Modul Barisa da Deret Reto Wika Tyasig Ada P PENDAHULUAN okok bahasa dalam modul ii terdiri atas dua kegiata belajar. Yag pertama tetag barisa, yag kedua tetag deret da cotoh-cotoh pemakaia deret. Pembahasa tetag barisa ditekaka pada peyelidika kekovergea, sifat-sifat barisa terutama sifat yag merupaka syarat kovergea da juga sifat-sifat yag dimiliki oleh barisa yag koverge. Pada pembahasa deret terutama juga meyagkut kekovergea deret, sifat-sifat deret koverge, uji kekovergea da perhituga jumlah deret. Pegguaa deret aka Ada jumpai di berbagai bidag, seperti pada Statistika Matematika, Ekoomi, Perhituga Keuaga da sebagaiya. Setelah mempelajari modul ii Ada diharapka dapat memahami da megeal barisa da deret secara baik. Ada diharapka mampu: meetuka apakah suatu barisa koverge atau diverge; meetuka apakah suatu barisa mooto aik/mooto turu, terbatas ke atas atau terbatas ke bawah atau tidak; meetuka limit barisa yag koverge. Selai itu Ada mampu pula: meetuka apakah satu deret koverge atau diverge; meetuka apakah suatu deret koverge mutlak atau koverge bersyarat; meetuka jumlah deret yag koverge; megguaka deret utuk hitug keuaga.
. Matematika P Kegiata Belajar Barisa ada Matematika Ada telah bayak mempelajari fugsi-fugsi yag didefiisika dega domai suatu iterval atau gabuga itervaliterval. Berikut ii Ada aka mempelajari barisa da sifat-sifatya. Defiisi. Suatu fugsi berharga real yag didefiisika pada himpua bilaga bulat positif disebut suatu barisa. Lazimya barisa diberi simbol dega ( a ), ( b ), ( c ) da sebagaiya. Selajutya: a, a, a 3,...., a,... meyataka barisa tak higga atau dega sigkat barisa da a adalah suku pertama, a adalah suku ke- da a adalah suku ke dari barisa (a ). Cotoh.: ) a a :, 4,9,6,,, ) ( b ) 3 ( b ):0,,,,...,,... 3 4 3) 4) c log log :log, log, log 3,..., log,... 3 d l l : l, l,3 l,..., l,...
SATS40/MODUL.3 Defiisi. Suatu barisa ( a ) dikataka: ) Naik, jika da haya jika a a, 0;( dibaca utuk setiap). ) Tidak turu, jika da haya jika a a, 0. 3) Turu jika da haya jika a a, 0. 4) Tidak aik jika da haya jika a a, 0. Selajutya jika salah satu sifat dari keempat sifat di atas berlaku, maka ( a ) dikataka mooto. Barisa ( a ) dikataka terbatas ke atas jika da haya jika terdapat bilaga A dega sifat A utuk semua bilaga bulat positif. Setiap bilaga yag memiliki sifat seperti bilaga A disebut batas atas dari ( a ). Barisa ( a ) dikataka terbatas ke bawah jika da haya jika terdapat bilaga B dega sifat B utuk semua bulat positif. Bilaga B disebut batas bawah dari ( a ). Barisa ( a ) dikataka terbatas jika da haya jika ( a ) terbatas ke atas da terbatas ke bawah kalau dalam modul ii disebut selalu dimaksudka bilaga bulat positif, kecuali bila diberika keteraga lai. Cotoh.: a a ) ) a a 3. a 3 3 3 a a > utuk setiap. Barisa a aik mooto, terbatas 3 a. a a!! a. ( )!
.4 Matematika a Jadi a a a = utuk. < utuk. Barisa ( a ) turu mooto, terbatas utuk da terbatas 0 a. Jika A adalah ilai miimum dari semua batas atas barisa ( a ) maka A disebut batas atas terkecil dari ( a ). Cobalah Ada kataka apa yag disebut batas bawah terbesar dari ( a ). Kemudia carilah batas atas terkecil da batas bawah terbesar dari cotoh-cotoh barisa yag telah diberika. Defiisi.3 Limit a utuk meuju tak higga adalah l, ditulis dega lim a l, jika da haya jika utuk setiap > 0 yag ditetuka terdapat suatu bilaga bulat N > 0 dega sifat utuk setiap N berlaku a l. Dega kata lai, lim a l jika da haya jika a dapat dibuat dekat sekehedak kita terhadap l dega megambil yag cukup besar. Selai ditulis dega lim a l dapat juga ditulis dega a l utuk. Cotoh.3: ) Buktika 3 lim 3 Bukti: Ambil 0. Harus ditujukka terdapat N 0 dega sifat 3 3 utuk semua N. 3 3 3 3.
