Modul ini adalah modul ke-3 dalam mata kuliah Matematika. Isi modul ini

Aritmetika odular da Aritmetika Sosial ARITETIKA ODULAR DAN ARITETIKA SOSIAL podul p p3p p p PENDAHULUAN odul ii adalah modul ke-3 dalam mata kuliah atematika. Isi modul ii membahas tetag aritmetika modular da aritmetika sosial. odul ii terdiri dari 3 kegiata belajar. Pada kegiata belajar 1 aka dibahas megeai bilaga jam. Pada kegiata belajar 2 aka dibahas megeai aritmetika modular. Terakhir, pada kegiata belajar 3 aka dibahas megeai aritmetika sosial. Setelah mempelajari modul ii, Ada diharapka dapat memahami operasioperasi bilaga jam da operasi modular, kosep aritmetika sosial. Secara khusus setelah mempelajari modul ii, Ada diharapka dapat: 1. meyelesaika operasi pejumlaha pada bilaga jam 2. meyelesaika operasi peguraga pada bilaga jam 3. meyelesaika operasi perkalia pada bilaga jam 4. mejelaska sifat-sifat operasi pada bilaga jam 5. meyelesaika soal perhituga kogruesi 6. mejelaska sifat-sifat operasi pada kogruesi 7. meetuka kelas-kelas residu modulo 8. mejelaska pegertia buga tuggal 9. meyelesaika soal perhituga buga tuggal 10. mejelaska pegertia buga majemuk 11. meyelesaika soal perhituga buga majemuk PETUNJUK BELAJAR 1. Bacalah dega cermat pedahulua modul ii sehigga Ada memahami tujua da bagaimaa mempelajari modul ii. 2. Bacalah uraia materi dalam modul ii, tadailah kata-kata petig yag merupaka kuci. Pahami setiap kosep dalam uraia materi dega mempelajari cotoh-cotohya. 3. Jika megalami kesulita dalam mempelajari modul ii, diskusikalah dega tema-tema Ada atau dega tutor. 4. Pelajari sumber-sumber lai yag releva utuk memperluas wawasa. 5. Kerjaka soal-soal latiha dalam modul ii tapa melihat petujuk jawaba latiha terlebih dahulu. Apabila megalami kesulita, barulah Ada melihat petujuk jawaba latiha. 6. Kerjaka soal-soal tes formatif da periksa tigkat kemampua Ada dega mecocokka jawaba Ada dega kuci jawaba tes formatif. Ulagilah pegerjaa tes formatif ii sampai Ada bear-bear dapat megerjaka semua soal-soal tes formatif ii dega bear. Selamat Belajar, Semoga Sukses! atematika 85

Aritmetika odular da Aritmetika Sosial A. OPERASI PENJULAHAN PADA BILANGAN JA BILANGAN JA Coba Ada perhatika gambar 3.1 berikut. Pejumlaha pada bilaga jam merupaka suatu operasi perputara jarum jam ke arah kaa (positif). 4 3 1 2 Gambar 3.1 Gambar 3,1 merupaka suatu permukaa jam empata. Pada kodisi awal, jam meujukka jam 4. Kemudia kalau jarum jam digeraka ke arah kaa jam meujukka jam 1. Hal ii dapat dikataka bahwa: 4 + 1 = 1 (pejumlaha, seperti terlihat pada gambar 3.1 di atas). Coba Ada perhatika cotoh-cotoh berikut: 4 + 2 = 2. 4 + 3 = 3. 4 + 4 = 4. 2 + 3 = 1. 3 + 3 = 2. 3 + 4 = 3. Sebagai cotoh lai, perhatika jam delapaa berikut: 8 6 2 4 Gambar 3.2 86 atematika

Aritmetika odular da Aritmetika Sosial Pada sistem jam delapaa, coba Ada perhatika cotoh-cotoh berikut: 3 + 4 = 7. 5 + 3 = 8. 6 + 3 = 1. 8 + 2 = 2. 4 + 7 = 3. 7 + 6 = 5. Dega memperhatika cotoh-cotoh di atas maka dapat digeeralisasi pejumlaha bilaga pada sistem jam k-a. Jika a, b, merupaka agka-agka pada jam k-a, maka aka berlaku: a b, a b (a b) k, jika(a b) k jika (a b) k Cotoh 1: Pada sistem jam delapaa, tetukalah ilai dari: (1) 3 + 2. (2) 5 + 2. (3) 6 + 7. (4) 5 + 7. (5) 7 + 7. Peyelesaia: k = 8. (1) 3 + 2 = 5, karea 5 < 8. (2) 5 + 2 = 7, karea 7 < 8. (3) 6 + 7 = 13 8 = 5, karea 13 > 8. (4) 5 + 7 = 12 8 = 4, karea 12 > 8. (5) 7 + 7 = 14 8 = 6, karea 14 > 8. B. OPERASI PENGURANGAN PADA BILANGAN JA Coba Ada perhatika gambar 3.3 berikut. Peguraga pada bilaga jam merupaka suatu operasi perputara jarum jam ke arah kiri (egatif). 4 3 1 2 Gambar 3.3 atematika 87

Aritmetika odular da Aritmetika Sosial Gambar 3.3 merupaka suatu permukaa jam empata. Pada kodisi awal jam meujukka jam 4. Kemudia kalau jarum jam digeraka ke arah kiri, jam meujukka jam 3. Hal ii dapat dikataka bahwa: 4-1 = 3 (peguraga, seperti terlihat pada gambar 3.3 di atas). Coba Ada perhatika cotoh-cotoh berikut: 3-2 = 1. 4-3 = 1. 4-2 = 2. 2-3 = 3. 3-4 = 3. 2-2 = 4. Sebagai cotoh lai perhatika jam delapaa berikut: 8 6 2 \ 4 Gambar 3.4 Pada sistem jam delapaa, coba Ada perhatika cotoh-cotoh berikut: 5 4 = 1. 7 3 = 4. 8 2 = 6. 1 4 = 5. 3 4 = 7. 4 7 = 5. Dega memperhatika cotoh-cotoh di atas, maka dapat digeeralisasi peguraga bilaga pada sistem jam k-a. Jika a, b, merupaka agka-agka pada jam k-a, maka aka berlaku: a b k, jika a b a b, jika (a b) 0 a b 0 Cotoh 2: Pada sistem jam delapaa, tetukalah ilai dari: (1) 3 2. (2) 5 3. (3) 6 7. 88 atematika

Aritmetika odular da Aritmetika Sosial (4) 5 7. (5) 7 7. Peyelesaia: k = 8 (1) 3-2 = 1, karea 1 > 0. (2) 5-3 = 2, karea 2 > 0. (3) 6-7 = - 1 + 8 = 7, karea -1 0. (4) 5-7 = - 2 + 8 = 6, karea - 2 8. (5) 7 7 = 0 + 8 = 8, karea 0 0. C. OPERASI PERKALIAN PADA BILANGAN JA Perkalia bilaga jam merupaka suatu operasi pejumlaha agka-agka yag sama berulag kali pada bilaga jam. isalya, 3 x 4 = 4 + 4 + 4. Cotoh 3: Pada sistem jam delapaa, tetukalah hasil dari: (1) 2 x 4. (2) 3 x 2. (3) 3 x 4. (4) 5 x 3. (5) 4 x 7. Peyelesaia: k = 8 (1) 2 x 4 = 4 + 4 = 8. (2) 3 x 2 = 2 + 2 + 2 = 6. (3) 3 x 4 = 4 + 4 + 4 = 12 8 = 4. (4) 5 x 3 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15 8 = 7. (5) 4 x 7 = 7 + 7 + 7 + 7 = 28 (3x8) = 28 24 = 4. Dega memperhatika cotoh-cotoh di atas maka dapat digeeralisasi peguraga bilaga pada sistem jam k-a. Jika a, b, merupaka agka-agka pada jam k-a, maka aka berlaku: a x b a x b k ; bilaga cacah Cotoh 4: Pada sistem jam dua belasa, tetukalah hasil dari: (1) 4 x 2 (2) 5 x 3 (3) 6 x 4 (4) 7 x 5 (5) 8 x 10 atematika 89

