INITE IELD (LAPANGAN BERHINGGA) Muhamad Zak Ryao NIM: /5679/PA/8944 E-mal: zak@malugmacd h://zakmahwebd Dose Pembmbg: Drs Al Sujaa, MSc Jka suau laaga (feld) memua eleme yag bayakya berhgga, maka laaga dsebu dega laaga berhgga (fe feld) Berku dbahas beberaa kose megea laaga berhgga Laaga Berhgga Defs Suau laaga yag memua eleme sebayak berhgga dsebu dega fe feld (laaga berhgga) Teorema Hmua jka adalah blaga rma Buk: Z meruaka laaga berhgga jka da haya Adaka buka blaga rma, maka = a b dega < a, b < Karea Z meruaka laaga, maka sea eleme ak olya as memuya vers Msalka c adalah vers dar b, berar b c ( mod ) ( ) a b c a mod Karea a b ( ) a mod blaga rma = maka a b ( mod ) da, akbaya Tmbul koradks dega egadaa d aas Jad meruaka Coyrgh 8 h://zakmahwebd
Dkeahu adalah blaga rma Karea Z meruaka gelaggag, maka aka dbukka bahwa sea eleme ak ol memuya vers Karea adalah blaga rma, maka gcd(, a ) =, uuk < a < Akbaya erdaa blaga bula x da y sedemka hgga x y a deroleh y a ( mod ) + = yag berar y a ( mod ), Jad erbuk bahwa sea eleme ak olya memuya vers Dega kaa la, Z adalah laaga berhgga Defs 3 Dberka suau laaga Karakersk dar adalah blaga bula osf erkecl m sedemka hgga m = + + + = dega = meruaka eleme deas erdaa ergadaa da meruaka eleme deas erhada oeras emjumlaha Jka dak ada m yag memeuh, maka karakersk dar adalah Teorema 4 Jka karakersk dar laaga dak ol, yau m, maka m meruaka blaga rma Buk: Adaka m buka blaga rma da m, maka m = a b dega a > da b > Dkeahu m adalah karakersk dar Jka s, dega b s = da = a =, maka maka = a b s = = = a b m = = = = = Deroleh s, keduaya ak ol, ea s = Karea maka erdaa sedemka hgga s = =, adahal s = s Jad deroleh s = s = Koradks dega egadaa bahwa Dega demka m adalah blaga rma b s = dega b > = Coyrgh 8 h://zakmahwebd
Teorema 5 Jka meruaka laaga berhgga dega karakersk, maka memua eleme uuk suau blaga bula osf Buk: Karea memuya karakersk, maka berlaku = + + + = = Dkeahu meruaka ruag vekor aas Z Karea laaga berhgga, maka dmes berhgga Msalka dmes adalah, maka erdaa vekor yag bebas lear da membagu Msalka { } x, x,, x bass dar, akbaya sea aggoa dar daa dsajka secara uggal sebaga kombas lear dar vekor-vekor bass, yau { : } = x + x + + x Z Jad, bayakya eleme dar adalah { } x x x = + + + = Teorema d aas megaaka bahwa sea laaga berhgga memuya eleme sebayak blaga rma aau agka dar blaga rma Selajuya aka dujukka bahwa uuk sebarag blaga da blaga bula osf erdaa laaga berhgga dega eleme sebayak Uuk =, maka hmua blaga bula modulo membeuk suau laaga berhgga dega eleme Uuk, daa dujukka bahwa erdaa suau laaga berhgga yau dega memadag [ x] Z sebaga hmua semua olomal dalam x aas laaga Z, da sea olomal memuya derajad yag berhgga Sebaga cooh, uuk =, [ x] = { x + x x + x x + x + x + x } Z,,,,,,,, meruaka hmua semua olomal dalam x dega derajad berhgga da koefseya meruaka eleme Z Hmua olomal dalam [ x] berhgga erhada oeras ejumlaha da ergadaa Z membeuk suau laaga Coyrgh 8 h://zakmahwebd 3