SATS40/MODUL.5 Aka dipeuhi oleh. Jadi dapat dipilih bilaga bulat N. ) Jika agka a 0, 666...6, buktika lim a 3 Bukti: Ambil 0 agka a 0,666...6 3 3 agka, 998 0, 000 3 3.. 3 0 0 Pilih N sehigga 0 atau N bilaga bulat, N log. N Defiisi.4 Barisa ( a ) dikataka koverge ke-a jika da haya jika lim Barisa yag tidak mempuyai limit dikataka diverge. a a. Perhatika bahwa limit utuk suatu barisa selalu dimaksudka sebagai limit utuk meuju tak higga. Dikataka lim a a atau a jika utuk setiap bilaga positif M dapat ditetuka bilaga N 0 sehigga a M utuk setiap N. Secara sama, a jika utuk setiap bilaga positif N terdapat suatu bilaga positif N sehigga a M utuk setiap N. Perlu Ada perhatika bahwa da buka bilaga da barisa dega limit seperti di atas adalah tidak koverge.
.6 Matematika Teorema. Limit suatu barisa, jika ada, adalah tuggal. Bukti: Adaika a l da a m dega l m. Ambil l m. Jadi terdapat bilaga bulat positif N dega sifat utuk N berlaku a l l m da terdapat bilaga bulat N 0 dega sifat utuk N berlaku a ( l m ). Ambil N = bilaga terbesar di atara N da N. Diperoleh a l a m l m l m l m l m l a a m l a a m.berarti l -m l m jadi l m l m l m, berarti l m salah ( pegadaia salah atau kotradiksi) berarti l m. Jadi limit suatu barisa, jika ada adalah tuggal. Teorima. Setiap barisa yag koverge adalah terbatas. Bukti: Misal a l utuk. Ambil sebarag bilaga positif, misal, sebagai. Jadi terdapat N dega sifat a l utuk N. Berarti a l utuk N. Selajutya jika M adalah ilai maksimum dari a, a,, a N, l maka a M. Jadi ( a ) terbatas. Dari Teorema. di atas dapat dituruka bahwa setiap barisa yag tidak terbatas adalah diverge. Ada perlu memperhatika bahwa sifat terbatas pada suatu barisa tidak megakibatka bahwa barisa tersebut koverge.
SATS40/MODUL.7 Cotoh.4 a ( ). Barisa ii terbatas, tetapi tidak koverge. Teorema.3 Jika suatu barisa terbatas da tidak turu, maka barisa tersebut koverge ke batas atas terkecil. Jika barisa itu terbatas da tidak aik maka barisa tersebut koverge ke batas bawah terbesar. Bukti: Adaika ( a ) terbatas da tidak turu da adaika l adalah batas atas terkecil. Jika l utuk semua. Ambil sebarag bilaga positif. a Karea l batas atas terkecil maka l buka batas atas. Jadi terdapat k sehigga ak l. Karea barisa tidak turu, maka ak a utuk k. Jadi l a l utuk k, yag berarti a l utuk semua k. Terbukti a l utuk. Utuk barisa terbatas da tidak aik Ada dapat mecoba membuktika sediri. Cotoh.5 Jawab: Tujukka ( a ) dega ( ) ( 3 ) (.3 ).36 a 6. Jadi ( a ) terbatas. a ( 3 ) adalah koverge. Perhatika ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) 3 ( ) (3 ) 3 3 Jadi ( 3 ) ( 3 ) a a Karea juga terbatas maka ( a ) koverge.
.8 Matematika Teorema.4 Jika c bilaga real, a l da b m, maka () a b l m () Ca Cl (3) a b lm. (4) (5) Dega syarat m 0 da b tidak perah 0 utuk semua. m b a b m utuk l 0 a b (6) a p l (7) a p mugki mempuyai atau tidak mempuyai limit utuk l = 0. p p Bukti: Misal utuk (3). Pilih > 0. a b lm a b a m a m lm a ( b m) m( a l) a b m m a l ( a ) koverge, jadi terbatas, jadi terdapat M > 0 sehigga utuk semua. Karea b m maka utuk M a < M terdapat bilaga bulat N sehigga b m M utuk N.
