Kompetensi Dasar Tujuan Pembelajaran

Transkripsi

1 BAB 7 LIMIT FUNGSI Kompetensi Dasar Siswa dapat menjelaskan it fungsi di satu titik dan di tak hingga beserta teknis perhitungannya. Menggunakan sifat it fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar dan trigonometri. Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari it fungsi siswa diharapkan dapat : Menjelaskan arti it fungsi di satu titik dan di tak hingga. Menghitung it fungsi aljabar di satu titik dan di tak hingga. Menjelaskan sifat-sifat yang digunakan dalam perhitungan it. Menjelaskan arti bentuk tak tentu dari it fungsi. Menghitung bentuk tak tentu dari it fungsi aljabar. Menghitung it fungsi yang mengarah ke konsep turunan. Menghitung it fungsi trigonometri di satu titik. Menghitung bentuk tak tentu dari it fungsi trigonometri. Menyelesaikan permasalahan terapan dengan menggunakan kaidah it fungsi.

2 A. PENDAHULUAN Jarak yang ditempuh sebuah mobil yang bergerak selama t sekon memenuhi persamaan s ( t) ( t t) meter. Berapakah kecepatan mobil tersebut tepat pada saat t sekon? Permasalahan di atas merupakan permasalahan pada bidang Fisika yang pemecahannya menggunakan bantuan konsep it fungsi. Konsep it fungsi ini pertama kali didefinisikan dengan sangat jelas oleh Augustin-Louis Cauchy ( ) yang merupakan seorang matematikawan asal Perancis (Purcell, 99). Limit fungsi merupakan salah satu pokok bahasan yang baru ada di tingkat pendidikan SMA. Pokok bahasan ini merupakan bagian dari pengantar kalkulus. Kalkulus sendiri merupakan salah satu cabang matematika yang sangat penting, karena di dalamnya dipelajari tentang hitung differensial dan hitung integral. Hitung differensial dan hitung integral sangat diperlukan pada cabang lain dari matematika seperti statistika maupun bidang-bidang lain di luar matematika seperti fisika, kimia dan teknik Mengingat begitu pentingnya it fungsi ini, maka diharapkan anda mempelajarinya dengan sungguh-sungguh. Jika anda dapat memahami bahasan it fungsi ini, maka besar kemungkinan kalian tidak akan mengalami kesulitan pada bahasan selanjutnya, yaitu hitung differensial. Sebelum anda mempelajari pengertian tentang it fungsi, sebaiknya anda mengingat kembali materi-materi pelajaran yang telah lalu. Materi-materi tersebut akan kita pergunakan selama mempelajari it fungsi. Materi-materi yang dimaksud adalah materi tentang nilai suatu fungsi, cara mensketsa grafik fungsi, pemfaktoran, bilangan sekawan dan rumus-rumus trigonometri. Latihan pada uji kompetensi berikut akan membantu anda mengingat kembali materi-materi tersebut.

3 UJI KOMPETENSI. Diketahui fungsi f : R R dengan f ( ) 5 6 a. Hitunglah f (). b. Hitunglah f (). c. Sketsalah grafik fungsi f.. Diketahui fungsi f : R R dengan f ( ), a. Hitunglah f (0) b. Hitunglah f () c. Sketsalah grafik fungsi f.. Faktorkanlah bentuk-bentuk di bawah ini. a. 0 d. b. 8 e. c. 6 f. 8. a. Tentukan faktor sekawan dari bentuk-bentuk di bawah ini (i) a b (iii) 6 (ii) (iv) b. Sederhanakanlah. (i) ( c d) ( c d) (iii) ( 6) ( 6) ) ( (iv) ( ) ( ) (ii) ( ) 5. Lengkapi kesamaan trigonometri di bawah ini. a. sin sin... d. cos b. cos... e. sin sin... c.... tan f. sec... cos

4 B. PENGERTIAN LIMIT FUNGSI Dalam kehidupan sehari-hari kita sering mendengar kaat-kaat seperti : a. Mobil itu nyaris masuk ke jurang. b. Kita hampir memasuki kota Jakarta. c. Kecantikannya mendekati sempurna. Kata-kata yang dicetak miring pada kaat-kaat di atas mempunyai pengertian yang sama dengan kata it fungsi pada matematika. Pengertian it fungsi pada matematika dapat dibagi ke dalam dua bagian, yaitu it fungsi di satu titik dan it fungsi di tak hingga.. Pengertian it fungsi di satu titik. Pengertian it fungsi di satu titik secara informal (intuisi) diberikan pada definisi di bawah ini. Definisi Jika nilai suatu fungsi f mendekati L untuk mendekati c maka kita katakan bahwa f mempunyai it L untuk mendekati c dan ditulis f ( ) L c (Finney, 99) (dibaca it f untuk mendekati c sama dengan L). Pengertian mendekati c mencakup dua hal, yaitu : a. Nilai-nilai yang dekat dengan c tetapi lebih kecil dari c, disebut mendekati c dari kiri. Apabila mendekati c dari kiri maka it fungsi f- nya disebut it kiri dan ditulis - f ( ) c (dibaca it f untuk mendekati c dari kiri). b. Nilai-nilai yang dekat dengan c tetapi lebih besar dari c, disebut mendekati c dari kanan. Apabila mendekati c dari kanan maka it