Dar [ x] Z deuka suau olomal rreducble (ak ereduks) f ( x ) dega derajad Polomal ak ereduks adalah suau olomal yag dak daa dyaaka sebaga hasl ergadaa dar dua buah olomal dega derajad yag lebh kecl dar derajad ( ) ersebu daa dbagu suau laaga dega f x dalam [ x] Z Dega olomal eleme Dberka laaga [ x ] da f ( x ), g( x ), h( x ) [ x] Defs 6 Polomal h( x ) dkaaka kogrue dega g( x ) modulo f ( x ) jka da haya jka erdaa suau olomal l( x) [ x] Duls h( x) g( x) ( mod f ( x) ) h( x) g( x) = l( x) f ( x) sedemka hgga Dar Defs 6 d aas, daa dlha bahwa h( x ) da g( x ) dsebu kogrue jka f ( x ) membag selshya Arya h( x ) da g( x ) memuya ssa yag sama aabla dbag dega f ( x ) Daa dujukka bahwa kogrues meruaka suau relas ekuvales ada [ x ], akbaya erdaa ars ars yau hmua yag ddefska ke dalam subse subse salg asg yau klas klas ekuvales Defs 7 Uuk suau olomal f ( x) [ x] memua g( x) [ x] adalah { } [ g( x) ] h( x) [ x] : h( x) g( x) ( mod f ( x) ) =,, klas ekuvales yag yau hmua semua olomal yag aabla dbag dega f ( x ) meghaslka ssa yag sama dega g( x ) Oeras ejumlaha da ergadaa dalam klas klas ekuvales ersebu ddefska sebaga berku Uuk g( x ), ( ) Z x, h x [ ] Coyrgh 8 h://zakmahwebd 4
[ g( x) ] + [ f ( x) ] = [ g( x) + f ( x) ] da [ g( x) ][ f ( x) ] [ g( x) f ( x) ] = dalam [ x] Dberka Z [ x]/ f ( x) yau hmua semua klas klas ekuvales Z yag kogrue modulo f ( x ), dega f ( x ) adalah olomal ak ereduks Megguaka defs oeras ejumlaha da ergadaa klas klas ekuveles d aas, maka Z [ x]/ f ( x) membeuk suau laaga berhgga Uuk meujukka bahwa sea eleme ak olya memuya vers, dambl [ g( x) ] Z [ x] / f ( x) dega [ g( x) ] Karea [ ] meruaka eleme deas erhada oeras ergadaa, maka aka dujukka bahwa erdaa [ h( x) ] Z [ x] / f ( x) sedemka hgga [ ( )][ ( )] [ ] ( f x ) g x h x = aau g( x) h( x) mod ( ) Karea f ( x ) meruaka olomal ak ereduks da f ( x ) dak membag ( ) gcd g( x), f ( x ) = Akbaya erdaa g x, maka ( ) olomal s( x ) da ( x ) sedemka hgga s( x) g( x) + ( x) f ( x) = aau ( f x ) Jad deroleh bahwa [ ( )][ ( )] [ ] s( x) g( x) mod ( ) [ g( x) ] [ s( x) ] s x g x =, sehgga = Uuk meujukka Z [ x]/ f ( x) berhgga, dasumska Z [ x]/ f ( x) memuya eleme sebayak ekuvales dalam [ x]/ f ( x) Z, msal [ g( x )], dega megambl sebarag klas Selajuya, megguaka algorma embaga dalam olomal deroleh g( x) = q( x) f ( x) + r( x) dega r( x ) = aau derajad r( x ) lebh kecl dar derajad f ( x ), uuk suau Z [ ] Jad [ g( x) ] [ r( x) ] q( x), r( x) x / f ( x) =, dega r( x ) meruaka ssa jka g( x ) dbag dega f ( x ) Karea r( x ) = aau derajad r( x ) lebh kecl dar derajad f ( x ) maka dak ada dua olomal ssa yag berbeda da berada ada klas yag sama Karea Coyrgh 8 h://zakmahwebd 5
