FUNGSI HIPERBOLIK DAN INVERSNYA

FUNGSI HIPERBOLIK DAN INVERSNYA S K R I P S I Disusun alam Ranka Mnlsaikan Stui Strata untuk mmprol Glar Sarjana Sains Ol Nama : Susanto Nim : 45040300 Proram Stui : Matmatika S Jurusan : Matmatika FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG 007

PENGESAHAN SKRIPSI Funsi Hiprbolik an Invrsna Tla iprtaankan iaapan Sian Panitia Ujian Skripsi Fakultas Matmatika an Ilmu Pntauan Alam Univrsitas Nri Smaran paa: Hari : Tanal : Panitia Ujian Ktua, Skrtaris, Drs Kasmai Imam S, MS Drs Supriono, MSi NIP 30780 NIP 3085345 Pmbimbin Utama, Ktua Pnuji, Drs Moc Cotim, MS Drs Kartono, MSi NIP 3078008 NIP 3085346 Pmbimbin Pnampin, Anota Pnuji, Drs Wuranto, MSi Drs Moc Cotim, MS NIP 385 NIP 3078008 Anota Pnuji, Drs Wuranto, MSi NIP 385 ii

ABSTRAK Susanto 45040300 007 Funsi Hiprbolik an Invrsna Skripsi Proram Stui Matmatika Jurusan Matmatika Fakultas Matmatika an Ilmu Pntauan Alam Univrsitas Nri Smaran Dalam prsoalan matmatika trapan iunakan banak skali kombinasi trtntu unsi-unsi ksponn an Sina unsi-unsi an mmuat kombinasi trsbut ibri nama kusus sala satuna aala unsi iprbolik Tla banak buku-buku kalkulus an mnulis tntan unsi iprbolik, namun tiak banak an mnulis tntan pnurunan rumus atau ormula ari unsi iprbolik Prmasalaan an ikaji alam pnlitian ini aala baaimana mmbanun unsi iprbolik an mnntukan invrs unsi iprbolik an turunan srta anti turunan unsi iprbolik an invrsna Prtimbanan lbi jau ari masala ini aala bawa tiak smua unsi iprbolik mmpunai invrs paa ara asalna Tujuan ari pnlitian ini aala untuk mntaui rumus atau ormula unsi iprbolik an invrsna srta turunan an anti turunan unsi iprbolik an invrsna Pnlitian ini ilakukan mlalui tinjauan pustaka traap buku-buku atau litratur Tori-tori an iunakan sbaai asar untuk mnlsaikan prmasalaan alam pnlitian ini aala tori tntan unsi, limit unsi, turunan an intral, unsi invrs, unsi loaritma srta unsi ksponn Dari pnrtian trsbut, kmuian ibaas matri-matrina scara mnalam Hasil ari pnlitian ini aala unsi iprbolik ibanun ol ua unsi p an q nan p : R R, p an q : R R, q Slanjutna ibanun unsi an an inatakan sbaai jumla an slisi ari unsi p an q, nan mikian p q an p q Siat-siat an imiliki ol unsi an mmiliki kmiripan nan siat-siat unsi trionomtri, sala satuna aala ksamaan asar unsi an mmiliki kmiripan nan siat cos sin paa unsi trionomtri Dnan mnacu paa siat-siat trsbut, kmuian ikmbankan suatu i untuk mnatakan unsi an sbaai unsi iprbolik Hasil ari pnlitian ini iarapkan apat brmanaat sbaai baan bacaan atau rrnsi bai maasiswa matmtika kususna an masarakat paa umumna Kata Kunci : unsi ksponn, unsi iprbolik, turunan, an invrs iii

MOTTO DAN PERUNTUKAN MOTTO Wit passion, wit trminations, an wit ar work w can to rac our ram com tru Rmmbr, t problms aa o ou ar nvr as rat as t powr bin ou PERUNTUKAN Puji sukur kpaa Alla swt atas trslsaina skripsi ini Kupruntukan kara ini kpaa: Bapak Suanto an Ibu Kikis atas oana Smua Sauara an Krabat 3 Guru an saabatku 4 All M lovl rins iv

KATA PENGANTAR Puji an sukur pnulis panjatkan kairat Alla SWT, atas limpaan ptunjuk an karunia-na, sina pnulis apat mnlsaikan pnulisan skripsi an brjuul Funsi Hiprbolik an Invrsna Ucapan trima kasi pnulis sampaikan kpaa: Drs Kasmai Imam S, MS, Dkan FMIPA Univrsitas Nri Smaran Drs Supriono, MSi, Ktua Jurusan Matmatika FMIPA Univrsitas Nri Smaran 3 Drs Moc Cotim, MS, Pmbimbin utama an tla mmbrikan bimbinan an araan kpaa pnulis alam mnusun skripsi ini 4 Drs Wuranto, MSi, Pmbimbin pnampin an tla mmbrikan bimbinan an araan kpaa pnulis alam mnusun skripsi ini 5 Bapak an ibu an snantiasa mnoakan srta mmbrikan oronan baik scara moral maupun spiritual an sala an tak trnilai 6 Smua kluara an tla mmbrikan ukunan an smanat srta oa ina trslsaikana skripsi ini 7 Tman-tmanku Gani, Iwan, Bamban, an smua ankatan 003, trima kasi atas smuana 8 Klura Bsar Panawa Kost Bapak Sori skluara, Rui, Eko Bui, an Mas Ari an tiaa nti mmotivasi pnulis aar sra mnlsaikan skripsi ini v

