- Yadi Nurhayadi - M O D U L S T A T I S T I K A BAB DISTRIBUSI FREKUENSI A. Review Pelajara SMA A. Pegumpula Data. Peelitia lapaga (Pegamata Lagsug). Wawacara (Iterview). Agket (Kuisioer) 4. Berdasarka peelitia sebelumya. A. Peyajia Data. Diagram lambag (piktogram). Diagram ligkara. Diagram Batag 4. Diagram Garis 5. Histogram da Poligo Frekuesi. A. Ukura Tedesi Setral. Nilai rata-rata hitug (mea). Nilai rata-rata hitug dari sekumpula bilaga,,..., didefiisika sebagai i i = =. Cotoh: Tetuka ilai rata-rata hitug dari 7, 7, 7, 74, 75! Jawab: i i = 7+ 7 + 7 + 74 + 75 = = = 7.. Jika bilaga,,..., masig-masig mempuyai frekuesi f, f,..., f, maka i i = =. i= Cotoh: Tetuka ilai rata-rata hitug dari 50, 55, 60, 65, 70 yag masig-masig mempuyai frekuesi,,,,! Jawab: i i = 50 + 55 + 60 + 65 + 70 = = = 60. + + + + i=. Jika f bilaga mempuyai ilai rata-rata m, f bilaga mempuyai ilai rata-rata m,..., f bilaga mempuyai ilai rata-rata m, maka ilai rata-rata hitug gabugaya adalah 0
mi i= =. i= Cotoh: Jurusa Muamalat agkata 009 mempuyai kelas. Nilai rata-rata ujia Statistika kelas pertama terdiri dari 5 mahasiswa adalah 75, kelas kedua terdiri dari 40 mahasiswa adalah 80, da kelas ketiga terdiri dari 5 mahasiswa adalah 85. Tetuka ilai rata-rata ujia Statistika gabuga jurusa Muamalat! Jawab: mi i= 5 75 + 40 80 + 5 85 = = = 80. 5 + 40 + 5 i=. Media (Me) Media suatu kumpula bilaga yag telah diurutka,,..., ( < <... < ) adalah Me = + utuk gajil positif, da + + Me = utuk geap positif.. Modus (Mo) Modus adalah ukura yag serig mucul. Cotoh: Tetuka modus dari,,,, 4, 5, 6. Jawab:. Tetuka modus dari,,,,,. Jawab: Tidak ada. 4. Kuartil (Q) Kuartil adalah ilai yag membagi data yag telah diurutka mejadi empat bagia yag sama bayakya meurut suatu atura tertetu. a. Q disebut kuartil bawah, di maa 5% data Q atau 75% data Q. b. Q disebut kuartil tegah (= media), di maa 50% data Q atau 50% data Q. c. Q disebut kuartil atas, di maa 75% data Q atau 5% data Q. A.4 Frekuesi Biasaya data peelitia yag telah terkumpul dikelompokka meurut iterval-iterval kelas tertetu. Bayak data pada tiap kelas disebut frekuesi, da tabel yag berisi susua data peelitia yag telah dikelompokka disebut tabel frekuesi atau distribusi frekuesi. Data yag disusu atau dirigkaska dalam suatu distribusi frekuesi disebut juga pegelompoka data. Perhatika Tabel. distribusi frekuesi dari data tiggi mahasiswa berikut ii. Yadi Nurhayadi Modul Statistika Bab
Tabel. Tiggi 50 Mahasiswa Prodi Muamalat Tiggi (cm) Frekuesi 50 54 7 55 59 60 64 65 69 9 70 74 5 75 79 80 84 Jumlah 50. Iterval Kelas, Batas Kelas, da Tepi Kelas Iterval seperti 50 54, 55 59, dst, disebut iterval kelas. Nilai 50, 54, 55, 59, dst, disebut batas kelas iterval. Nilai 50, 55,..., 80 disebut batas bawah kelas. Sedagka 54, 59,..., 84 disebut batas atas kelas. Tepi kelas iterval bergatug pada ketelitia data. Jika ketelitiaya higga agka desimal, biasaya tepi bawah kelas = batas bawah kelas 0,5, tepi atas kelas = batas atas kelas + 0,5. Dega demikia pada tabel di atas, tepi bawah kelas iterval yag pertama adalah 49,5; tepi bawah kelas iterval kedua 54,5; dst; tepi bawah kelas iterval teakhir 79,5. Demikia pula, tepi atas kelas iterval