5 fungsi f-nya disebut it kanan dan ditulis f ( ) c (dibaca it f untuk mendekati c dari kanan). c. Suatu fungsi f mempunyai it untuk mendekati c jika dan hanya jika it kiri dan it kanannya ada dan sama. ( Finney, 99) Jadi dapat disimpulkan bahwa : f ( ) L c - c f ( ) L dan c f ( ) L Untuk memahami definisi di atas, perhatikan contoh-contoh di bawah ini. Contoh. - Misalkan fungsi f : R R dengan f(),. - Carilah f ( ) jika ada. 0 Fungsi f tidak terdefinisi di karena di titik ini f() berbentuk 0 yang tak mempunyai arti. Tetapi kita masih bisa menanyakan apa yang terjadi pada f() apabila mendekati. Secara lebih tepat, apakah f() mendekati bilangan tertentu apabila f() mendekati? Untuk menjawab pertanyaan ini, kita dapat melakukan dua hal. Yang pertama, kita dapat mencari nilai-nilai f() untuk yang dekat dengan dan yang kedua adalah dengan mensketsakan grafik fungsi f. Nilai- nilai f() untuk yang dekat dengan dapat di lihat pada tabel berikut. Anda diminta melengkapi tabel ini dengan bantuan kalkulator yang anda miliki.,75,9.99,999,9999,000,00,0,,5 5

6 f(),9.,999...,00., Sedangkan sketsa grafik fungsi f adalah Y - X Dengan memperhatikan nilai-nilai f () pada tabel ataupun sketsa grafik fungsi f, dapat kita simpulkan beberapa hal, yaitu : a. Limit f untuk mendekati dari kiri (it kiri f ) adalah dan ditulis f ( ). b. Limit f untuk mendekati dari kanan (it kanan f ) adalah dan ditulis f ( ). c. Karena f ( ) f ( ) maka f ( ). Contoh. Diberikan fungsi g : R R dengan g ( ) untuk 0. Carilah g( ) jika ada. 0 Nilai- nilai g() untuk yang dekat dengan 0 dapat di lihat pada tabel di bawah ini. Cobalah cek dan lengkapi nilai-nilai g() pada tabel tersebut. 6

7 X -0,0-0,00-0,000-0, ,0000 0,000 0,00 0,0 g() Sketsa grafik fungsi g adalah sebagai berikut : Y 0 X Dari tabel maupun sketsa grafik fungsi g dapat kita simpulkan bahwa : a. Nilai g() akan terus membesar menuju ke untuk mendekati 0 dari kiri. Jadi g ( ). 0 b. Nilai g() juga akan terus membesar menuju ke untuk mendekati 0 dari kanan. Jadi g ( ). 0 c. Karena g ( ) g( ) maka g ( ) Contoh. Misalkan fungsi h : R R dengan Carilah h( ) jika ada. 0 h ( ),untuk,untuk > 7

8 Sekarang kita hanya akan mensketsa grafik fungsi h. Sedangkan untuk tabel nilainilai h() untuk mendekati silahkan anda hitung sendiri. Y X Dari grafik di atas dapat di simpulkan bahwa h ( ) dan h ( ). 0 0 Ternyata h ( ) 0 h( ). Dengan demikian h( ) 0 0 tidak ada.. Pengertian it fungsi di tak hingga. Pengertian it fungsi di tak hingga adalah sebagai berikut : a. Jika nilai suatu fungsi f mendekati L untuk yang terus membesar menuju maka kita katakan bahwa f mempunyai it L untuk mendekati dan ditulis f ( ) L (dibaca it f untuk mendekati sama dengan L). b. Jika nilai suatu fungsi f terus membesar untuk menuju maka kita katakan bahwa f mempunyai it untuk mendekati dan ditulis f ( ) (dibaca it f untuk mendekati sama dengan ). c. Jika nilai suatu fungsi f terus mengecil untuk menuju maka kita katakan bahwa f mempunyai it untuk mendekati dan ditulis f ( ) - (dibaca it f untuk mendekati sama dengan ). (Finney, 99) Untuk memahami pengertian di atas, perhatikanlah dua buah contoh berikut : 8

9 Contoh. Carilah Dengan melakukan langkah-langkah seperti pada it di satu titik diperoleh tabel dan grafik sebagai berikut : X , 0,0 0,00 0,000 0, , Y 0 X Dari tabel dan grafik terlihat bahwa jika nilai membesar menuju ke tak hingga, maka nilai akan mendekati 0. Dengan demikian 0. Contoh 5. Carilah ( ) dan ( ). Sekarang kita hanya akan menggunakan metode sketsa grafik fungsi. 9