Aritmetika odular da Aritmetika Sosial Peyelesaia: (1) 4 x 2 = 8 (0 x 12) = 8 ( = 0). (2) 5 x 3 = 15 (1 x 12) = 3 ( = 1). (3) 6 x 4 = 24 (1 x 12) = 12 ( = 2). (4) 7 x 5 = 35 (2 x 12) = 11 ( = 2). (5) 8 x 10 = 80 (6 x 12) = 8 ( = 6). D. OPERASI PEBAGIAN PADA BILANGAN JA Tabel 3.1 Perkalia pada Bilaga Jam Empata x 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 2 4 2 4 3 3 2 1 4 4 4 4 4 4 Perhatika tabel 3.1. Dapat kita lihat bahwa utuk beberapa bilaga pada sistem jam empata, pegerjaa bagi itu berlaku. Perhitugaya dapat kita lakuka karea pegerjaa bagi itu merupaka lawa dari pegerjaa kali. isalya, 2 : 3 = 2, karea 2 x 3 = 2. Aka tetapi 3 : 2 tidak mempuyai peyelesaia, karea tidak ada bilaga pada tabel tersebut yag bila dikalika dega 2 meghasilka 3. Berlaia lagi dega 2 : 2 yag mempuyai jawab 1 da 3, karea 1 x 2 = 2 da 3 x 2 = 2. Oleh karea itu, pegerjaa bagi pada sistem jam empata tidak tertutup. Kita tidak haya dapat membuat sistem jam empata, tetapi sistem jam k-a laiya. Da pegerjaa bagi pada aritmetika jam k-a tersebut tidak tertutup. E. SIFAT-SIFAT OPERASI PADA BILANGAN JA Berikut ii diberika diberika tabel pejumlaha, peguraga, da perkalia utuk sistem bilaga jam delapaa. Tabel 3.2 Pejumlaha pada Bilaga Jam Delapaa + 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 90 atematika

Tabel 3.3 Peguraga pada Bilaga Jam Delapaa - 1 2 3 4 5 6 7 8 1 8 7 6 5 4 3 2 1 2 1 8 7 6 5 4 3 2 3 2 1 8 7 6 5 4 3 4 3 2 1 8 7 6 5 4 5 4 3 2 1 8 7 6 5 6 5 4 3 2 1 8 7 6 7 6 5 4 3 2 1 8 7 8 7 6 5 4 3 2 1 8 Aritmetika odular da Aritmetika Sosial Tabel 3.4 Perkalia pada Bilaga Jam Delapaa x 1 2 3 4 5 6 7 8 1 1 2 3 4 5 6 7 8 2 2 4 6 8 2 4 6 8 3 3 6 1 4 7 2 5 8 4 4 8 4 8 4 8 4 8 5 5 2 7 4 1 6 3 8 6 6 4 2 8 6 4 2 8 7 7 6 5 4 3 2 1 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 Dari tabel di atas dapat ditujukka bahwa pada sistem bilaga jam secra umum berlaku sifat-sifat sebagai berikut: (1) Sifat Komutatif a + b = b + a. a x b = b x a. (2) Sifat Assosiatif a + (b + c) = (a + b) + c. a x (b x c) = (a x b) x c. (3) Sifat Distributif a x (b + c) = (a x b) + (a x c). a x (b - c) = (a x b) - (a x c). atematika 91

Aritmetika odular da Aritmetika Sosial Petujuk: Jawablah pertayaa dega sigkat da tepat! Utuk memperdalam pemahama megeai materi di atas, kerjakalah latiha berikut! 1. Dalam sistem jam empata, hasil dari operasi 4 2 adalah... 2. Dalam sistem jam eama, tetuka ilai x dari x + 3 = 2. 3. Dalam sistem jam delapaa, hasil dari operasi (7 + 6) (4 + 5) adalah... 4. Dalam jam delapaa, tetuka himpua peyelesaia dari ilai p persamaa 4 x p = 8. 5. Tetuka ilai k, jika pada jam k-a berlaku 4 9 = 6. Petujuk Jawaba Latiha Periksa secara seksama jawaba, kemudia cocokkalah jawaba dega kuci jawaba berikut: 1. 4 2 = 2. 2. x + 3 = 2 x = 2 3 x = -1 + 6 x = 5. 3. 7 + 6 = 13 8 = 5. 4 + 5 = 9 8 = 1. Sehigga, (7 + 6) (4 + 5) = 5 1 = 4. 4. Karea jam delapaa, ii artiya k = 8 4 x p = x 8 p = 2, dega aggota himpua bilaga cacah. Jadi, himpua peyelesaiaya adalah {2, 4, 6, 8}. 5. 4 9 = 6-5 + k = 6 Jadi, ilai k = 11. 1.Pejumlaha pada bilaga jam merupaka suatu operasi perputara jarum jam ke arah kaa (positif). 2. Peguraga pada bilaga jam merupaka suatu operasi perputara jarum jam ke arah kiri (egatif). 3. Perkalia bilaga jam merupaka suatu operasi pejumlaha agkaagka yag sama berulag kali pada bilaga jam. 4. Pada sistem bilaga jam berlaku sifat-sifat sebagai berikut: (1) Sifat Komutatif a + b = b + a. 92 atematika

Aritmetika odular da Aritmetika Sosial a x b = b x a. (2) Sifat Assosiatif a +( b + c) = (a + b) + c. a x ( b x c) = (a x b) x c. (3) Sifat Distributif a x (b + c) = (a x b) + (a x c). a x (b - c) = (a x b) - (a x c). Petujuk: Pilihlah salah satu jawaba yag diaggap palig tepat! 1. Dalam sistem jam empata, hasil dari operasi 1 3 adalah... A. 4 C. 2 B. 1 D. 3 2. Dalam sistem jam empata, hasil dari operasi 3 x 2 adalah... A. 1 C. 3 B. 2 D. 4 3. Pada sistem jam limaa, jika berlaku a 4 = 2 maka ilai a adalah... A. 1 C. 3 B. 2 D. 4 4. Pada sistem jam eama, jika berlaku 3b = 6 maka ilai b berikut ii memeuhi, kecuali... A. 6 C. 3 B. 2 D. 4 5. Pada sistem jam eama, jika berlaku 5c = 2 maka ilai c yag memeuhi adalah... A. 6 C. 2 B. 1 D. 3 6. Pada sistem jam delapaa, ilai dari 6(5 2) adalah... A. 2 C. 4 B. 3 D. 5 7. Pada sistem jam delapaa, jika berlaku 3(6 y) = 2 maka ilai y yag memeuhi adalah... A. 2 C. Jawaba A da B kedua-duaya salah B. 4 D. Jawaba A da B kedua-duaya bear atematika 93

