XIV V E K T O R 4. engertian adalah esaran yang mempunyai arah. Tafsiran geometri seuah vektor dilukiskan seagai panah. dengan titik pangkal (a x, a y, a z ) dan titik ujung ( x, y, z ) dinotasikan dengan. x a x efinisi y a y z a z (a x,a y,a z ) (a x, a y, a z ) z dengan titik pangkal O (0, 0, 0) diseut vektor posisi erhatikan gamar a O adalah vektor posisi titik y O O adalah vektor posisi titik x Maka a da tiga cara menuliskan seuah vektor, yaitu a. a a. a (a, a, a ). a a i + a j + a k a iri khas vektor adalah panjang dan arah vektor terseut. Seuah vektor tidak tergantung pangkal dan ujungnya. oleh digeser selama tidak meruah arah dan panjangnya Misalkan a (a, a, a ) Notasi : a (aca panjang vektor a ) efinisi : a + a a a + a jika dan hanya jika a a dan arahnya sama ontoh : adalah jajaran genjang dengan titik (,p,), (q,,). iketahui vektor (, r, p), maka () 4 () () 66 () (E) 4 Jawa : erhatikan x x q y y p z z 4 karena panjang dan arah sama q p r 4 q ; p 4 dan r p ( 4) 7 p iperoleh (, 7, 4) + 7+ ( 4 ) 66 7
8 4. Operasi pada vektor Secara analitik (aljaar) operasi jumlah pada vektor didefinisikan seagai Misalkan a (a, a, a ) dan (,, ) Maka a + (a +, a +, a + ) Secara geometri operasi jumlah pada vektor dapat dilukiskan seagai erikut a a + turan Jajaran Genjang Titik pangkal a dan harus sama. Lukiskan jajaran genjang. a + adalah vektor diagonal. t u r a n S e g i t i g a R Ujung dari vektor a harus a + menjadi pangkal dari vektor. Q a + Q + QR R a erikut ini adalah sifat-sifat penjumlahan vektor. Komutatif : a + + a. ssosiatif : ( a + ) + c a + ( + c ). da unsur identitas yaitu 0 (0, 0, 0) sehingga a + 0 0 + a a 4. da vektor a sehingga a + ( a ) 0 atatan : 0 dapat dilukiskan seagai seuah titik. 0 tidak mempunyai arah. Sedangkan gamaran leih jauh vektor a adalah Misalkan a Q ; a (a, a, a ) Maka : Q a ( a, a, a ) a Q a Q iawah ini adalah pengertian analitik operasi k a (aca : kelipatan vektor a ) Misalkan a (a, a, a ) ; k a, k ilangan real (k a, k a, k a ) erikut ini adalah operasi k a dipandang dari sisi geometri Misalkan k a, maka k a, k > 0 segaris (atau sejajar) dengan a a k a k a, k < 0
9 a sejajar (atau segaris) dengan a k a searah dengan a k, k > 0 a erlawanan arah dengan a k, k < 0. iketahui u (,, ), v (,,7), sejajar v dan +, maka Jawa : sejajar u k (,, ) + (6,, t). Jika sejajar u, sejajar v k (,,7) k (,, ) + k (,,7) (k k, k + k, k + 7k ) Jadi k k 6 k k 6 k + k k + (k 6) 7k 7 k dan k t k + 7k 6 engan demikian +. Titik ditengah-tengah dan titik E ditengah-tengah. uktikan E ukti E ( karena ( karena engan demikian: searah dengan E searah dengan E + ( 6,, 6) + (,, ) (, 6, ) dan ) dan E + ( + E ) ). erhatikan gamar disamping ini R adalah segi empat semarang. Jika, Q, R dan S masing-masing tengah-tengah,, dan. uktikan QRS jajaran genjang. Q ukti : erhatikan : Karena S tengah-tengah dan tengah-tengah, maka S (cara pemuktian persis soal no ) erhatikan : Karena Q tengah-tengah dan R tengah-tengah, maka QR (cara pemuktian persis soal no ) iperoleh S QR dan ini erarti segiempat QRS jajaran genjang. S E
