Kombiatorik: Prisip Dasar da Tekik Drs. Sahid, MSc. Jurusa Pedidika Matematika FMIPA Uiversitas Negeri Yogyakarta sahidyk@gmail.com March 27, 2009 1 Atura Pejumlaha (Atura Disjugtif) Jika utuk melakuka A dapat dikerjaka dega cara da utuk melakuka B dapat dikerjaka dega m cara, sedagka A da B tidak dapat dikerjaka bersama-sama, maka A atau B dapat dikerjaka dega + m cara. Artiya, jika Ada mempuyai dua kasus yag mugki terjadi amu tak mugki terjadi bersamaa, maka jumlahka. Jika Ada haya dapat melakuka salah satu hal atau hal yag lai saja, maka jumlahka. Secara lebih teoritis, jika Ada mempuyai himpua A 1, A 2, A 3,..., A yag tidak salig beririsa satu dega laiya, maka cacah aggota semua himpua sama dega jumlah aggota masig-masig himpua, yaki: A i Aj = Ø i = j = A i = Notasi A meyataka bayakya aggota A. Cotoh-cotoh: A i. (1) i=1 1. Ada berapa cara memilih seorag siswa dari dalam kelas yag terdiri atas 20 siswa laki-laki da 25 siswa perempua? Jawab: 20 + 25 = 45 cara. 2. Di kota A terdapat 5 restora Padag, 3 restora cepat saji ala Amerika, 6 warug Tegal. Ada berapa piliha tempat maka? Jawab: 5 + 3 + 6 = 14 piliha tempat maka 3. Dari Jakarta ke Meda haya terdapat 5 maskapai peerbaga, 3 maskapai pelayara, da 4 armada bus. Ada berapa cara pergi ke Meda dari Jakarta dega kedaraa umum? Jawa: 5 + 3 + 4 = 12 piliha kedaraa umum 1
4. (Tidak berlaku atura pejumlaha) Berapakah bayakya bilaga prima atau bilaga asli geap yag lebih kecil daripada 10? Jawab: Bilaga prima yag lebih kecil daripada 10 adalah: 2, 3, 5, 7 (ada 4 buah). Bilaga asli geap yag lebih kecil daripada 10 adalah 2, 4, 6, 8 (ada 4). Karea 2 adalah bilaga prima geap, maka bayakya bilaga prima atau geap yag lebih kecil daripada10 adalah 4 + 4 1 = 7 buah. 2 Atura Perkalia (Atura Sekuesial) Jika utuk melakuka A dapat dikerjaka dega cara da utuk melakuka B dapat dikerjaka dega m cara yag tidak tergatug pada bagaimaa A dikerjaka, maka utuk megerjaka A da B dapat dilakuka dega m cara. Secara teoritis, bayakya aggota himpua hasil kali Cartesius himpua sama dega hasil kali bayakya aggota setiap himpua, yaki: i=1 A i = A 1 A 2... A = {(a 1, a 2,..., a ) a i A i, i = 1, 2, 3,..., } = i=1 A i = i=1 A i. (2) Salah satu kelas masalah yag megguaka atura perkalia meyagkut strig (susua huruf da/atau agka) seperti omor kedaraa bermotor, kombiasi kuci, kata, agka. Kelompok masalah perkalia yag lai meyagkut pegambila objek dari sekumpula objek dega kategori yag berbeda-beda. Cotoh-cotoh: 1. Dari kota A terdapat tiga jalur ke kota B da dari kota B terdapat lima jalur ke kota C. Ada berapa jalur dari kota A ke kota C melalui kota B? Jawab: 3 5 = 15 jalur 2. Ada berapa cara memilih seorag siswa laki-laki da seorag siswa perempua dari suatu kelas yag terdiri atas 15 siswa da 20 siswi? Jawab: 15 20 = 300 cara. Bayagka Ada membuat tabel utuk memasagka seorag siswa da seorag siswi, misalka ama-ama siswa disusu pada baris da kolom utuk meuliska ama-ama siswi. Tabel yag Ada buat aka memuat 15 20 = 300 sel yag meujukka pasaga siswa pada baris da siswi pada kolom yag terkait. 3. Ada berapa plat omor kedaraa di Jakarta yag dapat dibuat dega megguaka 4 agka da 2 huruf di belakagya? Jawab: Empat agka dalam plat omor kedaraa biasaya tidak dimulai dega agka 0 da dua huruf di belakagya boleh sama. Jadi ada 9 10 10 10 26 26 omor kedaraa yag dapat dibuat. 4. Ada berapa bilaga ribua geap? Jawab: Bilaga ribua terdiri atas 4 agka dega agka pertama buka ol. Bilaga geap memiliki agka satua (agka terakhir) 0, 2, 4, 6, atau 8. Jadi, terdapat 9 piliha utuk agka ribua, 10 piliha utuk agka ratusa, 10 piliha agka puluha, da 5 piliha utuk agka satua, sehigga bayakya bilaga ribua geap adalah 9 10 10 5 = 4500. 2