9 Oran-oran an tanpa snaja mmbrikan inspirasi, motivasi, an smanat aar cpat islsaikanna skripsi ini Akirna pnulis brarap skripsi ini brmanaat an ibaca Smaran, Austus 007 Pnulis, vi

DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL i HALAMAN PENGESAHAN ii ABSTRAK iii MOTTO DAN PERUNTUKAN iv KATA PENGANTAR v DAFTAR ISI vii DAFTAR GAMBAR i BAB I PENDAHULUAN A Latar blakan B Prmasalaan C Tujuan pnlitian D Manaat pnlitian E Sistmatika pnulisn skripsi 3 BAB II LANDASAN TEORI 5 A Funsi 5 B Limit Funsi 6 C Kkontinuan Funsi 7 D Turunan 9 E Intral 4 F Funsi Invrs, Loaritma, an Eksponn 0 BAB III METODE PENELITIAN 3 A Mnntukan masala 3 B Mrumuskan masala 3 C Stui pustaka 3 D Analisis an pmcaan masala 33 E Pnarikan simpulan 33 vii

BAB IV PEMBAHASAN 34 A Funsi Hiprbolik 34 B Turunan Funsi Hiprbolik 4 C Invrs Funsi Hiprbolik 46 D Turunan Invrs Funsi Hiprbolik 59 E Anti Turunan Invrs Funsi Hiprbolik 63 BAB V PENUTUP 64 A Simpulan 64 B Saran 66 DAFTAR PUSTAKA 67 viii

DAFTAR GAMBAR Gambar Diaram unsi : D R Gambar Graik unsi kontinu i titik a 8 Gambar 3 Graik unsi p : R R, p 34 Gambar 4 Graik unsi q : R R, q 35 Gambar 5 Graik unsi : R [0,, p q 35 Gambar 6 Graik unsi : R R, p q 36 Gambar 7 Graik unsi : R,, tan 4 Gambar 8 Graik unsi : R,,, cot 4 Gambar 9 Graik unsi : R 0,], sc 4 Gambar 0 Graik unsi : R R, sin 48 Gambar Graik unsi :[0, [,, cos 49 Gambar Graik unsi :[, [0,, cos 50 Gambar 3 Graik unsi :,,, tan 53 Gambar 4 Graik unsi :,,,, cot 55 Gambar 5 Graik unsi :[0, 0,], sc 56 Gambar 6 Graik unsi : 0,] [0,, sc 58 i

BAB I PENDAHULUAN A LATAR BELAKANG MASALAH Kalkulus sbaai sala satu caban ilmu matmatika mrupakan ilmu an brintikan tori tntan irnsiasi an intrasi an tla ikmbankan scara trpisa ol matmatikawan asal Inris Issac Nwton paa aba k 7 an matmatikawan Jrman Gottri Willm Libniz Dirnsiasi an intrasi mrupakan ua oprasi matmatis an salin brkbalikan Paa intina, irnsial tori irnsiasi brknaan nan pnntuan tinkat prubaan suatu unsi, sankan intral tori intrasi brknaan nan pmbntukan suatu unsi apabila tinkat prubaan unsi an brsankutan iktaui Kampuan Kalkulus, baik brupa turunan maupun intral tak prlu iraukan lai sbaai sarana ampu untuk mmcakan brbaai prmasalaan an iaapi alam kiupan nata Funsi loaritma an unsi ksponn sbaai baian ari kalkulus tla mmbri pnaru an bsar alam prkmbanan Kalkulus Dalam prsoalan matmatika trapan banak skali iunakan kombinasi-kombinasi trtntu unsi ksponn an sina kombinasi unsi-unsi trsbut ibri nama kusus, sala satuna aala unsi iprbolik Namun baaimana mmbanun unsi iprbolik mrupakan suatu prmasalaan an mnarik untuk kita kaji scara mnalam untuk kmuian itmukan solusina

Dalam pnlitian ini jua akan ikaji mnnai invrs unsi iprbolik Funsi invrs paa asarna itntukan untuk mmprluas an mmprkaa unsi-unsi Invrs mrupakan sala satu cara an apat itmpu untuk mmprouksi unsi baru akni nan mnambil unsiunsi lama kmuian mmbalikan atau mninvrskan unsi-unsi trsbut Dnan mnacu paa konsp invrs paa unsi biasa trsbut, kmuian akan ikmbankan untuk mnntukan invrs paa unsi iprbolik Slanjutna konsp irnsi an intrasi an mrupakan inti ari Kalkulus akan itrapkan untuk mnntukan turunan an anti turunan unsi iprbolik an invrsna Dari uraian i atas maka pnulis inin mnankat juul Funsi Hiprbolik an Invrsna, sbaai juul skripsi B PERMASALAHAN Prmasalaan an akan ikaji alam pnulisan ini aala: Baaimana mmbanun unsi iprbolik? Baaimana mnntukan invrs unsi iprbolik an turunan srta anti turunan unsi iprbolik an invrsna? C TUJUAN PENELITIAN Mntaui rumus atau ormula unsi iprbolik an invrsna srta turunan an anti turunan unsi iprbolik an invrsna