= a x, dega a Z = r( x) maka erdaa sebayak lha uuk sea a, dega, yag berar erdaa sebayak klas-klas ssa yag berbeda Hal meujukka bahwa Z [ x]/ f ( x) memua sebayak eleme, dega adalah blaga rma Cooh 8 Aka dkosruks suau laaga dega ema eleme megguaka olomal ak ereduks f ( x) x x [ x] Polomal ( ) = + + Z Z [ x] / f ( x) = {[ g( x) ]: g( x) Z [ x] } { h( x) : g( x) h( x) ( mod f ( x) )} = { h( x) l( x) f ( x) g( x) : l( x) [ x] } = = + Z f x membeuk laaga [ x] / f ( x) = {[ ],[ ],[ x],[ + x] } Z Eleme eleme dar Z [ x] f x meruaka hmua dalam [ ] / ( ) Z yag berderajad kurag dar dua Oeras ejumlahaya sama dega oeras ejumlaha olomal basa ada Z [ x] Sebaga coohya, [ + x] + [ x] = [ + x] = [ ], karea ( mod ) x, deroleh bahwa laaga ersebu memuya karakersk Sedagka uuk oeras ergadaaya sama dega oeras ergadaa olomal basa ada Z [ x] kemuda meredukska haslya dega meghug ssaya seelah dbag dega f ( x ) Uuk mereduksya daa dkerjaka megguaka embaga basa aau megguaka hubuga x x + yag dguaka uuk mereduks hasl ergadaa yag berderajad Sebaga coohya, [ + x] [ + x] = + x + x = [ + ( + x) ] = [ x] Coyrgh 8 h://zakmahwebd 6
Laaga berhgga yag memua q eleme serg doaska dega G ( q ) yag dsebu Galos feld (laaga Galos) Perhaka bahwa q memuya beuk, yau q meruaka suau blaga rma aau hasl emagkaa dar Noas G ( ) adalah suau laaga dega karakersk Laaga Z daa doaska dega G ( ) [ ] [ ] g( x) Z x / f ( x) cuku duls dega g( x ) saja Selajuya, Polomal Tak Tereduks Defs Moc olyomal (olomal mok) adalah suau olomal yag koefse ak ol ada agka ergg dar x adalah Dalam megkosruks suau laaga berhgga dega eleme, dguaka suau olomal ak ereduks dega derajad dalam G( ) [ x ] Uuk meujukka bahwa selalu daa demuka suau olomal ak erduks uuk sea blaga bula osf, aka dbahas uuk =, yau erdaa olomal mok ak ereduks dalam G( ) [ x ] Dalam G( ) [ ] x erdaa sebayak olomal mok dega derajad Jka salah sauya ereduks berar meruaka ergadaa dar dua buah olomal mok berderaja sau Terdaa sebayak olomal mok berderajad Jad erdaa sebayak + olomal mok ak ereduks Sehgga jumlah olomal mok ak ereduks berderajad adalah I = = >, Hal ersebu meujukka keberadaa olomal ak ereduks yag berderajad dalam G( ) [ ] x Dega cara yag sama daa dhug bayakya olomal ak ereduks berderajad 3 Jad secara umum daa dsmulka bahwa selalu Coyrgh 8 h://zakmahwebd 7
daa demuka suau olomal ak ereduks uuk sea blaga bula osf 3 Sfa-sfa Laaga Berhgga Defs 3 Dberka laaga berhgga da ddefska * yau hmua eleme-eleme dar yag dak ol, * = \{} Eleme dsebu geeraor (embagu) dar *, aau dsebu rmve eleme (eleme rmf) dar jka { } : = * Yau jka membagu semua eleme ak ol dalam laaga Cooh 3 Aka dbeuk suau laaga dega sembla eleme dega megambl olomal ak ereduks f ( x) x [ x] {,,,,,,,, } = + Z Laaga ersebu adalah = x x + x + x + x + x Jka dambl x, maka eryaa dak membagu seua eleme ak ol dalam Jad 3 x buka eleme rmf Tea jka dambl + x, daa dujukka bahwa + x membagu semua eleme ak ol dalam laaga Dega megguaka reduks x ( mod f ( x) ) ( mod 3) deroleh ( + x) = ( x) 4 + = ( + x) = ( + x) ( x) 5 ( + x) = x ( ) 6 + = + x + x = x ( + x) 3 = + x ( x) 7 + = + x Jad + x meruaka embagu dar = G(9)* Lemma 33 Uuk sea eleme ak ol G( q), q m suau eleme G( q ) d dalam G( q ) jka da haya jka = Selajuya, q = Coyrgh 8 h://zakmahwebd 8