5. Ada berapa omor kuci kombiasi yag megguaka 4 agka? Jawab: Kuci kombiasi dapat megguaka semua digit dari 0 sampai 9. Jadi bayakya omor kuci kombiasi adalah 10 10 10 10 = 10.000. 6. Ada berapa cara utuk membetuk tim bola voli putra yag diambilka wakilwakil kelas A, B, C, D, E, da F, masig-masig 1 aak, jika bayakya siswa laki-laki di kelas A adalah 15, kelas B 10, kelas C 13, kelas D 9, kelas E 11 da kelas F 12? Jawab: 15 10 13 9 11 12. Perhatika di sii Ada jaga terkecoh utuk megguaka atura pejumlaha. 7. Ada berapa cara meletakka 5 pasag sepatu ke dalam 5 kotak peyimpa yag masig-masig haya dapat memuat sepasag sepatu? Jawab: Bayagka kotakya diberi omor 1, 2, 3, 4, 5. Sepatu pertama dapat dimasukka ke salah satu dari 5 kotak yag masih kosog, sepatu kedua dapat dimasukka ke dalam salah satu dari 4 kotak sisaya, da seterusya sampai semua dimasukka. Jadi bayakya cara adalah 5 4 3 2 1. Masalah ii juga merupaka masalah permutasi. 8. Berapakah bayakya faktor positif bilaga 600, termasuk 1 da 600? Jawab: Pertama kita lakuka faktorisasi prima terhadap bilaga tersebut, yaki 600 = 2 3 3 1 5 2. Ii berarti setiap faktor positif 600 haruslah berbetuk 2 a 3 b 5 c dega a {0, 1, 2, 3}, b {0, 1}, da c {0, 1, 2}. Jadi, semuaya ada 4 2 3 = 24 faktor positif. 9. Berapakah bayakya bilaga bier yag megguaka palig bayak bit? Jawab: Bilaga bier (basis 2) haya megguaka agka 0 da 1. Jadi, bayakya bilaga bier yag megguaka palig bayak bit (digit bier) adalah 2. Catata: Dari cotoh omor 7 di atas, kita dapat megguaka atura perkalia utuk memperoleh hasil umum sebagai berikut. Apabila = p k 1 1 pk 2 2... pk r r adalah faktorisasi prima bilaga asli, maka bayakya faktor positif adalah (k 1 + 1) (k 2 + 1)... (k r + 1). Suatu bilaga cacah yag ditulis dalam betuk d 1 d 2 d 3...d dega d i {0, 1, 2,..., (b 1)}, i = 1, 2, 3,..., disebut bilaga cacah dalam basis b da mempuyai digit. (Utuk b = 2 digitya serig disebut bit, sigkata biary digit atau digit bier. Utuk basis selai 2, digitya biasa disebut agka, seperti agka desimal utuk basis 10.) Dari cotoh-cotoh sebelumya Ada sudah tahu bahwa bayakya bilaga cacah dalam basis b yag memuat digit (termasuk digit 0 ditulis di depa) adalah b } b {{... b } = b. Ii sama dega bayakya bilaga cacah dalam basis b yag tidak lebih besar daripada } aaa...a {{} digit dega a = b 1. Cotoh-cotoh: 3 kali
1. Bayakya bilaga bier yag tidak lebih besar daripada 111 2 adalah 2 3 = 8, yaki 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. 2. Berapakah bayakya bilaga bier 6 bit yag dimulai dega 11 atau 000? Jawab: Terdapat 2 4 bilaga bier 6 bit yag dimulai 11 da 2 3 bilaga bier 6 bit yag dimulai dega 000. Karea tidak mugki sebuah bilaga bier dimulai dega 11 da 000 sekaligus, maka jawabya adalah 2 4 + 2 3 = 3 2 3 = 24. 3. Berapakah bayakya bilaga bier 6 bit yag dimulai dega 11 atau berakhir dega 00? Jawab: Seperti sebelumya, terdapat 2 4 bilaga bier 6 bit yag dimulai dega 11 da terdapat 2 4 bilaga bier 6 bit yag berakhir dega 00. Aka tetapi, terdapat 2 2 bier 6 bit yag dimulai dega 11 da diakhiri dega 00 (karea 2 bit yag tegah bebas). Karea yag 4 kasus ii dihitug 2 kali maka jawabya adalah 2 4 + 2 4 2 2 = 28. Dua cotoh terakhir meujukka pemakaia atura pejumlaha da perkalia sekaligus. Cotoh terakhir meutut pemakaia atura pejumlaha secara lebih hati-hati, apabila terjadi kemugkia 2 kali meghitug. Cotoh berikut meujukka pemakaia atura perkalia yag megarah pada hasil umum yag selama ii