10 Y 0 X Dari grafik di atas terlihat bahwa jika menuju maka nilai juga semakin besar menuju ke tak hingga. Jadi ( ). Dari grafik di atas juga terlihat bahwa jika menuju maka nilai ( ) juga semakin besar menuju ke tak hingga. Jadi ( ). UJI KOMPETENSI -. Misalkan diberikan fungsi f : R R dengan f(),. - a. Buatlah tabel nilai-nilai f() untuk nilai-nilai yang dekat dengan. b. Sketsalah grafik fungsi f(). c. Tentukan f ( ) jika ada. d. Tentukan f ( ) jika ada. e. Apakah f ( ) ada? Jika ada, berapakah nilai f ( ).. Pertanyaan seperti nomor untuk f ( ). 0

11 . Misalkan diberikan fungsi f : R R dengan f(),. - a. Buatlah tabel nilai-nilai f() untuk nilai-nilai yang dekat dengan. b. Sketsalah grafik fungsi f(). c. Tentukan f ( ) jika ada. d. Tentukan f ( ) jika ada. e. Apakah f ( ) ada? Jika ada, berapakah nilai f ( ). 5,untuk. Diberikan fungsi f : R R dengan f ( ), untuk > Apakah f ( ) ada? Jika ada, berapakah nilai f ( ).,untuk 5. Diberikan fungsi f : R R dengan f ( ), untuk > Apakah f ( ) ada? Jika ada, berapakah nilai f ( ). 6. Hitunglah nilai it-it berikut jika ada. (a). ( 5) (c). (b). (d) Hitunglah nilai it-it berikut jika ada. a. d. ( ) b. c. ( ) e. f. 6

12 KEGIATAN KELOMPOK MENYELIDIKI SIFAT-SIFAT LIMIT FUNGSI Petunjuk : (i) Bentuk kelompok yang masing-masing beranggotakan orang. (ii) Diskusikan dalam kelompok tentang permasalahan di bawah. (iii) Presentasikan hasil kerja kelompok di depan kelas. Permasalahan :. Diketahui f dan g adalah fungsi dari R ke R dengan f fungsi identitas dan g fungsi konstanta. Misalkan f ( ) dan g ( ) 9. a. Carilah f ( ) b. Carilah f ( ) dan g( ). dan g( ). c. Carilah 5 f ( ) dan bandingkan hasilnya dengan 5 f ( ). d. Carilah [ f ( ) g( ) ] f ( ) g( ). e. Carilah [ f ( ) g( ) ] f ( ) f ( ). dan bandingkan hasilnya dengan dan bandingkan hasilnya dengan f. Carilah f ( ) g( ) dan bandingkan hasilnya dengan f ( ) f ( ). f ( ) f ( ) g. Carilah dan bandingkan hasilnya dengan. g( ) f ( ) h. Carilah [ f ( ) ] dan bandingkan hasilnya dengan [ f ( ) ] i. Carilah f ( ) dan bandingkan hasilnya dengan f ( ).. Ambil sebarang fungsi f dan g sebagai fungsi dari R ke R dan jawab pertanyaan-pertanyaan nomor untuk mendekati suatu bilangan tertentu.

13 Fungsi f dan g yang diambil tiap kelompok harus berbeda dari kelompok lainnya.. Apa yang dapat anda simpulkan dari hasil nomor dan nomor? C. TEOREMA LIMIT Teorema it fungsi adalah sebagai berikut : Jika n bilangan bulat positif, k konstanta, f dan g adalah fungsi-fungsi yang mempunyai it di c, maka sifat-sifat dibawah ini berlaku :. k k c. c c. kf ( ) k f ( ) c c. [ f ( ) g( )] c 5. [ f ( ) g( )] c f ( ) g( ) c c f ( ) - g( ) c c 6. [ f ( ). g( )] c f ( ). g( ) c c 7. f ( ) c g( ) f ( ) c, asalkan g( ) 0 g( ) c c n 8. [ f ( )] [ f ( ) c c ] n n 9. f ( ) n f ( ), asalkan f ( ) > 0 bilamana n genap. c c c (Purcell, 99) Teorema it ini akan mudah diingat jika kita nyatakan dalam bentuk kata-kata. Misalnya sifat dapat dinyatakan sebagai it suatu jumlahan adalah

14 jumlah dari it-it. Cobalah nyatakan sifat-sifat lainnya pada teorema di atas dalam bentuk kata-kata. Penerapan teorema it di atas dapat dilihat pada contoh-contoh berikut. Contoh. Carilah (sifat ) ( ) (sifat 8) () (sifat ) 6. Contoh. Carilah ( ) ( ) (sifat 5) (sifat ) ( ) (sifat 8) (sifat ) ( ) ( ) 0. Contoh. Carilah 9