Buk: Msalka a, a,, aq eleme ak ol dalam G( q ) yag berbeda Uuk suau G( q), a, a,, aq juga berbeda, karea jka dak maka uuk suau j berakba a = a j, sehgga jka dgadaka dega a = a j Jad { a, a,, aq } { a, a,, aq } ( a )( a )( aq ) Jad, jka G( q), maka a deroleh = Hal ersebu megakbaka = aa a q ( aa a q ) q = aa a q q q = = yag berar sea eleme G( q ) adalah akar dar olomal q x x Uuk membukka eryaaa kedua, ggal meujukka bahwa jka q = maka G( q) Dkeahu bahwa olomal derajad aas G( q ) memuya akar alg bayak q akar ada olomal derajad q aas G( q ) yag berar q eleme dalam G( q ) meruaka akar akar dar olomal q x x Jad olomal ersebu dak memuya akar la da hal ersebu membukka jka q =, maka G( q) Defs 34 Order dar suau eleme ak ol G( q) adalah blaga bula osf erkecl sedemka hgga, duls ord( ) = Lemma 35 Uuk sea eleme ak ol G( q), ord( ) membag q Buk: Msalka ord( ) =, uuk suau G( q) Megguaka algorma embaga ada blaga bula maka q = l + r, dega r < Sehgga deroleh q l + r l r l r ( ) Coyrgh 8 h://zakmahwebd 9
Meuru eorema sebelumya, q =, da dkeahu Jad deroleh r Karea ord( ) = da r <, maka r = yag berar bahwa membag q Teorema 36 Sea laaga berhgga = G( q) memuya eleme rmf Buk: Msalka eleme = G( q) yag memuya order ergg yau Jka = q, maka eleme rmf dar Adaka < q da order dar a eleme ak ol G( q ) yag la membag, maka sea eleme ak olya memeuh ersamaa y = Persamaa ersebu memuya alg bayak akar dalam G( q ), yag berar koradks dega < q Berar erdaa eleme G( q ), sebu sedemka hgga ord ( ) dak membag Msalka gcd d b (,ord ( )) = d, maka ord ( ) = db uuk suau b > da ( ) gcd b, = Jad = γ adalah eleme dega order b Berar eleme γ memuya order > Koradks dega asums bahwa adalah order erbesar dar sebarag s b eleme Msalka ord ( γ ) = s, berar ( γ ) = Karea ( γ ) = maka meuru Lemma 35, s membag b Selajuya, aka dujukka bahwa b sb s membag s Daa dlha bahwa ( γ ) = da ( γ ) γ sb s = =, juga membag sb, da b membag s, karea ord( ) = da ord( γ ) = b Karea gcd( b, ) = maka membag s, da b membag s Sehgga deroleh bahwa b membag s Jad s = b, sehgga daa dsmulka bahwa = q Dar Defs 34 deroleh bahwa eleme rmf dar suau laaga G( q ) memuya order q Akbaya q =, da daa dlha bahwa agkaya dhug megguaka modulo q Coyrgh 8 h://zakmahwebd
Lemma 37 Jka laaga memuya karakersk da, Buk: ( ) + = + Megguaka eorema bomal dkeahu bahwa ( + ) = = = + + = Karea meruaka blaga bula, da uuk maka Jad ( mod )! P( P )( P + ) = = = ( )!! ( ), maka uuk dega adalah blaga rma Sehgga ada ersamaa bomal d aas, beuk = deroleh ( ) + = + = Jad, 4 Polomal Mmal Defs 4 Dberka laaga dega karakersk, da msalka * adalah eleme ak ol dar Polomal mmal dar erhada G( ) adalah suau olomal mok m( x ) dega derajad erkecl dalam G( )[ x ] sedemka hgga m( ) = Teorema 4 Polomal mmal dar eleme adalah uggal Buk: Adaka = G( q) da memuya karakersk Dar Lemma 33 dkeahu bahwa memeuh ersamaa olomal q x dalam G( ) [ x ] Coyrgh 8 h://zakmahwebd