40 4. OE adalah segi enam sama sisi. Jika a O, e OE, maka a + + c + d + e O, O dan c O, d () c () c () c () c (E) 4 c Jawa : a + e O + OE O + O c + d O + O E ( O + ) + ( OE + E ) O ( O + OE ) + + E c + c + c c iperoleh : a + + c + d + e c. a O, O dan c O. pada dan Q pada. iketahui a i j + k, i + j + k, c 4 i j + 7 k Jika Q i + n k, maka n O () () () () (E) Jawa : segaris dengan Q segaris dengan Q k Q k k ( a ) k (, 6, ) k ( c ) k (, 8, 4) Karena + Q (, 0, n) k (, 6, ) + k (, 8, 4) iperoleh k + k kali 6k 8 k 0 k 4 k 8 dan 6k 8k 0 k 6 engan demikian n k 4 k 6 4 8 6. erhatikan gamar a O, O, E () a + () a + O a c Q () 6 a + () 6 a + 6 Jawa : E ( (E) a + 6 E + E + EO + O ) + ( O + O ) E ( E + O ) + ( E + O ) E + O + O iperoleh E O + O E 6 a + 6
4 7. F dan SFT jajaran genjang. Jika S : S :, T : T : a,, Maka () 8 a 0 () 0 a 8 () 8 a + 0 (E) 8 a 0 S F T () 0 a + 8 Jawa : S TF ; karena SFT jajaran genjang + S T + F F jajaran genjang F a 4 4 a 8 a 0 S erlawanan arah dengan S 4 S : : 4, maka T erlawanan arah dengan T: :, maka T dan 4 a dan 4.. erandingan pada ruas garis m a Q n R c T n m + n a + m m + n c. Titik,, dan Q erturut-turut ditengah-tengah O,, O dan. Jika a O, O O, maka Q () () 7 (E) 7 a + () () 4 Jawa : O segaris dengan a dan Q : Q : : : OQ O O a O + O + O 4 O O + O segaris dengan O dan O O O O O O 4 Q O O O + 4 O
4 engan demikian Q OQ O 4 4 O 4 O + O ( 4 O + 4 O ). Titik, dan segaris dan a,, c seperti gamar. a. uktikan dapat ditulis α a + ( α) c c untuk suatu konstanta α. Jika x ( a + c ) c. Tentukan nilai x Jawa : a. Misalkan : m : n n m + n a + m m n n Tuliskan α m + n α a + ( α) c. Karena x ( a + c ) c x a + (x ) c Maka x + (x ) α + ( α) iperoleh 6x x + c a. erhatikan gamar : : R : R : a O, O, c O, dst Jika R a + c dan d k a + k + k c Maka k + k + k (),9 (), (E),6 (),9 (), Jawa : O R : : p c + R : R : r d + a erhatikan R r p a + c ( d + a ) ( c + ) kali a + 0 6 c 0 d + a 9 c 6 0 d 0 a + 6 + c d a +,6 + 0, c engan demikian k + k + k,9
4 4. 4. erkalian titik a. a α cos α a Misalkan a (a, a, a ) (,, ) Maka erlaku a. a + a + a α ( a, ) cos α a a a + a + a a Sifat-sifat... 4. a a a ( + c ) a + a c a a a a tegak lurus a 0 ontoh :. Jika diketahui vektor a dan dengan a + dan a 0 dan, maka a () 7 () () 40 () 47 () 0 Jawa : E a + a + a + a + 00 a a + 00 a + a + a 7 a 7 0. iketahui vektor O i + k dan O 4 i + j + k. Titik pada sehingga O O, maka O () i + j + k () i + j + k (E) i + 4 j + k () i + j + 4 k Jawa : () i + j + 4 k
