penampang L () = 40. 8. Luas sebuah juring lingkaran yang berjarijari r adalah 4cm. a. Tunjukkan bahwa kelilingnya adalah 4 K(r) cm dengan K(r) = r. r b. Tentukan nilai minimum K. 9. Suatu perusahaan membuat kaleng berbentuk tabung tertutup dengan volume V. Upah buruh (c) berbanding langsung dengan panjang bagian yang dipatri, yaitu jumlah tinggi kaleng dengan dua kali keliling alas kaleng. a. Jika tinggi kaleng t dan jari-jari alas r, V buktikan bahwa c = k 4r r dengan k = konstanta. b. Buktikan bahwa upah buruh (c) paling murah jika tinggi kaleng sama dengan keliling alasnya. 0. Rata-rata pertumbuhan suatu bakteri setelah t menit diberikan oleh persamaan N(t) = 000 + 0t t, 0 < t < 0 Tentukan kapan pertumbuhan bakteri tersebut a. menurun, b. meningkat, dan c. mencapai maksimum.. Setelah satu jam miligram obat tertentu diberikan kepada seseorang, perubahan temperatur (dinyatakan dalam Fahrenheit) dalam tubuhnya diberikan oleh persamaan T() =, 0 t 6 9 Rata-rata perubahan T() bersesuaian dengan ukuran dosis. T() disebut sensitivitas tubuh terhadap dosis obat. Turunan Fungsi dan Aplikasinya

a. Kapan sensitivitas tubuh meningkat? b. Kapan sensitivitas tubuh menurun? c. Berapakah nilai maksimum sensitivitas tubuh?. Kecepatan suatu reaksi kimia yang bergantung pada jumlahnya memenuhi persamaan v = k (00 ), dengan k adalah konstanta. Tentukan jumlah zat tersebut agar kecepatan reaksi minimum.. Jika impedansi suatu rangkaian listrik memenuhi persamaan Z= R c, tentukan X C agar Z minimum. (Diketahui: R =.500 Ω danx =.000 Ω ) L F. Turunan Kedua Anda telah mempelajari turunan pertama ungsi yang dinotasikan dengan dy d atau y' atau atau '() d d Fungsi turunan dari turunan pertama dinamakan ungsi turunan kedua yang dinotasikan dengan d dy dy d d d atau ditulis y" d d d d d d atau ditulis "() Turunan kedua ungsi () d y atau y" atau d atau "() d d Contoh 8.8 Tentukan turunan kedua untuk ungsi berikut. a. () = 4 5 b. () = sin a. () = 4 5 () = 8 5 () =4 Turunan kedua ungsi () = 4 5 adalah ''() = 4². b. () = sin '() = sin + cos = sin + cos 4 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

cos = "() = sin + 4 = 4 sin + cos cos sin Turunan kedua dari () = sin adalah "() = 4 sin + cos sin. sin Contoh 8.9 Sebuah benda yang bergerak lurus pada lintasan (s) memenuhi persamaan t 6tt + 0t. Dalam hal ini, s dalam meter dan t dalam detik. a. Hitunglah panjang lintasan pada saat t = dan t = 5. b. Tentukan kecepatan dan percepatan benda setelah t = 4 detik. c. Hitunglah laju pada waktu percepatannya nol. a. Pada saat t=, panjang lintasannya adalah s() = 6 + 0 = 6 meter Pada saat t = 5, panjang lintasannya adalah s(5) = 5³ 6 5² + 0 5 =5 meter b. s = t³ 6tt + 0t ds Kecepatan v = dt = t t t t + 0 Kecepatan pada t = 4 sekon adalah v(4) = 4 4 + 0 = 0 m/detik Pecepatan a = ds dv dt = 6t t dt Percepatan pada t = 4 sekon adalah a(4) = 6 4 = m/detik c. a = 0 maka 6t = 0 t = v(t) = t ² t t + 0, untuk t = maka v() = ² + 0 = 8 m/detik Teorema L Hopital Jika = a disubstitusikan ke bentuk lim a g diperoleh bentuk tak tentu 0 0 atau, Anda dapat menggunakan teorema L' Hopital. Teorema ini dikemukakan kali pertama oleh Marquis L' Hopital, seorang matematikawan Prancis (66 704 M). Turunan Fungsi dan Aplikasinya 5

Tentukan limit ungsi berikut. 4 4 a. lim b. lim cos 4 0 sin a. Jika dengan menggunakan substitusi langsung, diperoleh lim 4 4 4 4 0 (bentuk tak tentu) 0 Dengan teorema L' Hopital, diperoleh lim Deinisi 8. ' Jika lim 0,lim g 0, serta lim ada, baik terhingga a a a g' ' ' atau tak hingga maka lim lim a g a g' '. Perluasan teorema L'Hopital adalah ' '' lim lim lim a g a g' ' a lim g'' a g ''' (Proses berakhir jika hasil akhir tidak berbentuk 0 0 ). Contoh 8.0 4 4 4 4 lim = () 4 = 0. b. Jika menggunakan substitusi langsung diperoleh lim cos 4 cos 0 0 (bentuk tak tentu) 0 sin 0.sin 0 0 0 lim cos 4 4sin 4 0 sin cos sin 6 cos 4 = lim 0 cos sin cos = 6 cos 0 6. = 8 cos 0 i 0 cos 0 0 6 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

