BILANGAN RAMSEY SISI DARI r ( P, )

Charul Imron dan dy Tr Baskoro, Blangan Ramsey Ss BILANGAN RAMSY SISI DARI r ( P, ) (Ramsey Number from the Sde r ( P, ) ) Charul Imron dan dy Tr Baskoro Jurusan Matemátca, FMIPA ITS Surabaya mron-ts@matematka.ts.ac.d Departemen Matematka, FMIPA ITB Bandung ebaskoro@dns.math.tb.ac.d ABSTRAK Pada paper n akan dtunjukkan bahwa blangan Ramsey ss dar r ( P, ),, 5 adalah 0,,. Dtunjukkan pula bahwa r ( P, ) r ( P, P ) + r ( P P ) k k+l- untuk n ganjl dan k, l genap. Kata kunc: Blangan Ramsey ss, Graph lntasan untuk n dengan n, ABSTRACT In ths paper t wll be shown that Ramsey numbers from the sde r ( P, ) from n,, 5 are 0,,. It s also shown that r ( P, ) r ( P, P ) + r ( P, P ) wth n k k+l- for n odd and k, l even nteger Keywords: Sde Ramsey number, Lane graph Makalah dterma tanggal Aprl 006. PNDAHULUAN Dberkan dua graph F dan H, notas G? (F, H ) menyatakan bahwa setap pewarnaan -warna (msal merah dan bru) pada semua ss graph G akan mengakbatkan G memuat subgraph F berwarna merah atau memuat subgraph H berwarna bru. Blangan Ramsey klask r ( F, H ) adalah banyaknya smpul mnmum dar suatu graph G yang bersfat G? (F, H), sedangkan blangan Ramsey ss r ( F, H ) adalah banyaknya ss mnmum dar suatu graph G yang bersfat G? (F, H). Pada paper n akan dkaj blangan Ramsey ss untuk kombnas graph lntasan P dengan graph lntasan dengan n,, 5, sedangkan untuk n,,..., sudah dkaj (rdõs dkk, 978). Pada paper n, akan dkaj pula hubungan antara n genap dengan n ganjl untuk n 5.. NOTASI DAN DFINISI Graph G yang basanya dtuls dengan G(V,) terdr dar hmpunan tak kosong smpul yang basanya dsmbolkan dengan (G). Setap u, v V (G) tersebut dengan smpul dar graph G dan e (u,v) merupakan pasangan terurut dar smpul yang dsebut dengan ss dar graph G. Untuk memudahkan, ss e (u,v) serng dtuls dengan uv. Oreder dar G dnotaskan dengan V (G) yatu banyaknya smpul dalam graph G, 7

Berkala MIPA, 6 (), Me 006 sedangkan bayaknya ss dnotaskan dengan (G). Derajat dar suatu smpul v d G adalah banyaknya smpul yang bertetangga dengan v. Dua smpul dkatakan bebas jka dua smpul tersebut tdak bertetangga, sedangkan suatu hmpunan S V (G) dkatakan hmpunan bebas jka setap dua smpul d S adalah bebas dalam G. Dengan cara yang sama, dua ss d G dkatakan salng bebas jka dua ss tersebut mempunya empat smpul yang berbeda. Hmpunan T (G) dkatakan hmpunan ss bebas jka setap dua ss yang berbeda d T adalah bebas dalam G. Defns. Blangan Ramsey r(k,l) ddefnskan sebaga blangan mnmum N sedemkan hngga pewarnaan X dar hmpunan ss K N dnotaskan dengan ( K N ) dmana K N memuat K k merah atau K l bru sebaga subgraph. Pewarnaan X merupakan fungs dar {(,j)? j dan,j {,,...,N}} ke {merah, bru} G tdak memuat P merah, akan dbuktkan bahwa pewarnaan X tersebut akan memuat P bru. Untuk menunjukkan adanya P bru, lhat Gambar yatu kontruks graph G dengan jumlah smpul sebanyak V(G ) dan jumlah ss sebanyak (G ) 5. Oleh karena tu, hanya ada dua ss yang dapat berwarna merah yang tdak membentuk lntasan P. Hal tersebut mengakbatkan G memuat P bru. Ambl satu ss sebarang d G, sehngga (G ), kemudan warna bru. Karena (G ), maka tdak dtemukan P bru yang dharapkan. Jad r ( P, P ) 5 dan perhatkan bahwa graph G dapat dawal atau dakhr pada smpul u atau smpul u. u u u u u. BILANGAN RAMSY SISI Blangan