3 D MANFAAT PENELITIAN Mnapatkan suatu wawasan an pntauan tntan unsi iprbolik an invrsna E SISTEMATIKA PENULISAN SKRIPSI Pnulisan skripsi nantina akan ibai mnjai tia baian, akni baian awal, baian isi, an baian akir Baian awal, mmuat alaman juul, abstrak, alaman pnsaan, alaman motto, alaman pruntukan, kata pnantar, an atar isi Baian isi trbai atas 5 bab, akni: BAB I PENDAHULUAN Mmbaas tntan alasan pmilian juul, prmasalaan an iankat, tujuan pnlitian, manaat pnlitian, an sistmatika pnulisan skripsi BAB II LANDASAN TEORI Mncakup pmbaasan matri-matri pnukun an iunakan alam pmcaan masala BAB III METODE PENELITIAN Mmaparkan tntan prosur an lanka-lanka an ilakukan alam pnlitian ini mliputi mnmukan masala, prumusan masala, stui pustaka, analisis an pmcaan masala, an pnarikan simpulan

4 BAB IV PEMBAHASAN Dalam bab ini brisikan pmbaasan an analisis ari pnlitian BAB V PENUTUP Brisi tntan ksimpulan ari asil pmbaasan an saran an itujukan untuk pmbaca umumna an bai pnulis sniri kususna Baian akir brisikan atar pustaka sbaai acuan pnulis an lampiranlampiran an mnukun klnkapan skripsi

BAB II LANDASAN TEORI A FUNGSI Dinisi Dipunai D an R ua impunan nan lmn ral Sbua unsi aala paanan an mnawankan stiap lmn i D nan tpat satu lmn i R itulis nan simbol : D R Dnan kata lain jika a D, b, b R an a, b, a, b maka b b Himpunan D inamakan ara asal omain, an impunan R inamakan ara asil atau jlaja ran, an impunan smua pta unsur i D ol isbut ara asil Conto unsi brikan paa Gambar Gambar : Diaram unsi : D R Conto Dipunai : D R, D R, 5 Tujukan suatu unsi 5

6 Pnlsaian: Ambil smbaran a, b D nan a b Jlas a b a 5 b - 5 a -b 0 Jai a, b D, a b, a b Jai suatu unsi Conto Dipunai : D R, D R,, Tunjukan suatu unsi Pnlsaian: Ambil smbaran,,, D,,, Jlas an Jlas,, 0 Jai,,, D,,,,,, Jai suatu unsi B LIMIT FUNGSI Dinisi Milsalkan sbua unsi an trinisi paa suatu slan buka I, an mmuat a, kcuali munkin paa a itu sniri Maka limit untuk mnkati a aala L, itulis:

7 lim L ε > 0 δ > 0 L < ε apabila 0 < a < δ a Conto 3 Buktikan lim4 5 Bukti: Tulis 4 Ambil sbaran ε > 0 Pili ε δ 4 Dipunai 0 < 5 < δ Jlas 4 4 0 4 5 < 4 δ < 4 4 ε ε Jai ε > 0 δ > 0 < ε apabila 0 < 5 < δ Jai lim4 5 C KEKONTINUAN FUNGSI Dinisi 3 Misalkan trinisi paa slan buka I an mmuat a Funsi ikatakan kontinu i a jika lim a a

8 Dinisi trsbut mnsaratkan tia al brikut an arus ipnui aar suatu unsi kontinu i a, akni: a a aa b lim aa a c lim a a Ilustrasi unsi kontinu ibrikan paa Gambar Gambar : Funsi kontinu i titik a Conto 4 Buktikan unsi nan kontinu i Bukti: Dipunai Jlas 3 an lim lim 3 Jai lim 3 Jai kontinu i

9 D TURUNAN DIFERENSIAL Dinisi 4 Turunan unsi paa bilanan inatakan nan aala lim 0, jika limitna aa Jika aa maka ikatakan trirnsial i Conto 5 Carila turunan unsi 8 9 paa bilanan a Pnlsaian: Dipunai 8 9 Jlas ' a lim 0 a a [ a lim 0 a lim 0 a a lim 0 8 a 9] [ a 8 lima 8 0 a 8 8a 8 9 a Konsp Turunan Drivativ Formulas a Aturan Prpankatan Powr o Rul 8a 9] 8a 9 Jika n, nan n bilanan ral, maka n n- b Aturan Funsi Konstan Constant Function Rul

