BAB DASAR TEORI. Probabilitas Probabilitas epuyai bayak persaaa seperti keugkia, kesepata da kecederuga. Probabilitas eujukka keugkia terjadiya suatu peristiwa yag bersifat acak. Suatu peristiwa disebut acak jika terjadiya peristiwa tersebut tidak diketahui sebeluya. Oleh karea itu, probabilitas dapat diguaka sebagai alat ukur terjadiya peristiwa di asa yag aka datag. Nilai probabilitas yag palig kecil adalah 0 yag berarti bahwa peristiwa tersebut pasti tidak aka terjadi. Sedagka ilai probabilitas yag terbesar adalah yag berarti bahwa peristiwa tersebut pasti aka terjadi. Secara legkap, ilai probabilitas suatu peristiwa A adalah : 0 P ( A).. Defiisi probabilitas Defiisi egeai probabilitas dapat dilihat dari tiga aca pedekata. Yaitu pedekata klasik, pedekata frekuesi relatif da pedekata subjektif. A. Pedekata klasik eurut pedekata klasik, probabilitas didefiisika sebagai hasil bagi bayakya peristiwa yag diaksud dega seluruh peristiwa yag ugki. Uiversitas Suatera Utara
Diruuska : diaa : ( A) P ( A) (. ) ( S) P (A) Probabilitas terjadiya peristiwa A (A) Julah peristiwa A (S) Julah peristiwa yag ugki. B. Pedekata frekuesi relatif eurut pedekata frekuesi relatif, probabilitas dapat didefiisika sebagai berikut:. Proporsi waktu terjadiya suatu peristiwa dala jagka pajag, jika kodisi stabil.. Frekuesi relatif dari seluruh peristiwa dala sejulah besar percobaa. Probabilitas berdasarka pedekata ii serig disebut sebagai probabilitas Epiris. Nilai probabilitas ditetuka elalui percobaa, sehigga ilai probabilitas itu erupaka liit dari frekuesi relatif peristiwa tersebut. Diruuska : f X x) li, utuk diaa : P ( X x) Probabilitas terjadiya terjadiya peristiwa x f Frekuesi peristiwa X Bayakya peristiwa yag bersagkuta Uiversitas Suatera Utara
C. Pedekata subjektif eurut pedekata subjektif, probabilitas didefiisika sebagai tigkat kepercayaa idividu atau kelopok yag didasarka pada fakta- fakta atau peristiwa asa lalu yag ada atau berupa terkaa saja. Seorag direktur aka eilih seorag karyawa dari 3 orag calo yag telah lulus ujia sariga. etiga calo tersebut saa pitar, saa licah da seuaya peuh kepercayaa. Probabilitas tertiggi ( keugkia diteria ) ejadi karyawa ditetuka secara subjektif oleh sag direktur... Probabilitas beberapa peristiwa A. Peristiwa salig lepas ( utually Exclusive ) Dua peristiwa atau lebih disebut peristiwa salig lepas apabila kedua atau lebih peristiwa tersebut tidak dapat terjadi pada saat yag bersaaa. Utuk dua peristiwa A da peristiwa B yag salig lepas, aka probabilitas terjadiya peristiwa tersebut adalah sebagai berikut : P ( A B) A) + B). Sedagka utuk tiga peristiwa A, B da C yag salig lepas, aka probabilitas terjadiya peristiwa tersebut adalah : P ( A B C) A) + B) + C) Sehigga dapat disipulka, utuk k buah peristiwa yag salig lepas, aka probabilitas terjadiya peristiwa tersebut adalah : P ( E E E3... Ek ) E) + E ) + E3)... Ek ) Uiversitas Suatera Utara