ramsey ss dar r ( P, ) P n adalah banyaknya ss pada suatu graph G sedemkan hngga dtemukan lntasan P berwarna merah atau luntasan berwarna bru yang merupakan subgraph dar G. Telah dhtung oleh Nuraen (005), untuk n,, 5,...,, sepert tertera pada Tabel. Tabel : Blangan Ramsey Ss u u G u u 5 u 6 Gambar : n Gambar : n 6 G 6 u u u u P P P 5 P 6 P 7 P 8 P 9 P 0 P P ( P ) r, 5 6 8 0 6 6 9 Teorema-teorema berkut merupakan sebagan penjelasan dar Tabel. u 5 u 6 G 8 u 7 u 8 Teorema.. (rdõs dkk, 978) r P, P 5, r P, P 8, r P, P ( ) ( ) ( ) 6 8 Bukt: Perhatkan Gambar, ambl X sebarang pewarnaan -warna (msal merah dan bru) pada ss G. Andakan Gambar : n 8 Untuk menunjukkan r ( P, P ) 8. 6 Perhatkan Gambar, yatu kontruks graph G 6 dengan jumlah smpul sebanyak V(G 6 ) 6 dan jumlah ss sebanyak (G 6 ) 8, dmana : 8

Charul Imron dan dy Tr Baskoro, Blangan Ramsey Ss V ( G ) { u,,..., 6} ( ) G 6 6 { uu +,} { u u +,5} { u u +,,} { u u }, dengan Dengan memperhatkan graph G 6, jumlah ss yang mungkn dber warna merah agar supaya tdak dtemukan P merah tetap dapat dtemukan P 6 bru, maka ss-ss yang mungkn dapat dber warna merah adalah maksmum tga ss yang salng bebas yang terletak d :S. tga merah d. satu merah d, satu merah d dan satu merah d. satu merah d, satu merah d dan satu merah d Dengan memperhatkan letak merah d tga ss tersebut, dpastkan dapat dtemukan lntasan ss berwarna bru yang dawal atau dakhr pada smpul u atau u 6. Untuk menunjukkan r ( P, P ). 8 Perhatkan Gambar, yatu kontruks graph G 8 dengan jumlah smpul sebanyak V(G 8 ) 8 dan jumlah ss sebanyak (G 8 ), dmana : V ( G8 ) { u,,,..., 8} ( 8 ) { uu +,, } { u u + 5,6,7} { u u +,,,} G 5 { u u8} { u u } 5, dengan Dengan memperhatkan graph G 8, jumlah ss yang mungkn dber warna merah agar supaya tdak dtemukan P merah tetap dapat dtemukan P 8 bru, maka ss-ss yang mungkn dapat dber warna merah adalah maksmum empat ss yang salng bebas yang terletak d :. empat merah d. dua merah d, satu merah d dan satu merah d. dua merah d, dan dua merah d 5. satu merah d, satu merah d, satu merah d dan satu merah d Dengan memperhatkan letak merah d empat ss tersebut, dpastkan dapat dtemukan lntasan ss berwarna bru yang dawal atau dakhr pada smpul u. Berkut teorema yang lannya, merupakan penjelasan dar tabel d atas. Teorema. (rdõs dkk, 978) P, P 0, r P, P r P, P ( ) ( ), 7 9 r ( ) 6 u u u u u 5 u u G 7 u 6 u 7 Gambar : n 7 u u u 5 u 6 u 7 u 8 u 9 Gambar 5: n 9 u u u u u 5 G Gambar 6: n u 6 u 7 u 8 u 9 u 0 u 9

Berkala MIPA, 6 (), Me 006 Bukt: Perhatkan Gambar, ambl x sebarang pewarnaan -warna (msal merah dan bru) pada ss G 7. Andakan G 7 tdak memuat P merah, akan dbuktkan bahwa pewarnaan x tersebut akan memuat P 7 bru. Untuk menunjukkan adanya P 7 bru, lhat Gambar yatu kontruks graph G 7 dengan jumlah smpul sebanyak, V(G 7 ) 7 dan jumlah ss sebanyak (G 7 ) 0. Perhatkan kembal kontruks graph G 7, sebenarnya graph tersebut merupakan gabungan dar dua graph G dengan menggabungkan salah satu ssnya, yatu smpul u dar graph bagan bawah. Telah djelaskan datas bahwa G dapat dawal atau dakhrpada smpul u. Sedangkan penggabungan dua graph tersebut terletak pada smpul-smpul tersebut. Jad dapat dtemukan P 7 bru yang dngnkan, sehngga r ( P, P ) 0 7 Untuk menunjukkan r ( P, P ). 