0 Jika c, imana c aala konstanta, maka 0 c Aturan Koisin Coicint Rul Jika trirnsial paa, c konstanta, maka c trirnsial paa an c ' c ' Aturan Jumla Sum Rul Jika an trirnsialkan paa maka trirnsialkan paa an ' ' ' Aturan Slisi Dirnc Rul Jika an trirnsialkan paa maka trirnsialkan paa an ' ' ' Aturan Prkalian Prouct Rul Jika an trirnsialkan paa maka trirnsialkan paa an ' ' ' Aturan Hasil Bai Quotint Rul Jika an trirnsialkan paa, 0 maka trirnsialkan ' ' [ ] paa an Aturan Rantai Cain Rul Jika an unsi an trirnsial nan u an u, maka unsi an trirnsial paa, an u u, atau apat ituliskan u u

Bukti: a Dipunai n Jlas ' lim 0 lim 0 n n lim 0 n n n n n! n n n n n n lim 0 lim n 0 n n n n n n! n n! n n n n n n n n Jai trbukti bawa n ' n b Dipunai unsi konstan, c Jlas ' lim 0 c c lim 0 0 lim 0 lim0 0 0 Jai trbukti bawa ' 0

c Dipunai c konstanta an an c trirnsial Jlas c c c lim ' 0 c c lim 0 c lim 0 c lim 0 ' c Jai trbukti bawa ' ' c c Dipunai,, an trirnsial Jlas lim 0 lim 0 lim lim 0 0 Jai trbukti bawa Dipunai,, an trirnsial Jlas lim 0 lim 0 lim 0

3 lim lim lim lim 0 0 0 Jai trbukti bawa Dipunai,, an trirnsial Jlas ' lim 0 lim 0 ] [ lim 0 lim ] [ lim 0 0 } {lim ] [ 0 } {lim ] [ 0 } lim lim lim {lim ] [ 0 0 0 0 } ' ' { ] [ ] [ ' '

4 ' ' Jai trbukti bawa ' [ ] Brikut ibrikan bbrapa conto pnunaan ari konsp iatas Conto 6 Dibrikan unsi-unsi 5, 4 an Tntukan ', ' an ' Pnlsaian: Jlas ' 0 Jlas ' 8 Jlas ' ' ' E INTEGRAL Dinisi 5 8 Funsi F inamakkan anti turunan ari unsi jika turunan ari F aala Conto 7 Dipunai, 3 F an F3 π 3 3 3 3 F, 5 Tunjukan bawa F, F an F mrupakan anti turunan ari Pnlsaian: 3 Jlas Jlas [ F ] [ F ] 3 3 3 3 3 5 3 5 3 3 3 3 3 0 3 3 3

5 Jlas [ F ] 3 π 3 3 3 π 3 0 3 3 3 Jai F, F an F smuana mrupakan anti turunan ari Dinisi 6 3 Jika F paa slan buka I mrupakan anti turunan ari an C smbaran konstanta, maka F C jua mrupakan anti turunan ari [ F C] [ F ] C 0 Dinisi 7 Dipunai unsi trinisi paa slan buka I an F suatu anti turunan paa slan I Pross mnntukan anti turunan ari unsi inamakan imtral tak tntu paa I, inatakan nan F C nan C smbaran konstanta an i baca intral tak tntu ai traap variabl Conto 8 Tntukan cos Pnlsaian: Tulis cos an F sin [ F ] sin Jlas F ' cos Jai F suatu anti turunan ari

6 Torma Jika n aala sbaran bilanan rasional, n, maka n n C n Bukti: Tulis F suatu anti turunan ari Jlas F C [ F ] Jai F ' n C n n n n n n n Torma c c, c suatu konstanta [ ] 3 ] [ Bukti: Tulis F suatu anti turunan ari [ F ] Jai F '

7 [ F ] c c [ c F ] c Jai cf suatu anti turunan ari c Jai c c F c Tulis F an G suatu anti turunan ari an Jai F ' an G ' Jai F C an G C Jai F G' Jai F G suatu anti turunan ari Jai F G C [ F C] [ G C ] 3 Tulis F an G suatu anti turunan ari an Jai F ' an G ' Jai F C an G C Jai F G' Jai F G suatu anti turunan ari Jai F G C [ F C] [ G C ]

8 Conto 9 Tntukan: a 4 cos an b Pnlsaian: a Jlas 4 cos 4 cos 4sin C 4 sin 4C 4 sin K, K 4C b Jlas Torma 3 3 3 C 3 3 C 3 C 3 C C, C C C Dipunai suatu unsi an trirnsialkan paa slan buka I an F anti turunan ari Jika u, ] ' u u F u C F[ ] [ C Bukti: Dipunai R I Jai F[ ] F '[ ] [ ] [ ]

9 Jai [ ] [ ] F[ ] C [ ] ' F[ ] C Conto 0 0 Tntukan: a an b sin cos Pnlsaian: a Tulis u Jlas u u Jlas 0 0 u u u C C b Tulis u sin Jlas u cos u cos Jlas sin cos u u 3 u C 3 sin 3 3 C