Tes Kompetensi Subbab F Kerjakanlah pada buku latihan Anda.. Tentukan turunan kedua dari ungsi aljabar berikut. a. () = 5 + 7 + + + 8 b. () = + 5 c. () = 6 4 + d. () = 4 4 e. () = ( 4) 0. () = ( + 5)(³ + 9) g. () = 5 h. () = 4. Tentukan turunan kedua dari ungsi-ungsi berikut. a. () = tan b. () = sin c. () = cos d. () = cos e. () = sin cos. () = tan g. () = sin cos h. () = sin. Tentukan turunan kedua dari ungsi-ungsi berikut. a. () = + b. () = (+ ) c. () = ( )(+ ) d. () = sin, 0 π e. () = sin, 0 π. () = tan, 0 π g. () = cos, 0 π h. () = tan, 0 π 4. Kerjakan soal-soal berikut. a. Jika () = 7, hitunglah ''() b. Jika () = 6, hitunglah ''() c. Jika () = 6, hitunglah ''() d. Jika () = ( + ), hitunglah ''(4) e. Jika () =,hitunglah ''(). Jika () = 64 hitunglah ''() g. Jika () = cos sin, hitunglah '' h. Jika () = cos, hitunglah '' 5. Sebuah mobil bergerak lurus. Setelah bergerak t sekon, perpindahannya dinyatakan dengan rumus s(t) = 5t + 0t, s(t) dalam meter. Berapa m s percepatan mobil itu? Turunan Fungsi dan Aplikasinya 7

4 y (,4) () = ( ) + 4 0 Gambar 8.6 G. Nilai Stasioner. Pengertian Nilai Stasioner Fungsi Gambar 8.6 merupakan graik ungsi (( ) = ( ) + 4. Turunan pertama dari ungsi () = ( ) + 4 adalah '() = ( ). Untuk =, diperoleh '() = ( ) = 0. Oleh karena nilai '() = 0 maka ungsi () = ( ) +4 mencapai nilai stasioner di = dengan nilai stasioner () = ( ) + 4 = 4. Selanjutnya, titik (, 4) disebut titik stasioner. Dari contoh di atas dapatkah Anda menduga pengertian nilai stasioner ungsi? Cobalah nyatakan dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep nilai stasioner ungsi yang telah Anda pelajari tersebut merupakan hal khusus dari hal umum berikut. Amati "( ) > 0 untuk < 0, dikatakan cekung ke atas pada < 0, "( ) < 0 untuk 0 < <, dikatakan cekung ke bawah pada 0 < <, dan "( ) > 0 pada >, dikatakan cekung ke atas pada >. Di sekitar = 0 (titik (0, 0)) terjadi perubahan kecekungan dari cekung ke atas menjadi cekung ke bawah sehingga titik (0, 0) merupakan titik belok graik ungsi. Apakah titik (, 0) merupakan titik belok? Bagaimana dengan titik (, 0)? Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menyatakan pengertian nilai stasioner ungsi? Cobalah nyatakan pengertian nilai stasioner ungsi dengan kata-kata Anda sendiri. Deinisi 8.4 Diketahui ungsi y = () kontinu dan dapat diturunkan (dierentiable) di = c. Fungsi y = (( ) memiliki nilai stasioner (c) jika '(c) = 0 dan titik (c, (c)) disebut titik stasioner.. Tentukan nilai stasioner ungsi () = 6 + 5.. Tentukan nilai stasioner dan jenisnya untuk ungsi () = + 4 +. Contoh 8.. () = 6 + 5 '() =6 6 Nilai stasioner diperoleh jika '() = 0 sehingga '() = 0 6 6 = 0 =. 8 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

() =. 6. + 5 = Jadi, nilai stasioner (( ) = 6 + 5 adalah () =. (( ) = + 4 + '( ) = + 8 untuk '( ) = 0 + 8 = 0 ( ) ( + ) = 0 = atau = ' = 0 dan '( ) = 0 sehingga untuk = diperoleh 4 7 untuk = diperoleh ( ) = ( ) + 4 (). + = Jadi, nilai stasioner (( ) = +4 + adalah 7 dan ( ) =. Titik, dan (, ) dinamakan titik stasioner. 7 Untuk menentukan jenis stasioner, pelajari interval '( ) di samping. Untuk mengetahui nilai '( ) pada selang <, < <, dan >, substitusikan nilai untuk selang interval tersebut pada '() sehingga diperoleh untuk = 4, '( 4) = > 0 sehingga (( ) naik untuk < ; untuk = 0, '(0) = < 0 sehingga (( ) turun untuk interval < < ; untuk =, '() = 8 > 0 sehingga (( ) naik untuk >. Jadi, nilai '( ) dapat digambarkan pada selang interval di samping. Dari gambar untuk selang interval tersebut titik (, ) adalah titik maksimum, titik, adalah titik minimum. 7 '() '() '() > 0 '() < 0 '() > 0 (, ), 7 Turunan Fungsi dan Aplikasinya 9