44 erhatikan : O O + O + k (, 0, ) + k (,, 4) ( + k, k, + 4k) O O O O cosα O O O O O cosα O iperoleh : O O O O ( + 7k ) 9 + 4k 0 + k 9 + 4k k 6 engan demikian O (,, ) 0 segaris dengan k α α O. Jika a + c 0 ; a : : c : : dan α ( a, c ), maka sin α () 7 4 () 7 () 7 () 7 (E) 7 4 Jawa : a : : c : : a t; t; c t c a c a 4 c a c + a 4 c a c cosα + a 4 t 4 t t cosα + 9 t t cosα 9 t 4 cos α 9 7 4 sin α 4 7 α 4. a + tegak lurus dengan vektor a. Jika a : :, dan α ( a, ), maka cos α () () () () (E) 4 6 Jawa : a : : a t; t a + a ( a + ) ( a ) 0 a + a 0 a + a cos α 0 t + 0 t cos α 8t 0 cos α. Segitiga O sama sisi. Titik pada O sehingga O : :, Titik pada O sehingga O : :. Jika a O, O dan 4,8 maka a + () () () () 4 (E) Jawa :
4 ari 4,8 ( O + O ) ( O + O) 4,8 ( a + ) ( a + ) 4,8 kali O ( 0 a + 6 ) ( a + ) 7 0 a 6 a + 6 7 0 a 8 a + 6 a 7 8 a 7 a 9 a + ( a + ) ( a + ) a + a + a + a + a 7 Jadi a + 7 O sama sisi, maka... a a a cos 60 0 a a a 6. Titik, Q dan R segaris dan vektor p, q, r masing-masing vektor posisi titik, Q dan R. Jika p (,, ), Q (,,) dan r Q, maka r () (,, ) () (0, 4, ) () (,, ) () (0,, ) () (,0, ) Jawa : E, Q dan R segaris R α Q r p α Q r p + α r (,, ) + α (,,) ( + α, + α, + α) r Q r Q 0 ( + α, + α, + α). (,,) 0 4 α + 7 0 α engan demikian r (,, ) (, 0, ) (, 0, ) 7.. idang empat dengan alas sama sisi, yaitu p. Jika tegak lurus alas dan q, maka cos (, ) q p q () p + q () (E) p + q p + q q p () () p + q p + q Jawa : v (, ) ertolak elakang dengan, maka (, ) 60 0 u u Jadi cos 60 0 v p p p tegak lurus idang alas engan demikian : ilain sisi : ( + ) + 0. cos ( Q p + 0 p, )
46 p p + q p cos ( p cos (, ) p + q, ) 4. royeksi Suatu ada Yang Lain erhatikan gamar diawah. c diperoleh dengan cara memproyeksikan vektor a pada vektor. Rumusan vector c dan c adalah a a c c c a ontoh. anjang vektor () u v u + v () u v () u + v Jawa Q pada gamar disamping adalah () u v u + v u v u + v (E) u v u + v angun diatas adalah jajaran genjang, maka O v u OR u + v Q R O diperoleh dengan memproyeksikan vektor v pada u + v O v (u + v) u + v OQ diperoleh dengan memproyeksikan vektor u pada u + v OQ u (u + v) u + v Maka Q OQ u O ( u v) ( + v) u + v u (u + v) u + v u v u + v v (u + v) u + v. c i + j k adalah proyeksi vektor a pada vektor. Jika a + i j 4 k, maka () c () c () c () c (E) c Jawa :
47 erhatikan gamar a S ; Q QU T proyeksi a pada c + c Q + U QU proyeksi R pada T R T T T + ( ) + ( ) ( 4) c ( + + ( ) ) c c 9 engan demikian: c c c a Q (a + ) c c c S T R U. iketahui a 6 i j + k, i j + m k, c adalah proyeksi vektor a pada vektor. Jika c, maka m () m atau m () m atau m (E) m atau m () m atau m () m atau m Jawa : c adalah proyeksi vektor a pada vektor, maka c a c a a (0 + m ) 9 + m m m 7 0 (m + ) (m ) 0 m atau m 4. angun pada gamar adalah trapesium. Jika i j + 4 k dan i j + k, maka () 7 4 ( i j + 4 k ) () ( i j + 4 k ) () ( i j + 4 k ) (E) ( i j + 4 k ) 4 () ( i j + 4 k ) 7 Jawa : E EF F E E proyeksi 4 7 E 7 4 pada 7 4 ( i j + 4 k )