0 Torma 4 Jika U U an V V unsi-unsi an mmiliki turunan paa slan buka I, maka UV U V V U Bukti: Dipunai U V U V V U Jai U V U V V U U V U V V U V U V U V U Conto Tntukan Pnlsaian: cos Jlas cos sin sin sin sin sin C F FUNGSI INVERS, LOGARITMA, DAN EKSPONEN Funsi Invrs Dinisi 8 Dipunai unsi nan ara inisi D invrs unsi, itulis, aala unsi an iinisikan sbaai D

Conto Dipunai,, Tunjukan bawa invrsna aala Pnlsaian: Tulis Jlas Jlas Jlas,, Conto 3 Dipunai, 0 Tujukan bawa invrsna aala Pnlsaian: Tulis Jlas Jlas Jlas [ ] Dinisi 9, 0 Dipunai unsi, isbut unsi satu-satu jika untuk stiap, i omain, maka Conto 4 Dipunai : D R, D R,

Tunjukan unsi satu-satu Pnlsaian: Ambil smbaran,,, D,,, Jlas an Jlas,, 0 Jai,,, D,,,,,, Jai unsi satu-satu Torma 5 Dipunai suatu unsi an iinisikan : D R Jika unsi satusatu maka i aa, an ii ara inisi aala ran Bukti: Dinisikan pmaanan : R D nan, R an Ditunjukan suatu unsi Ambil R, nan Jlas an untuk suatu, D

3 Karna, maka Dipunai satu-satu Jai Jai suatu unsi Jlas, D Jai trapat unsi invrs untuk Tulis Jlas D D R Conto 5 Tntukan invrs ari unsi 4,, Pnlsaian: Dipunai 4 Tulis Jlas 4 4 4 Jai Jlas 4,, Jai

4 Funsi Loaritma Asli Dinisi 0 Funsi loaritma asli aala unsi an iinisikan ol ln t > 0 t Dinisi Dipunai suatu unsi an trirnsialkan paa slan 0,, nan ln, turunan ari iinisikan sbaai ln, > 0 Dinisi Dipunai u unsi an trirnsialkan paa paa slan buka I, nan lnu u ln u, maka turunana iinisikan sbaai u, u >0 u Conto 6 Tntukan turunan ari: a ln an b ln Pnlsaian: a Jlas ' [ln ] [ln ]

5 b Jlas ' [ ] [ ln ] [ln ] ln [ln ] ln ln ln Torma 6 Jika a, b R, a > 0, b > 0, an r rasional maka: ln ab ln a lnb a ln ln a lnb, b 3 ln a r r ln a Bukti: Ambil smbaran > 0 Pili Jlas ln a an ln [ ] ln a a a an a a

6 [ ] ln Jai Jlas Jai C untuk suatu konstanta C C ln a C ln a Pili ln a ln ln a b Jlas ln ab ln a ln b Dipunai ln ab ln a ln b Pili a b Jlas ln ln b ln b ln 0 b b Jai ln b ln lnb 0 lnb lnb Jai a ln ln a ln a ln b b b ln a lnb ln a 3 Dipunai a, R Pili r bilanan rasional Jlas r R Jai a r rln a Jai a r ln ln rln a ln a r rln a ln ln a r rln a

7 ln a r r ln a Jai ln a r rln a, a R, a > 0 an r bilanan rasional Dinisi 3 Bilanan aala bilanan an iinisikan ol prsamaan ln Tla itunjukan mrupakan bilanan irasional nan ktlitian sampai simal akni,78888459 Brasarkan torma 6 point 3 iprol ln n nln n n Torma 7 Loaritma asli sbaai anti turunan inatakan ln C Bukti:, 0 Ambil smbaran R, 0 Kasus > 0 Jlas Jai ln ln ln Kasus < 0 Jlas Jlas ln ln ln Conto 7 cos Tntukan, sin 0 sin

8 Pnlsaian: Tulis Jlas Jlas u sin u cos cos sin u u ln u C ln sin C 3 Funsi Eksponn Dinisi 4 Funsi ksponn asli mrupakan unsi an iinisikan sbaai p jika an ana jika ln Dinisi 5 p aala unsi an iinisikan sbaai p, nan bilanan rasional an aala bilanan an iinisikan ol prsamaan ln Torma 8 Dipunai,, an r i R, r rasional maka: i, ii, an iii [ ] r r Bukti: i Tulis an

9 Jlas ln an ln Jai ln ln ln ii Tulis an Jlas ln an ln Jai ln ln ln iii Dipunai ln a r r ln a Tulis r r Jai ln ln rln r ln r r r Jai Jai r r

30 Torma 9, R Bukti: Ambil smbaran R Dipunai ln Jlas ln ln Jai untuk stiap R Conto 8 Tntukan turunan ari unsi sin Pnlsaian: Jlas ' [ ] sin sin sin sin sin [sin cos ]

3 Torma 0 Torma 9 iatas mmbrikan ormula intrasi sbaai brikut C Bukti: Dipunai C Jlas [ F C] C C Jai F C suatu anti turunan ari Conto 9 Tntukan 3 Pnlsaian: Tulis Jlas Jlas u 3 u 3 3 u u 3 u u 3 u C 3 3 C 3