mugki sudah Ada ketahui tetag bayakya himpua bagia suatu himpua berhigga. Cotoh: Misalka diketahui himpua {a, b, c}. Selajutya, pikirka tetag suatu himpua bagia dari himpua tersebut da salah satu aggota, misalya a. Ada dua kemugkia: (1) a adalah aggota himpua bagia tersebut atau (2) a buka aggota himpua bagia tersebut. Tidak perah terjadi kedua kemugkia tersebut sekaligus. Hal ii berlaku utuk setiap himpua bagia da setiap a, b, da c. Jadi, bayakya himpua bagia dari a, b, c adalah 2 2 2 = 2 3 = 8, yaki Ø, {a}, {b}, {c, } {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}. Secara umum, bayakya himpua bagia dari himpua yag mempuyai aggota adalah 2. Ada dapat melihat hasil ii dega pealara lai sebagai berikut. 1. Dimulai dari Ø yag mempuyai 1 = 2 0 himpua bagia, yaki Ø sediri. 2. Jika kita memasukka 1 aggota ke himpua tersebut, maka aggota tersebut dapat dimasukka ke dalam himpua bagia yag ada atau tidak dimasukka ke dalam himpua bagia yag sudah ada. Jadi, bayakya himpua bagia dari himpua dega 1aggota adalah 2 = 2 1. 3. Setiap kita meambahka 1 aggota baru ke dalam sebuah himpua, bayakya himpua bagia aka mejadi dua kali bayakya himpua bagia sebelumya. 4. Jadi, jika A = maka bayakya himpua bagia dari A adalah 2. Cotoh: 4
1. Berapakah bayakya cara memilih 3 bilaga asli yag tidak lebih besar daripada 100 sedemikia higga bilaga pertama lebih kecil daripada bilaga kedua da ketiga da bilaga kedua da ketiga boleh sama? Jelasya, misalya A = {1, 2, 3,..., 100} da S = {(a, b, c) a, b, c A, a < b, a < c}. Pertayaaya adalah berapakah S? Jawab: Sesuai dega ketetua, a dapat dipilih di atara 1, 2, 3,..., 99. Utuk setiap piliha a = k {1, 2, 3,..., 99}, baik b maupu c dapat dipilih di atara k + 1, k + 2,..., 100. Jadi, total bayakya piliha adalah S = 99 2 + 98 2 + 97 2 +... + 2 2 + 1 2. Selajutya Ada dapat meghitug jumlah tersebut dega megguaka rumus k=1 k2 = 6 1( + 1)(2 + 1), yaki S = 1 6 99 100 199 = 328350. 2. Berapakah bayakya himpua bagia dari himpua {a, b, c, d} yag memuat a? Jawab: 2 3 = 8. Megapa? Atura pejumlaha da atura perkalia mugki tampak megada-ada, sehigga serig Ada lupaka! Aka tetapi Ada harus igat, kedua atura tidaklah sepele, karea semua perhituga kombiatorik dapat diuraika mejadi perhitugaperhituga sederhaa yag dapat diselesaika dega atura pejumlaha da/atau atura perkalia. 3 Permutasi (Susua) Permutasi adalah susua beberapa objek yag berbeda. Perhituga bayakya permutasi merupaka aplikasi atura perkalia. Terdapat beberapa kasus permutasi, yaki permutasi sebagia, permutasi legkap (permutasi), permutasi berulag, da permutasi meligkar. Masig-masig memerluka aalisis yag berbeda-beda utuk megetahui bayakya susua. Perhituga permutasi yag lebih rumit tidak cukup haya didasarka pada atura pejumlaha da perkalia saja, amu memerluka kosep kombiasi. 3.1 Permutasi Sebagia Misalka A adalah himpua yag mempuyai aggota berbeda da r adalah bilaga cacah yag kurag atau sama dega. Suatu permutasi-r di atara aggota A adalah susua terurut r aggota A atau suatu pegambila r aggota A satu demi satu tapa dikembalika. Utuk membuat susua (atau megambil satu demi satu tapa dikembalika) r aggota A Ada dapat membayagka mempuyai r kotak yag diberi label 1, 2, 3,..., r. Selajutya dilakuka sebagai berikut: 1. Kotak 1 dapat diisi dega salah satu di atara aggota A yag ada. 2. Kotak 2 dapat diisi dega salah satu di atara 1 aggota A yag tersisa. 5
