Bab 7 NILAI DAN VEKTOR EIGEN

Transkripsi

1 Bab 7 NILAI DAN VEKTOR EIGEN 7 Movas Dmovas bab dega medskuska persamaa a hy by c, dega dak semua dar a, b, da c adalah ol Peryaaa a hy by dsebu beuk kuadrak dalam da y, sera erdapa deas a hy by a h [ y] h b X T AX, y a h dega X da A y Marks A dsebu marks dar beuk kuadrak h b Selajuya sumbu da sumbu y droaska berlawaa arah jarum jam sebesar q rada ke sumbu baru da y Persamaa yag dhaslka dar roas sumbu duruka sebaga berku Dambl X yag mempuya koorda (, y) relaf erhadap sumbu da sumbu y, sera koorda (, y ) relaf erhadap sumbu da sumbu y Dperhaka Gambar 7 y X y R a O q Q Gambar 7: Roas sumbu 8 Dd B Nugroho

2 8 Bab 7 Nla da Vekor Ege OQ OPcos(q a) OP(cos(q)cos(a) s(q)s(a)) (OPcos(a))cos(q) (OPs(a))s(q) ORcos(q) PRs(q) cos(q) y s(q) Sejala dega u, dperoleh y s(q) y cos(q) Dyaaka persamaa d aas ke persamaa marks uggal: cos( θ) s( θ), y s( θ) cos( θ) y cos( θ) s( θ) aau X PY, dega X, Y y da P Dcaa bahwa y s( θ) cos( θ) kolomkolom dar P memberka arah sumbu posf da y P adalah marks orogoal, karea u PP T I aau P P T Sela u, marks P mempuya sfa khusus yau de(p) Suau marks berjes cos( θ) s( θ) P dsebu marks roas Dapa s( θ) cos( θ) dujukka dega mudah bahwa suau marks orogoal real dega deerma sama dega adalah suau marks roas Dapa juga dselesaka uuk koordakoorda baru dalam koorda lama: T cos( θ) s( θ) Y P X, y s( θ) cos( θ) y karea u cos(q) ys(q) da y s(q) ycos(q) Jad X T AX (PY) T A(PY) Y T (P T AP)Y Selajuya dadaka bahwa bsa dplh suau sudu q sehgga P T AP adalah marks dagoal, msalya dag(l, l ), maka X T AX [ λ y] λ λ y λ y (7) da relaf erhadap sumbu baru Persamaa a hy by c mejad λ λ y c yag mudah dbua skesa kurvaya Kurva smers erhadap sumbu da y, dega P da P adalah kolomkolom dar P, yag memberka arah sumbu smer Dapa dperksa juga bahwa P da P memeuh persamaa AP l P da AP l P u Persamaa ersebu dbaas pada l da l Jka P, maka persamaa perama v mejad a hu u a λ h u λ aau h bv v h b λ v Karea u, ssem homoge dar dua persamaa lear dalam dua varabel ersebu mempuya suau peyelesaa orval (u, v ) Karea u a λ h h b λ Dd B Nugroho

3 Bab 7 Nla da Vekor Ege 8 Sejala dega u, l memeuh persamaa yag sama Dalam beuk yag dperluas, l da l memeuh l (a b)l ab h Persamaa ersebu mempuya akar real ( a b) ( ab h ) a b ± ( a b) a b ± h λ (7) (Akarakar adalah berbeda jka a ¹ b aau h ¹ Uuk kasus a b da h dak perlu dlakuka peyeldka karea memberka suau persamaa lgkara) Persamaa l (a b)l ab h dsebu persamaa la ege dar marks A 7 Meghug Nla da Vekor Ege Pada baga aka dpelajar dasardasar mecar la ege (egevalue) da vekor ege (egevecor) dar suau marks perseg DEFINISI 7 (Nla ege, vekor ege) Dambl T : V V sebaga operaor lear pada ruag vekor V aas feld F Suau vekor ak ol v Î V damaka suau vekor ege dar T jka erdapa suau skalar l Î F sehgga T(v) lv Skalar l dsebu la ege dar T yag berkorespodes dega vekor ege v Pasaga (l, v) damaka suau pasaga ege (egepar) dar T Uuk A Î M (F), suau vekor ak ol v Î F damaka suau vekor ege dar A jka erdapa suau skalar l Î F sehgga Av lv Skalar l dsebu la ege dar A yag berkorespodes dega vekor ege v Pasaga (l, v) damaka suau pasaga ege dar A Syara Av lv dapa dulska kembal mejad li v Av (li A)v dega I adalah marks deas yag berukura sama dega marks A Jka dadaka bahwa de(li A) ¹ maka li A mempuya vers, karea u (li A) (li A)v (li A) v Padahal dberka vekor v dak sama ol, sehgga haruslah de(li A) v Av lv (l > ) Gambar 7: (a) Dlaas l > (b) Koraks <l < (c) Pembalka arah (l < ) v Av lv (<l < ) v Av lv (l < ) (a) (b) (c) Dd B Nugroho