BAB III METODE PENELITIAN Paa pnlitian ini mto an iunakan pnulis aala stui pustaka Lanka-lanka an ilakukan aala sbaai brikut: A Mnntukan Masala Dalam taap ini ilakukan pncarian sumbr pustaka an mmili baian alam sumbr pustaka trsbut an apat ijaikan sbaai prmasalaan B Mrumuskan Masala Taap ini imaksukan untuk mmprjlas prmasalaan an tla itmukan akni Baaimana mmbanun unsi iprbolik? Baaimana mnntukan invrs unsi iprbolik an turunan srta anti turunan unsi iprbolik an invrsna? C Stui Pustaka Dalam taap ini ilakukan kajian sumbr-sumbr pustaka nan cara mnumpulakan ata atau inormasi an brkaitan nan prmasalaan, mnumpulakan konsp pnukun sprti inisi an torma srta mmbuktikan torma-torma an iprlukan untuk mnlsaikan prmasalaan Sina iapat suatu i mnnai baan asar pnmbanan upaa pmcaan masala 3

33 D Analisis an Pmcaan Masala Analisis an pmcaan masala ilakuan nan lanka-lanka sbaai brikut: Mmplajari an mnkaji mnunakan rrnsi an aa tntan baaimana mnurunkan mol matmatikana Mntaui scara jlas tntan siat-siat unsi iprbolik 3 Mncari pnurunan rumus unsi iprbolik an invrs srta turunan an anti turunan unsi iprbolik an invrsna E Pnarikan Simpulan Dalam taap ini ilakukan kajian sumbr-sumbr pustaka nan cara mnumpulakan ata atau inormasi an brkaitan nan prmasalaan, mnumpulakan konsp pnukun sprti inisi an torma srta mmbuktikan torma-torma an iprlukan untuk mnlsaikan prmasalaan Sina iapat suatu i mnnai baan asar pnmbanan upaa pmcaan masala

BAB IV PEMBAHASAN A FUNGSI HIPERBOLIK Dalam masala matmatika trapan srin kita jumpai kombinasikombinasi trtntu ari unsi ksponn an sina kombinasi unsi-unsi trsbut ibri nama kusus Untuk itu paa baian ini akan ibaas scara kusus suatu unsi an mmuat kombinasi ari kua unsi trsbut akni unsi iprbolik Untuk kprluan trsbut, ibanun unsiunsi p an q sbaai brikut p : R R, p an q : R R, q Graik unsi p an q ibrikan paa Gambar 3 an Gambar 4 Gambar 3 Graik unsi p naik 34

35 Gambar 4 Graik unsi q turun Slanjutna ibanun unsi an an iinisikan sbaai jumla an slisi unsi-unsi p an q Dnan mikian p q an p q Graik unsi an isajikan paa Gambar 5 an Gambar 6 Gambar 5 Graik unsi : R [, p q

36 Dipunai [, : R, Jlas 0 0 ' > > an 0 0 ' < < Jai raik naik paa 0, [ an turun paa ],0 Jlas R Jai suatu unsi nap Jlas 0 ' ' > Jai raik ckun k atas paa, Gambar 6 Graik unsi R R : q p Dipunai R R :,

37 Jlas ' > 0 R Jai raik unsi naik paa ara asalna Jlas R Jai suatu unsi anjil Jlas '', > 0, < 0 Jai raik ckun k bawa paa,0] an ckun k atas paa [ 0, Siat 4 Brikut isajikan bbrapa siat unsi an 0 an 0 0, ' R, 3 ' R, 4, 5, 6, 7 8 Bukti:, an Dipunai an

38 Jlas 0 0 0 an 0 0 0 0 0 Jlas ' 3 Jlas ' 4 Jlas 4 4 4 4 5 Jlas [ ] [ ] [ ]

39 6 Jlas [ ] [ ] [ ] 7 Jlas 8 Jlas

40 Siat-siat ari unsi an an ibrikan paa siat 4 mmprliatkan aana kmiripan nan siat-siat an imiliki ol unsi trionomtri Hal ini mmbrikan suatu i untuk mninisikan unsi an sbaai unsi iprbolik sbaai brikut Siat 4 Dipunai : R R, unsi sinus iprbolik iinisikan sbaai sin, Dipunai : R [,, unsi cosinus iprbolik iinisikan sbaai cos, 3 Dipunai : R,, unsi tann iprbolik iinisikan sbaai sin tan, cos 4 Dipunai : R,,, unsi cotann iprbolik iinisikan sbaai cot cos sin, an 5 Dipunai : R 0,], unsi scan iprbolik iinisikan sbaai sc cos

4 Gambar raik unsi tann iprbolik, cotann iprbolik, an scan iprbolik masin-masin ibrikan paa Gambar 7, Gambar 8, an Gambar 9 Gambar 7 Graik unsi tan Gambar 8 Graik unsi cot