3. Kota 3 dapat diisi dega salah satu di atara 2 aggota A yag tersisa, da seterusya. 4. Akhirya, kota r dapat diisi dega salah satu di atara (r 1) = r + 1 aggota A yag tersisa. Jadi bayakya susua (atau pegambila satu demi satu tapa pegembalia) r aggota A yag mugki adalah ( 1) ( 2)..., ( r + 1). Notasi P(, r) diguaka utuk meyataka bayakya permutasi r objek di atara objek yag tersedia 1. Jadi, P(, r) = ( 1) ( 2)..., ( r + 1). (3) Cotoh-cotoh: 1. Bayakya pasaga beruruta dua bilaga prima berbeda yag kurag dari 10 adalah 4 3 = 12, yaki: (2, 3), (2, 5), (2, 7), (3, 2), (5, 2), (7, 2), (3, 5), (3, 7), (5, 3), (7, 3), (5, 7), (7, 5). 2. Jika Ada mempuyai lima huruf A, B, C, D, E, maka bayakya susua tiga huruf berbeda di atara kelima huruf tersebut adalah 5 4 3 = 60. 3. Bayakya bilaga ribua yag tidak memuat dua agka sama adalah 9 9 8 7. 4. Bayakya cara membagika 5 buah buku kepada 10 aak sehigga setiap aak meerima tidak lebih dari 1 buku adalah 10 9 8 7 6. 5. Bayakya cara megambil 6 buah kelereg satu demi satu dari 10 kelereg berbeda adalah 10 9 8 7 6 5. 6. Bilaga asli yag lebih kecil daripada 100 dapat dikelompokka mejadi 2, yaki (1) mempuyai dua agka sama (11, 22, 33,..., 99), ada 9 bilaga; da (2) mempuyai dua agka berbeda, ada sebayak 10 9 = 90. Jadi, bayakya bilaga asli yag lebih kecil daripada 100 adalah 9 + 90 = 99. Memag demikia buka? 7. Dega pealara serupa omor 6 di atas, maka tapa mecacah Ada aka tahu bahwa bayakya kartu dalam satu set kartu domio adalah 7 + 7 6 2 = 28. Megapa di sii harus dibagi 2? Karea kartu doimo tidak membedaka uruta, artiya kartu (2,5) sama dega kartu (5,2). 8. Bayakya pasaga suami-istri moogami yag dapat dibetuk dari 10 lakilaki da 14 perempua adalah P(14, 10). Catata: Ada harus berhati-hati ketika berhadapa dega masalah distribusi da pegambila, karea tidak selalu megguaka perhituga seperti di atas. Masalah distribusi da pegambila sagat tergatug pada persyarata yag ditetuka. 1 Ada yag meuliska dega otasi P r, tapi agar lebih mudah ditulis kita guaka otasi P(, r). 6
3.2 Permutasi Legkap (Permutasi) Permutasi legkap serig disebut permutasi, tapa keteraga lebih lajut, yaki susua semua objek yag tersedia. Misalka, semua permutasi yag mugki dari tiga huruf A, B, C adalah ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA (ada 6 permutasi berbeda). Secara umum, bayakya permutasi objek berbeda adalah ( 1) ( 2)... 2 1. Perkalia ii serig diberi otasi dega! (dibaca faktorial ), yag didefiisika sebagai berikut: { 1, = 0! = (4) ( 1)! = 1 2 3... ( 1), > 0 Dega megguaka rumus (4) da (3) kita dapat meuliska sebagai berikut: Cotoh-cotoh: P(, ) =! (5) P(, r) =! ( r)! (6) 1. Bayakya cara mejadwalka 5 kegiata jika tidak boleh ada dua kegiata dijadwalka dalam waktu yag sama adalah 5! = 120. 2. Bayakya cara meyusu 10 buah buku yag tidak ada dua buku berjudul sama pada sebuah rak adalah 10! 3. Bayakya password yag dapat dibuat dega megguaka kombiasi 6 huruf A, B, C, D, E, da F adalah 2 6! jika haya megguaka huruf kecil saja atau huruf besar saja, atau P(12, 6) = 12! 6! apabila megguaka kombiasi huruf besar da kecil. 4. Ada berapa cara duduk sebaris siswa da siswi sehigga berselag-selig dudukya, siswa-siswi-siswa-...? Jawab: Bayakya cara duduk siswa adalah! da bayakya cara duduk siswi juga! Jadi, bayakya cara duduk berselag-selig siswa-siswi adalah (!) 2. Berikut adalah beberapa rumus yag berkaita dega permutasi, berlaku utuk, r A da r. P(, r) = P( 1, r 1) (7) P(, r) = ( r + 1)P(, r 1) (8) P(, r) = P( 1, r), r < r (9) P( + 1, r) = P(, r) + rp(, r 1) (10) P( + 1, r) = r! + r[p(, r 1) + P( 1, r 1) +... + P(r, r 1)] (11) Berikut ditujukka bukti dua rumus di ataraya, sisaya silaka Ada coba buktika sediri. 7