15 9 9 (sifat 7) ( 9) (sifat 9) 9 (sifat ) ( ) 9 (sifat 8) () 9 (sifat dan ) 5. Contoh. Jika f ( ) dan g( ) 8 ( f ( ). g( ) ), maka carilah ( f ( ). g( ) ) f ( ). g( ) (sifat 5) ( ) f ( ) ( ).. 8. g( ) (sifat 8 dan 9) 5

16 UJI KOMPETENSI. Gunakan teorema it untuk mencari tiap it berikut. Berikan alasan tiap langkah dengan mengacu pada teorema tersebut. a. (7 ) e. 5 b. ( 5) c. [( )( )] f. g. (t t y 5) y y 8y d. 8 h. (w 9w 9) w 5. Jika f ( ) a dan g( ), maka carilah it-it berikut : a a. f ( ) g ( ) a f ( ) g( ) b. a f ( ) g( ) c. g( ) [ f ( ) ] a d. [ f ( ) ] a e. [ f ( t) ( t a) g( t) ] t a f. [ ] u a f ( u) g( u) D. LIMIT FUNGSI ALJABAR Limit-it yang sampai sejauh ini telah kita bahas merupakan it-it fungsi aljabar. Sekarang kita akan mempelajari lebih lanjut bagaimana cara mencari nilai it fungsi aljabar terutama yang mengandung bentuk tak tentu. 0 Bentuk tak tentu dari suatu it adalah it yang menghasilkan,, 0, 0., 0 0, 0 atau apabila dilakukan substitusi langsung (Purcell, 6

17 99). Tetapi bentuk tak tentu yang akan kita pelajari hanyalah tiga bentuk yang pertama. Sedangkan bentuk-bentuk tak tentu lainnya dapat anda pelajari pada buku-buku kalkulus perguruan tinggi.. Limit fungsi aljabar yang tidak mengandung bentuk tak tentu. Untuk mencari nilai it fungsi aljabar berbentuk f ( ) yang tidak mengandung bentuk tak tentu digunakan metode substitusi langsung. Metode ini merupakan akibat dari sifat-sifat yang ada pada teorema it. a Contoh. Carilah ( 5) ( 5) ( ) () 5 7. Contoh. Carilah () 5 5. Contoh Carilah () 0() () 6 () 6() 8 7

18 Limit fungsi aljabar yang mengandung bentuk tak tentu 0 0. Secara umum, untuk mencari nilai it fungsi aljabar berbentuk f ( ) a g ( ) yang mengandung bentuk tak tentu 0 0 digunakan metode pemfaktoran. Jadi jika f ( a) 0 dilakukan substitusi langsung diperoleh bentuk, maka kita harus g( a) 0 mengupayakan agar f ( ) dan g( ) memiliki faktor yang sama. Jika dimisalkan faktor yang sama itu adalah ( a), maka : f ( ) ( a) P( ) P( ) P( a) a g ( ) a ( a) Q( ) a Q ( ) Q( a) Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh-contoh di bawah ini : Contoh. Carilah ( )( ) 8 ( ) ( ). 8

19 Contoh 5. 5 Carilah ( )( 5) ( )( 5) ( 5) ( 5) ( ) Contoh 6. Carilah ( )( ( ) ) (). Adakalanya sebuah it fungsi aljabar berbentuk f ( ) a g ( ) yang mengandung bentuk tak tentu 0 0 harus dikalikan dulu dengan bentuk sekawan dari f () atau g() sebelum dilakukan pemfaktoran. Bentuk yang memerlukan perlakuan demikian apabila f () atau g () mengandung bentuk akar. 9

20 Contoh 7. Carilah ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) Contoh 5. Carilah ( 6) ( )( 6 ) ( 6) 9 ( )( 6 ) ( ) ( )( 6 ) 0

21 ( 6 ) ( 6 ) 8. Contoh 6. Carilah ( )( ) ( ) ( ) ( )( ( ) ( ) ) ( )( ) ( )( ( ) ).. f ( ) Ada satu lagi yang berhubungan dengan bentuk, yaitu yang a g ( ) nantinya berhubungan dengan topik turunan pada bab yang akan datang. Perhatikan dua buah contoh di bawah ini.