SATS40/MODUL.9 Karea a a l m l maka utuk utuk N. m terdapat bilaga bulat N sehigga Jika N adalah bilaga terbesar di atara N da N maka utuk > N berlaku ab lm a m. M m Jadi a b lm utuk. Buktika utuk laiya dapat Ada kerjaka sediri. Teorema.5 Adaika utuk yag cukup besar berlaku a b c, jika a l da c l utuk maka b utuk. Ada dapat membuktika sediri. Cotoh.6 cos a cos 0utuk 0 utuk cos Jadi 0utuk Cotoh.7 a 5
.0 Matematika 0 5 5 5 5 5 5. Jadi 5 5. Teorema.6 Jika utuk fugsi f ( x ) da barisa ( c ) berlaku: (i) c c utuk. (ii) f ( x ) kotiu di c. (iii) utuk setiap utuk., c berada di dalam domai f, maka f ( c ) f ( c ) Bukti: Ambil 0. Karea f kotiu di c, maka terdapat 0 sehigga f ( x) f ( c ) utuk x c. Karea c c utuk maka terdapat bilaga positif N sehigga utuk N berlaku c c. Jadi utuk N berlaku f ( c ) f ( c). Terbukti f ( c ) f ( c ) utuk. Cotoh.8 () 0 utuk. Jadi cos cos 0 utuk. () 6 4 utuk f ( x) ta x adalah fugsi yag kotiu pada 6 Jadi ta ta utuk 4 x. utuk.
SATS40/MODUL. Defiisi.5 Suatu barisa ( a ) disebut barisa Cauchy jika da haya jika utuk setiap bilaga 0 terdapat suatu bilaga bulat positif N dega sifat a a utuk setiap m N da N. m Teorema.7 Setiap barisa koverge adalah barisa da sebalikya. Bukti: Misal a Ambil 0. l utuk. Terdapat bilaga bulat N 0 dega sifat a l utuk N. Ambil m da, m, N. a a a l l a a l l a m m m a l a l m Jadi a a utuk m, N. m Dapat dibuktika pula bahwa barisa Cauchy adalah koverge. Apabila Ada sekarag telah memahami isi pembicaraa di muka cobalah Ada megerjaka soal-soal latiha berikut. Setelah selesai badigka jawaba Ada dega jawaba yag ada. Tetu saja mugki ada perbedaa cara megerjaka. LATIHAN Utuk memperdalam pemahama Ada megeai materi di atas, kerjakalah latiha berikut! ) Tetuka sifat terbatas, aik da turuya barisa-barisa di bawah ii.
. Matematika a) b) c) ( ) a a a d) a ( ) e) ( ) a e 5 ) Tujukka barisa turu utuk 5.! 3) Kalau barisa-barisa di bawah ii koverge tetuka limitya. a) a b) a 4 c) a log 4) Adaika (a ) adalah barisa. Kemudia disusu barisa ( l ) da ( O ) dega l a da O a. Tujukka bahwa a l utuk jika da haya jika l l da O l utuk. 5) Tujukka bahwa! 0 utuk. 6) Jika koverge, tetuka limit barisa Petujuk Jawaba Latiha 5 3 5 4. ) a) tidak mooto, terbatas ke bawah da terbatas ke atas, 0 a. 3 b) aik, terbatas ke bawah da tidak terbatas ke atas, a.
SATS40/MODUL.3 c) turu terbatas ke bawah da terbatas ke atas 0 a d) tidak mooto, tidak terbatas ke bawah da tidak terbatas ke atas. ) a 5! a 5! 5 a 5 ( )! utuk 3. a a 4 a a 4 a a 3) a) diverge b) koverge, a 4 utuk c) koverge, a log utuk.. 4) Adaika a l utuk aka dibuktika l l, O l utuk. Ambil 0, terdapat N sehigga utuk semua N berlaku a l. Perhatika l a. Jadi jika dipilih bilaga bulat positif N N maka utuk semua N berlaku l l. Perhatika O a. Jadi jika dipilih bilaga bulat positif N N maka utuk semua N berlaku [ O l]. Jadi a l utuk megakibatka l l, O l utuk. Selajutya masih harus dibuktika. Jika a l utuk membuktikaya. l l da O l utuk maka. Tetuya tidak sukar utuk Ada
.4 Matematika 5) 0! utuk..!..3 3 3 0! 3 3 0utuk Jadi 0 utuk!. 6. 3 5 3 5 c 4 4 c utuk. 4 f ( x) Jadi 5 x merupaka fugsi kotiu di 3 5 4 4 5 5 utuk x. 4. RANGKUMAN Barisa ( a ) adalah fugsi berharga real yag didefiisika pada himpua bilaga bulat positif. Barisa ( a ) dikataka aik jika a a, tidak turu jika a a turu jika a a, tidak aik jika a. Jika memeuhi salah satu sifat di atas dikataka mooto. a Barisa ( a ) dikataka terbatas ke atas jika terdapat bilaga A dega sifat a A utuk semua da dikataka terbatas ke bawah jika terdapat bilaga B dega sifat a A utuk semua.