48 emahasan Matematika I. iketahui titik (,,), Q(, 4,4) dan R(,,7). Maka a. QR. QR Jawa : Q 4 4 maka Q QR c. QR dan QR d. QR 7 4 4 Q e. QR (Matematika 89 Rayon ) 6. iketahui titik (,, ), Q(,,0), dan R(,, ). Jika R maka a sama dengan a. 6. c. 6 d. 0 e. 8 Jawa : a Q 0 ; QR 0 Q a dan QR + (Matematika 89 Rayon ) 0 ; R engan demikian a 4 ; QR + R 6 6 0 + 4 6. iketahui a 7 ι + 8 j dan (, ) jika Q a dan Q erlawanan dengan a maka koordinat titik Q adalah a. (6, 0). (6, 0) c. (6, 6) d. (8, 0) e. (8, 0) (Matematika 89 Rayon ) Jawa : E Sifat: Q erlawanan arah dengan a Q k a, k < 0 Misalkan koordinat Q(x,y) Q erlawanan dengan a Q a Q a Jadi Q a 7 7 x 8 8 y + idapat x 8 dan y 0 Titik Q(8, 0) 7 8 Q a
49 4. iketahui vektor u (,,) dan v (,, ). w yang panjangnya, tegak lurus pada u, dan tegak lurus pada v adalah a. ( 0, 0, ) c. ( 0,, ) e. (,, ). ( 0, Jawa :, ) d. (,, ) Rumus : w u dan w v w α ( u x v ), dimana α konstan (Matematika 90 Rayon ) w α i j k α i j + k w α i ( ) j ( + ) + k ( ) α j + k α j + α k sedangkan w α + α α α α ±. Untuk α memenuhi jawaan, w (0,, ). iketahui titik (,, 0), Q(,, ), dan R(4,, ). anjang proyeksi vektor Q pada vektor R adalah a.. c. d. e. 6 (Matematika 90 Rayon ) Jawa : E Q R 4 0 0 anjang proyeksi Q terhadap R (atau proyeksi skalar ) adalah Q R R + + ( ) + 6 6 6 6. Jika O i + k, O j + h, dan O c j + 4 k, dan 60 O maka c a.. c. d. e. (Matematika 90 Rayon )
0 Jawa : E (,0,) 0. c 0 cos 60 O 60 0 (0,,) (0,c,4) 0 + ( c + ) + 0 (c ) + 9 kedua ruas dikuadratkan, menjadi : 4( c + ) (c ) + 8 4( c) (c ) + 8 (c ) 8 c ± 9 c ± c 4 atau c 7. Jika titik (,,), Q(,0,0), dan R(,,a) terletak pada satu garis lurus, maka a a. 0. c. d. e. Jawa : (Matematika 9 Rayon ) Q R Titik, Q, dan R terletak pada satu garis Q segaris dengan R Q α R, α konstan. Q α R 0 α 0 a iperoleh: α α α (a ) α a + a a 8. Jika esar sudut antara vektor p dan vektor q adalah 60 O. anjang p dan q adalah 0 dan 6, maka panjang vektor ( p q ) sama dengan a. 4. 9 c. 4 d. 7 e. 9 (Matematika 9 Rayon ) Jawa : E p q p + q p q cos 60 O p q 00 + 6 0 6 p + q p p q p + + p q q + q p q p q 76 p q 76 9
9. iketahui titik (,, 8), dan titik (, 4,0). Titik terletak pada perpanjangan sehingga. Jika p vektor posisi titik, maka p a. 4 i j + 4 k c. j k e. i j k. 4 i j 4 k d. i j k (Matematika 9 Rayon ) Jawa : Misalkan titik (x, y, z) x x x 9 + x y + 4 y y + + y z + 8 0 z z + 8 z maka x 9 + x y + + y z + 8 z 8 x 0 y 8 z 4 x y 4 z didapat titik (4,, 4) sehingga vektor p 4 i j + 4 k 0. Garis g melalui (,4, ) dan (4,, ), sedangkan garis h melalui (7,0,) dan (8,, ). esar sudut antara g dan h adalah a. 0 0. 0 0 c. 4 0 d. 60 0 e. 90 0 (Matematika 9 Rayon ) Jawa : 4 4 ( ) 8 7 0 α cos α 6 4 cos α 7 4 cos α cos α α 80 O 60 O 0 O sudut antara dua garis harus sudut yang lancip; jadi (g,h) merupakan sudut pelurus α (g,h) 60 O. ierikan vektor O i + j + k, O i + j + k, titik pada garis, sehingga O. Maka O (Matematika 9 Rayon ) a. 7. 4 7 c. 7 d. 7 e. 7 Jawa : O + O O O α 0 O O + + 4