22 Contoh 7. f ( h) f ( ) Tentukan nilai it dari apabila h 0 h a. f ( ) 5 b. f ( ), untuk f ( h) a. h 0 h f ( ) 5( h) 5 h 0 h 5 5h 5 h 0 h 5h h 0 h 5 h 0 5. b. h 0 f ( h) h f ( ) h 0 f ( h) h f () ( h) h 0 h 9 6h h h 0 h 6h h h 0 h h(6 h) h 0 h (6 h) h

23 f ( ). Limit fungsi aljabar berbentuk g ( ) f ( ) Limit fungsi aljabar berbentuk g ( ) apabila dilakukan substitusi langsung akan menghasilkan bentuk. Oleh karena itu untuk mencari nilai itnya harus dilakukan manipulasi aljabar. Manipulasi aljabar yang dimaksud adalah dengan membagi setiap suku-suku pada f ( ) dan g( ) dengan pangkat tertinggi dari. Selanjutnya digunakan fakta yang diperoleh pada contoh sub bab A, yaitu 0 dengan k dan n suatu konstanta. Untuk lebih jelasnya, perhatikanlah contoh-contoh berikut. Contoh 8. 5 Carilah

24 Contoh 9. Carilah Contoh 0. Carilah

25 Cara cepat Misalkan kita akan menyelesaikan m m a b... c. n n p q... r a. Jika m < n maka m m a b... c n n p q... r 0. b. Jika m n maka m m a b... c n n p q... r a. p c. Jika m > n maka m m a b... c n n p q... r.. Limit fungsi aljabar berbentuk ( f ( ) g( ) ) Limit fungsi berbentuk ( f ( ) g( ) ). apabila dilakukan substitusi langsung akan menghasilkan bentuk. Oleh karena itu untuk mencari nilai itnya harus dilakukan manipulasi aljabar. Manipulasi aljabar yang dimaksud adalah dengan mengalikannya terlebih dahulu dengan faktor sekawannya. Setelah itu barulah dilakukan langkah seperti pada bagian di atas atau dengan memakai cara cepat yang sudah diperoleh. Untuk lebih jelasnya, perhatikanlah contohcontoh berikut : Contoh. Hitunglah ( ) 5

26 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 0. Contoh Hitunglah ( ) 8 ( ) 8 ( ) ( ) ( ) 8 8 ( ) ( ) Contoh. Hitunglah ( ) 5 ( ) 5 ( ) 5 5 5

27 7 ( ) ( ) 5 5 ( ) ( ) Cara cepat Misalkan kita akan menghitung ( ) q p b a. a. Jika p a maka ( ) q p b a 0 b. Jika p a > maka ( ) q p b a c. Jika p a < maka ( ) q p b a Contoh Carilah ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

28 Contoh 5. Carilah ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Contoh 6 Carilah ( ) 5 ( ) 5

29 ( 5 ) ( 5 ) ( ) 5 ( 5 ) ( ) Cara cepat Misalkan kita akan menghitung ( a b c p q r ). a. Jika p b. Jika p c. Jika p b q a a maka ( a b c p q r ) a > maka ( a b c p q r ) a < maka ( a b c p q r ) UJI KOMPETENSI. Carilah nilai it-it berikut : a. ( 8) c. 9 b. 5 7 t d. t t 9

30 . Carilah nilai it-it berikut : a. b. c. d e. 9 t 5t 6 f. t t t u 6u 7 g. u u 9 h. 9. Carilah nilai it-it berikut : a. e b. 9 f. 0 c. 7 9 g. d. 5 h. 0. Carilah nilai it-it berikut : 0( h) 0 a. h 0 h ( h) 5 ( 5) b. h 0 h c. d. h 0 ( h) h 0 ( h) h 5( h) 5 ( h 5 5) 0

31 5. Carilah nilai it-it berikut : a. d b e. 6 7 c. f Carilah nilai it-it berikut : a. ( 5 7 ) b. ( 5 ) c. ( d. ( 5 ) e. ( 5 ) f. ( 5 ) E. LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI Perhatikan it it fungsi sebagai berikut : i. sin π ii. cos 0 iii. sin 0 iv. 0 tan 7 Limit di atas dapat di tulis sebagai f ( ) dengan f () adalah fungsi fungsi a yang memuat perbandingan trigonometri. Bentuk it semacam ini disebut it fungsi trigonometri. Dalam beberapa kasus, penyelesaian it fungsi trigonometri hampir sama dengan penyelesaian it fungsi aljabar, misalnya dengan metode substitusi langsung atau metode pemfaktoran. Rumus rumus trigonometri yang telah

32 dipelajari pada bab sebelumnya atau pada materi trigonometri kelas X, sering digunakan dalam menyelesaikan it fungsi trigonometri, demikian pula teorema teorema tentang it. Contoh. Hitunglah nilai it fungsi trigonometri berikut : a) sin π b) cos π 6 c) ( cos sin ) π d) ( sin cos ) 0 a) sin π sin π. b) cos π cos 6 π 6 sin c) ( cos ) π d) ( sin cos ) 0. cos sin π π cosπ - sin π 0. sin cos 0 sin 0 cos