B. Peristiwa tidak salig lepas ( No utually Exclusive ) Dua atau lebih peristiwa dikataka peristiwa tidak salig lepas apabila kedua atau lebih peristiwa tersebut dapat terjadi pada saat yag bersaaa. Utuk dua peristiwa A da B yag tidak salig lepas, probabilitas terjadiya peristiwa tersebut adalah : A B) A) + B) A B) Utuk tiga peristiwa A,B da C yag tidak salig lepas, aka probabilitas terjadiya peristiwa tersebut adalah : A B C) A) + B) + C) A B) A C) B C) + A B C) C. Peristiwa salig bebas Dua peristiwa atau lebih dikataka salig bebas apabila terjadiya peristiwa yag satu tidak epegaruhi atau dipegaruhi terjadiya peristiwa yag laiya. Utuk dua peristiwa A da peristiwa B yag salig bebas, probabilitas terjadiya peristiwa tersebut adalah : P ( A B) A). B) Sedagka utuk tiga peristiwa A, B da C yag salig bebas probabilitas terjadiya peristiwa tersebut adalah : P ( A B C) A). B). C) D. Peristiwa tidak salig bebas( Peristiwa bergatug) Dua peristiwa atau lebih dikataka peristiwa tidak salig bebas apabila terjadiya peristiwa yag satu epegaruhi atau dipegaruhi terjadiya peristiwa yag Uiversitas Suatera Utara
laiya.utuk dua peristiwa A da B yag tidak salig bebas, probabilitas terjadiya peristiwa tersebut adalah : P ( A B) A). B A) Sedagka utuk tiga peristiwa yag salig bebas, probabilitas terjadiya peristiwa tersebut adalah : A B C) A). B A) C ( A B) E. Peristiwa bersyarat Peristiwa bersyarat erupaka suatu peristiwa yag aka terjadi dega syarat peristiwa lai telah terjadi. Jika peristiwa B bersyarat terhadap peristiwa A, aka probabilitas terjadiya peristiwa tersebut adalah : B A) B A) A) F. Peristiwa kopleeter Peristiwa opleeter adalah peristiwa yag salig elegkapi. Jika peristiwa A kopleeter terhadap peristiwa B, aka probabilitas peristiwa tersebut adalah : P ( A) + B) yag juga berarti : A) B) B) A) Uiversitas Suatera Utara
. atriks.. Defiisi atriks atriks ialah suatu susua berbetuk epat persegi dari elee elee yag terdiri satu atau beberapa baris da kolo dibatasi dega tada kurug. Suatu atriks yag berukura x dapat ditulis : Dapat disigkat dega : ( ij ) ; i,,3,... Setiap j,,3,... ij disebut elee dari atriks sedag ideks i da j berturut turut eyataka baris da kolo. Jadi elee kolo ke j. ij eyataka elee pada baris ke i da.. Teorea atriks Berikut beberapa teorea dari atriks : a. Jika A ( a ij ) da B ( b ij ), da berukura saa x aka A + B ( a ij + bij ) b. Jika A ( a ij ) erupaka atriks berukura x da k adalah skalar, aka k. A ( ) ka ij c. Jika A ( a ij ) atriks berukura xp da ( b ij ) B atriks berukura px aka perkalia atriks AxB berlaku apabila sejulah kolo atriks A saa dega Julah baris atriks B. Uiversitas Suatera Utara
d. Jika A ( a ij ) da ( b ij ) B keduaya erupaka atriks berukura x aka : A B, jika a ij bij utuk seua ilai i da j A B ; jika aij bij utuk seua ilai i da j A > B ; jika a ij > bij utuk seua ilai i da j. Deikia juga halya utuk A B da A < B. e. atriks bujur sagkar adalah atriks diaa bayakya baris saa dega bayakya kolo. f. atriks Idetitas I adalah atriks bujur sagkar diaa elee di sepajag diagoal utaa ( diagoal kiri atas euju kaa bawah ) epuyai ilai etry. Sedagka elee yag laiya berilai ol. Utuk 3, atriks idetitasya adalah : I 3 0 0 0 0 0 0 g. atriks Traspos adalah atriks jika baris da kolo dari suatu atriks x dipertukarka ( baris pertaa dega kolo pertaa da seterusya), aka diperoleh suatu atriks x yag disebut traspos. Jika atris adalah : 3 3 aka Traspose dari atriks diotasika dega T A yaitu : T 3 3 Uiversitas Suatera Utara