9 Perhatkan Gambar 5, yatu kontruks graph G 9 dengan jumlah smpul sebanyak V(G 9 ) 9 dan jumlah ss sebanyak (G 9 ), dengan cara yang sama, perhatkan kembal kontruks graph G 9, sebenarnya graph tersebut merupakan gabungan dar graph G (bagan atas graph G 9 ) dan graph G 6 (bagan bawah graph G 9 ) dengan menggabungkan salah satu ssnya, yatu smpul u pada G dan smpul u pada G 6. telah djelaskan d atas bahwa G dapat dakhr pada smpul u dan G 6 dapat dawal pada smpul u. Sedangkan penggabungan dua graph tersebut terletak pada smpulsmpul tersebut. Jad dapat dtemukan P 9 bru yang dngnkan, sehngga r ( P, P ) 9 Untuk menunjukkan r ( P, P ) 6. Perhatkan Gambar 6, yatu kontruks graph G dengan jumlah smpul sebanyak V (G ) dan jumlah ss sebanyak (G ) 6, dengan cara yang sama pula, perhatkan kembal kontruks graph G, sebenarnya graph tersebut merupakan gabungan dar dua graph G 6 dengan menggabungkan salah satu ssnya, yatu smpul u 6 dan smpul u. Telah djelaskan d atas bahwa G 6 dapat dawal atau dakhr pada smpul u atau u 6. Sedangkan penggabungan dua graph tersebut terletak pada smpul-smpul tersebut. Jad dapat dtemukan P bru yang dngnkan, sehngga r ( P, P ) 6 Dar pembuktan Teorema., dapat dduga bahwa blangan ramsay yang lebh besar lag, perhatkan dugaan d bawah n. Dugaan. r ( P P ) r ( P, P ) r ( P P ) +, n k dmana n k + - untuk n 7 ganjl, k dan l genap. Bukt. Telah dhtung oleh Nuraen, bahwa r ( P, P ) 5, dengan mengambl l k maka r ( P, P ) r ( P, P ) + r ( P, P ) 5 + 5 0 7 sesua dengan perhtungan pada tabel d atas. Begtu juga untuk n 9, untuk r ( P, P ) 5 dan r ( P, P ) 8, dengan 6 mengambl k dan l 6 maka r ( P, P ) r ( P, P ) + r ( P, P ) 5 + 8 9 sesua dengan perhtungan 6 pada tabel d atas. Sedangkan untuk n, r ( P, P ) 8, 6 dengan mengambl k l 6 maka r ( P, P ) r ( P, P ) + r ( P, P ) 8 + 8 6 6 sesua dengan perhtungan 6 pada tabel d atas. Teorema. r ( P, P ) 0 u u u u u 5 u 6 u 7 u 8 u 9 u 0 u Gambar 7: n Bukt. Perhatkan Gambar 7, ambl x sebarang pewarna -warna (msal merah dan bru) pada ss G. Andakan G tdak memuat P merah, akan dbuktkan bahwa pewarnaan x tersebut akan memuat P bru. Untuk menunjukkan adanya P bru, lhat Gambar 7 yatu kontruks graph G degan jumlah smpul sebanyak V (G ) dan u u 0

Charul Imron dan dy Tr Baskoro, Blangan Ramsey Ss jumlah ss sebanyak (G ) 0. dmana: V(G ) { u,,...,} {u,,...,6} {u 6,7,...,} atau V(G ) V(G 6 ) V(G 8 ) sedangkan V(G 6 ) n V(G 8 ) {u 6 } yang merupakan smpul penghubung antara graph G 6 dan graph G 8. (G ) (G 6 ) (G 8 ) Katakan bahwa blok-atas adalah subgraph G bagan atas yang sama dengan graph G 6 dan blok-bawah adalah subgraph G bagan bawah yang sama dengan graph G 8. Dengan memperhatkan graph G, jumlah ss yang mungkn dber warna agar supaya tdak dtemukan P merah tetap dapat dtemukan P bru, maka ss-ss yang mugkn dapat dber warna merah adalah maksmum enam ss yang salng bebas yang terletak d :. tga merah d blok-atas dan tga merah d blok-bawah. dua merah d blok-atas dan empat merah d blok-bawah Kejadan. Perhatkan kembal uraan dar G 6 yang merupakan blok-atas, telah dbuktkan d atas bahwa G 6 dapat dtemukan lntasan bru yang berakhr pada smpul u 6 atau smpul terakhr. Sedangkan tga merah terletak pada blok-bawah yang berbentuk G 8 dan telah terbukt dapat dcar lntasan bru yang dawal dar smpul terakhr dar blok dawal dar smpul awal, jad dapat dtemukan lntasan