Bukti (7): P(, r) =! ( r)! = Bukti (9): P(, r) =! ( r)! = ( 1)! (( 1) (r 1))! ( 1)! ( r)( r 1)! = = P( 1, r 1). r ( 1)! (( 1) r)! = r P( 1, r). Sebelum membahas permutasi meligkar da permutasi dega pegulaga, perlu dibahas terlebih dahulu masalah kombiasi, karea kombiasi diperluka utuk perhituga permutasi meligkar da permutasi dega pegulaga. 4 Kombiasi (Himpua Bagia) Apabila di dalam pemiliha (pegambila) beberapa objek kita tidak memperhatika uruta, maka yag kita perhatika hayalah bayakya objek yag kita pilih. Dega kata lai, pegambilaya seolah-olah dilakuka sekaligus, tidak satu demi satu. Karea tidak memperhatika uruta objek, kombiasi sebearya merupaka himpua bagia. Igat, aggota-aggota suatu himpua tidak tergatug pada urutaya. Jika A adalah himpua yag mempuyai aggota, maka kombiasi-r di atara aggota-aggota A adalah himpua bagia yag mempuyai r aggota. Jadi, jika A = {a, b, c, d, e}, maka kombiasi-3 di atara aggota-aggota A adalah himpuahimpua bagia dega 3 aggota, yaki: {a, b, c}, {a, b, d}, {a, b, e}, {b, c, d}, {b, c, e}, {c, d, e}. Semuaya ada 6 kombiasi (himpua bagia) 3 di atara 6 aggota A. Pertama-tama kita aka mecari rumus bayakya cara memilih r objek di atara objek berbeda 2. Bayakya kombiasi ii diotasika dega C(, r). Utuk medapatka rumus C(, r) kita igat kembali permutasi-r di atara. Utuk dapat membuat susua r di atara objek, sebearya dapat dilakuka dega dua lagkah sebagai berikut: 1. Pertama-tama kita memilih r di atara objek yag aka kita ambil. Ii dapat dilakuka dega C(, r) cara, karea terdapat C(, r) himpua bagia yag memuat r objek. 2. Selajutya, r objek yag terpilih kita susu. Di sii terdapat r! susua (permutasi) berbeda. Jika kita melakuka lagkah 1) da 2), maka kita telah membuat permutasi r di atara objek. Karea bayakya permutasi demikia adalah P(, r), sedagka meurut atura perkalia, dari lagkah 1) da 2) kita peroleh bayakya permutasi demikia adalah C(, r) r! Jadi, P(, r) = C(, r) r! atau C(, r) = P(, r). (12) r! 2 Pada beberapa buku bayakya kombiasi ditulis dega otasi Cr atau ( r ), tetapi di sii kita guaka otasi C(, r) yag mudah ditulis. 8
Jika dijabarka, maka diperoleh rumus utuk kombiasi, yaki: C(, r) =! ( r)!r!. (13) Rumus di atas berlaku utuk 0 r, sedagka utuk r < 0 atau r > didefiisika C(, r) = 0. Cotoh-cotoh: 1. Bayakya cara memilih 5 orag di atara 30 orag adalah C(30, 5) = 30! 26 27 28 29 30 5! = 26 27 7 29. 25!5! = 2. Bayakya cara memilih 5 kartu dari 1 set kartu remi yag terdiri atas 52 kartu adalah C(52, 5) = 52!/47!5! 3. Bayakya cara memilih 2 kartu As di atara empat kartu As dalam 1 set kartu remi adalah C(4, 2) = 6. 4. Bayakya cara memilih 5 kartu selai As adalah C(52 4, 5) = C(48, 5). 5. Bayakya jabat taga yag dapat dilakuka oleh orag adalah C(, 2) = ( 1) 2, karea setiap jabat taga dilakuka oleh dua orag. 6. Berapakah bayakya bilaga bier yag megguaka palig bayak 5 bit da tepat mempuyai dua bit 1? Jawab: Karea 2 tempat harus diguaka utuk bit 1, maka tiggal 3 tempat utuk bit 0. Jadi, bayakya bilaga yag ditayaka sama saja bayakya cara memilih 2 tempat di atara 5 tempat, yaki C(5, 2) = 5!/3!2! = 10. Bilagabilagaya adalah 11, 110, 101, 1100, 1010, 1001, 11000, 10100, 10010, 10001. 7. Berapakah bayakya bilaga bier yag megguaka palig bayak 5 bit da mempuyai palig sedikit dua bit 1? Jawab: Berarti, bilaga-bilaga tersebut dapat mempuyai 2, 3, 4, atau 5 bit 1. Dega megguaka atura pejumlaha diperoleh semua ada C(5, 2) + C(5, 3) + C(5, 4) + C(5, 5) = 10 + 10 + 5 + 1 = 26 bilaga bier yag dimaksud. 8. Berapakah bayakya bilaga bier yag megguaka palig bayak 4 bit da mempuyai palig bayak tiga bit 1? Jawab: Ada dapat megguaka pola pikir seperti cotoh sebelumya, artiya bilaga-bilaga dapat mempuyai 0, 1, 2, atau 3 bit 1. Jadi, semuaya ada C(4, 0) + C(4, 1) + C(4, 2) + C(4, 3) = 1 + 4 + 6 + 4 = 15 bilaga bier yag dimaksud. Cara berpikir lai adalah sebagai berikut: Total terdapat 2 4 =16 bilaga bier yag megguaka palig bayak 4 bit. Di ataraya haya 1 bilaga yag megguaka lebih dari tiga bit 1, yaki 1111. Jadi, jawabya adalah 16 1 = 15. 9. Berapakah bayakya bilaga bier yag megguaka palig bayak 5 bit da tidak memuat tepat tiga bit 1? Jawab: 2 5 C(5, 3). Megapa? 9