4 Bab 7 Nla da Vekor Ege Dd B Nugroho 86 DEFINISI 7 (Persamaa da polomal karakersk) Uuk A Î M (F), persamaa de(li A) dsebu persamaa karakersk dar A, sedagka polomal de(li A) dsebu polomal karakersk dar A da sergkal doaska dega ( ) λ ch A aau p A (l) Karea u, la ege dar A dak la adalah akarakar persamaa karakersk dar A Sedagka vekor ege v v v! yag bersesuaa dega la ege l dcar dega cara meyelesaka ssem persamaa lear (li A)v CONTOH 7 Selesaka masalah la ege uuk A jka dberka A Î M (R) Peyelesaa () λ λ λ λ A λi sehgga p(l) de(li A) (l ) l l (l )(l ) () Pembua ol p(l) adalah lala ege dar A, jad l aau l () Uuk seap la ege l,,, dperksa persamaa la ege uuk meeuka vekor ege (a) l Dperksa (I A)v I berar bahwa b a, dega v b a Dperoleh b a Peyelesaa umumya adalah þ ý ü î í ì Î R b :b Jad suau pasaga egeya adalah ø ö è æ, (b) l Dperksa (I A)v I berar bahwa d c, dega v d c

5 Bab 7 Nla da Vekor Ege Dd B Nugroho 87 Dperoleh d c Peyelesaa umumya adalah þ ý ü î í ì Î R d :d Jad suau pasaga egeya adalah ø ö è æ, CONTOH 7 Selesaka masalah la ege uuk B Î M (R) B Peyelesaa λ λ B λi sehgga p(l) l Karea p(l) dak mempuya akar real, maka B dak mempuya pasaga ege CONTOH 7 Selesaka masalah la ege uuk C Î M (C) C Peyelesaa () p(l) l (l )(l ) () Pembua ol p(l) adalah lala ege dar A, jad l aau l () Uuk seap la ege l, dperksa persamaa la ege uuk meeuka vekor ege (a) l Dperksa (( )I C)v, berar b a, dega b a v Î C Dperoleh b a Peyelesaa umumya adalah þ ý ü î í ì Î C b b : Jad suau pasaga egeya adalah ø ö è æ,

6 Bab 7 Nla da Vekor Ege Dd B Nugroho 88 (b) l Dperksa (I A)v, berar d c, dega d c v Î C Peyelesaa umumya adalah þ ý ü î í ì Î R d d : Jad suau pasaga egeya adalah ø ö è æ, CONTOH 7 Selesaka masalah la ege uuk D Î M (C) D Peyelesaa () λ λ D λi, p(l) (l )(l ) 8 l l () Pembua ol p(l) adalah 6 ± ± sehgga la egeya adalah l aau l () Dperksa persamaa la ege uuk seap la ege (a) l Dperksa (( )I D)v, berar b a, dega b a v Î C Peyelesaa umumya adalah þ ý ü î í ì Î C b b : Jad suau pasaga egeya adalah ø ö è æ, (b) l Dperksa (I D)v, berar d c, dega d c v Î C Peyelesaa umumya adalah þ ý ü î í ì Î C d d : Jad suau pasaga egeya adalah ø ö è æ,