Aritmetika odular da Aritmetika Sosial 8. Dalam sistem jam dua belasa berlaku persamaa 4(5 + y) = 8. Nilai y yag memeuhi persamaa tersebut adalah... A. 0, 2, 3, da 6 C. 0, 2, 3, da 9 B. 1, 2, 3, da 6 D. 0, 3, 6, da 9 9. Jika pada jam p-a berlaku operasi 8 3 7 = 9, maka ilai p adalah... A. 13 C. 9 B. 11 D. 7 10. Jika pada jam k-a berlaku operasi 4(3 5) = 8, maka ilai k adalah... A. 4 C. 12 B. 8 D. 16 Cocokka jawaba Ada dega megguaka kuci jawaba Tes Formatif 1 yag terdapat di bagia akhir baha belajar madiri ii. Hituglah jawaba Ada yag bear, kemudia guaka rumus di bawah ii utuk megetahui tigkat peguasaa Ada terhadap materi Kegiata Belajar 1. Rumus : Jumlah jawaba Ada yag bear Tigkat peguasaa = X 100 % 10 Arti tigkat peguasaa yag Ada capai : 90 % - 100% = Baik sekali 80 % - 89% = Baik 70% - 79 % = Cukup < 70% = Kurag Apabila tigkat peguasaa Ada telah mecapai 80 % atau lebih, Ada dapat meeruska dega Kegiata Belajar selajutya. Bagus! Tetapi apabila ilai tigkat peguasaa Ada masih di bawah 80 %, Ada harus megulagi Kegiata Belajar 1, terutama bagia yag belum Ada kuasai. 94 atematika

Aritmetika odular da Aritmetika Sosial A. PENGERTIAN ARITETIKA ODULAR ARITETIKA ODULAR Dalam aritmetika jam, lambag bilaga utuk bilaga palig besar dapat digati dega ol. Jika demikia maka aritmetika jam mejadi aritmetika modular. Bahasa aritmetika modular yag dibicaraka pada saat ii haya terbatas pada bilaga bulat positif. Dalam aritmetika modular peraa ol sama dega peraa bilaga terbesar pada arimetika jam. Sebagai cotoh 8 + 7 = 7 (dalam aritmetika jam delapaa) da 0 + 7 = 7 (dalam aritmetika modularya), sedagka 8 x 7 = 8 (dalam aritmetika jam delapaa) da 0 x 7 = 0 (dalam aritmetika modularya). Dalam aritmetika jam tigaa, haya mempuyai lambag bilaga 1, 2, da 3, sedagka pada aritmetika modular haya mempuyai lambag bilaga-bilaga 0, 1, da 2. Dalam aritmetika jam empata haya mempuyai lambag bilaga 1, 2, 3, da 4, sedagka dalam aritmetika modular empata haya mempuyai lambag bilaga 0, 1, 2, da 3. Jadi, jika bicara tetag aritmetika jam -a, maka lambag bilaga yag ada haya 1, 2, 3,..., da, sedagka jika bicara tetag aritmetika modular - a, lambag bilaga yag ada itu hayalah 0, 1, 2, 3,..., da -1 di maa bilagabilaga yag ditulis dega lambag bilaga 0, 1, 2, 3,..., da -1 itu merupaka sisa pembagia bilaga-bilaga oleh. Sekali lagi perlu diigat bahwa aritmetika jam itu sama saja dega aritmetika modular, haya bilaga terbesar da ol yag berbeda. Agar lebih jelas, berikut ii dibuat tabel pertambaha da perkalia utuk aritmetika modular tigaa da limaa. Tabel 3.5 Aritmetika odular Tigaa + 0 1 2 x 0 1 2 0 0 1 2 0 0 0 0 1 1 2 0 1 0 1 2 2 2 0 1 2 0 2 1 atematika 95

Aritmetika odular da Aritmetika Sosial + 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 4 1 1 2 3 4 0 2 2 3 4 0 1 3 3 4 0 1 2 4 4 0 1 2 3 Tabel 3.5 Aritmetika odular Limaa x 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 2 0 2 4 1 3 3 0 3 1 4 2 4 0 4 3 2 1 Telah dijajaki bahwa baik pada aritmetika jam maupu pada aritmetika modular, operasi tambah, kurag, da kali bersifat tertutup. Sedagka pegerjaa bagi tidak tertutup. Perhatika aritmetika modular -a dega merupaka bilaga prima, misalya = 7. Apakah operasi pembagia pada aritmetika modular tujuha bersifat tertutup? Utuk melihat tertutup tidakya operasi pembagia, cukup membuat tabel perkalia utuk aritmetika modular tujuha. Pada aritmetika modular tujuha haya ada lambag bilaga 0, 1, 2, 3, 4, 5, da 6. Tabel perkaliaya bisa lihat sebagai berikut: Tabel 3.6 Tabel Perkalia pada Aritmetika odular Tujuha x 0 1 2 3 4 5 6 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5 6 2 0 2 4 6 1 3 5 3 0 3 6 2 5 1 4 4 0 4 1 5 2 6 3 5 0 5 3 1 6 4 2 6 0 6 5 4 3 2 1 Pada aritmetika modular tujuha itu utuk setiap bilaga (kecuali ol) ada bilaga lai yag merupaka kebalikaya, yaitu 1 kebalika dari 1, 2 kebalika dari 4, 3 kebalika dari 5, 4 kebalika dari 2, 5 kebalika dari 3, da 6 kebalika dari 6. Apa sebabya? Sebabya karea pada aritmetika modular tujuha itu 1 x 1 = 1, 2 x 4 = 1, 3 x 5 = 1 da 6 x 6 = 1. Ii berarti bahwa pada aritmetika modular -a, setelah bilaga ol dikeluarka, operasi bagi bersifat tertutup jika merupaka bilaga prima. 96 atematika

Aritmetika odular da Aritmetika Sosial Cotoh 1: Dega megguaka permukaa jam, pada aritmetika modular delapaa, carilah: (1) 4 + 5. (2) 3 4. (3) 3 x 5. (4) 4 : 5. Peyelesaia: 0 6 2 4 Gambar 3.5 (1) 4 + 5 = 1. ulai dari 0 melagkah searah dega arah jarum jam sebayak 4 selag dilajutka dega 5 selag. (2) 3 4 = 7. ulai dari 0 melagkah sebayak 3 selag searah dega arah jarum jam, diikuti 4 selag lagkah berlawaa arah jarum jam. (3) 3 x 2 = 6. ulai dari 0 melagkah searah dega arah jarum jam 3 lagkah masig-masig lagkah terdiri dari 2 selag. (4) 4 : 3 = 4. ulai dari 4 melagkah berlawaa arah jarum jam terdiri dari 3 selag, sampai kembali ke-0. Utuk sampai ke-0 ii diperluka 4 lagkah. B. KONGRUENSI ejajaki pembahasa bagia ii, marilah ambil sebuah cotoh. Adaika hari kedua bula tertetu jatuh pada hari Sei, kemudia kita igi megetahui hari apa taggal 25 bula itu. Jika tidak ada kaleder, peyelesaiaya dapat dilakuka sebagai berikut: Satu miggu terdiri dari 7 hari, karea itu taggal 25, 18, 11, da 4 jatuh pada hari yag sama. Karea pada taggal 2 bula itu jatuh pada hari Sei, maka taggal 4 jatuh pada hari Rabu. Jadi taggal 25 bula itu jatuh pada hari Rabu. Cara di atas dilakuka dega peguraga berulag, maksudya adalah bahwa 4 itu diperoleh dari 25 dega jala meguragka 7 secara berulag dari 25. Tetapi peguraga secara berulag itu sama saja dega pembagia. aka 4 juga dapat diperoleh dega jala membagi 25 oleh 7 (4 merupaka sisaya). Taggal 25, 18, 11, da 4 jatuh pada hari yag sama karea jika 25, 18, 11, da 4 dibagi dega 7 sisaya sama, yaitu 4. Aritmetika jam merupaka betuk lai dari aritmetika bilaga bulat. Dalam aritmetika bilaga bulat ii jumlah a + b da perkalia a x b dari bilaga bulat a atematika 97