5 Permutasi Meligkar Misalka Ada mempuyai himpua {a, b, c, d}. Bayakya permutasi empat objek tersebut adalah 4! = 24, yaki: abcd, abdc, acbd, acdb, adbc, adcb, bacd, badc, bcad, bcda, bdac, dca, cabd, cadb, cbad, cbda, cdab, cdba, dabc, dacb, dbac, dbca, dcab, dcba. Sekarag bayagka apabila keempat objek tersebut disusu meligkar. Ada tetu tidak dapat membedaka atara permutasi-permutasi: 1. abcd, bcda, cdab, dabc ; 2. abdc, bdca, dcab, cabd ; 3. acbd, cbda, bdac, dacb ; 4. acdb, cdba, dbac, bacd ; 5. adbc, dbca, bcad, cadb ; 6. adcb, dcba, cbad, badc. Jadi dalam permutasi meligkar, sekarag haya terdapat 6 permutasi yag berbeda, karea dari 24 permutasi baris dapat dikelompokka empat-empat permutasi yag masig-masig meyajika permutasi meligkar yag sama. Dega demikia, bayakya permutasi meligkar dega objek berbeda adalah sama dega bayakya permutasi baris ( 1) objek berbeda, yaki ( 1)! Bayakya permutasi meligkar r di atara objek berbeda serig disimbolka dega Q(, r). Dega megguaka pealara-pealara yag sudah dijelaska sebelumya, Ada seharusya sudah tahu bahwa: Q(, r) = C(, r) (r 1)! = Q(, r) = P(, r) r =! ( r)!r! ( r)!r, atau (14) Cotoh-cotoh: 1. Bayakya cara duduk megeliligi sebuah meja budar orag adalah ( 1)! 2. Bayakya kalug berbeda pola yag dapat dibuat dega megguaka 10 buah maik-maik berbeda adalah 1 2 9! Megapa buka 9!? Karea kalug yag sama tampak berpola lai jika dilihat dari sisi yag lai. Jelasya, pola kalug seperti a b c d e sama dega pola e d c b a. 3. Ada berapa cara 5 aak laki-laki da 3 aak perempua duduk megeliligi sebuah meja jika 10
(a) tidak ada pembatasa? (b) ada 1 aak laki-laki da 1 aak perempua yag tidak boleh duduk berdekata? (c) tidak boleh ada aak perempua yag duduk berdekata? Jawab: (a) Jika tidak ada pembatasa, ada (5 + 3 1)! = 7! cara duduk. (b) Misalka aak laki-laki L1 tidak boleh berdekata dega aak perempua P1. Lima aak laki-laki da 2 aak perempua selai P1 dapat duduk meligkar dega 6! cara. Di atara 7 aak yag sudah duduk, terdapat 7 2 = 5 posisi utuk dapat ditempati P1, karea P1 tidak boleh duduk di sampig kiri atau kaa L1. Jadi jawabya adalah 5 6! = 3600. Ada dapat megguaka pealara lai begii. Jika L1 da P1 harus duduk bersebelaha, maka bayakya cara duduk adalah 2 6!, karea P1 dapat duduk di sebelah kiri atau kaa L1. Jadi, jika L1 da P1 tidak boleh berdekata, bayakya cara duduk mejadi 7! 2 6! = 6! (7 2) = 6! 5 = 3600. (c) Pertama, 5 aak laki-laki dapat duduk meligkar dega 4! cara. Setelah 5 aak laki-laki duduk meligkar, setiap aak perempua dapat duduk di atara aak laki-laki. Karea terdapat 5 posisi atar aak laki-laki, maka ketiga aak perempua dapat meempati posisi atar laki-laki dega 5 4 3 cara. Jadi total terdapat 4! 5 4 3 cara duduk demikia. 