33 Contoh. Hitunglah nilai it fungsi trigonometri berikut : a) sin 0 sin cos b) 0 sin Dengan substitusi langsung, penyelesaian it di atas adalah : sin sin sin sin 0 0 cos cos0 0 0 sin sin Dengan substitusi langsung diperoleh bentuk tak tentu 0 0. Oleh karena itu cara menyelesaikannnya sebagai berikut : a) Karena sin sin cos, maka : sin sin cos 0 sin 0 sin cos 0 cos 0 cos 0.. b) Karena cos sin, maka cos 0 sin sin 0 sin sin 0 sin sin 0 sin 0

34 sin Rumus Rumus Limit Fungsi Trigonometri Pada pembahasan sebelumnya, dalam menyelesaikan it fungsi trigonometri dengan substitusi langsung atau dengan memfaktorkan. Selain itu it fungsi trigonometri dapat pula diselesaikan dengan menggunakan rumus. Rumus yang digunakan adalah :.. sin 0 0 sin tan 0 0 tan Bukti Rumus : Perhatikan gambar berikut : T P(cos, sin ) sin tan cos O Q A(,0) Gambar di atas adalah lingkaran yang berpusat di O dan berjari jari r satuan dengan besar AOP radian. Berdasarkan gambar di atas, jelas bahwa :

35 Luas segitiga OAP Luas juring OAP Luas segitiga OAT θ.oa.pq. π. r.oa.at π..sin.. π π..tan sin tan sin sin sin sin sin cos sin cos sin sin.(*) cos Untuk mendekati 0, maka hubungan di atas menjadi : 0 sin 0 cos 0 θ Akibatnya :. θ 0 sin. Selanjutnya, bentuk (*) dapat diubah menjadi, sehingga diperoleh. θ 0 sin cos sin. Untuk mendekati 0, maka hubungan di atas menjadi : sin sin cos, sehingga diperoleh sin Akibatnya :. 0 Bukti Rumus : i. tan 0 0 sin cos 5

36 ii. sin 0 cos sin 0 cos tan 0 sin cos cos. 0 sin 0 0 cos.. sin Berdasarkan ( i ) dan ( ii ) di atas, terbukti bahwa tan 0. 0 tan Contoh. Hitunglah nilai it fungsi trigonometri berikut : sin a) 0 6 b) 0 tan 6 a) Dimisalkan u. Jika 0, maka u 0, sehingga : sin 0 sin u. u 0 u b) Dimisalkan 6 u. Jika 0, maka u 0, sehingga : 6 0 tan 6 u u. 0 tan u 6

37 Dengan menggunakan rumus it fungsi trigonometri di atas, dapat ditunjukkan bahwa : sin a 0 a 0 a sin a tan a 0 a 0 a tan a Contoh. Hitunglah nilai it fungsi trigonometri berikut : a) π sin π π π b) π π tan π π a) Dimisalkan u. Jika, maka u 0, sehingga : π sin sin u. π π u 0 u π b) Dimisalkan u. Jika π u. π u 0 tan u tan π π, maka u 0, sehingga : 7

38 Contoh 5. Hitunglah nilai it fungsi trigonometri berikut : a) 0 sin 5 tan b) 0 6 a) 0 sin sin sin sin b) tan 0 6 tan. 0 6 tan. 0 6 tan Contoh 6. Hitunglah it it fungsi trigonometri berikut : tan a) 0 sin 8

39 cos b) 0 a) tan 0 sin tan.. 0 sin tan.. 0 sin tan 0 0 sin.. b) Karena cos sin, maka : cos 0 ( sin ) 0 sin 0 sin sin Contoh 7. ( ) ( ) 6 tan Hitunglah. 7 ( 6) tan( ) 7 ( 6) tan( ) ( )( ) ( 6) ( ) tan ( ) ( ) 9

40 (. 6 ) (. ) UJI KOMPETENSI 5. Hitunglah nilai it it fungsi trigonometri berikut ini : a) sin π b) cos π π f. sin π 6 g. ( sin cos ) π π c) sin π h. cos π sin d) cos ( π ) i. π sin π π e) tan π 6 j. π tan. Hitunglah nilai it it berikut dengan menggunakan rumus rumus it fungsi trigonometri. sin ( ) a) e. 0 sin b) t k f. t 0 tan t 0 tan l ( ) c) sin θ 0 θ θ g. sin p 0 q d) ( π ) ( π ) sin h. π π π t π tan t 0

41 . Hitunglah nilai it it fungsi trigonometri berikut ini : sin a) 0 sin 8 cos f. 0 b) c) d) tan 5 g. 0 sin 6 tan tan sin ( ) ( ) ( π ) ( π ) tan π tan ( ) ( ) sin( ) h. ( 8) tan( ) cos cos a i. a a sin sin sin a e) j. 0 a a. Hitunglah nilai it it berikut : sin π h sin π a) h 0 h sin sin cos b) Hitunglah nilai it it berikut : a) b) a ( a) ( a) tan( a) ( a) ( a) ( a) a sin ( ) ( ) f h f 6. Untuk fungsi fungsi f() berikut ini, tentukanlah nilai dari. h 0 h a) f() sin d. f() sin b) f() cos e. f() cos c) f() sin f. f() sin cos