Aritmetika odular da Aritmetika Sosial da b didefiisika sebagai sisa pembagia oleh bilaga bulat m, dega m 0. Aritmetika modular yag sudah dibahas berdasar kepada kogrue modulo yag disimbolka dega otasi. isalya x 2 (modulo 3), dibaca x kogrue dega 2 modulo 3, artiya x itu adalah semua bilaga bulat yag jika dibagi 3 bersisa 2. Peulisa x 2 (modulo 3) lebih biasa ditulis dega x 2 (mod 3). Jika dua bilaga bulat a da b dibagi dega bilaga asli m da bersisa sama, maka dikataka bahwa a kogrue dega b modulo m da ditulis a b (mod m), atau b kogrue dega a modulo m da ditulis b a (mod m). Jadi jika a da b dua bilaga bulat (positif, egatif, atau ol) da m sebuah bilaga asli, maka a b (mod m) secara sederhaa berarti bahwa (a b) itu habis dibagi m. Atau dega perkataa lai jika a b (mod m) maka a b = km dega k merupaka bilaga bulat. Secara formal didefiisika sebagai berikut: Defiisi: Dua bilaga bulat a da b kogrue modulo m jika da haya jika: m (a b) (dibaca: m membagi (a b)). Jika a tidak kogrue dega b modulo m, maka dituliska dega: a b (mod m). Cotoh 2: (1) 17 9 (mod 8), sebab 17 da 9 jika dibagi 8 masig-masig bersisa sama, yaitu 1. Juga dapat dilihat bahwa (17 9) merupaka kelipata 8. (2) 43 7 (mod 9), sebab 43 da 7 jika dibagi 9 masig-masig bersisa sama, yaitu 7. Juga dapat dilihat bahwa (43-16) merupaka kelipata 9. (3) 37 5 (mod 6), sebab (37 5) buka merupaka kelipata 6 C. SIFAT-SIFAT RELASI KONGRUENSI Relasi dega tada pada a b (mod m) diamaka relasi kogruesi. Relasi kogruesi mempuyai sifat-sifat yag sama seperti relasi kesamaa. isalka a, b, c, da d adalah bilaga bulat da m adalah bilaga asli. Relasi kogruesi mempuyai sifat-sifat sebagai berikut: (1) Refleksif, yaitu a a (mod m) Sebab a a = 0 kelipata m, yaitu 0 = 0 x m. (2) Simetri. Jika a b (mod m) maka b a (mod m). Ii akibat lagsug dari defiisi. (3) Trasitif. Jika a b (mod m) da b c (mod m) maka a c (mod m). Buktiya silahka Ada coba sebagai latiha. D. SIFAT-SIFAT OPERASI HITUNG PADA KONGRUENSI (1) Jika a b (mod m), maka utuk c adalah sebarag bilaga bulat berlaku (a + c) (b + c) (mod m). 98 atematika

Aritmetika odular da Aritmetika Sosial Cotoh 3: 47 11 (mod 9), misalka jika diambil c = 5 maka: (47 + 5) (11 + 5) (mod 9), karea 52 16 = 36 merupaka kelipata 9. (2) Jika a b (mod m) da c d (mod m) maka (a + c) (b + d) (mod m). Cotoh 4: 47 11 (mod 9) da 56 29 (mod 9) maka: (47 + 56) (11 + 29) mod 9, karea 103 40 = 63 merupaka kelipata 9. (3) Jika (a + c) (b + c) (mod m) maka a b (mod m). Cotoh 5: (42 + 5) (6 + 5) (mod 9) maka: 42 6 (mod 9), karea 42 6 = 36 merupaka kelipata 9. (4) Jika a b (mod m), maka utuk c adalah sebarag bilaga bulat berlaku ac bc (mod m). Cotoh 6: 35 8 (mod 3), misalka diambil c = 4 maka: (35 x 4) (8 x 4) (mod 3), karea (35 x 4)-(8 x 4) = 140 32 = 108 merupaka kelipata 3. (5) Jika a b (mod m) da c d (mod m) maka ac bd (mod m). Cotoh 7: 7 4 (mod 3) da 11 5 (mod 3) maka: 7 x 11 = 4 x 5 (mod 3), 7 x 11 4 x 5 = 77 20 = 57 habis dibagi 3. (6) Jika ac bc (mod m) maka tidak selalu a b (mod m). Cotoh 8: 39 15 (mod 12) 13 x 3 5 x 3 (mod 12) 13 5 (mod 12). E. RELATIF PRIA Dua buah bilaga bulat a da b dikataka relatif prima jika FPB(a, b) = 1. Cotoh 9: (1) 20 da 3 relatif prima sebab FPB(20, 3) = 1. (2) 7 da 11 relatif prima karea FPB(7, 11) = 1. (3) 20 da 5 tidak relatif prima sebab FPB(20, 5) = 5 ¹ 1. Jika a da b relatif prima, maka terdapat bilaga bulat m da sedemikia sehigga ma + b = 1 atematika 99

Aritmetika odular da Aritmetika Sosial Cotoh 10: Bilaga 20 da 3 adalah relatif prima karea FPB(20, 3) =1, atau dapat ditulis 2.20 + ( 13).3 = 1, dega m = 2 da = 13. Tetapi 20 da 5 tidak relatif prima karea FPB(20, 5) = 5 ¹ 1 sehigga 20 da 5 tidak dapat diyataka dalam m.20 +.5 = 1. F. KONGRUENSI LINIER Sudah megetahui bahwa jika ac bc (mod m) maka tidak selalu a b (mod m ). Supaya ac bc (mod m) selalu berlaku a b (mod m) maka c da m harus merupaka bilaga prima relatif. Dalil: Jika ac bc (mod m) da d merupaka faktor persekutua terbesar (FPB) dari c da m m, maka a b( mod ) d Cotoh 11: Sederhaakalah 30 48 (mod 9). Peyelesaia : 30 48 (mod 9) 5 x 6 8 x 6 (mod 9), karea FPB dari 6 da 9 sama dega 3 maka 5 x 6 8 x 6 (mod 9) mejadi 5 8 (mod 3). Jika bilaga bulat dibagi oleh 3 maka sisaya adalah 0, 1, atau 2. Atau bilaga bulat itu telah dibagi mejadi 3 kelas yag berbeda, yaitu kelas yag kogrue dega 0 (mod 3), kelas yag kogrue dega 1 (mod 3) da kelas yag kogrue dega 2 (mod 3). Dikataka bahwa kumpula bilaga bulat itu telah dipisahka mejadi tiga set bilaga yag disebut kelas-kelas residu modulo 3. Jadi kelaskelas residu modulo 3 itu adalah: [0] = {..., -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9,...}. [1] = {..., -8, -5, -2, 1, 4, 7, 10,...}. [2] = {..., -7, -4, -1, 2, 5, 8, 11,...}. Pada umumya dalam kogruesi modulo m, dega m bilaga bulat tertetu yag lebih besar dari 1, kumpula bilaga bulat itu terbagi mejadi m kelas, yag disebut kelas-kelas residu modulo m, di maa sebarag dua usur dari kelas yag sama adalah kogrue, sedagka usur-usur dari kelas-kelas yag berbeda tidak kogrue. 100 atematika