pertama 54,5; kedua 59,5; dst. Selisih atara tepi atas kelas dega tepi bawah kelas pada kelas iterval yag sama disebut pajag iterval kelas, yaitu pajag iterval kelas = tepi atas kelas tepi bawah kelas. Dikeal pula titik tegah iterval kelas sebagai berikut. Titik tegah iterval kelas = ½ (batas atas kelas + batas bawah kelas). Misalya, titik tegah iterval kelas pertama = ½ ( 54 + 50 ) = 5. Dega demikia, titik-titik tegah iterval kelas berikutya adalah 57, 6, 67, 7, 77, da 8.. Ketetua-ketetua Membuat Distribusi frekuesi Dalam membuat distribusi frekuesi dega pajag iterval kelas yag sama, terdapat ketetua-ketetua sbb. a. Cari agka terbesar da terkecil dari data, lalu hitug jagkauaya (agka terbesar dikuragi agka terkecil). b. Tetuka bayakya iterval kelas yag dibutuhka. Boleh memakai atura Sturges, yaitu bayakya iterval kelas = +, log, di maa adalah bayakya data, serta hasil akhirya dijadika bilaga bulat. c. Tetuka pajag iterval kelas yag diperkiraka dega perhituga jagkaua pajag iterval kelas =. bayakya iterval kelas d. Pilihlah batas bawah kelas pertama (biasaya ditetuka berdasarka agka terkecil dari data). e. Tetuka besar frekuesi tiap-tiap kelas iterval. Hitug diawali dega sistem turus. Yadi Nurhayadi Modul Statistika Bab
Catata: - frekuesi utuk tiap kelas diusahaka tidak ol, - titik tegah iterval kelas merupaka bilaga bulat (usahaka tidak pecaha), - saat membuat histogram, biasaya absis-ya adalah iterval kelas, da ordiat adalah frekuesiya.. Meetuka Nilai Rata-rata Hitug utuk Data Berkelompok a. Metode Simpaga Rata-rata (Step Deviasi) Jika A merupaka ilai rata-rata hitug semetara yag dipilih sembarag berdasarka data, da d i = i A, dega i adalah titik tegah iterval kelas, maka d = A + i (*) f d A i = + i (**). Rumus (*) jika tidak ada agka yag berulag (tidak berfrekuesi), sedagka rumus (**) jika terdapat frekuesi. Cotoh Hituglah ilai rata-rata hitug dari data: 55, 60, 65, 70, 75 dega metode simpaga rata-rata. Jawab Ambil A = 60 (atau boleh agka lai berdasarka data). Susu tabel berikut ii. Tabel. Meghitug dega Metode Step Deviasi i d i = i A 55-5 60 0 65 5 70 0 75 5 d i 5 Maka 5 = 60 + = 65. 5 b. Metode Codig Jika iterval-iterval kelas mempuyai pajag iterval kelas C, simpaga rata-rata d i = i A dapat ditulis sebagai CU i dega U i = 0, ±,,..., maka ilai ratarata hitugya adalah fi Ui = A + C 4. Meetuka Kelas Modus da Modus utuk Data Berkelompok Modus dari suatu data berkelompok adalah agka dega ilai frekuesi terbesar. Jika data berupa distribusi frekuesi, modusya ditetuka oleh: f f M O B 0 = + C f f f, 0 + Yadi Nurhayadi Modul Statistika Bab
dega B tepi bawah kelas modus, C pajag iterval kelas, f 0 frekuesi kelas modus, f + frekuesi sesudah kelas modus, f - frekuesi sebelum kelas modus. 