..3 Operasi atriks a. esaaa atriks Duat atriks A da B dikataka saa jika kedua atriks idetik. Artiya kedua atriks tersebut epuyai tigkat yag saa da elee elee yag berkesesuaia saa. Jadi atriks A da B dikataka saa jika da haya jika a ij b ij utuk setiap i da j. b. Julah da selisih atriks atriks atriks yag epuyai ukura saa dapat diabil julah atau selisihya. Julah atau selisih dari dua atriks berukura x yaki atriks A da B adalah atriks C dega ukura yag saa. Jadi : A ± B C Diaa setiap elee dari atriks C adalah : c a ± b ij ij ij Hal ii dapat diperluas utuk beberapa atriks yag epuyai ukura saa. Jadi utuk atriks A, B da C berlaku : A ± B ± C D diaa d ij aij ± bij ± cij c. Pergadaa atriks dega skalar Jika suatu atriks A digadaka dega skalar k diaa ( k 0) ditulis ka aka suatu atriks yag diperoleh dega egalika setiap elee dari A dega skalar k. Jadi B ka diaa b ij kaij utuk seua i da j. Uiversitas Suatera Utara
d. Sifat sifat pokok atriks terhadap pejulaha da perkalia dega skalar. Jika A, B da C erupaka atriks yag epuyai diesi saa serta k k 0, aka : a. A + B B + A ; diaaka sifat outatif b. A + ( B + C) ( A + B) + C ; diaaka sifat Asosiatif c. ( A + B k A + k B ; diaaka sifat Distributif k ) d. ( + k A k A + k A k ) e. k k ) A k ( k ) ( A f. A + 0 A g. A + ( A) A A 0, h. A A da 0 A 0 i. Terdapat atriks D sedeikia rupa sehigga A + D B. Da dari sifat 4 da sifat 8 dapat dituruka bahwa : A + A A, A + A + A 3A, da seterusya. e. Pergadaa dua atriks atau lebih. Pergadaa dari dua atriks atau lebih dapat dilakuka jika bayak kolo dari atriks pegali saa dega bayak baris atriks yag dikali.dega kata lai hasil perkalia dari atriks A yag berukura xq da atriks B yag berukura qx adalah atriks C yag berukura x diaa elee elee dari atriks C erupaka julah hasil gada elee elee yag bersesuaia dari atriks A baris ke i dega kolo j dari atriks B.Jadi elee atriks C dapat ditulis : C q ( cij ) k a ik b kj diaa i,,... da j,,... Uiversitas Suatera Utara
f. Sifat sifat pokok pergadaaa atriks. Adaika atriks A, B da C dapat digadaka da k ( k 0) adalah skalar, aka dapat dituruka sifat sifat sebagai berikut :. Pada Uuya AB BA. ( AB ) C A( BC), diaaka sifat Asosiatif 3. A ( B + C) AB + AC, diaaka sifat Distributif iri 4. ( B + C) A BA + CA, diaaka sifat Distributif aa 5. k ( AB) ( ka) B A( kb) 6. AB 0, tidak perlu harus A 0atau B 0 7. AB BC, tidak perlu harus B C 8. 0 A 0 da B 0 0, 0 adalah atriks ol..4 Deteria suatu atriks a. Defiisi deteria Adaika suatu atriks kuadrat ( ij ) tigkat yag ditulis legkap sebagai berikut : Da hasil gada elee elee :... j j j Uiversitas Suatera Utara
Dari elee yag dipilih deikia sehigga terdapat haya satu elee dari setiap baris da sati dari setiap kolo. Utuk udahya faktor faktor ij dari persaaa di atas, disusu deikia sehigga ideks pertaa i ulai dari,,..., sedag ideks kedua j..., j j erupaka salah satu perutasi dari! perutasi dari ideks kedua didefiisika dega : perutasi. Selajutya setiap e, jika perutasi geap j j... j + -, jika perutasi gajil. Akhirya dibetuk hasil gada : e... j j... j j j j Deteria suatu atriks ( ij ) yag disigkat dega det() atau adalah julah seua hasil gada dari yag dibetuk dari atriks. Jadi : e...! j j... j j j j Diaa perjulaha ialah j..., j j dari bilaga bulat,,... b. ecari Nilai Deteria Suatu atriks. Ada beberapa cara yag diperkealka dala ecari ilai suatu atriks. Utuk atriks yag bertigkat atau tiga, cara craer erupaka cara yag serig diguaka. Dala cara Craer utuk atriks yag berderajat dua : Nilai deteriaya adalah :. Uiversitas Suatera Utara