42 7. Untuk fungsi fungsi f() berikut ini, tentukanlah nilai dari a) f() sin c. f() sin b) f() cos d. f() cos c) π f ( ) π f. π F. TERAPAN LIMIT Misalnya suatu benda bergerak sepanjang garis lurus dengan persamaan gerak s f(t). Fungsi f menggambarkan gerakan benda dan dinamakan fungsi posisi. Perhatikan gambar berikut : posisi t a posisi t a h Q f(a) f(ah) P f(a) f(ah) - f(a) f(ah) f(ah) - f(a) O a ah Pada selang waktu t a sampai t a h, perubahan posisi benda adalah f(ah) - f(a). Perubahan posisi benda disebut perpindahan. Kecepatan merupakan jarak yang ditempuh benda per satuan waktu. Kecepatan rata rata pada selang waktu t a sampai t a h adalah : perpindahan kecepa tan rata rata waktu Akan dicari kecepatan rata rata selama selang waktu [a,ah] yang sangat pendek, yang berarti h mendekati nol. Untuk h mendekati nol, kecepatan rata ratanya disebut

43 kecepatan sesaat, yaitu kecepatan v(a) pada saat t a, sebagai it dari kecepatan rata rata. v ( a) h 0 f ( a h) f ( a) h Contoh. Sebuah benda bergerak dengan persamaan s t, s dalam meter dan t dalam detik. Tentukan kecepatan benda pada t detik? v v ( a) ( ) h 0 h 0 h 0 f f ( a h) f ( a) h ( h) f ( ) h ( ( h) ) ( ) ( ( h h ) ) h 0 h h ( ) 0 0 8h h h 0 h 0 8h h h 0 h h(8 h) h 0 h 8 h 0 h Jadi, kecepatan pada saat t detik adalah 8 m/detik.

44 Contoh. Sebuah partikel bergerak dengan persamaan s 5 t, s dalam cm dan t dalam detik. Hitunglah kecepatan partikel pada t detik? v v ( a) () h 0 h 0 h 0 f f ( a h) f ( a) h ( h) f ( ) 5 h ( h) 5( ) h h 0 6 5h h 6 h 0 6 5h h 6 5h 6 5h. h 0 h 6 5h ( ) 6 5h 6 h 0 h 6 5h ( ) 5h h 0 h 6 5h 8 5 ( ) 5 ( 6 5 ) h 0 h 5 Jadi, kecepatan partikel pada saat t detik adalah 8 5 cm/detik.

45 Kecepatan merupakan salah satu dari laju perubahan. Kecepatan merupakan laju perubahan jarak terhadap waktu. Laju perubahan yang lain misalnya kepadatan suatu kawat ( laju perubahan massa terhadap jarak), pendapatan marginal (laju perubahan pendapatan terhadap beberapa jenis produksi) dan arus listrik ( laju perubahan muatan listrik terhadap waktu). UJI KOMPETENSI 6. Sebuah roket ditembakkan vertical ke atas dengan persamaan gerak h 560-6t, h dalam meter dan t dalam detik. Arah positif dari gerakan adalah arah ke atas. Tentukan kecepatan sesaat roket seyelah detik ditembakkan?. Suatu kultur bakteri berkembang sehingga mempunyai massa sebesar t gram setelah t jam. Berapa laju perkembangan bakteri pada waktu t jam?. Sebuah partikel sepanjang suatu garis pada bidang koordinat. Jarak partikel itu dari titik asal pada akhir t detik adalah s meter yang memenuhi persamaan s t. Setelah berapa detik partikel itu mencapai kecepatan 0 m/detik?. Berat dalam gram suatu tumor yang membahayakan pada saat t adalah W(t) 0,t -0,09t, dengan t diukur dalam minggu. Carilah laju pertumbuhan tumor pada t 0 minggu? 5. Sebuah kota dijangkiti epidemic influenza. Petugas menaksir bahwa hari setelah mulainya epidemic, banyaknya orang yang sakit flu diberikan dengan persamaan p(t) 0t -t, untuk 0 t 0. Dengan laju berapa flu menular pada saat t 0, t 0, t 0? 5

46 G. NILAI LIMIT FUNGSI YANG MENDEKATI BILANGAN ALAM (e) ( MATERI PENGAYAAN ) Diberikan fungsi f : R R, dengan f ( ) ( ). Fungsi f tidak terdefinisi di 0, dan terdefinisi untuk semus nilai > 0. Akan dicari nilai f () untuk mendekati 0 dari kanan. Perhatikan tabel berikut : Dari tabel di atas, tampak bahwa jika mendekati 0 dari kanan, maka nilai f() akan mendekati nilai,788 e. Jadi, ( ) e. 0 ( ) 6