5. Meyusu Distribusi Frekuesi Kumulatif Distribusi frekuesi kumulatif adalah suatu daftar yag memuat frekuesifrekuesi kumulatif. Frekuesi kumulatif ada macam: a. frekuesi kumulatif kurag dari adalah suatu total frekuesi dari semua ilai-ilai yag lebih kecil dari tepi bawah kelas pada masig-masig iterval kelasya, b. frekuesi kumulatif lebih dari adalah suatu total frekuesi dari semua ilai-ilai yag lebih besar dari tepi bawah kelas pada masig-masig iterval kelasya. Cotoh: Betuklah distribusi frekuesi kumulatif kurag dari da lebih dari utuk tabel frekuesi besar Tabuga Ummat di BMI kator kas Podok Gede berikut. Tabel. Frekuesi Jumlah Tabuga Ummat Besar Tabuga Frekuesi Jawab (Juta) 5 6 0 5 6 0 5 6 0 5 6 40 4 45 46 50 7 9 8 50 Tabel.4 Frekuesi Kumulatif Kurag Dari Besar Tabuga Frekuesi (Juta) < 0,5 0 < 5,5 < 0,5 5 < 5,5 8 < 0,5 5 < 5,5 6 < 0,5 5 < 5,5 4 < 40,5 46 < 45,5 48 < 50,5 50 Tabel.5 Frekuesi Kumulatif Lebih Dari Besar Tabuga Frekuesi (Juta) > 0,5 50 > 5,5 48 > 0,5 45 > 5,5 4 > 0,5 5 > 5,5 4 > 0,5 5 > 5,5 7 > 40,5 4 > 45,5 > 50,5 0 A.5 Tabel da Kurva Tabel.,.4, da.5 disatuka utuk dikoversi mejadi grafik frekuesi kumulatif yag serig disebut ogive. 4 Yadi Nurhayadi Modul Statistika Bab
Tabel.6 Distribusi frekuesi besar Tabuga Ummat BMI Kator Kas Podok Gede Tabuga (Juta) 5 6 0 5 6 0 5 6 0 5 6 40 4 45 46 50 Frekuesi 7 9 8 Frekuesi Kumulatif Kurag Dari 0,5 0 5,5 0,5 5 5,5 8 0,5 5 5,5 6 0,5 5 5,5 4 40,5 46 45,5 48 50,5 50 Frekuesi Kumulatif Lebih Dari 0,5 50 5,5 48 0,5 45 5,5 4 0,5 5 5,5 4 0,5 5 5,5 7 40,5 4 45,5 50,5 0 5 Frekuesi Kumulatif 50 45 40 5 0 5 0 5 0 Frekuesi Kumulatif 50 45 40 5 0 5 0 5 0 5 0 0.5 5.5 0.5 5.5 0.5 5.5 0.5 5.5 40.5 45.5 50.5 Besar Tabuga (Juta) Gbr. Frekuesi kumulatif kurag dari 5 0 0.5 5.5 0.5 5.5 0.5 5.5 0.5 5.5 40.5 45.5 50.5 Besar Tabuga (Juta) Gbr. Frekuesi kumulatif lebih dari Grafik frekuesi kumulatif serigkali disertai posisi kuartil bawah, media, da kuartil atas pada grafik tersebut. Dalam hal ii harus ditetuka dahulu ilai kuartil bawah, media, da kuartil atas dari data distribusi frekuesi berdasarka rumus Q i i = B + 4 f Q Q Q 0 f C, di maa B adalah tepi bawah kelas kuartil ke i (i =,, ), C adalah pajag iterval kelas, f jumlah frekuesi sebelum kelas kuartil ke-i, f 0 frekuesi kelas kuartil ke-i, da bayakya data (jumlah semua frekuesi). Cotohya dari tabel.6, 50 50 8 5 Q 5,5 4 = + 5 = 8,74 ; Q 4 = 0,5 + 5 = 5, 045 ; da 7 Yadi Nurhayadi Modul Statistika Bab
6 50 5 Q 0,5 4 = + 5 =,065. 8 A.6 Ukura Peyebara (Dispersi) Utuk memperoleh gambara terpecarya data secara kuatitatif di sekitar ilai rata-rata hitug, dirumuska suatu ukura peyebara atau ukura dispersi, atara lai: jagkaua, simpaga kuartil, rata-rata simpaga, da simpaga baku.. Jagkaua Jagkaua dari sekumpula data adalah selisih atara ilai terbesar da ilai terkecil dari data tersebut. Jagkaua = ilai terbesar ilai terkecil.. Simpaga Kuartil (Jagkaua Semi Iterkuartil) Simpaga kuartil dari sekumpula data didefiisika sebagai, Q D = ( Q ) Q. Rata-rata Simpaga (Mea Deviasi) Rata-rata simpaga dari sekumpula bilaga,,..., didefiisika dega rata-rata simpaga = =. Jika data,,..., masig-masig berfrekuesi f, f,..., f, maka rata-rata simpaga didefiisika sebagai f rata-rata simpaga = = 4. Simpaga Baku (Deviasi Stadar) Simpaga baku dari sekumpula bilaga,,..., dilambagka dega S dega formulasi ( ) ( ) S = =. Jika data,,..., masig-masig berfrekuesi f, f,..., f, maka simpaga bakuya dirumuska dega ( ) ( ) f S = =. Variasi sampel adalah kuadrat dari simpaga baku (S ). Jika,..., mempuyai variasi sampel S, da y,..., y m mempuyai variasi sampel S, maka S S + m S = + m y gab. y Yadi Nurhayadi Modul Statistika Bab