SATS40/MODUL.5 Barisa yag terbatas adalah barisa yag terbatas ke atas da ke bawah. Jika barisa terbatas da tidak turu maka barisa koverge ke atas terkecil. Jika barisa terbatas da tidak aik maka barisa koverge ke batas bawah terbesar. Jika utuk tiga barisa berlaku a b c utuk cukup besar da a l, c l utuk maka b l utuk. Jika f(x) fugsi yag kotiu di c barisa c c utuk da c berada di domai f, maka f( c ) f(c),. Jika Ada telah siap. kerjaka soal-soal pada Test Formatif berikut ii. TES FORMATIF Utuk soal omor sampai dega omor 5. Berilah tada-tada sebagai berikut. A. bila jawaba,, da 3 betul; B. bila jawaba da 3 betul; C. bila jawaba da 4 betul; D bila jawaba 4 yag betul; E. bila jawaba semua betul. log ( 5) ) Barisa mempuyai sifat. 5. turu. terbatas ke atas 3. terbatas ke bawah 4. koverge dega limit 5 log 5 3 ) Barisa. 4. turu. tak terbatas ke atas 3. mempuyai limit 4. diverge
.6 Matematika 3) Barisa si.. mempuyai batas bawah terbesar = -. mempuyai batas atas terkecil = 3. tidak mooto 4. koverge dega limit 0 4) Suatu barisa ( a ) didefiisika dega: a da a a utuk. Barisa ii.... terbatas ke bawah. terbatas ke atas 3. koverge dega limit 4. mooto 5) Suatu barisa ( a ) didefiisika dega a da a a utuk. Barisa ii.. mooto. terbatas ke bawah 3. mempuyai limit 0 4. terbatas ke atas Utuk soal omor 6 sampai dega omor 0. Pilihlah satu jawaba yag palig tepat! 6) Jika 0 < c < d maka lim A. tidak ada B. e C. e D. d E. 0 c d =.
SATS40/MODUL.7 7) Jika a da a maka ilai terkecil k bulat positif supaya a k adalah. 00 A. 00 B. 0 C. 99 D. 00 E. 0 8) Jika a ( ) A. B. C. 0 D. E. maka barisa ( a ) mempuyai limit. 9) Jika a A. B. C. 0 D. E. tidak ada ( ) ( ) maka lim a adalah. 0) Jika a A. 0 B. C. D. E. tidak ada maka lim a adalah.
.8 Matematika Cocokkalah jawaba Ada dega Kuci Jawaba Tes Formatif yag terdapat di bagia akhir modul ii. Hituglah jawaba yag bear. Kemudia, guaka rumus berikut utuk megetahui tigkat peguasaa Ada terhadap materi Kegiata Belajar. Tigkat peguasaa = Jumlah Jawaba yag Bear 00% Jumlah Soal Arti tigkat peguasaa: 90-00% = baik sekali 80-89% = baik 70-79% = cukup < 70% = kurag Apabila mecapai tigkat peguasaa 80% atau lebih, Ada dapat meeruska dega Kegiata Belajar. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Ada harus megulagi materi Kegiata Belajar, terutama bagia yag belum dikuasai.
SATS40/MODUL.9 B Kegiata Belajar erikut ii kita beralih pada pembicaraa topik baru, yaitu deret. Defiisi.6 Diberika barisa u, u, u3,, u, Deret Jumlah tak higga suku-suku ii, u u u u disebut deret tak higga atau disigkat deret. Dapat dipakai juga simbol u yag lebih sederhaa. Di sii u juga disebut suku ke- dari deret. Jumlah suku terdepa, s u u u disebut jumlah parsial ke- dari deret u. Defiisi.7 Deret u dikataka koverge jika da haya jika lim S lim ( u u u ) S, suatu ilai yag berhigga. Selajutya S disebut jumlah deret. Deret yag tidak koverge dikataka diverge. Secara lai dapat dikataka bahwa deret u koverge dega jumlah S jika barisa (S ) koverge ke S. Teorema.8 Jika deret u koverge dega jumlah S, deret u koverge dega jumlah T da k adalah bilaga kosta, maka: ) deret ( u v ) koverge dega jumlah S + T. ) deret ku koverge dega jumlah ks. Bukti: S u u u )
.0 Matematika T v v v W ( u v ) ( u v ) ( u v ) S T limw lim ( S T ) S T, meurut Teorema.4 Kegiata Belajar. Jadi W ( u v ) koverge dega jumlah S T. Ada dapat membuktika sediri bagia () dari Teorema di atas. Dapat dituruka ( V ) ( ) V adalah deret koverge dega jumlah T. Jadi diperoleh ( u v ) koverge dega jumlah S T. Da selajutya utuk k da h kosta deret ( ku hv ) koverge dega jumlah ks ht. Cotoh.9: ) u..3 3.5 5.7 ( )( ) Tujukka u koverge da tetuka jumlahya. Jawab : u ( )( ) S u u u 3 3 5 5 7 3 3 5 5 7 7 lim S Jadi u koverge dega jumlah S.