dega meruaka akarya, maka salah sauya as ada yag memlk derajad erkecl Hal ersebu meujukka keberadaa olomal mmal dar Adaka erdaa dua olomal mmal dar, yau m ( x ) da m ( x ) dega derajad erkecl da memuya akar Megguaka algorma embaga uuk olomal deroleh m ( x) = l( x) m ( x) + r( x) dega derajad r( x ) < derajad m ( x ) aau r( x ) = Karea m ( ) = da m ( ) = maka deroleh r( ) = Karea m ( ) x memuya derajad alg kecl maka r( x ) = Jad, m ( x ) membag m ( ) x Dega cara yag sama deroleh bahwa m ( x ) membag m ( ) x Karea keduaya olomal mok, maka m ( x) = m ( x) Karea dalam hal yag dguaka adalah olomal mmal dar, maka olomal mmal uuk doaska dega m ( x) Teorema 43 Polomal mmal dar * yau m ( x) meruaka olomal ak ereduks Buk: Adaka m ( x) ereduks, maka m ( x) = h( x) l( x) uuk suau h( x ), l( x) G( )[ x] dega derajad h( x) da derajad l( x) Deroleh m ( x) = h( ) l( ) = yag berakba alg dak salah sau dar h( ) aau l( ) sama dega ol Jad meruaka akar salah sau dar h( x ) aau l( x ) Hal ersebu koradks dega syara bahwa m ( x) adalah olomal mmal Jad m ( x) ak ereduks Defs 44 Uuk suau da adalah blaga bula erkecl sedemka hgga = Hmua kojuga dar aas G() adalah Coyrgh 8 h://zakmahwebd
3 { } C( ) =,,,,, Jad, C( ) = C( ) uuk suau da suau laaga dega karakersk Lemma 45 Jka dberka laaga berhgga dega karakersk, * da C( ) hmua kojuga dar aas G(), maka C ( ) ( x ) m( x) = adalah olomal dega koefse dalam G() Buk: Msalka m( x) = m x, koefse m d dalam Aka dujukka bahwa = ersebu dalam laaga groud G() ( ) ( ) ( ) m( x) = x = x = x = m( x ) = m x C ( ) C ( ) C ( ) dega ersamaa erama deroleh dar Lemma 37, da ersamaa kega = D la hak karea { : C( ) } { : C( ) } ( ) m( x) = m x = m x = = = m Jad m = m, megguaka Lemma 33, deroleh m G( ), uuk Teorema 46 Uuk suau *, maka olomal mmal dar adalah Buk: ( ) m ( x) = x C ( ) Aka dujukka bahwa m ( ) = da m ( ) = ( ), m ( x) = x C ( ) ( ) = = = m C ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) Coyrgh 8 h://zakmahwebd 3
Jad meruaka akar dar m ( x) = Msalka m( x) = m x, dega m G( ) Meuru Defs berar meruaka akar, karea m ( ) m m ( = = = = m = m karea m G( ) ) = m = (megguaka Lemma 37) [ ] = ( ) = = m Akbaya semua eleme dalam C( ) meruaka akar dar m ( x) 5 Cooh Laaga Berhgga Cooh 5 Aka dbagu laaga berhgga ereduks berorder 3 aas Z, yau 3 = G( ) Perama, dlh olomal ak {[ ], [ ], [ ], [ ],,,, } = x + x x + x x + x + x + x 3 f ( x) = x + x + Eleme eleme dar Selajuya, uuk meyederhaaka ada dalam kurug yag meujukka kelas ekuvales daa dhlagka Pergadaa dar eleme eleme adalah ergadaa modulo f ( x ), yau x 3 + x + ( mod f ( x) ), maka deroleh ( ) + mod ( ), sebab dalam Z Uuk suau eleme 3 x x x f x laaga a a x a x + + daa dsajka dalam beuk 3-ule ( a a a ) dega meguruka dar agka erkecl ke agka yag besar Dega eyaja ersebu maka eleme dar laaga adalah = () + x = () = () x = () x = () + x = () x + x = () + x + x = () Coyrgh 8 h://zakmahwebd 4