B. Peubah Acak (Pedalama (Materi Pergurua Tiggi)) B. Pegertia Peubah Acak Serigkali pada percobaa/peristiwa statistik buka titik-titik sampelya yag mejadi perhatia, tetapi hasil umerikya. Misalya utuk ruag sampel yag memuat semua hasil yag mugki jika satu mata uag dilatuka tiga kali. S = {MMM, MMB, MBM, BMM, MBB, BMB, MBB, BBB}. Bila yag diamati adalah bayak muka yag mucul, maka hasil umerik (BBB) 0,,, (MMM) aka mejadi perhatia berkaita dega titik-titik sampelya. Bilaga 0,,, da tersebut aka ditetuka oleh hasil percobaa. Maka bayak kali muka yag mucul disebut peubah acak X, da bilaga 0,,, da adalah harga/ilai dari peubah acak itu. Defiisi. Suatu fugsi berilai real yag hargaya ditetuka oleh tiap aggota dalam ruag sampel disebut suatu peubah acak. Suatu peubah acak diyataka dega huruf besar, misalya X, sedagka ilaiya diyataka dega huruf kecil yag berpadaa, misalya. Cotohya utuk latua uag di atas, X dega = adalah aggota dari himpua bagia A = {MMB, MBM, BMM} dari ruag sampel S. Jadi tiap ilai meyataka kejadia yag merupaka himpua bagia dari ruag sampel. Titik-titik sampel dalam ruag sampel adakalaya berjumlah berhigga, atau tak berhigga tapi terdefiisi seperti bilaga bulat sehigga dapat dihitug. Defiisi. Jika suatu ruag sampel megadug titik yag berhigga bayakya atau suatu dereta aggota yag beyakya sama dega bayakya bilaga bulat, maka ruag sampel itu disebut ruag sampel diskret, da peubah acak yag didefiisika pada ruag sampel tersebut adalah peubah acak diskret. Adakalaya pula titik-titik sampel dalam ruag sampel berjumlah tak berhigga da tidak dapat diyataka sebagaimaa bilaga bulat, atau ruag sampelya tidak diskret. Defiisi. Bila ruag sampel megadug titik sampel yag tak berhigga bayakya da sama bayak dega bayak titik pada suatu garis, maka ruag sampel itu disebut ruag sampel kotiu, da peubah acak yag didefiisika di dalamya disebut peubah acak kotiu. B. Distribusi Peluag Diskret Nilai dari suatu peubah acak diskret di dalam ruag sampel mempuyai peluag tertetu. Misalya peluag = dari ruag sampel latua mata uag di atas, yaitu peluag mucul muka kali {MMB, MBM, BMM} adalah /8. Peluag itu dapat kita tulis semua sbb. 0 P(X = ) /8 /8 /8 /8 Perhatika bahwa meliputi semua ilai yag mugki sehigga jumlah semua peluag adalah. Peluag serig diyataka dalam suatu rumus. Rumus seperti itu merupaka fugsi ilai umerik yag dapat diyataka dega f(), atau g(), atau h(), dst. Jadi dapat ditulis f() = P(X = ), dega demikia f() = P(X = ). 7 Yadi Nurhayadi Modul Statistika Bab
Defiisi.4 Fugsi f() adalah suatu fugsi peluag atau distribusi peluag suatu peubah acak diskret X bila utuk setiap hasil yag mugki,. f ( ) 0.. f ( ) =.. P ( X = ) = f ( ). Defiisi.5 Distribusi kumulatif F() suatu peubah acak X dega distribusi peluag f() diyataka oleh F ( ) = P( X ) = f ( t) t B. Distribusi Peluag Kotiu Defiisi.6 Fugsi f() adalah fugsi padat peluag peubah acak kotiu X, yag didefiisika di atas himpua semua bilaga real R, bila. f ( ) 0 utuk semua R. f ( ) d = b. P ( a < X < b) = f ( ) d a Defiisi.7 Distribusi kumulatif F() suatu peubah acak kotiu X dega fugsi padat f() diberika oleh F ( ) = P( X ) = f ( t) dt B.4 Distribusi Empiris Serigkali fugsi