Aritmetika odular da Aritmetika Sosial Petujuk: Jawablah pertayaa dega sigkat da tepat! Utuk memperdalam pemahama megeai materi di atas, kerjakalah latiha berikut! 1. Apakah 123 17 (mod 3). 2. Buktika bahwa jika a b (mod m) da b c (mod m) maka a c (mod m). 3. Jika 5 3 (mod 2), tujukka bahwa 100 36 (mod 2). 4. Sederhaakalah 120 168 (mod 24). PETUNJUK JAWABAN LATIHAN Periksa secara seksama jawaba, kemudia cocokkalah jawaba dega kuci jawaba berikut: 1. Buka. Karea 123 17 = 106, da 106 buka merupaka kelipata dari 3. 2. Bukti: a b (mod m), maka a b = k 1.m b c (mod m), maka b c = k 2.m + a c = (k 1 + k 2 )m Karea a c = (k 1 + k 2 )m, maka a c (mod m). 3. 5 3 (mod 2) maka 20 12 (mod 2) dari 5 3 (mod 2) da 20 12 (mod 2), maka didapat : 5 x 20 3 x 12 (mod 2) 100 36 (mod 2). 4. 120 168 (mod 24) 5 x 24 7 x 24 (mod 24) Kemudia kita cari dari 24 da 24, da didapat 24, sehigga: 5 x 24 7 x 24 (mod 24) mejadi: 24 5 7mod 24 Jadi, betuk sederhaa dari 120 168 (mod 24) adalah 5 º 7 (mod 1). atematika 101

Aritmetika odular da Aritmetika Sosial 1. Aritmetika modular bisa didapatka dari aritmetika jam, yaitu dega melakuka peggatia lambag bilaga palig besar oleh bilaga ol. 2. Dalam aritmetika modular peraa ol sama dega peraa bilaga terbesar pada arimetika jam. Sehigga utuk aritmetika jam tigaa, lambag bilaga yag diguaka 1, 2, da 3, sedagka pada aritmetika modular lambag bilagaya adalah 0, 1, da 2. 3. Pada aritmetika modular, operasi tambah, kurag, da kali bersifat tertutup, sedagka operasi bagi tidak bersifat tertutup. 4. isalya x 2 (modulo 3), dibaca x kogrue dega 2 modulo 3, artiya x itu adalah semua bilag bulat yag jika dibagi 3 bersisa 2. Peulisa x 2 (modulo 3) lebih biasa ditulis dega x 2 (mod 3). 5. Jika dua bilaga bulat a da b bagi dega bilaga asli m da bersisa sama, maka dikataka bahwa a kogrue dega b modulo m da ditulis a b (mod m), atau b kogrue dega a modulo m da ditulis b a (mod m). 6. Jadi jika a da b dua bilaga bulat (positif, egatif, atau ol) da m sebuah bilaga asli, maka a b (mod m) secara sederhaa berarti bahwa (a b) itu habis dibagi m. 7. Dua bilaga bulat a da b kogrue modulo m jika da haya jika m (a b). Sedagka jika a tidak kogrue dega b modulo m, maka dituliska dega a b (mod m). 8. Sifat-sifat Relasi Kogruesi isalka a, b, c, da d adalah bilaga bulat da m adalah bilaga asli. Relasi kogruesi mempuyai sifat-sifat sebagai berikut: a. Refleksif, yaitu a a (mod m). b. Simetri. Jika a b (mod m) maka b a (mod m). c. Trasitif. Jika a b (mod m) da b c (mod m) maka a c (mod m). 9. Sifat-sifat Operasi Hitug pada Kogruesi a. Jika a b (mod m), maka utuk c adalah sebarag bilaga bulat berlaku (a + c) (b + c) (mod m). b. Jika a b (mod m) da c d (mod m) maka (a + c) (b + d) (mod m). c. Jika (a + c) (b + c) (mod m) maka a b (mod m). d. Jika a b (mod m), maka utuk c adalah sebarag bilaga bulat berlaku ac bc (mod m). 102 atematika

Aritmetika odular da Aritmetika Sosial e. Jika a b (mod m) da c d (mod m) maka a.c) b.d (mod m). f. Jika ac bc (mod m) maka tidak selalu a b (mod m). 10. Dua buah bilaga bulat a da b dikataka relatif prima jika (a, b) = 1. Jika a da b relatif prima, maka terdapat bilaga bulat m da sedemikia sehigga ma + b = 1. 11. Jika ac bc (mod m) da d merupaka faktor persekutua terbesar m (FPB) dari c da m, maka a b( mod ). d 12. Suatu kogruesi modulo m, dega m bilaga bulat tertetu yag lebih besar dari 1, aka membagi kumpula bilaga bulat mejadi m kelas, yag disebut kelas-kelas residu modulo m. Petujuk: Pilihlah salah satu jawaba yag diaggap palig tepat! 1. Dari bilaga-bilaga berikut, pasaga bilaga yag relatif prima adalah... A. 7 da 17 C. 5 da 15 B. 6 da 16 D. 4 da 14 2. Jika 27 5 (mod m), maka ilai m yag memeuhi adalah... A. 5 C. 3 B. 4 D. 2 3. Jika a 11(mod 3), maka ilai a yag memeuhi adalah... A. 4 C. 6 B. 5 D. 7 4. Jika 19 b(mod 8), maka ilai b yag memeuhi adalah... A. 25 C. 29 B. 27 D. 31 5. Nilai x yag memeuhi 13x 9(mod 25) adalah... A. 9 C. 18 B. 12 D. 21 6. Nilai x = 5 adalah merupaka peyelesaia dari... A. 5x 7(mod 8) C. 11x 5(mod 4) B. 7x 3(mod 4) D. 3x 13(mod 5) 7. Nilai x yag memeuhi (x + 15) 7(mod 6) adalah... A. 10 C. 20 B. 15 D. 25 atematika 103

Aritmetika odular da Aritmetika Sosial 8. Nilai a da b yag memeuhi a 23(mod b) adalah... A. a = 9 da b = 5 C. a = 5 da b = 4 B. a = 7 da b = 5 D. a = 3 da b = 5 9. Betuk sederhaa dari 45 195 (mod 10) adalah... A. 5 17 (mod 5) C. 3 8 (mod 5) B. 3 13 (mod 2) D. 5 3 (mod 2) 10. Bilaga bulat positif terkecil yag memeuhi 7x 5(mod 4) adalah... A. 2 C. 4 B. 3 D. 5 Cocokka jawaba Ada dega megguaka kuci jawaba Tes Formatif 2 yag terdapat di bagia akhir baha belajar madiri ii. Hituglah jawaba Ada yag bear, kemudia guaka rumus di bawah ii utuk megetahui tigkat peguasaa Ada terhadap materi Kegiata Belajar 2. Rumus : Jumlah jawaba Ada yag bear Tigkat peguasaa = X 100 % 10 Arti tigkat peguasaa yag Ada capai : 90 % - 100% = Baik sekali 80 % - 89% = Baik 70% - 79 % = Cukup < 70% = Kurag Apabila tigkat peguasaa Ada telah mecapai 80 % atau lebih, Ada dapat meeruska dega Kegiata Belajar selajutya. Bagus! Tetapi apabila ilai tigkat peguasaa Ada masih di bawah 80 %, Ada harus megulagi Kegiata Belajar 2, terutama bagia yag belum Ada kuasai. 104 atematika