ada O ahwa cos α O.() O ada O ahwa cos α ari () dan () O O O O O O O O O O () 4 ( 0 + + ) 7 ( + ) 7. Jika vektor a dan vektor mementuk sudut 60 o. a 4 dan, maka a ( a ) a.. 4 c. 6 d. 8 e. 0 (Matematika 9 Rayon ) Jawa : E a ( a ) a a a a a cos 60 O 4 4 6 6 0. a x i + x j 4 k, i + 4 j + k dan c i + j + k. Jika a tegak lurus pada, maka a c a. i 8 j k d. i j k. 7 i 8 j k e. i + 8 j k c. 7 i j k (Matematika 9 Rayon ) Jawa : x a tegak lurus pada a 0 x 4 0 4 6x + 4x 0 0 x 0 x 0 Jadi a 0 0 7 i 0 j 4 k a c 0 4 a c 7 i j k 4. iketahui vektor-vektor u i j + k dan v 4 i + 0 j 8 k. u + c v akan tegak lurus pada vektor u jika c a.. c. d. e. (Matematika 9 Rayon )
Jawa : u + c v 4 + c 0 8 + 4c + 0c 8c + 4c ( u + c v ) u ( u + c v ) u 0 + 0c 0 8c ( + 4c ) ( + 0c) + ( 8c ) 0 4 + 8c + 0c + 4 6c 0 9 8c c. a i + 4 j, i + j, c i 4 j dan x p a + q dengan p dan q ilangan real tidak nol. Jika x sejajar dengan c, maka p dan q memenuhi huungan a. 8p q 0 c. p 8q 0 e. p 9q 0. 8p + q 0 d.p + 8q 0 (Matematika 9 Rayon ) Jawa : x p a + q x p + q p + q 4 4p + q x sejajar dengan c x k c, untuk suatu konstan k. Jadi p + q k 4p + q 4 p + q k (x4) 4p + q 4k (x) 6. iketahui a i j, i + 4 j, dan r 7 i 8 j. Jika r k a + m, maka k + m a.. c. d. e. (Matematika 9 Rayon ) Jawa : r k a + m 7 k + m 7 k m 8 4 8 k + 4m iperoleh : k m 7 (x4) k 4m 8 k + 4m 8 (x) k + 4m 8 + 0k 0 k untuk k maka m 7, didapat m. Jadi k + m 7. iketahui (a,0,), Q(0,6,) dan R(,7,c). gar vektor Q tegak lurus QR, haruslah nilai a c sama dengan a.. c. d. e. (Matematika 9 Rayon ) Jawa : erhatikan Q ( a, 6, ), QR (,, c ) Q QR Q QR 0 ( a, 6, ) (,, c ) 0 a + 6 + c 0 0 4 a c a c 4p + 8q k p + q k 8p +q 0 +
4 8. gar kedua vektor p (x,4,7) dan q (6,y,4) segaris, haruslah nilai x y a.. c. d. 4 e. 6 (Matematika 9 Rayon ) Jawa : p dan q segaris p α q engan demikian (x,4,7) α (6,y,4) (x,4,7) (6α, y α,4 α) iperoleh : 4 α 7 α ; x 6α ; 4 y α y 8 maka x y 8 9. iketahui vektor-vektor a i 4 j + k, x i + z j + 4 k, c i j + k dan d i + z j + x k. Jika vektor a tegak lurus terhadap dan vektor c tegak lurus terhadap d, maka a a. 6 j k c. 6 i k e. 4 i 6 j k. 4 i j k d. i k (Matematika 96 Rayon ) Jawa : E a jika a 0 x 4z + 0 x 4z c d jika c d 0 0 z + x 0 x z 0 z z x vektor i + j + 4 k 4 sehingga a 4 6 4 i 6 j k 4 0. anjang vektor a, dan ( a + ) erturut-turut adalah, 8, dan 4 7. esar sudut antara a dan adalah a. 4 o. 60 o c. 90 o d. 0 o e. 0 o (Matematika 96 Rayon ) Jawa : a + a + + a (4 7 ) + 8 + a cos α 44 + 64 + 8 cos α 08 + 9 cos α 96 9 cos α cos α 96 α 0 O 9. iketahui u dan v vektor tak nol semarang,, w v u + u v. Jika θ ( u, w ) dan φ ( v, w ), maka a. φ θ 90 o c. φ θ e. φ + θ 80 o. φ + θ 90 o d. θ φ 90 o (Matematika 96 Rayon )