4. Ada berapa cara pasag suami-istri duduk megeliligi sebuah meja jika (a) laki-laki da perempua duduk berselag-selig? (b) setiap suami-istri duduk bersebelaha? Jawab: Perigata: (a) Pertama, laki-laki dapat duduk meligkar dega ( 1)! cara. Selajutya, perempua dapat meempati tempat duduk atar laki-laki dega! cara. Jadi total terdapat ( 1)!! cara duduk demikia. (b) Pertama-tama, bayagka setiap pasag suami-istri diaggap 1 objek. Jadi terdapat ( 1)! cara duduk meligkar pasaga suami-istri. Aka tetapi, setiap pasaga suami-istri dapat duduk bersebelaha dega pasaga dega 2 cara (suami di sebelah kiri istri atau sebalikya). Karea ada pasaga, maka total terdapat ( 1)! 2 cara duduk demikia. Catata: Jika pertayaaya mejadi laki-laki da perempua duduk berselagselig tetapi tidak berdekata dega pasagaya, maka jawabya tidak sesederhaa jawaba di atas. Masalah ii dikeal dega masalah meages, pertama kali diperkealka oleh matematikawa Peracis Edward Aatole Lucas (1842-1891). Ada mau mecoba mejawabya? Ada harus dapat membedaka suatu masalah apakah merupaka masalah permutasi atau kombiasi. Selajutya, jika mugki apakah Ada dapat meguraika masalah tersebut mejadi masalah yag dapat diselesaika dega atura pejumlaha da/atau atura perkalia. 11
6 Teorema Biomial 6.1 Rumus-rumus dasar kombiasi Berikut adalah beberapa rumus yag terkait dega kombiasi. Beberapa rumus mugki harus dihafal, yag lai tidak perlu, yag petig dapat memberika pejelasa atau pealara jika harus diperluka dalam perhituga. C(, 0) = 1 da C(, ) = 1 (15) C(, r) = C(, r) (16) C(, r) = C( 1, r 1), r > 0 r (17) C(, r) = r + 1 C(, r 1), r > 0 r (18) C(, r) = C( 1, r 1) + C( 1, r) (19) r C( + k, k) = C( + r + 1, r) (20) k=0 C(, m) C(m, kr) = C(, r) C( m, m r) (21) Pembuktia rumus-rumus kombiasi dapat dilakuka dega dua cara. Cara pertama adalah secara aljabar, yaki dega meguraika rumus-rumus yag sudah diketahui. Cara kedua dikeal dega istilah bukti kombiatorik, yaki megguaka pealara atau memecah masalahya mejadi masalah yag dapat diselesaika dega atura pejumlaha da/atua atura perkalia. Berikut ii ditujukka bukti beberapa rumus di atas. Rumus-rumus yag tidak dibuktika silaka Ada buktika sediri! Bukti (16): Bukti aljabar. Bukti aljabar terkadag dapat dilakuka secara lagsug dari rumusrumus yag sudah diketahui sebelumya. Perhatika, C(, r) =! ( r)!r! =! ( ( r))!( r)! = C(, r). Bukti kombiatorik. Perhatika, misalka tersedia objek berbeda da Ada harus memilih r objek di ataraya. Setelah Ada memilih r objek, ( r) sisaya sisaya pasti sudah tertetu. Artiya, memilih r objek pada hakekatya sama dega memilih ( r) objek. Dega demikia, C(, r) = C(, r). Bukti (19): Rumus ii dikeal dega idetitas Pascal, karea hasilya berupa bilaga-bilaga (lebih tepatya koefisie-koefisie biomial) yag tersusu dalam betuk segitiga Pascal. Bukti aljabar. Kita dapat meguraika ruas kaa utuk medapatka ruas kiri seba- 12
gai berikut: C( 1, r 1) + C( 1, r) = = = = ( 1)! ( 1)! + ( r)!(r 1)! ( r 1)!r! [ ( 1)! 1 ( r 1)!(r 1)! ( r) + 1 ] r ( 1)! ( r 1)!(r 1)! [ ( r)r ]! = C(, r). ( r)!r! Bukti kombiatorik. Bayagka Ada aka memilih r objek di atara objek berbeda a 1, a 2, a 3,..., a. Ada dapat melakuka pemiliha ii dega dua cara. Cara pertama: Mula-mula Ada pilih a 1. Selajutya Ada tiggal memilih r 1 objek di atara a 2, a 3, a 4,..., a. Cara pertama ii dapat dilakuka dega 1 C( 1, r 1) cara. Cara kedua: Mula-mula Ada sisihka a 1 utuk tidak dipilih. Dega demikia lagkah selajutya Ada masih harus memilih r objek di atara a 2, a 3, a 4,..., a. Cara kedua ii dapat dilakuka dega 1 C( 1, r) cara. Berdasarka atura pejumlaha, maka diperoleh C( 1, r 1) + C( 1, r). 6.2 Segitiga Pascal Dega megguaka rumus (19) utuk, r bilaga-bilaga cacah dega 0 r aka diperoleh pola bilaga yag dikeal dega ama segitiga Pascal, seperti terlihat pada (22). r 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1 6 1 6 15 20 15 6 1 7 1 7 21 35 35 21 7 1 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1..... (22) 13