Aritmetika odular da Aritmetika Sosial A. PENGERTIAN BUNGA TUNGGAL ARITETIKA SOSIAL Buga adalah uag jasa yag dibayarka atas suatu pijama atau atas suatu ivestasi (simpaa) dari bak, koperasi, atau pribadi yag kovesiaoal. Buga dari suatu modal biasaya diyataka dega persetase, da diperhitugka utuk setiap periode waktu tertetu sesuai dega kesepakata bersama, misalya satu hari, satu bula, satu tahu, da sebagaiya. Apabila buga yag dibayarka pada setiap periode waktu tertetu dega besar modal yag dijadika dasar perhituga buga utuk setiap periode waktu tersebut selalu tetap, maka buga tersebut diamaka buga tuggal. B. ETODE PERHITUNGAN BUNGA TUNGGAL Rumus yag diguaka utuk meghitug buga tuggal adalah sebagai berikut: B = x b x dega: B = buga tuggal. = modal. b = suku buga (persetase buga). = waktu. Waktu () dapat dihitug dalam tahu, bula, da hari, sehigga rumus tersebut mejadi: (1) Rumus buga tuggal jika dalam tahu: B = x b x (2) Rumus buga tuggal jika dalam bula: B x b x 12 (3) Rumus buga tuggal jika dalam hari: B x b x 360 Sedagka, rumus yag diguaka utuk meghitug besar modal akhir yag harus dikembalika setelah masa pijama selesai adalah sebagai berikut: = + B atematika 105

Aritmetika odular da Aritmetika Sosial dega: = modal akhir. = modal awal. B = buga. Agar Ada dapat memahami perhituga buga tuggal, pelajarilah cotohcotoh berikut. Cotoh 1: Pak Hasa memijam uag utuk modal usaha pertaia kepada sebuah koperasi sebesar Rp 15.000.000,00 dega suku buga 11% setahu da dihitug dega cara buga tuggal. Hituglah besar buga selama 150 hari! Peyelesaia: = 15.000.000, b = 11%, da = 150. Nilai-ilai tersebut subtitusika ke rumus: B x b x Diperoleh: 360 150 15.000.000 x 11% x 687.500 360 Jadi, besar buga selama 150 hari adalah Rp 687.500,00. Cotoh 2: Pada suatu trasaksi pemijama modal di suatu bak, Ibu Aisa da pihak bak yag kovesioal bersepakat bahwa perhituga bugaya berdasarka buga tuggal dega suku buga 12% setahu da Ibu Aisa aka megembalika seluruh modal da bugaya setelah 5 tahu. Setelah dihitug teryata pegembalia seluruh modal da bugaya setelah 5 tahu tersebut besarya adalah Rp 16.000.000,00. Berapa rupiah besar pijama Ibu Aisa kepada bak tersebut? Peyelesaia: b = 12%, = 5, da 5 = 16.000.000. Nilai-ilai tersebut subtitusika ke rumus: = + B = + ( x b x ) = [1 +( b x )] = Diperoleh: Μ 1 (b x ) 16.000.000 16.000.000 16.000.000 10.000.000 1 (12% x 5) 1 0,6 1,6 Jadi, besar pijama Ibu Aisa kepada bak tersebut adalah Rp 10.000.000,00. 106 atematika

Aritmetika odular da Aritmetika Sosial Cotoh 3: Pak Taufik meyimpa modal kepada sebuah koperasi sebesar Rp 3.000.000,00 dega suku buga tuggal. Setelah 3 bula teryata Pak Taufik meerima buga sebesar Rp 75.000,00. Berapa persekah buga yag dikeaka koperasi dalam satu tahu? Peyelesaia: = 3.000.000, = 3, da B = 75.000. Nilai-ilai tersebut subtitusika ke rumus: B x b x B b x Diperoleh: b 12 12 75.000 75.000 3.000.000 x 0,25 75.000 750.000 0,1 10% 3 3.000.000 x 12 Jadi, buga yag dikeaka koperasi dalam satu tahu adalah 10%. Cotoh 4: Ibu Halimah memijam uag sebesar Rp 18.000.000,00 dega suku buga 9% setahu da dihitug dega cara buga tuggal kepada sebuah bak. Bila setelah 4 tahu Ibu Halimah merecaaka utuk megembalika seluruh uag pijama beserta bugaya, berapa rupiah besar uag yag aka diberika oleh Ibu Halimah? Peyelesaia: = 18.000.000, b = 9%, = 4 Hitug terlebih dahulu besar buga, dega rumus: B = x b x Diperoleh: = 18.000.000 x 9% x 4 = 6.480.000. Kemudia hitug besar modal akhir, dega rumus: = + B. Diperoleh: 4 = 18.000.000 + 6.480.000 = 24.480.000. Jadi, besar uag yag aka diberika oleh Ibu Halimah adalah Rp 24.480.000,00. Cotoh 5: Seorag pedagag meyimpa modal sebesar Rp 5.000.000,00 atas suku buga tuggal 10,5% setahu. Agar modal mejadi Rp 6.050.000,00, berapa bulakah modal itu harus disimpa? atematika 107

Aritmetika odular da Aritmetika Sosial Peyelesaia: = 5.000.000, b = 10,5%, da = 6.050.000. Nilai-ilai tersebut disubtitusika ke rumus: = + B = + ( x b x ) 12 - x b x 12 12( - ) x b x 12( x b Diperoleh: - ) 12(6.050.000-5.000.000) 12.600.000 24. 5.000.000 x 10,5% 525.000 Jadi, agar modal mejadi Rp 605.000,00, modal itu harus disimpa selama 24 bula. C. PENGERTIAN BUNGA AJEUK Bila seseorag meyimpa sejumlah modal di suatu bakyag kovesioal, maka pada akhir periode pertama modal tersebut aka meghasilka buga. Buga tersebut bisa diambil atau tidak. Apabila buga pada periode pertama tersebut tidak diambil, maka pada perhituga periode kedua buga tersebut ditambahka ke modal awal sehigga mejadi modal baru. odal baru tersebut dijadika dasar perhituga buga utuk periode berikutya. odal yag diperbugaka dega cara tersebut diperbugaka berdasarka buga majemuk. D. ETODE PERHITUNGAN BUNGA AJEUK isalka suatu modal awal ( 0 ) diperbugaka atas suku buga majemuk b setahu, maka dapat kita tetuka bahwa: (1) odal pada akhir tahu pertama: 1 = 0 + b 0 1 = 0 (1 + b) (2) odal pada akhir tahu kedua: 2 = 1 + b 1 2 = 0 (1 + b) + b[ 0 (1 + b)] 2 = 0 (1 + b)(1 + b) 2 = 0 (1 + b) 2 (3) odal pada akhir tahu ketiga 3 = 2 + b 2 3 = (1 + b) 2 + b[(1 + b) 2 ] 3 = (1 + b) 2 (1 + b) 3 = (1 + b) 3 (4) da seterusya... 108 atematika