. Menentukan Nilai Stasioner Suatu Fungsi Anda telah mempelajari cara menentukan nilai stasioner dengan uji tanda turunan pertama. Misalkan, ungsi (( ) = dengan '( ) = 6. Untuk '( ) = 0 diperoleh titiktitik stasioner (0, 0) dan (, 4), dengan (0, 0) dinamakan titik balik maksimum lokal, sedangkan (, 4) dinamakan titik balik minimum lokal. Sekarang, pelajarilah cara menentukan nilai stasioner suatu ungsi dan penerapannya menggunakan turunan kedua. Dengan menggunakan turunan kedua jenis titik stasioner dapat ditentukan sebagai berikut. Jika "(c) < 0, (c) adalah nilai maksimum lokal ungsi (( ) dan titik (c, (c)) adalah titik balik maksimum lokal graik ungsi (( ). Jika "(c) > 0, (c) adalah nilai minimum lokal ungsi (( ) dan titik (c, (c)) adalah titik balik minimum lokal graik ungsi (( ). Jika "(c) = 0 atau tidak mempunyai turunan kedua, jenis nilai stasioner dilakukan dengan menggunakan uji turunan pertama. Contoh 8. Tentukan jenis nilai stasioner ungsi () = 6 + 9 + dan () = 4 4 dengan menggunakan uji turunan kedua. Untuk ungsi () = 6 + 9 + '() = + 9 = ( ) ( ) "() = 6 Nilai stasioner diperoleh untuk '() = 0, yaitu ( ) ( ) = 0 = atau = Nilai stasionernya adalah = atau = untuk =, "() = 6 < 0, sedangkan untuk =, "() = 6 > 0 sehingga () adalah nilai maksimum lokal ungsi (), yaitu () = 5 () adalah nilai minimum lokal ungsi (), yaitu () = Untuk ungsi () = 4 4 '() = 4 = 4 ( ) "() = 4 Nilai stasioner diperoleh untuk '() = 0, yaitu = 0 atau = untuk = 0, "(0) = 0 dan untuk =, "() = 6 > 0 sehingga 0 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

() adalah nilai minimum lokal ungsi (), yaitu () = 7. Untuk = 0 dengan "(0) = 0 jenis nilai stasioner ditentukan dengan uji turunan pertama. Sekarang, amati diagram di samping. Amati "() > 0 untuk < 0, dikatakan cekung ke atas pada < 0, "() < 0 untuk 0 < <, dikatakan cekung ke bawah pada 0 < <, dan "() > 0 pada >, dikatakan cekung ke atas pada >. Di sekitar = 0 (titik (0, 0)) terjadi perubahan kecekungan dari cekung ke atas menjadi cekung ke bawah sehingga titik (0, 0) merupakan titik belok graik ungsi. Apakah titik (, 0) merupakan titik belok? Bagaimana dengan titik (, 0)? Dari contoh tersebut dapatkah Anda menduga cara menentukan nilai stasioner suatu ungsi? Cobalah nyatakan dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep yang telah Anda pelajari tersebut membawa kita pada deinisi berikut. () '() < 0 '() < 0 '() > 0 0 Deinisi 8.5 cekung ke atas pada [ a, b] jika "() > 0 dan cekung ke bawah jika "() < 0. Perubahan kecekungan disebut titik belok. Tes Kompetensi Subbab G Kerjakanlah pada buku latihan Anda.. Tentukan nilai stasioner, titik stasioner, dan jenisnya untuk ungsi-ungsi berikut. a. () = + b. () = + 5 c. () = + + d. () = ( ) e. () = 4 +4. () = (² 4). Tentukan nilai p jika ungsi-ungsi berikut mencapai stasioner untuk nilai yang diberikan. a. () = p + 4, = b. () = p +4, =- c. () = p ( ), = d. () = p, = e. () = p +, =. () = p, = g. () = p 4 4 +, = h. () =, = 0. Tentukan '() serta nilai stasioner dan jenisnya untuk ungsi-ungsi berikut jika 0 π. a. () = sin b. () = cos c. () = sin cos d. () = cos e. () = sin. () = cos 4. Tentukan nilai maksimum dan minimum lokal ungsi-ungsi berikut, menggunakan uji turunan kedua. Turunan Fungsi dan Aplikasinya