Apabila dituliska dalam otasi kombiasi, segitiga Pascal terlihat seperti (23). C(0, 0) C(1, 0) C(1, 1) C(2, 0) C(2, 1) C(2, 2) C(3, 0) C(3, 1) C(3, 2) C(3, 3) C(4, 0) C(4, 1) C(4, 2) C(4, 3) C(4, 4) C(5, 0) C(5, 1) C(5, 2) C(5, 3) C(5, 4) C(5, 5) C(6, 0) C(6, 1) C(6, 2) C(6, 3) C(6, 4) C(6, 5) C(6, 6) C(7, 0) C(7, 1) C(7, 2) C(7, 3) C(7, 4) C(7, 5) C(7, 6) C(7, 7) C(8, 0) C(8, 1) C(8, 2) C(8, 3) C(8, 4) C(8, 5) C(8, 6) C(8, 7) C(8, 8).... (23) Dega megamati jumlah bilaga-bilaga dalam setiap baris segitiga Pascal, kita dapat memperoleh rumus petig, yaki C(, k) = 2. (24) k=0 Ada bayak cara membuktika kebeara rumus (24), seperti cara-cara yag sudah dicotohka sebelumya, atau dega iduksi matematika. Rumus tersebut juga dapat diperoleh dega meerapka teorema biomial yag aka dibahas berikut ii. 6.3 Koefisie-koefisie biomial Pertama-tama kita aka megguaka rumus kombiasi utuk meetuka koefisiekoefisie ekspasi biomial seperti (3x + 5) 7, tapa perlu megekspasiya. Igat kembali rumus-rumus yag sudah Ada keal: (a + b) 2 = (a + b)(a + b) = a 2 + 2ab + b 2 (a + b) 3 = (a + b)(a + b)(a + b) = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 Salah satu cara memadag perpagakata seperti ii adalah sebagai berikut. Utuk mejabarka (a + b) 3, sesuai dega defiisi perpagakata bulat, kalika (a + b)(a + b)(a + b) dega memilih a atau b dari setiap faktor. Hasil ekspasi diperoleh dega mejumlahka semua kemugkia megalika tiga faktor (masig-masig a atau b), seperti disajika pada tabel di bawah ii. Faktor yag dipilih (a + b) a a a b a b b b (a + b) a a b a b a b b (a + b) a b a a b b a b Hasil kali a 3 a 2 b a 2 b a 2 b ab 2 ab 2 ab 2 b 3 Jumlah a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 Perhatika, oleh karea setiap suku merupaka hasil kali tiga faktor, maka jumlah pagkat pada setiap faktor adalah 3. Koefisie pada setiap faktor adalah bayakya 14
cara memilih a (atau b) dari tiga faktor (a + b). Misalya, koefisie a 2 b sama dega bayakya cara memilih 2 a dari tiga faktor yag dikalika, yaki C(3, 2) = 3, seperti ditujukka pada tabel di atas. Dega memeriksa semua kemugkia, diperoleh (a + b) 3 = C(3, 3)a 3 + C(3, 2)a 2 b + C(3, 1)ab 2 + C(3, 0)b 3. Secara umum kita peroleh teorema biomial sebagai berikut: (a + b) = C(, 0)a b 0 + C(, 1)a 1 b 1 + C(, 2)a 2 b 2 +... + C(, )a 0 b 0 (25) = C(, k)a k b k. (26) k=0 Perhatika, koefisie-koefisie pada suku-suku biomial tidak lai adalah suatu baris pada segitiga Pascal. Rumus (25) berlaku utuk segala substritusi ilai a da b. Sebagai cotoh, apabila a = b = 1 maka diperoleh hasil yag sudah kita duga sebelumya: 2 = (1 + 1) = C(, 0) + C(, 1) +... + C(, ). Apabila a = 1 da b = 1 maka diperoleh: 0 = (1 1) = k=0 ( 1) k C(, k) = C(, 0) C(, 1) + C(, 2)... + ( 1) C(, ). Cotoh-cotoh: 1. Berapakah koefisie x 3 pada ekspasi (x + 1) 5? Jawab: Ada dapat megguaka teorema biomial utuk a = x da b = 1, (x + 1) 5 = 5 k=0 C(5, k)x5 k 1 k. Jadi jawabya adalah C(5, 2) = C(5, 3) = 10. 2. Berapakah koefisie x 3 pada ekspasi (x + 2) 5? Jawab: (x + 2) 5 = 5 k=0 C(5, k)x5 k 2 k. Jadi, koefisie x 3 adalah C(5, 2) 2 2 = 40. 3. Berapakah koefisie x 5 pada ekspasi (3x + 5) 7? Jawab: (3x + 5) 7 = 7 k=0 C(7, k)(3x)7 k 5 k. Jadi, koefisie x 5 adalah C(7, 2) 3 5 5 2. 4. Tujukka bahwa C(, k) < C(, k + 1) jika da haya jika k < 1 2. Bukti: C(, k) < C(, k + 1)! k!( k)! <! rumus kombiasi (k+1)!( k 1)! 1 k!( k)! < 1 kedua ruas dibagi dega! (k+1)!( k 1)! (k + 1)!( k 1)! < k!( k)! (k + 1) < ( k) kedua ruas dibagi dega k!( k 1)! 2k < 1 k < 1 2. 15