SATS40/MODUL. u 3 3 3 3. Tujukka u koverge da tetuka jumlahya. ) 3 Jawab : S 3 3 3 3 3 S 3 3 3 3 3 S 3 3 3 3 S 3 lim S Jadi deret 3 koverge dega jumlah S 3) Buktika deret ( ) diverge Bukti : S S S S 3 4 0 0, utuk gajil S = 0, utuk geap Jadi ( ) diverge.
. Matematika Sifat-sifat Deret ) Jika setiap suku dari suatu deret dikalika dega kostata yag tidak sama dega 0 maka kekovergea (atau kedivergea) deret tidak berubah. ) Peghapusa (atau peambaha) sejumlah berhigga suku-suku dari (atau terhadap) suatu deret tidak megubah kekovergea atau kedivergea deret. Teorema.9 Jika deret u koverge, maka. lim u 0. Bukti: lim u lim ( S S ) S S 0 Perhatika bahwa kebalika teorema di atas tidak berlaku, lim 0 selalu berarti u koverge. tidak Cotoh.0: ) Deret Aritmatika a ( ) b a ( a b) ( a b) S a ( a b) ( a b) ( a ( ) b) a ( ) b ( u u ). Deret ii diverge. Terlihat lim u 0. ) Deret Geometrik ar a ar ar ar dega a da r kostata. a( r ) S r.9). (buktika dega memperhatika soal omor cotoh
SATS40/MODUL.3 Deret ii koverge dega jumlah a S jika r da diverge jika r. r 3) Deret harmoik, p kosta. p p p p 3 Deret ii koverge utuk p da diverge utuk p. Jika p deret mejadi 3 Perhatika u 0 tetapi deret diverge. 4) Deret bergati-gati (tada) Deret u u u3 u dega sifat utuk setiap dua suku berturuta u da u + selalu berbeda tada. Misalya : a) (Cotoh.9 soal omor 3). 3 4 b) 3 Deret ii koverge. Seperti juga pada pembicaraa barisa maka kekovergea atau kedivergea deret merupaka masalah yag utama. Utuk deret yag koverge jumlah deret juga medapatka bayak perhatia. Oleh karea itu sagat diperluka adaya alat-alat utuk meguji kekovergea/ kedivergea deret.
.4 Matematika Uji kekovergea/kedivergea utuk deret dega suku-suku tak egatif:. Uji perbadiga a) Adaika v 0 utuk semua N da adaika v koverge. Jika 0u v utuk semua N maka u juga koverge. b) Adaika v 0 utuk semua N da adaika v diverge. Jika u v utuk semua N, maka u juga diverge. Seperti juga uji-uji selajutya, di dalam pembicaraa ii tidak disertai bukti.. Uji pembagia u a) Jika u 0da v 0 da lim A 0atau, makau dav v kedua-duaya koverge atau kedua-duaya diverge. u b) Jika dalam a) di atas lim 0 da v koverge, maka v u koverge. c) Jika dalam a) A = da v diverge, maka u diverge. 3) Dari uji pembagia di atas dega megambil v p dapat dituruka uji lai yag serig diguaka sebagai peggati uji pembagia. p Adaika lim u A, maka a) u koverge jika p > da A berhigga b) u diverge jika p da A 0. 4) Uji itegral Jika f(x) adalah positif, kotiu da mooto turu utuk x N da f ( ) u utuk N, N, N,... maka u koverge atau
SATS40/MODUL.5 M M N diverge sesuai dega f ( x) dx lim f ( x) dx koverge atau diverge. Serig kali N =. N Cotoh.: ) Pada cotoh.0 omor 3 diberika bahwa p >. p koverge utuk Kita buktika: Perhatika f ( x), p 0. Fugsi ii positif da mooto turu. p x M dx lim dx p x x p M Jadi p, lim utuk p M p ( p) x lim, p M p ( p) M p utuk p p, utuk p p M koverge utuk p da diverge utuk p, utuk M dx lim dx x x l M l Jadi koverge utuk p, diverge utuk p <. p
.6 Matematika ) u Dega uji perbadiga: koverge, jadi koverge. 3) u, l l l diverge. Jadi diverge l 4) u 3 3 lim 3 3 Jadi koverge. 3 3 5) l u ( ) l lim ( ) Jadi l diverge ( )
SATS40/MODUL.7 6) u 3 Uji pembagia: Ambil v lim lim 3 v Jadi u v koverge koverge 3 Uji utuk Deret Bergati-gati Suatu deret bergati-gati koverge jika dipeuhi: a) u u utuk b) lim u 0, atau lim u 0. Cotoh.: ( ) ) u deret : 3 4 5 Tampak di sii a) u u Jadi u u utuk b) lim u lim 0 Jadi deret koverge.