Jka dambl x, maka daa dega mudah dujukka bahwa membagu Da khusus uuk laaga maka daa dujukka bahwa sea eleme yag buka meruaka embagu Msal dambl = () da aka dhug m ( x) Megguaka Teorema 46, m ( x) = y = y y y Sehgga deroleh 4 ( δ ) ( )( )( ) δ C ( ), sebab ( )( )( ) ( ) ( ) 8 = y y y y y y 4 = 3 + + + 4 + + 4 + 4 + 4 Uuk memermudah erhuga, eleme eleme ak ol dar dbua eyajaya dalam beuk agka dar embaguya, yau x () 4 () 3 () () () 5 6 () () 7 Karea 6 = maka 5 = da 4 4 3 = Perlu dga bahwa agkaya dkerjaka dega modulo 8 = 7, yau order dar gru sklk yag dbagu oleh Jad deroleh 4 6 5 3 + + = + + () + () + () = 4 4 3 5 6 8 3 36 4 + + = + + = + + + + 4 7 4 = = Sehgga deroleh 3 ( ) m y = y + y + Polomal mmal ersebu juga 4 meruaka olomal mmal uuk da Polomal mmal uuk daa dhug sebaga berku m ( x) = y = y y y δ C ( ) Seer uuk, kemuda dhug ( y )( y )( y 4 ) = ( ) ( ) 4 ( δ ) ( )( )( ) y 3 + + + 4 y + + 4 + 4 y + 4 Coyrgh 8 h://zakmahwebd 5
4 + + () + () + () = 4 4 3 5 6 + + + + () + () + () = 4 7 Jad olomal mmal uuk aka sama dega olomal mmal uuk 4 da, yau m y y y 3 ( ) = + + Cooh 5 Aka dbagu suau laaga berhgga olomal f ( x) x 4 x [ x] embagu laaga 4 = G( ) megguaka = + + Z Dalam hal x meruaka 3 4 5 6 7 () () () () () () () () 8 9 3 4 5 () () () () () () () = Polomal mmal uuk adalah m ( y) = ( y δ ) δ C( ) ( y )( y )( y 4 )( y 8 ) =, karea 6 = ( ) ( ) 4 8 4 8 4 8 4 8 ( ) y 4 4 8 3 3 5 9 6 ( ) ( ) 7 3 4 ( ) y 5 = y + + + + y + + + + + + y 4 4 8 3 4 8 4 8 4 8 + + + + + = y + + + + y + + + + + + y + + + + + Coyrgh 8 h://zakmahwebd 6
Jad, uuk m ( y ) = m ( y ) = m ( y ) = m ( y ) 3 4 =, karea C( ) {,, 4, 8 } 4 8 + + + 4 8 = + + + =, maka = () + () + () + () = 3 5 9 6 + + + + + 3 5 9 6 = + + + + + = () + () + () + () + () + () = 7 3 4 + + + 7 3 4 = + + + = () + () + () + () = 5 5 = = = Jad deroleh Uuk m ( y) = y + y + = m ( y) = m ( y) = m ( y) 4 4 8 3 =, maka C( 3 ) { 3, 6,, 4 } { 3, 6,, 9 } m ( y) = m ( y) = m ( y) = m ( y), da 3 6 9 4 8 + + + = = Jad deroleh 3 6 9 = + + + = () + () + () + () = 3 5 9 6 + + + + + 9 5 3 = + + + + + = () + () + () + () + () + () = 7 3 4 + + + 6 3 9 = + + + = () + () + () + () = 5 = = Jad deroleh 5 = maka C( 5 ) { 5, } 5 m ( y) = y + y + y + y + = m ( y) = m ( y) = m ( y) Uuk 4 3 3 6 9 = sehgga m5 ( y) = m ( y), yau ( ) ( )( ) ( ) m ( y) = y δ = y y y + + y + δ C ( ) 5 5 5 Coyrgh 8 h://zakmahwebd 7
5 dega + () + () = da m ( y) = y + y + = m ( y) Uuk 5 = Sehgga deroleh 5 7 =, C( 7 ) { 7, 4, 3, } = sehgga dega cara yag sama deroleh m ( y) = y + y + = m ( y) = m ( y) = m ( y) 4 3 7 4 3 Selajuya, deroleh m ( y) = y + DATAR PUSTAKA ralegh, Joh B,, A rs Course Absrac Algebra, Sxh Edo, Addso-Wesley Publshg Comay, Ic, USA Vasoe, Sco A ad va Oorscho, Paul C, 989, A Iroduco o Error Correcg Codes wh Alcaos, Kluwer Academc Publshers, Massachuses, USA Coyrgh 8 h://zakmahwebd 8