Da utuk atriks yag berderajat tiga: 3 3 3 3 33 Nilai deteriaya adalah : ( 33 + 33 + 33 ) ( 33 + 33 + 33 )..5 Ivers suatu atriks a. Defiisi ivers suatu atriks isalka A atriks berukura x yag osigular, jika terdapat atriks B da berlaku : AB BA I aka atriks B disebut ivers dari atriks A. Jika tidak terdapat atriks B, aka atriks A disebut atriks sigular. b. ecari ivers suatu atriks. Ada beberapa cara ecari ivers suatu atriks, salah satuya adalah dega cara Adjoi atriks. Padag suatu atriks kuadrat tigkat yaki ( ij ) da isalka ij adalah kofaktor elee elee ij aka Adjoi suatu atriks disigkat adj adalah : Adj T Uiversitas Suatera Utara
Sedagka utuk atriks yag berderajad : Adjoi atriks adalah : Adj Dari (Adj ) I ( Adj ) I I ( Adj ) I Sehigga didapatka : T.3 Nilai da Vektor Eige.3. Defiisi da otasi Awala eige dala bahasa Jera dapat diartika sebagai sesuatu hal yag pribadi atau ciri. Dala kasus atrik, ilai eige erupaka ilai arakteristik dari dari atriks tersebut sehigga dari ilai eige dapat eberika gabara tetag atriks itu sediri. Nilai eige diotasika dega λ. Uiversitas Suatera Utara
ol x di Jika diberika atriks berukura x, dapat dicari ilai λ da vektor tak R sehigga berlaku : x λx Sehigga vektor tak ol yag diotasika dega x disebut vektor eige..3. Persaaa karakteristik Perasalaha ecari ilai eige dapat dipecahka elalui persaaa karakteristik. Berdasarka defiisi, vektor tak ol x erupaka vektor eige jika : x λx Dega I erupaka suatu atriks idetitas, persaaa di atas dapat kita tulis : x λix ( λ I) x O Utuk ilai x 0, hal ii terjadi jika da haya jika : det( λ I ) λi 0 Persaaa ii erupaka polio dala λ da disebut Persaaa arakteristik. Sehigga dapat disipulka bahwa bilaga real λ erupaka ilai eige dari atriks jika da haya jika λ eeuhi persaaa karakteristik λ I 0. atriks ( λi) dapat dijabarka sebagai : ( λ λi ) 3 λ 3 33 3 λ 3 3 λ Uiversitas Suatera Utara
Deteria dari suatu atriks erupaka perkalia suku dari atriksya, sehigga pagkat tertiggi yag ugki dari λ adalah yaki yag diperoleh dari perkalia suku dari diagoal atriks. Oleh kara itu, persaaa karakteristik dari suatu atriks yag berukura x adalah : f ( )... λ + λ λ + λ + λ + + Nilai eige erupaka akar akar dari polyoial karakteristik dari atriks.jika kita berika λ 0 pada λi yag juga berlaku utuk persaaa di atas, aka aka didapatka da eberika betuk uu : ( ).3.3 Proses diagoalisasi atriks a. Syarat suatu atriks dapat didiagoalka Suatu atriks berukura x dapat didiagoalka jika da haya jika atriks tersebut epuyai buah vektor eige yag bebas liear. Hipua vektor vektor x, x, x3,... x R dikataka bergatug liier jika ada skalar,( i,,3,... ) tidak seuaya ol sehigga berlaku: k i yag k x + k x +... k x 0 Sedagka bila seua k 0, aka disebut bebas liier. i Uiversitas Suatera Utara
b. Pediagoala atriks isalka atriks berukura x da epuyai buah vektor eige yag bebas liier. ita tulis vektor eige tersebut sebagai kolo dari atriks V yag juga berukura x tersebut sebagai berikut : V ( x x ) x atriks V di atas tak sigular karea epuyai vektor kolo di liier. V V ( x x ) x ( x x ) x R yag bebas area x i x λi i dega i λ erupaka ilai eige yag berkaita dega vektor eige x i.dega catata bahwa ugki terjadi beberapa vektor eige yag berbeda epuyai ilai eige yag saa. aka : V ( λ x λ x λ ) x isalka D erupaka atriks diagoal yag berisi ilai eige λ i yag berkaita dega x i, diasusika bahwa V da D erupaka atriks yag eiliki ukura yag saa, aka : VD ( x x ) x λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ VD ( λ x λ x λ ) x Sehigga dapat disipulka bahwa : V VD Uiversitas Suatera Utara