Aritmetika odular da Aritmetika Sosial Sehigga, rumus yag diguaka utuk perhituga besar modal akhir tahu ke- adalah: = 0 (1 + b) dega: = modal akhir. 0 = modal awal. b = suku buga (persetase buga). = waktu. Agar Ada dapat memahami perhituga buga majemuk, pelajarilah cotohcotoh berikut. Cotoh 6: Pak Yusuf mempuyai simpaa sebesar Rp 5.000.000,00 di suatu bakyag kovesioal. Pak Yusuf meerima suku buga majemuk 1,5% sebula. Berapa jumlah uag yag aka diterima Pak Yusuf setelah 2,5 tahu? Peyelesaia: 0 = 5.000.000, = 2,5 tahu = 30 bula, da b = 1,5%. Nilai-ilai tersebut disubtitusika ke rumus: = 0 (1 + b) Diperoleh: 30 = 5.000.000(1 + 1,5%) 30 = 5.000.000(1,015) 30 = 7.815.401,102. Jadi, jumlah uag yag aka diterima Pak Yusuf setelah 2,5 tahu adalah Rp 7.815.401,102. Cotoh 7: Sebuah koperasi memijamka sejumlah uag kepada Ibu Khodijah yag dihitug atas suku buga majemuk 11,5% setahu. Setelah 8 tahu Ibu Khodijah harus megembalika pijama da bugaya sebesar Rp 25.000.000,00. Berapakah besar pijama Ibu Khodijah itu? Peyelesaia: b = 11,5%, = 8, da 8 = 25.000.000. Nilai-ilai tersebut disubtitusika ke rumus: = 0 (1 + b) 0 (1 b) atematika 109

Aritmetika odular da Aritmetika Sosial Diperoleh: 25.000.000 25.000.000 14.506.601,19 0 (1 11,5%) 5 (1,115) 5 Jadi besar uag yag dipijam Ibu Khodijah adalah Rp 14.506.601,19. Cotoh 8:Cotoh 8: Suatu modal sebesar Rp 2.000.000,00 disimpa atas suku buga majemuk. Setelah 8 tahu, modal tersebut mejadi Rp 6.556.829,78. Berapa % buga tiap tahuya? Peyelesaia: 0 = 2.000.000, = 8, da 8 = 6.556.829,78. Nilai-ilai tersebut disubtitusika ke rumus: = 0 (1 + b) 0 (1 b) (1 b) ((1 1 b b Diperoleh: 1 b) ) 0 0 0 1 1-1 0 1 b 1 8 6.556.829,78-1 1,16-1 0,16 16% 2.000.000 Jadi, buga tiap tahuya adalah 16%. 110 atematika

Aritmetika odular da Aritmetika Sosial Cotoh 9: Seorag pegraji kayu memijam modal sebesar Rp 4.000.000,00 atas suku buga majemuk sebesar 1,5% sebula. Apabila ia harus megembalika pijama da buga sebesar Rp 5.500.000,00. Berapa bulakah lamaya modal itu dipijam? Peyelesaia: 0 = 4.000.000, b = 1,5%, da = 5.500.000. Nilai-ilai tersebut disubtitusika ke rumus: = 0 (1 + b) 0 (1 b) log log (1 b) 0 log log (1 b) 0 log 0 log (1 b) Diperoleh: 5.500.000 log 4.000.000 21,4 log (1 1,5%) Jadi, modal itu dipijamka selama 21,4 bula. Petujuk: Jawablah pertayaa dega sigkat da tepat! Utuk memperdalam pemahama Ada megeai materi di atas, kerjakalah latiha berikut! 1. Sebuah koperasi memijamka sejumlah uag kepada Ibu imi. Pihak koperasi da Ibu imi bersepakat bahwa perhituga bugaya berdasarka buga tuggal dega suku buga 10,25% setahu. Ibu imi aka megembalika seluruh modal da bugaya setelah 4,5 tahu. Setelah dihitug seluruh pijama da bugaya selama 4,5 tahu besarya adalah Rp 12.420.625,00. Berapa rupiah besar pijama Ibu imi kepada koperasi tersebut? atematika 111

Aritmetika odular da Aritmetika Sosial 2. Pak Hasyim megivestasika modalya di sebuah bak yag kovesioal sebesar Rp 35.000.000,00 atas suku buga tuggal 9,5% setahu. Agar modal mejadi sebesar Rp 43.312.500,00, berapa bulakah modal itu harus disimpa? 3. Suatu modal sebesar Rp 17.500.000,00 disimpa Pak Budi di sebuah koperasi atas suku buga majemuk. Setelah 45 bula, modal tersebut mejadi Rp 27.218.238,04. Berapa % buga tiap tahuya? 4. Pada suatu trasaksi pemijama modal di suatu bak yag kovesioal, Pak Yauar memijamka sejumlah uag yag dihitug atas suku buga majemuk 12,5% setahu. Setelah 75 bula, Pak Yauar harus megembalika seluruh pijama da bugaya sebesar Rp 20.878.690,92. Berapakah besar pijama Pak Yauar? 5. Seorag age beras memijam modal sebesar Rp 8.000.000,00 atas suku buga majemuk sebesar 11,5% setahu. Apabila ia harus megembalika pijama da buga sebesar Rp 11.709.868,63. Berapa tahukah modal itu dipijam? Petujuk Jawaba Latiha Periksa secara seksama jawaba Ada, kemudia cocokkalah jawaba Ada dega kuci jawaba berikut: 1. b = 10,25%, = 4,5, da 4,5 = 12.420.625. Nilai-ilai tersebut subtitusika ke rumus: = + B = + ( x b x ) = [1 +( b x )] Μ = 1 (b x ) Diperoleh: 12.420.625 12.420.625 8.500.000 1 12.420.625 (10,25% x 4,5) 1 0,46125 1,46125 Jadi, besar pijama Ibu imi kepada koperasi tersebut adalah Rp 8.500.000,00. 2. = 35.000.000, b = 9,5%, da = 43.312.500. Nilai-ilai tersebut disubtitusika ke rumus: = + B = + ( x b x ) 12 - x b x 12 12( - ) x b x 12( - ) x b Diperoleh: 12(43.312.500-35.000.000) 35.000.000 x 9,5% 99.750.000 3.325.000 30 Jadi, agar modal mejadi Rp 43.312.500,00, modal itu harus disimpa selama 30 bula. 112 atematika

Aritmetika odular da Aritmetika Sosial 3. 0 = 17.500.000, = 45 bula = 3,75 tahu, da 8 = 27.218.238,04. Nilai-ilai tersebut disubtitusika ke rumus: = 0 (1 + b) (1 b) 0 (1 b) ((1 b) 1 b b Diperoleh: 0 1 ) 1 0 1-1 0 0 1 1 3,75 b 27.218.238,04-1 1,16-1 0,125 12,5% 17.500.000 Jadi, buga tiap tahuya adalah 12,5%. 4. b = 12,5%, = 75 bula = 6,25 tahu, da 6,25 = 20.878.690,92. Nilai-ilai tersebut disubtitusika ke rumus: = 0 (1 + b) 0 (1 b) Diperoleh: 20.878.690,92 20.878.690,92 0 10.000.000 (1 12,5%) 6,25 (1,125) 6,25 Jadi besar uag yag dipijam Ibu Khodijah adalah Rp 14.506.601,19. 5. 0 = 8.000.000, b = 11,5%, da = 11.709.868,63. Nilai-ilai tersebut disubtitusika ke rumus: = 0 (1 + b) (1 b) 0 log log (1 b) 0 atematika 113