P bru. Begtu juga untuk kejadan. Sehngga memperhatkan letak merah d tga ss tersebut, dpastkan dapat dtemukan lntasan P bru. Teorema.5 r ( P, P ) u u u u u 5 u 6 u 7 Bukt. Perhatkan Gambar 8, ambl x sebarang pewarnaan -warna (msal merah dan bru) pada ss G. Andakan G tdak memuat P merah, akan dbuktkan bahwa pewarnaan x tersebut akan memuat P bru. Untuk menunjukkan adanya P bru, lhat Gambar 8 yatu kontruks graph G dengan jumlah smpul sebanyak V(G ) dan jumlah ss sebanyak (G ). dmana : V(G ) {u,,...,} (G 6 ) 5, dengan {u u +,,...,6} {u u + 8,9,...,} {u u +7,,...,7} {u u +5,5,7} 5 {u u } Dengan memperhatkan graph G, jumlah ss yang mungkn dber warna merah agar supaya tdak dtemukan P merah tetap dapat dtemukan P bru, maka ss-ss yang mungkn dapat dber warna merah adalah maksmum tujuh ss yang salng bebas dengan komposs peletakan lhat Tabel Tabel : Letak Merah 5 - - 7 - - - - 5 - - - - - - - - - Dengan memperhatkan letak merah d tujuh ss tersebut, dpastkan dapat dtemukan lntasan P bru. u 8 u 9 u 0 u u u u G Gambar 8: n 5 Teorema.6 r ( P, P ) Bukt. Perhatkan Gambar 9, ambl x sebarang pewarnaan -warna (msal merah dan bru) pada ss G 5. Andakan G 5 tdak

Berkala MIPA, 6 (), Me 006 memuat P merah, akan dbuktkan bahwa pewarnaan x tersebut akan memuat P 5 bru. Unruk menunjukkan adanya P 5 bru, lhat Gambar 9 yatu kontruks graph G 5 dengan jumlah smpul sebanyak V(G 5 ). dmana : V(G 5 ) {u,,...,5} {u,,...,8} {u 8,9,...,5} atau V(G 5 ) V(G 8 ) V(G 8 ) sedangkan V(G 8 ) V(G 8 ) {u 8 } yang merupakan smpul penghubung antara graph G 8 atas dan graph G 8 bawah. (G ) (G 8 ) (G 8 ) u u u u Kejadan. Perhatkan kembal uraan dar g 8 yang merupakan blok-atas (G 8 yang terbalk), telah dbuktkan datas bahwa G 8 dapat dtemukan lntasan bru yang berakhr pada smpul u atau smpul awal. Sedangkan empat merah terletak pada blokbawah yang berbentuk G 8 dan telah terbukt dapat dcar lntasan bru yang dawal dar smpul awal yatu u. Jad blok-atas dakhr pada smpul terakhr dan blokbawah dawal dar smpul awal, jad dapat dtemukan lntasan P 5 bru. Begtu juga untuk kejadan. Sehngga memperhatkan letak merah d tga ss tersebut, dpastkan dapat dtemukan lntasan P 5 bru.. KSIMPULAN u 5 u 6 u 7 G 5 u 8 u 9 u 0 u u u Gambar 9: n 5 u u 5 Katakan bahwa blok-atas adalah subgraph G 5 bagan atas yang sama dengan graph G 8 dan blok-bawah adalah subgraph G 5 bagan bawah yang sama dengan graph G 8. Dengan memperhatkan graph G 5, jumlah ss yang mungkn dber warna merah agar supaya tdak dtemukan P merah tetap dapat dtemukan P 5 bru, maka ss-ss yang mungkn dapat dber warna merah adalah maksmum tujuh ss yang salng bebas yang terletak d:. empat merah d blok-atas dan tga merah d blok-bawah. tga merah d blok-atas dan empat merah d blok-bawah Paper n memberkan kontrbus pada penentuan blangan Ramsey ss. Khusus blangan Ramsey ss r ( P, ) untuk n,, 5, untuk n yang lebh besar belum dtemukan dan sebaga batasan bahwa r ( P, P ) n untuk n yang telah n dtemukan oleh Nuraen. DAFTAR PUSTAKA P. rdõs, R.J. Faudree, C.C. Rousseau, R.H. Schlep, 978, The Sze Ramsey Number, Perodca Mathematca Hungara, Vol. 9 (-), 5-6. R.J. Faudree, J. Seehan, 98, Sze Ramsey Number for Small-Order Graphs, Journal of Graph Theory, Vol. 7, 5-55. Y. Nuraen, 005, Blangan Ramsey Ss Untuk Graf Lntasan, Tess S, Departemen Matematka FMIPA ITB.