padat f() tidak diketahui kareaya betukya dimisalka. Agar pemiliha f() tidak terlalu meyimpag, prosesya didapat berdasarka semua iformasi data yag tersedia. Aalisis distribusi data statistikdalam jumlah yag amat bayak aka terbatu jika disajika dalam betuk distribusi frekuesi isbi. Dalam hal ii, data dikelompokka dalam beberapa kelas utuk ditetuka perbadiga pegukura data dalam tiap kelas. Selajutya buat tabel da histogram peluagya, lalu dari histogram itu taksir fugsi padat peluagya. Demikia pula, kurva F() dapat ditetuka berdasarka distribusi frekuesi kumulatif isbi. Misalya taksirlah betuk f() da F() dari data statistik usia asabah perbaka berikut ii. Usia Nasabah (tahu) i Frekuesi (f i ) Frekuesi Nisbi 5 9 0 4 5 9 0 4 5 9 40 44 45 49 50 54 7 7 7 4 47 5 8 9 7 7 0,06 0,6 0,8 0, 0,4 0,4 0,06 0,04 Σ 50 Kedati betuk f() telah ditaksir, tetapi rumusya belum diketahui, sehigga ilai peluag yag didapat dari betuk f() belum dapat diketahui. Pemahama atas rumus fugsi-fugsi geometri seperti parabola, hiperbola, ligkara, elips, dsb, aka membatu. Setelah rumus f() dketahui maka ilai peluag yag dicari dapat ditetuka dega batua tabel yag sesuai. 8 Yadi Nurhayadi Modul Statistika Bab
B.5 Distribusi Peluag Gabuga Bila X da Y dua peubah acak, distribusi peluag terjadiya secara seretak dapat diyataka dega fugsi f(,, diamaka distribusi peluag gabuga X da Y. Defiisi.8 Fugsi f(, adalah fugsi peluag gabuga peubah acak diskret X da Y bila. f (, 0 utuk semua (,. y. f (, =.. X, Y) A] = P [( f (, utuk tiap daerah A di bidag y. A Defiisi.9 Fugsi f(, adalah fugsi padat gabuga peubah acak kotiu X da Y bila. f (, 0 utuk semua (,. f (, ddy =. P [( X, Y) A] = f (, ddy utuk tiap daerah A di bida y. A Bila distribusi peluag f(, peubah acak X da Y diketahui maka distribusi peluag X sediria da Y sediria adalah g ( ) f (, = y = h ( f (, utuk hal diskret, da g ( ) = f (, dy h ( = f (, d utuk hal yag kotiu. Distribusi peluag g() da h(, masig-masig didefiisika sebagai distribusi margial X da Y. Bahwa distribusi margial sesugguhya adalah distribusi peluag masig-masig peubah dapat ditujukka dega membuktika bahwa syarat Defiisi.4 atau Defiisi.6 dipeuhi. Pada pasal B. telah diutaraka bahwa ilai dari peubah acak X meyataka kejadia yag merupaka himpua bagia ruag sampel. Dega megguaka defiisi peluag bersyarat pada bab, P( A B) P( B A) =, di maa P(A) > 0. P( A) Dega A da B kii meyataka kejadia yag ditetuka oleh masig-masig X = da Y = y, maka P( X =, Y = f (, P ( Y = y X = ) = =, di maa g() > 0, P( X = ) g( ) bila X da Y peubah acak yag diskret. Jika distribusi peluag ii ditulis sebagai f(y ) maka f (, f ( y ) =, g() > 0, g( ) yag disebut distribusi bersyarat peubah acak diskret Y bila X =. Dega cara yag sama didefiisika f( sebagai distribusi bersyarat peubah acak X jika Y = y. 9 Yadi Nurhayadi Modul Statistika Bab