47 Selanjutnya dilihat fungsi g : R R, dengan g( ). Fungsi g tidak terdefinisi di 0. Akan dilihat nilai fungsinya untuk mendekati tak hingga. Perhatikan tabel berikut : X Dari tabel di atas, tampak bahwa jika mendekati tak hingga, maka nilai g() akan mendekati nilai,788 e. Jadi, e. Contoh. Hitunglah ( ) 0 0 ( ) ( ) 0.. ( ) e. 0 7

48 Contoh. 6 Hitunglah e UJI KOMPETENSI 7 Hitunglah nilai it it berikut ini :. ( ) 0. ( ) 0. ( ) 0 5. ( )

49 UJI KOMPETENSI AKHIR I. Pilihlah satu jawaban yang benar!. Nilai adalah. a. b. c. 0 d. e.. Nilai 9 9 adalah. a. 6 b. c. 0 d. e. 6. Nilai 9 adalah 7 a. 0 b. 5 c. 6,5 d. 8 e.. Nilai adalah a. 7 b. 7 c. 0 d. 7 e Nilai 5 adalah.. a. 0 b. c. d. e. 6. Nilai dari adalah 5 a. 9 b. c. 0 d. 7. Nilai 5 adalah.. e. a. b. 0 c. d. e. - cos 8. Nilai sin cos adalah.. π a. b. c. 0 d. e. cos 9. Nilai adalah. 0 tan a. 8 b. 6 c. d. 8 e. 6 9

50 tan sin 0. Nilai adalah.. 0 a. - b. 0 c. d. e. ( ) sin h sin. Nilai adalah h 0 h a. cos b. sin c. tan d. cot e. sec cos. Nilai 0 a. 6 adalah. b. c. - d. e. 5 sin( ). Nilai adalah... a. b. ( ) sin( ). Nilai c. - d. - adalah.. a. 0 b. 5 c. d. 0 e. cos cos5 5. Nilai adalah.. 0 tan a. b. c. d. 6 e. cos( ) 6. Nilai adalah a. 0 b. c. d. e. sin tan 7. Nilai adalah. 0 a. b. c. 0 d. e. 8. Nilai a. ( y) tan( y) y 9 9 y 9 b. 9 adalah c. d. 9 e. 0 e. 50

51 9. Nilai a a a tan ( a) adalah. a. 0 b. c. d. e. 0. Suatu kubus mempunyai panjang rusuk r. Volume kubus merupakan fungsi dalam variable r, yaitu f(r) r. Laju perubahan volume kubus terhadap r, pada saat r adalah.. a. 5 b. 7 c.8 d. 9 e. II. Jawablah pertanyaan berikut dengan benar!. Tentukan nilai it berikut : a. 5 0 b Tentukan nilai it berikut : a. b ( 7)( )( 5 7) 8 c. ( 5 ) d. ( ) ( ) ( ) f h f. Tentukan jika diketahui h 0 h a. f() 7 b. f() -6 c. f ( ) 5

52 . Tentukan nilai it berikut : tan 5 cos5 a. 0 sin cos ( 6 9) b. ( ) ( 5 6) sin( ) c. ( ) d. π 6 ( ) π cos π 5. Lebar suatu persegi panjang adalah cm, sedangkan panjangnya sama dengan empat kali lebarnya. a. Jika L menyatakan luas persegi panjang itu, nyatakan L sebagai fungsi dari. b. Tentukan laju perubahan luas L terhadap pada saat cm. 5

53 KUNCI JAWABAN UJI KOMPETENSI AKHIR I.. A. D 5. B 7. E 9. D. A. B 5. D 7. D 9. B II.. a. 5 b. 7. a. b. 6 c. 5. a. L b. cm 5

54 DAFTAR PUSTAKA Departemen Pendidikan Nasional. 00. Kurikulum 00: Standar Kompetensi Mata Pelajaran Matermatika untuk Sekolah Menengah Atas dan Madrasah Aliyah. Jakarta. Finney, Ross L. & Thomas, George B. 99. Calculus, nd edition. New York: Addison Wesley Publishing Company. Johannes dkk Kompetensi Matematika. Jakarta : Yudhistira. Noormandiri, Endar Sucipto Matematika untuk SMU, Jilid. Jakarta : Erlangga. Purcell, E.J. dan Varbeg D.Terjemahan Bana Kartasasmita dkk Kalkulus dan Geometri Analitik Jilid I, Edisi Kea. Jakarta: Erlangga. Sartono Wirodikromo. 00. Matematika untuk SMA. Jakarta : Erlangga. Siswanto Matematika Inovatif. Solo : Tiga Serangkai. Stewart, James. 00. Calculus, nd edition. USA : Thomson Learning Wodswort Group. Sumadi dkk Matematika SMU b. Solo : Tiga Serangkai. Sumartono Prawirosusanto. Catatan Kuliah Fisika Dasar I, MKDK Universitas Gadjah Mada. Yogyakarta. 5

55