eudia karea atriks V epuyai ivers, persaaa di atas dapat dikalika dega V dari kaa sehigga diperoleh : VV VDV I VDV VDV Selajutya, dapat dicari : VD V (. ).4 Ratai arkov Ratai arkov sebearya erupaka betuk khusus dari odel probabilitas yag lebih uu da dikeal sebagai proses Stokastik..4. Defiisi ratai arkov Ratai arkov erupaka proses Stokastik dari variabel-variabel acak { ; 0,,,3... } X yag ebetuk suatu deret yag eeuhi sifat arkov..4. Sifat arkov Dala sifat arkov, jika diberika kejadia - kejadia yag telah berlalu ( past states) X 0, X, X,..., X da kejadia yag sedag berlagsug ( preset state ) X, aka kejadia yag aka datag ( future state ) X + bersifat bebas ( idepede ) dari kejadia-kejadia yag telah berlalu ( past state ) X 0, X, X,..., X. Artiya Uiversitas Suatera Utara
kejadia yag aka datag ( future state ) X + haya bergatug pada kejadia yag sedag berlagsug ( preset state) X. Utuk suatu pegaata yag prosesya sapai utuk waktu ke, aka distribusi ilai proses dari waktu ke + haya bergatug pada ilai dari proses pada waktu. Secara uu dapat dituliska: Pr( X i X 0 j0, X j,..., X j, X j ) Pr( X i X + + j )..4.3 Asusi asusi dasar ratai arkov Pegguaa ratai arkov terhadap suatu asalah eerluka peahaa tetag tiga keadaa yaitu keadaa awal, keadaa trasisi da keadaa setibagya. Dari tiga keadaa di atas, keadaa trasisi erupaka yag terpetig. Oleh karea itulah asusi asusi dala ratai arkov haya berhubuga dega keadaa trasisi. Asusi asusi dala ratai arkov adalah sebagai berikut : a. Julah probabilitas trasisi keadaa adalah b. Probabilitas trasisi tidak berubah selaaya. c. Probabilitas trasisi haya tergatug pada status sekarag, buka pada periode sebeluya..4.4 eada awal ratai arkov eadaa pada ratai arkov ditulis dala betuk vektor yag diaaka vektor keadaa. Vektor keadaa utuk suatu pegaata ratai arkov dega i keadaa adalah vektor kolo X diaa kopoeya yag ke i yakiya x i adalah Uiversitas Suatera Utara
probabilitas bahwa sisteya berada dala keadaa ke i pada waktu itu. Dapat dituliska : X x x x Utuk keadaa awal, vektor pada ratai arkov adalah keadaa ataupu probabilitas yag terjadi pada waktu yag sedag berlagsug. Vektor keadaa awal diotasika dega X 0...4.5 eadaa trasisi da probabilitasya eadaa trasisi adalah perubaha dari suatu keadaa ( status ) ke keadaa ( status ) laiya pada periode berikutya. eadaa trasisi ii erupaka suatu proses acak da diyataka dala betuk probabilitas da diotasika dega X. Probabilitas ii dikeal sebagai probabilitas trasisi. Probabilitas ii dapat diguaka utuk eetuka probabilitas keadaa atau periode berikutya. eadaa trasisi didapatka setelah keadaa awal X 0 diberika perubaha elalui suatu atriks yag disebut atriks Probabilitas Trasisi sebagai berikut: X X atriks Probabilitas Trasisi dari suatu ratai arkov adalah suatu atriks berderajat diaa tergatug kepada julah kejadia atau state pada ratai arkov tersebut. Elee pada atriks Probabilitas Trasisi adalah probabilitas perubaha suatu keadaa berada pada kejadia i jika pada asa sebeluya berada pada keadaa j. Uiversitas Suatera Utara
betuk : Utuk Ratai arkov dega tiga keadaa, atriks peralihaya epuyai eadaa awal 3 3 33 eadaa Baru 3 3 33 3 Da berlalu + + 3.4.6 eadaa setibag da probabilitasya. eadaa setibag adalah keadaa diaa proses setelah beberapa periode telah ecapai suatu keadaa yag tidak berubah ubah lagi da diotasika X. Jika keadaa setibag telah tercapai, aka probabilitas status periode ke i aka saa dega probabilitas pada status berikutya ( i+). Uiversitas Suatera Utara