f (, f ( =, di maa h( > 0. h( Fugsi padat peluag bersyarat peubah acak kotiu X bila Y = y, meurut defiisi adalah f (, f ( =, di maa h( > 0. h( Sedagka fugsi padat peluag bersyarat peubah acak kotiu Y jika X = didefiisika sebagai f (, f ( y ) =, g() > 0. g( ) Utuk meetuka peluag peubah acak kotiu X jatuh atara a da b bila diketahui bahwa Y = y, hituglah P ( a < X < b Y = = f ( d. b a Defiisi.0 Misalka X da Y dua peubah acak, diskret maupu kotiu, dega fugsi peluag gabuga f(, da distribusi margial masig-masig g() da h(. Peubah acak X da Y dikataka bebas statistik jika da haya jika f(, = g() h( utuk semua (,. Semua defiisi utuk dua peubah acak dapat diperluas mejadi peubah acak. Misalka f(,,..., ) meyataka fugsi peluag gabuga peubah acak X, X,..., X. Distribusi margial utuk X adalah g( ) =... f (,,..., ) utuk hal diskret, da g ( ) =... f (,,..., ) dd... d utuk hal kotiu. Demikia pula dapat dicari distribusi margial gabuga, misalya Ø(, ), yaitu φ, )... f (,,..., ) utuk yag diskret, da = ( (, ) =... f (,,..., ) dd4... d φ utuk yag kotiu. Berbagai distribusi bersyarat dapat dicari. Sebagai cotoh distribusi bersyarat gabuga X, X, X, bila diketahui X 4 = 4, X 5 = 5,..., X =, ditulis f (,,..., ) f (,, 4, 5,..., ) =, g( 4, 5,..., ) dega g( 4, 5,..., ) distribusi margial gabuga peubah acak X 4, X 5,..., X. Perluasa Defiisi.0 utuk peubah acak X, X,..., X, agar salig bebas statistik meghasilka defiisi berikut. Defiisi. Misalka X, X,..., X peubah acak, diskret maupu kotiu, dega distribusi peluag gabuga f(,,..., ) da distribusi margial masig-masig f ( ), f ( ),..., f ( ). Peubah acak X, X,..., X dikataka salig bebas statistik jika da haya jika f(,,..., ) = f ( ) f ( )... f ( ). 0 Yadi Nurhayadi Modul Statistika Bab
B.6 Harapa Matematik Bila dua uag logam dilatuka 6 kali da X meyataka bayakya mucul muka pada tiap latua, maka X dapat berilai 0,, da. Misalka percobaa itu meghasilka tidak ada muka, satu muka, da dua muka, masig-masig sebayak 4, 7, da 5 kali, maka rataa bayakya mucul muka tiap latua adalah (0)(4) + ()(7) + ()(5) 4 7 5 = 0 + + =,06. 6 6 6 6 Perhatika, bilaga 4/6, 7/6, da 5/6 adalah frekuesi isbi utuk masig-masig hasil. Rataa bayakya muka mucul pada tiap latua yag diharapka terjadi dalam jagka pajag diistilahka dega ilai harapa atau harapa matematik yag diyataka dega E(X). Defiisi. Misalka X suatu peubah acak dega distribusi peluag f(). Nilai harapa X atau harapa matematik X adalah E(X) = f ( ) bila X diskret = f ( ) d bila X kotiu. Jika terdapat fugsi g() dari peubah acak X, yaitu tiap ilai g() dapat ditetuka bila diketahui ilai X, maka dapat diyataka teorema. berikut. Teorema. Misalka X suatu peubah acak dega distribusi peluag f(). Nilai harapa fugsi g(x) adalah E[g(X)] = g ( ) f ( ) bila X diskret, = g ( ) f ( ) d bila X kotiu. Teorema di atas dapat diperluas mejadi defiisi. berikut utuk perhituga harapa matematik fugsi dega beberapa peubah acak. Defiisi. Bila X da Y peubah acak dega distribusi peluag gabuga f(,, maka ilai harapa fugsi g(x, Y) adalah E[g(X, Y)] = y = g (, f (, bila X da Y diskret, g (, f (, ddy bila X da Y kotiu. Perhatika bila g(x, Y) = X dalam defiisi., kaitka kembali dega distribusi margial X, maka E[g(X, Y)] = E(X) = f (, = g( ) bila diskret, y = f (, ddy = g( ) d bila kotiu, di maa g() adalah distribusi margial X. Demikia pula jika h(x, Y) = Y, Yadi Nurhayadi Modul Statistika Bab