Aritmetika odular da Aritmetika Sosial log log (1 b) 0 log 0 log (1 b) Diperoleh: 11.709.868,63 log 8.000.000 3,5 log (1 11,5%) Jadi, modal itu dipijamka selama 3,5 tahu. 1. Buga tuggal adalah buga yag dibayarka pada setiap periode waktu tertetu dega besar modal yag dijadika dasar perhituga buga utuk setiap periode waktu tersebut selalu tetap. 2. Rumus utuk meghitug buga tuggal adalah: B =.b. dega: B = buga tuggal = modal b = suku buga (persetase buga) = waktu 3. Rumus utuk meghitug besar modal akhir pada buga tuggal adalah: = + B dega: = modal akhir = modal awal B = buga 4. Buga majemuk adalah buga yag meghasilka buga, yaitu jika buga pada periode pertama tidak diambil maka pada perhituga periode kedua buga tersebut ditambahka ke modal sehigga mejadi modal baru. odal baru tersebut dijadika dasar perhituga buga utuk periode berikutya. 5. Rumus perhituga buga majemuk: = 0 (1 + b) dega: = modal akhir b = suku buga (persetase buga) 0 = modal awal = waktu 114 atematika

Aritmetika odular da Aritmetika Sosial Petujuk: Pilihlah salah satu jawaba yag diaggap palig tepat! 1. Sejumlah uag jasa yag dibayarka atas suatu pijama atau atas suatu ivestasi (simpaa) dari bak, koperasi, atau pribadi yag kovesioal diamaka... A. Discout. C. Suku buga. B. Buga. D. Persetase. 2. Buga yag dibayarka pada setiap periode waktu tertetu dega besar modal yag dijadika dasar perhituga buga utuk setiap periode waktu tersebut selalu tetap, diamaka... A. Buga berbuga. C. Buga tetap. B. Buga majemuk. D. Buga tuggal. 3. Rumus yag diguaka utuk meghitug modal akhir dega buga majemuk adalah... A. 0 (1 + b) +. C. 0 (1 + b). B. 0 (1 + b) x. D. 0 (1 + b). 4. Rumus yag diguaka utuk meghitug buga tuggal per hari adalah... b b A. B x x. C. B x x. 350 360 b b B. B x. D. B x. 350 360 5. Pak Gatot megivestasika modalya sebesar Rp 18.000.000,00 dega suku buga tuggal kepada sebuah bak yag kovesioal. Setelah 2 tahu Pak Gatot meerima buga sebesar Rp 4.140.000,00. Berapa persekah buga yag dikeaka bak dalam satu tahu? A. 10 %. C. 11%. B. 10,5%. D. 11,5%. 6. Seorag pejahit memijam uag utuk modal usaha kepada sebuah bak yag kovesioal sebesar Rp 1.500.000,00 dega suku buga 9% setahu da dihitug dega cara buga tuggal. Hituglah besar buga selama 20 bula? A. Rp 225.000,00. C. Rp 275.000,00. B. Rp 250.000,00. D. Rp 300.000,00. 7. Ibu Nurul seorag pegusaha caterig, meyimpa modal di sebuah koperasi berdasarka buga tuggal dega suku buga 12% setahu. Ibu Aisa berecaa megambil seluruh modal da bugaya setelah 5 tahu. Setelah dihitug teryata seluruh modal da bugaya setelah 5 tahu tersebut besarya adalah Rp 25.000.000,00. Berapa rupiah besar modal Ibu Nurul kepada koperasi tersebut? atematika 115

Aritmetika odular da Aritmetika Sosial A. Rp 16.625.000,00. C. Rp 14.625.000,00. B. Rp 15.625.000,00. D. Rp 13.625.000,00. 8. Seorag pejual makaa, igi memperluas usahaya. Utuk itu memijam uag sebesar Rp 8.000.000,00 dega suku buga 9,5% setahu da dihitug dega cara buga tuggal kepada sebuah koperasi. Bila setelah 18 bula pejual makaa tersebut merecaaka utuk megembalika seluruh uag pijama beserta bugaya, berapa rupiah besar uag yag aka diberika oleh pedagag makaa tersebut? A. Rp 9.120.000,00. C. Rp 9.140.000,00. B. Rp 9.130.000,00. D. Rp 9.150.000,00. 9. Seorag pejual gorega megivestasika keutugaya ke sebuah bak yag kovesioal sebesar Rp 1.500.000,00. Ia meerima suku buga majemuk sebesar 0,95% sebula. Berapa jumlah uag yag aka diterima pedagag beras tersebut setelah 1,5 tahu? A. Rp 1.778.300,203. C. Rp 1.778.500,203. B. Rp 1.778.400,203. D. Rp 1.778.600,203. 10. Pak Dede memijam sejumlah uag kepada sebuah bak yag kovesioal yag dihitug atas suku buga majemuk 10% setahu. Setelah 6 tahu Pak Dede harus megembalika pijama da bugaya sebesar Rp 13.286.707,50. Berapakah besar pijama Pak Dede? A. Rp 7.250.000,00. C. Rp 7.750.000,00. B. Rp 7.500.000,00. D. Rp 8.000.000,00. Cocokka jawaba Ada dega megguaka kuci jawaba Tes Formatif 3 yag terdapat di bagia akhir baha belajar madiri ii. Hituglah jawaba Ada yag bear, kemudia guaka rumus di bawah ii utuk megetahui tigkat peguasaa Ada terhadap materi Kegiata Belajar 3. Rumus : Jumlah jawaba Ada yag bear Tigkat peguasaa = X 100 % 10 Arti tigkat peguasaa yag Ada capai : 90 % - 100% = Baik sekali 80 % - 89% = Baik 70% - 79 % = Cukup < 70% = Kurag Apabila tigkat peguasaa Ada telah mecapai 80 % atau lebih, Ada telah 116 atematika

Aritmetika odular da Aritmetika Sosial meutaska Kegiata Baha Belajar adiri. Bagus! Tetapi apabila ilai tigkat peguasaa Ada masih di bawah 80 %, Ada harus megulagi Kegiata Belajar 3, terutama bagia yag belum Ada kuasai. atematika 117

Aritmetika odular da Aritmetika Sosial TES FORATIF 1 1. C 2. B 3. A 4. C 5. D 6. A 7. C 8. D 9. B 10. D TES FORATIF 2 1. A 2. D 3. B 4. B 5. C 6. B 7. A 8. D 9. B 10. B TES FORATIF 3 1. B 2. D 3. C 4. C 5. D 6. A 7. B 8. C 9. A 10. B KUNCI JAWABAN TES FORATIF 118 atematika

DAFTAR PUSTAKA Aritmetika odular da Aritmetika Sosial Britto, J. R. ad Bello I. (1984). Topics i Cotemporary athematics. New-York: Harper & Row. Devie, D. F. ad Kaufma J. E. (1983). Elemetary athematics for Teachers. Caada: Joh Wiley & Sos. Firdaus, Y. (2002). Pelajara Akutasi SA utuk Kelas XII. Jakarta: Erlagga. Rose, K. H. (2003). Discrete athematics ad Its Applicatios. New York: c Graw Hill. Ruseffedi, E. T. (1989). Dasar-dasar atematika oder da Komputer utuk Guru. Badug: Tarsito. Spiegel,. R. da Iskadar, K. atematika Dasar. Jakarta: Erlagga Sukio, Tauwijaya, J., da Aata, P. (1989). atematika 2 Program Ilmu-Ilmu Fisik da Ilmu-Ilmu Biologi. Klate: Ita Pariwara. Sukio, Tauwijaya, J., da Aata, P. (1989). atematika 3 Program Ilmu-Ilmu Fisik da Ilmu-Ilmu Biologi. Klate: Ita Pariwara. Wahyudi. (1996). Pelegkap atematika Akutasi utuk SU Kelas 3 IPS Cawu 2. Badug: Delta Bawea. atematika 119