.8 Matematika Defiisi.8 Deret u dikataka koverge mutlak jika u adalah koverge. Jika u diverge, tetapi u koverge maka u dikataka koverge bersyarat. Teorema.0 Jika u koverge mutlak maka u koverge. Cotoh.3: si A si A si 3A si A ) Deret u...... 3 Perhatika deret si A si A si 3A si A u u 3 Sudah kita keal Jadi u koverge. deret koverge. Deret u koverge mutlak, berarti juga koverge. ) Deret u adalah koverge. Tetapi deret 3 4 adalah diverge. 3 Jadi u koverge bersyarat.
SATS40/MODUL.9 Berikut ii Ada aka mempelajari uji kekovergea mutlak.. Uji Rasio u Adaika lim u L maka jika: (a) L <, deret u koverge mutlak (b) L >, deret u diverge (c) L =, uji gagal (tidak meghasilka keputusa).. Uji akar Adaika lim u L maka jika: a) L <, deret u koverge mutlak b) L >, deret u diverge c) L =, uji gagal Dapat Ada perhatika bahwa kedua uji di atas dapat diguaka utuk deret dega suku-suku tak egatif dega tidak memerluka tada ilai mutlak lagi. Cotoh.4: ) Deret u.3.5 ( ) Uji rasio: u u u u.3.5 ( )( 3) 3.3.5 ( ). u lim 0 u. Jadi deret koverge.
.30 Matematika ) u =! u u ( )! lim lim lim. u u ( )! ( ) ( ) lim lim lim e. ( ) Jadi deret koverge. 3) u 3 lim u lim 0 3 Jadi deret koverge. 4) ( )..3 3. 4 u u lim lim ( ) lim u ( )( ) ( ) Uji rasio teryata gagal. Kita coba dega cara lai. u. ( ) Deret mejadi: 3 3 4 S lim S. Jadi u koverge.
SATS40/MODUL.3 Sampai pelajara ii Ada telah megeal beberapa uji kekovergea. Jika suatu uji yag Ada pilih gagal meetuka kekovergea atau kedivergea suatu deret, maka Ada dapat mecoba uji yag lai. Deret aritmatika da deret geometrik teryata dapat diterapka utuk perhituga-perhituga dalam Hitug Keuaga. Teryata di sii jumlah parsial ke-, S, bayak dimafaatka. Selajutya, aka Ada pelajari cotoh-cotoh pegguaa deret dalam hitug keuaga terutama yag berhubuga dega suku buga kredit, ivestasi da auitas yag timbul sebagai masalah sehari-hari. Suku buga sederhaa (tuggal) Buga adalah uag yag dibayarka oleh pihak ke- kepada pihak pertama atas pegguaa sejumlah uag pihak pertama (yag disebut uag pokok). Tigkat suku buga adalah perbadiga yag diyataka dalam % atara buga yag dikeaka dalam satu kuru waktu tertetu terhadap uag pokok. Biasaya utuk kuru waktu tertetu ii diambil tahu. (Jika tidak diteragka berarti kuru waktu tahu). Jika besarya buga (I) utuk waktu t tahu atas uag pokok P dega tigkat suku buga r adalah l P r t maka buga yag diberlakuka di sii disebut buga sederhaa atau buga tuggal. Dega demikia Jumlah uag (A) mejadi A P Prt P( rt) Suku buga majemuk Kalau pada setiap akhir kuru waktu buga ditambahka pada uag pokok, sehigga setiap awal kuru waktu uag pokok mejadi ( + r) kali uag pokok awal kuru waktu sebelumya, maka dikataka buga adalah buga majemuk. Jika r adalah suku buga per tahu sedag perhituga buga dilakuka tiap tahu maka pada akhir tahu ke t berlaku. k tk r A p k