E[h(X, Y)] = E(Y) = yf (, = yh( bila diskret, y y = yf (, ddy = yh( dy bila kotiu, di maa h( adalah distribusi margial Y. B.7 Sifat Harapa Teorema. Bila a da b tetapa, maka E(aX + b) = ae(x) + b. Teorema. Nilai harapa jumlah atau selisih dua atau lebih fugsi suatu peubah acak X sama dega jumlah atau selisih ilai harapa fugsi tersebut, yaitu E[g(X) ± h(x)] = E[g(X)] ± E[h(X)]. Teorema.4 Nilai harapa jumlah atau selisih dua atau lebih fugsi peubah acak X da Y adalah jumlah atau selisih ilai harapa fugsi tersebut, yaitu E[g(X, Y) ± h(x, Y)] = E[g(X, Y)] ± E[h(X, Y)] Teorema.5 Misalka X da Y dua peubah acak yag bebas, maka E(X, Y) = E(X) E(Y). B.8 Harapa Matematik Khusus Bila g(x) = X k, teorema. meghasilka ilai harapa yag disebut mome ke k di sekitar titik asal peubah acak X, yag diyataka dega µ k. Yaitu k k µ k = E( X ) = f ( ) bila X diskret, = k f ( ) d bila X kotiu. Jika k = maka µ = E(X), yaitu ilai harapa peubah acak X itu sediri yag meyataka rataa peubah acak tersebut da selajutya cukup ditulis µ saja. Jadi, µ = µ = E( ). X Bila g(x) = (X µ) k, teorema. memberika ilai harapa yag disebut mome ke k sekitar rataa peubah acak X, ditulis µ k. Dega demikia, k k µ = E [( X µ ) ] = ( µ ) f ( ) bila X diskret, k k = ( µ ) f ( ) d bila X kotiu. Mome kedua sekitar rataa, µ, mempuyai keguaa khusus karea memberi gambara peyebara pegukura di sekitar rataa. Utuk seterusya µ ii aka disebut variasi peubah acak X yag diyataka dega σ, atau lebih sigkat σ saja. Jadi σ = µ = E [( X µ ) ]. Akar positif dari variasi merupaka suatu ukura yag disebut simpaga baku. Rumus lai σ yag lebih mudah diberika oleh teorema berikut. Teorema.6 Variasi peubah acak X adalah σ = E ( X ) µ. Yadi Nurhayadi Modul Statistika Bab
, X Y dega µ X = E(X ) da µ Y = E(Y ), maka defiisi. aka meghasilka ilai harapa yag disebut kovariasi X da Y yag diyataka dega σ XY atau kov(x, Y). Jadi = E X µ Y µ Bila g ( X Y ) = ( X µ )( Y µ ) σ XY [( X )( Y )] = ( )( y µ ) y µ f (, bila X da Y diskret, ( )( y µ ) Y X Y = µ f (, y ddy bila X da Y kotiu. X ) Kovariasi aka positif bila ilai X yag besar berpadaa dega ilai Y yag besar da ilai X yag kecil berpadaa dega ilai Y yag kecil. Bila ilai X yag besar berpadaa dega ilai Y yag kecil, atau sebalikya, maka kovariasi aka egatif. Jika X da Y bebas statistik maka kovariasi aka ol. Ada pula dua peubah mempuyai kovariasi ol tetapi tidak bebas statistik. Rumus lai σ XY yag lebih sederhaa diberika oleh teorema berikut. Terorema.7 Kovariasi dua peubah acak X da Y dega rataa masig-masig da µ Y diberika oleh σ = E ( XY) µ µ. XY X Y B.9 Sifat Variasi Teorema.8 Misalka X peubah acak dega distribusi peluag f(), maka variasi g(x) adalah σ [( g X ) ] g( X ) E ( ) µ g( X ) =. Teorema.9 Bila X suatu peubah acak da b suatu tetapa, maka σ = σ = σ X + b X. Teorema.0 Jika X suatu peubah acak da a suatu tetapa, maka σ = a σ a σ ax X = Teorema. Bila X da Y peubah acak dega distribusi peluag gabuga f(,, maka σ = a σ + b σ + abσ ax + by X Y XY. Akibat Jika X da Y peubah acak yag bebas, maka σ = a σ + b σ ax + by X Y. Akibat Bila X da Y peubah acak yag bebas, maka σ = a σ + b σ ax by X Y. B.0 Teorema Chebyshev Teorema Chebyshev Peluag bahwa setiap peubah acak X medapat ilai dalam k simpaga baku dari ilai rataa adalah palig sedikit ( /k ), yaitu P( µ kσ < X < µ + kσ ). k µ X * * * Yadi Nurhayadi Modul Statistika Bab