4 Gambar 9 Graik unsi sc B TURUNAN FUGSI HIPERBOLIK Brasarkan siat 4, iprol: Torma 4 sin cos cos sin tan 3 sc cot 4 csc sc 5 tan sc Bukti: Dipunai sin

43 Jlas sin cos Jai cos sin Dipunai cos Jlas cos sin Jai sin cos 3 Dipunai sin an cos Jlas cos sin tan

44 tan sc Jai sc tan 4 Dipunai sin an cos Jlas sin cos cot

45 cot csc Jai csc cot 5 Dipunai cos Jlas cos sc

46 Jai sc tan sc tan sc C INVERS FUNGSI HIPERBOLIK Funsi invrs sinus iprbolik, cosinus iprbolik, tann iprbolik, cotann iprbolik, an scan iprbolik, masin-masin inatakan nan sin, cos, tan, cot, an sin sin, cos cos, 3 tan tan, 4 cot cot, an 5 sc sc brikut sc, iinisikan sbaai Lbi jauna tntan invrs unsi iprbolik isajikan alam uraian Invrs Funsi Sinus Hiprbolik Dipunai : R R, sin Ambil smbaran, R, Jlas sin sin

47 0 Jai unsi satu-satu Brikutna itunjukan unsi paa Ambil smbaran R Tulis sin, untuk suatu R Jlas 0 [ ] 0 0 Jlas ln Jai ln R R Jai suatu unsi paa Jai R R :, sin mmiliki invrs Jlas sin sin Jai ln sin

48 Gambar 0 Gambar raik unsi : R R, sin ibrikan paa Gambar 0 Graik unsi sin Invrs Funsi Cosinus Hiprbolik Dipunai : R [,, cos Ambil, R Jlas akan ttapi Jai bukan unsi satu-satu Jai unsi : R [,, cos tiak mmiliki invrs Aar mmiliki invrs maka kita inisikan sbaai :[0, [,, cos

49 Graik unsi :[0, [,, cos ibrikan paa Gambar Gambar Graik unsi :[0, [, cos Jlas ' > 0 [ 0, Jai monoton naik paa ara asalna Jai unsi :[0, [,, cos mmiliki invrs Ambil smbaran [ 0, Tulis cos, untuk suatu [, Jlas

50 0 [ ] 0 0 Jlas ln Jai [, ln [0, Jlas cos cos Jai ln cos Gambar raik unsi [0, [, :, cos ibrikan paa Gambar Gambar Graik unsi cos

5 3 Invrs Funsi Tann Hiprbolik Dipunai unsi, : R, tan Ambil smbaran,, R Jlas tan tan 0 Jai unsi satu-satu Slanjutna itunjukan suatu unsi paa Ambil smbaran R Tulis tan, untuk suatu, Jlas 0 0 0

5 ln ln ln ln ln ln Jai R ln, Jai suatu unsi paa Jai unsi : R, tan mmiliki invrs Jlas Jai tan tan tan ln Gambar raik unsi :,,, tan ibrikan paa Gambar 3

53 Gambar 3 Graik unsi tan 4 Invrs Funsi Cotann Hiprbolik Dipunai : R,,, cot Ambil smbaran, R, Jlas cot cot 0 Jai unsi satu-satu Slanjutna itunjukan suatu unsi paa Ambil smbaran R Tulis cot, untuk suatu,,

54 Jlas 0 0 0 ln ln ln ln ln ln Jai, ln R, Jai suatu unsi paa

55 Jai unsi : R,,, cot mmiliki invrs Jlas Jai cot cot cot ln Gambar raik unsi :,,,, cot ibrikan paa Gambar 4 Gambar 4 Graik unsi cot 5 Invrs Funsi Scan Hiprbolik Dipunai : R 0,], sc Ambil, R Jlas akan ttapi

56 Jai bukan unsi satu-satu Jai unsi : R 0,], sc tiak mmiliki invrs Aar mmiliki invrs maka kita inisikan sbaai :[0, 0,], sc Graik unsi :[0, 0,], sc ibrikan paa Gambar 5 Gambar 5 Graik unsi :[0, 0,] sc Jlas ' < 0 [ 0, Jai monoton turun paa ara asalna Jai unsi :[0, 0,], sc mmiliki invrs Ambil smbaran [ 0, Tulis sc, untuk suatu 0,]

57 Jlas 0 0 4 4 ± 4 4 ± 4 ± ± ± atau Jlas ln Jai ] 0, ln [0, Jlas sc sc

58 Jai sc ln Gambar raik unsi : 0,] [0,, sc ibrikan paa Gambar 6 Gambar 6 Graik unsi sc Prolan trsbut isajikan alam suatu torma brikut Torma 4 sin ln cos ln, < <,,, 3 tan ln, < <,

59 4 5 cot ln, >, an sc ln, 0 < D TURUNAN INVERS FUNGSI HIPERBOLIK Torma 43 sin, cos, tan 3 <, cot 4 >, an 5 sc Bukti: Dipunai sin ln Jlas sin ln ln