Jawa : u. w θ ( u, w ) cos θ u w cos θ w. u v + ( u φ ( v, w v. w ) cos φ v w u.( v u + u v ) u u w v ) v.( v u + u v ) v w. v + u ( u u w v ).() v ( v. u) + u v v w u v + ( u. v ) cos φ.() w Ruas kiri pernyataan () dan () ernilai sama, sehingga cos θ cos φ atau θ φ. Q (,0,) dan vektor R (,,). Jika S Q, maka vektor RS a. (0,, ) c. (,, 0) e. (,, ). (, 0, ) d. (, 0, ) Jawa : (Matematika 97 Rayon ) Q S sedangkan RS S 0 R + S R + S 0 + 0 0. (,,4), (,, ), dan (,p,q). Jika titik-titik, dan segaris, maka nilai-nilai p dan q erturut-turut adalah a. dan 4 c. dan 0 e. dan 0. dan 4 d. dan 0 (Matematika 97 Rayon ) Jawa : Titik, dan segaris, Maka haruslah memenuhi k k p 4 q 4 4 6 k p sehingga 4 k k 4 6 q 4 6 k (p ) 6 4 (p ) 8 p p 6 k (q 4) 6 4 (q 4) 8 q 4 q 4 maka p dan q 4
6 4. a (4,) vektor (, ) dan vektor c (,7). Jika c p a + q, maka p q a.. c. d. e. (Matematika 97 Rayon ) Jawa : c p a + q p 4 + q 7 4p + q (x) 4 8p + q 7 p q (x) 7 p q + p p an 4() + q q. Jadi p q ( ). ada persegi panjang O, adalah titik tengah O dan titik potong dengan diagonal. Jika a O dan O, maka a. a + c. a e. a O. Jawa a d. a + Karena dan (Matematika 98 Rayon ) erhatikan : dan seangun : : : : : Sehingga searah, maka ( d c ) sedangkan d O a dan c O + + a sehingga [ a ( + a )] ( a ) a 6. adalah seuah elah ketupat u, v dan esar sudut α, maka akan selalu. u tegak lurus pada v. proyeksi u pada v adalah u sin α. u+ v u atau u+ v v 4. u + v tegak lurus u v (Matematika 98 Rayon ) Jawa : (4 saja) Sifat dari elah ketupat :. sejajar dan sejajar. T T dan T T. () T elum tentu sama dengan T, maka ( u, v ) elum tentu tegak lurus () u + v u + v + u v T
7 u + v + u v cos α u ( + cosα) Jadi () salah () proyeksi u pada v k v ( dengan k u v v u sin α k u akan sejajar u. Jadi salah (4) u + v dan u v. Jadi (4) enar u v karena elah ketupat ) akan sejajar v. Tetapi vektor 7. Jika a i j + k dan 4 i + j 6 k, maka. a + 4. a 8. a : : 4. a // ( Matematika 98 Rayon ) Jawa : E. a + i + j k a + ( ) + + ( ) 4. a : + ( ) + : ( 4) + + ( 6) 4 : 6 :. a ( 4) + ( ) + ( 6) 8 8 8 4. ( i j + k ) a k a (k konstan tak nol) // a 8. iketahui persegi panjang O dengan panjang O dan. Jika O u dan O v, maka u. v () () 60 () 44 () 49 (E) 6 ( Matematika 99 Rayon ) Jawa : hitagoras : O O + + 69 v O α u u. v u v cosα 44 O 9. iketahui vector a 4 i j + k dan titik (,,). Jika panjang Q sama dengan panjang a dan Q erlawanan arah dengan a, maka koordinat Q adalah () (, 4,0) () (, 4,0) () (6, 6,6) () ( 6,6, 6) (E) ( 6,0,0) ( Matematika 99 Rayon ) Jawa : Sifat: Q erlawanan dengan a Q k a, k < 0 Karena Q a k Q a (4,, ) ( 4,, ) Misalkan koordinat Q(x,y,z) Q (x, y +, z ) engan demikian: x 4 x ; y + y 4; z z 0 Titik Q(, 4, 0)
8 0. iketahui a i + x j + y k, y i + j + z k, c x i + z j + k. Jika a + c, maka () x, y, z () x, y, z (E) x, y, z () x, y, z () x, y, z ( Matematika 99 Rayon ) Jawa : E a + c ( + y, x +, y + z) (x, z, ) x y +, z x + dan y + z engan mensutitusi ketiga persamaan diatas diperoleh x, y, z