.3 Matematika Di sii k diperoleh A P( i). r tahu disebut periode koversi. Jika i, tk k maka Jika diigika sejumlah uag A pada akhir periode koversi dega suku buga per periode koversi adalah i maka ilai sekarag P dari jumlah A tersebut adalah A P ( i ) Auitas Bayak trasaksi perdagaga yag dilakuka dega pembayara yag sama pada setiap akhir selag waktu tertetu. Selag waktu tersebut diamaka periode pembayara. Suatu dereta pembayara ii disebut auitas. Jagka waktu yag dihitug dari permulaa periode pembayara pertama sampai dega akhir periode pembayara terakhir disebut waktu auitas. Jumlah dari suatu auitas adalah jumlah total yag dihitug akumulatif pada akhir waktu auitas bila setiap pembayara diivestasika dega buga majemuk dega waktu koversi sama dega periode pembayara. Jika pembayara auitas agar periode waktu adalah rupiah dega buga per periode waktu pembayara i maka jumlah auitas dega pembayara adalah. s i ( i) i Jika pembayara adalah R rupiah jumlah auitas mejadi s R s. i i
SATS40/MODUL.33 Dega pembayara rupiah diperoleh s i i i i ( ) ( ) ( ) ( i) ( i) Ii merupaka jumlah suku pertama deret geometrik dega a da r i. Jadi s i ( i) i Sebalikya, ilai sekarag dari auitas dega pembayara rupiah seperti di atas adalah a a i i i ( i) ( i) ( i) ( i) ( i) ( i) S i ( i) i ( i) i Jika pembayara rupiah, ilai sekarag auitas A R a Pembayara dega cara auitas ii dilakuka seperti pada pembayara premi asurasi, pembelia dega cara agsura da sebagaiya. Walaupu amaya auitas tetapi periode pembayara tidak selalu tahua, dapat bulaa, triwulaa da sebagaiya. Mari kita lihat beberapa cotoh hitug keuaga berikut. Cotoh.5: Daa sebesar 400 juta rupiah di ivestasika dega suku buga 8%, dimajemukka tiap tegah tahua selama 5 tahu. Berapa besar jumlah uag pada akhir tahu ke-5 tersebut? Jawab: 80% A 8%, i 4%, 5 0 i i
.34 Matematika Jumlah uag pada akhir tahu ke-5 = 400 (,04) 0 = 59.0977 juta rupiah. Cotoh.6: Pijama sebesar Rp.000.000,00 harus dikembalika setiap akhir bula sebesar Rp00.000,00 dari sisa pijama saat itu ditambah buga utuk pijama tersebut. Jika suku buga %, berapakah total pegembalia uag seluruhya? Jawab: Besar buga yag harus dibayar pada: Pegembalia ke- = % Rp.000.000,00 = Rp0.000,00 Pegembalia ke- = % Rp900.000,00 = Rp9.000,00 Pegembalia ke-3 = % Rp800.000,00 = Rp8.000,00 Pegembalia ke-0 = % Rp00.000,00 = Rp.000,00 Total buga 0 = (Rp0.000 + Rp.000) = Rp55.000,00 Total pegembalia = Rp.000.000 + Rp55.000,00 = Rp.055.000,00 Cotoh.7: Suatu auitas dibayar Rp00.000,00 tiap 3 bula dalam waktu 5 tahu dega suku buga % per tahu. Tetuka jumlah auitas da ilai sekarag auitas tersebut. Jawab: i = % = 3%, = 4 5 = 0. 4 ( i) Jumlah auitas R. i 0 (.03) 00.000 0.03 = Rp.687.040,00.
SATS40/MODUL.35 ( i) Nilai sekarag R. i -0 (.03) 00.000. 0.03 = Rp.487.750,00. Jika Ada telah memahami uraia di atas, cobalah kerjaka soal-soal latiha berikut. LATIHAN Selidikilah kekovergea atau kedivergea dari deret-deret berikut. u ) ) 3) 4) 3 4 u.3. 4 3.5 ( ) u si si si Utuk memperdalam pemahama Ada megeai materi di atas, kerjakalah latiha berikut! u 3 u 3 4. 5) Selidikilah apakah deret berikut koverge mutlak/koverge atau diverge. ( ) u. 4 6 8 Petujuk Jawaba Latiha ) Koverge u
.36 Matematika koverge u koverge ) Diverge u ( ) diverge 3 4 5 3) Diverge Perhatika u, deret diverge u si lim lim. v 4) Koverge u 3 3, v 4, deret koverge 5) Koverge, koverge bersyarat, u merupaka deret bergati-gati u lim u 0.Jadi u koverge u u 4 6 8 diverge. 3 4 Jadi koverge tetapi tidak mutlak.