60 Dipunai ln cos Jlas ln cos ln 3 Dipunai ln tan Jlas ln tan

6 ln ln ln ln ln ln 4 Dipunai ln cot Jlas ln cot ln ln ln ln ln ln

6 5 Dipunai ln sc Jlas ln sc ln ln ln ln

63 E ANTI TURUNAN INVERS FUNGSI HIPERBOLIK Torma 43 mnatakan bawa mrupakan suatu anti turunan sin an suatu anti turunan cos Akibatna, apat imunculkan torma 44 brikut Torma 44 sin C, cos C, 3 tan cot C, C, 4 sc C <, an >

64 F CONTOH PENERAPAN TEORI DIFERENSI DAN INTEGRASI PADA FUNGSI HIPERBOLIK DAN INVERSNYA Brikut ibrikan bbrapa pnrapan tori irnsi an intrasi an pnlsaiana paa unsi iprbolik an invrsna Tntukan ari masin-masin unsi an ibrikan brikut a cos 4 sc i sin b sin 4 8 sc j cot c lntan cos cotln sc 7 Tntukan intral ari masin-masin unsi an ibrikan brikut a cos 3 9 5 b sin 6 cos c tan sc 9 Pnlsaian: a Dipunai cos 4 Jlas [cos 4 ]

65 4 4 [cos ] 4 sin 4 4 3 3 4 4 sin b Dipunai sin 4 8 Jlas [sin 4 8] [sin 4 8] 4 8 4 8 cos 4 84 4cos4 8 c Dipunai lntan Jlas [lntan ] [lntan ] tan tan sc tan sc tan Dipunai cotln Jlas [cotln ] [cotln ] ln ln

66 csc ln csc ln Dipunai sc Jlas [sc ] [sc ] tan sc tan sc Dipunai sc Jlas [sc ] [sc ] tan sc tan sc Dipunai cos Jlas [cos ] [cos ]

67 Dipunai sc 7 Jlas 7 [sc ] 7 7 [sc ] 7 7 7 7 6 6 7 7 7 i Dipunai sin Jlas [sin ] [sin ]

68 j Dipunai cot Jlas [ cot ] cot cot cot cot cot a cos 3 Jlas cos 3 cos 3 3 sin 3 C b sin 6 cos Tulis Jlas Jlas u sin u cos 6 6 sin cos u u 7 u C 7 sin 7 7 C

69 c tan sc Tulis Jlas u tan u sc Jlas tan sc u u 3 u C 3 u u C 3 tan tan C 3 9 Jlas 3 9 3 3 sin 3 C 3 9 5 Jlas 9 5 5 3 3 5 3 5 5 cos 3 3 C 5

70 Jlas C sin Jlas C cos

BAB V PENUTUP A SIMPULAN Brasarkan pmbaasan paa bab-bab sblumna apat iambil ksimpulan sbaai brikut Funsi iprbolik ibanun ol ua unsi p an q nan p : R R, p an q : R R, q Slanjutna ibanun unsi an an inatakan sbaai jumla an slisi ari unsi p an q, nan mikian p q an p q, imana unsi an mmiliki kmiripan siat nan siat-siat an imiliki ol unsi trionomtri Brasarkan siat trsbut iturunakn ormula unsi iprbolik Brasarkan point iprol ormula unsi iprbolik sbaai brikut a b c sin cos tan sin cos cos cot sin sc cos 3 Formula turunan unsi iprbolik a sin cos, 64

65 b cos sin, c tan sc, cot csc, an sc tan sc 4 Invrs unsi iprbolik a sin ln b cos ln < < c tan ln < < cot ln > sc ln 0 < 5 Formula turunan invrs unsi iprbolik a sin b cos tan c < cot >

66 sc 6 Formula anti turunan invrs unsi iprbolik a sin C b cos C c tan cot C, C, < > sc C B SARAN Dalam skripsi ini, pnulis mnntukan pnurunan rumus unsi iprbolik an invrs srta turunan an anti turunan unsi iprbolik an invrsna paa unsi iprbolik brnilai ral Bai pmbaca an bminat apat mnmbankanna untuk unsi iprbolik paa bilanan komplks

DAFTAR PUSTAKA Anton, H 980 Calculus Wit Analtic Gomtr Nw York: Jon Wil An Sons Brk, D Dnnis 988 Calculus, n Eition Nw York: Sounrs Colla Publisin Cotim, M 004 Kalkulus Smaran: Pnrbit FMIPA Univrsitas Nri Smaran Litol, L 993 Kalkulus an Ilmu Ukur Analitik Jili, Eisi Klima itrjmakan ol Hutaan, Wiianti Santoso, an Koko Martono Jakarta: Erlana Purcll, E J & Varbr, D 987 Kalkulus an Gomtri Analitik Jili itrjmakan ol I Noman Susila, Bana Kartasasmita, an Rawu Jakarta: Erlana Purcll, E J, Varbr, D, & Rion, S E 003 Kalkulus Jili, Eisi klapan itrjmakan ol I Noman Susila Jakarta: Erlana Tomas, Gor B 96 Calculus, n Toko: Japan Publications Train Compan, LTD 67