SATS40/MODUL.37 RANGKUMAN Diberika barisa u, u, u3,, u u u u u 3 disebut deret tak higga atau deret dega simbol u. S u u u disebut jumlah parsial ke dari deret Deret u dikataka koverge ke S bila lim S S. u. S disebut jumlah deret. Deret yag tidak koverge dikataka diverge. Jika u koverge maka u dikataka koverge mutlak. Dikeal beberapa cara uji kekovergea/kedivergea.. Uji perbadiga Jika 0u v utuk semua N da v koverge, maka u juga koverge. Jika 0u v utuk N da v diverge, maka u juga diverge.. Uji pembagia u Jika u 0, v 0 da lim A yag tidak sama dega ol da v tidak, maka u da v kedua-duaya koverge atau kedua-duaya diverge. Jika A = 0 da v Jika A = da koverge, maka v diverge, maka u juga koverge. u diverge. Utuk uji ii secara khusus dapat diambil v. p 3. Uji itegral Jika f(x) adalah positif, kotiu da mooto turu utuk x N da f() = u utuk = N, N +, N +,..., maka u koverge atau diverge sesuai dega
.38 Matematika N f ( x) dx lim f ( x) dx N Koverge atau diverge. 4. Jika u merupaka deret bergati-gati dega u u utuk da u = 0 maka u koverge. 5. Jika u koverge maka u juga koverge. 6. Uji rasio u Jika lim L, v diverge jika L >. maka u koverge mutlak bila L < da 7. Uji akar ke- Jika lim u L, maka u koverge mutlak bila L < da u diverge bila L >. TES FORMATIF Utuk soal omor sampai dega omor 5. Jawablah: A. Apabila,, 3 bear B. Apabila da 3 bear C. Apabila da 4 bear D. Apabila 4 saja bear E. Apabila semua bear cos 3 ) Jika u da 3 v, maka.. v koverge bersyarat. v koverge mutlak 3. u koverge bersyarat 4. u koverge mutlak
SATS40/MODUL.39 ) Jika l u v, maka. 4. u diverge ( ) da. u koverge 3. v diverge 4. v koverge 3 3) Jika ( ) u da v si si si! 3. u koverge. u diverge 3. v koverge 4. v diverge maka. 4) Jika l u e da v, maka. 3. u koverge. u diverge 3. v diverge 4. v koverge 5) Jika u da v!!. v koverge ( ), maka.. u koverge 3. u v koverge 4. u diverge
.40 Matematika Utuk soal omor 6 sampai dega omor 0. Pilihlah jawaba yag palig sesuai. 6) Deret log adalah. A. koverge ke e B. koverge ke e - C. koverge ke D. koverge ke 0 E. diverge 7) Deret ( ) adalah. A. koverge ke 4 3 B. koverge ke 3 C. koverge ke 3 D. koverge ke 0 E. diverge 8) Jika A. B. C. D. E. u, maka jumlah parsial ke-, S =. ( )( )
SATS40/MODUL.4 9) Jika u maka jumlah parsial ke-, S =. A. B. C. D. E. 0) Seorag peabug tiap akhir bula memasukka sisa gajiya sebesar Rp00.000 dalam tabugaya. Jika suku buga adalah % per tahu maka akhir tahu ke- besar tabugaya adalah. A..697.346 B..60.756 C..59.88 D..590.770 E..560.508 Cocokkalah jawaba Ada dega Kuci Jawaba Tes Formatif yag terdapat di bagia akhir modul ii. Hituglah jawaba yag bear. Kemudia, guaka rumus berikut utuk megetahui tigkat peguasaa Ada terhadap materi Kegiata Belajar. Tigkat peguasaa = Jumlah Jawaba yag Bear 00% Jumlah Soal Arti tigkat peguasaa: 90-00% = baik sekali 80-89% = baik 70-79% = cukup < 70% = kurag
.4 Matematika Apabila mecapai tigkat peguasaa 80% atau lebih, Ada dapat meeruska dega modul selajutya. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Ada harus megulagi materi Kegiata Belajar, terutama bagia yag belum dikuasai.
SATS40/MODUL.43 Kuci Jawaba Tes Formatif Tes Formatif ) A. ) B. 3) C. 4) E. 5) E. 6) D. 7) E. 8) C. 9) E. 0) C. Tes Formatif ) D. ) C. u deret bergati, u u, lim u 0. 3) B. u deret bergati-gati. Guaka uji pembagia terhadap u dega deret. 4) B. Pakailah uji itegral utuk u da uji pembagia dega. 3 5) C. Ujilah kedua deret dega uji rasio. 6) E. S log log log log 3 7) B. 8) C. lim S. ( ) 4 8 6 3 3 4 6 4 6 4 3 3. 3 4 3 S 3 4 3 5 4. 3 4 3 9) B. S 3 4 3. 0) A. Hituglah sebagai jumlah parsial deret atau dega rumus auitas.
.44 Matematika Daftar Pustaka Kapla, W. Advaced Calculus. Addiso Wesley Publishig Compay, Ic. Piskuov, N. Differetial a Itegral Calculus. Mir Publisher. Salas, S.L. (98). Hillie Eias, Calculus Ed. VI. Joh Wiley ad Sos. Spiegel, Murray. Theory ad Problems of Advaced Calculus. McGraw Hill Book Co.