7 Bab 7 Nla da Vekor Ege 89 Pada saa meyelesaka persamaa karakersk, dapa dperoleh akar real da aau kompleks da karea u suau marks dapa mempuya la ege da vekor ege real aau kompleks Juga, dalam meyelesaka uuk vekor ege aka dperoleh suau hmpua ak berhgga dar vekorvekor Hmpua ak berhgga ersebu adalah suau ruag baga da epaya damaka ruag ege Lebh khusus lag, jka l adalah suau la ege dar A maka ruag ege yag bersesuaa dega l adalah ruag ol NS(lI A) DEFINISI 7 Dberka operaor lear T : V V pada ruag vekor V aas feld F, da l sebaga la ege dar A Î M (F) Ruag ege dar A yag berkorespodes dega la ege l, ddefska oleh E l {v Î V : T(v) lv} { Î F : A l} { Î F : (li A) } CONTOH 7 Dberka marks F Î M (R) Polomal karakersk dar A yau de(li F) (l )(l ) l l 6 Dperoleh lala ege dar F yau l da l a () Uuk l, dambl v Î R, maka ssem lear (I F)v : b Þ Jad vekor ege yag bersesuaa dega l yau b v b b Lebh laju, ruag ege yag bersesuaa dega l adalah semua vekor ì yag dreag oleh aau E ía Î : a R î þ ýü ì ü Dega kaa la, í ý î þ adalah bass uuk ruag ege yag bersesuaa dega l c () Uuk l, dambl v Î R, maka ssem lear ( I F)v : d Þ Jad vekor ege yag bersesuaa dega l yau d v d d ì ü Ruag ege yag bersesuaa dega l adalah E íd : d ÎRý Bass î þ ì ü uuk ruag ege yag bersesuaa dega l adalah í ý î þ Dd B Nugroho

8 9 Bab 7 Nla da Vekor Ege DEFINISI 7 Dberka A Î M (F) yag mempuya la ege l, l,, l () Spekrum (specrum) dar A, doaska s(a), adalah hmpua lala ege dar A, aau dega kaa la s(a) {l, l,, l } () Radus spekral (specral radus), doaska r(a), adalah la mulak (aau modulus) erbesar dar lala ege, aau dega kaa la r(a) maks{ l, l,, l } Dadaka A Î M (F) dega l sebaga suau la ege Keragkapa aljabar (algebrac mulplcy) dar l, doaska a l, adalah bayakya pegulaga la ege l sebaga akar dar persamaa karakersk Keragkapa geomers (geomers mulplcy) dar l, doaska g l, adalah bayakya vekor ege bebas lear yag berkorespodes dega la ege l Keragkapa geomers ddefska g l dm(ns(li A)) dm(e l ) dega sfa g l a l CONTOH Dberka marks G 8 Î M (R) λ 8 6 p A ( λ) λ 8 ( λ )( λ ) λ Jad s(g) {l, l } dega keragkapa aljabar dar lala egeya adalah a da a Vekor ege v yag berkorespodes uuk l harus memeuh 8 6 a 8 v, dega v b Î R, c aau ekuvale dega Dperoleh vekor ege yag bersesuaa dega l yau c v c c c ì ü ï ï Ruag ege yag berkorespodes dega l adalah bassya adalah Jad keragkapa geomers dar l yau g E íc : c ÎRý dega ï ï î þ Dd B Nugroho

9 Bab 7 Nla da Vekor Ege 9 Selajuya, dega jala yag sama aka dperoleh vekor ege yag bersesuaa dega l yag mempuya beuk r s dega r, s Î R Dperoleh ruag ege yag berkorespodes dega suau la ege ì ü ï ï l yau E í r s: r, sîrý Bass uuk ruag ege yag ï ï î þ ì ü ï ï berkorespodes dega l adalah í, ý Jad keragkapa geomers dar ï ï î þ l adalah g 7 Sfasfa Polomal Karakersk TEOREMA 7 Jka A Î M (F) da p A (l) de(li A), maka (a) p A (l) adalah suau polomal berderaja dalam l: p A (l) a a l a l ; (b) a ; (c) a r(a); (d) a ( ) de(a) Buk Dapa dulska de(li A) å± ( λi A), s () ( λi A), s ()( λi A), s ( ) s dega s merupaka semua kemugka permuas dar kolom A Akbaya p(l) adalah suau polomal berderaja Suku yag berkorespodes dega permuas deas dperoleh dega megalka usurusur dagoal, dalam kasus (l a )(l a ) (l a ) l (a a a )l sukusuku berderaja lebh redah Semua sukusuku la mempuya palg bayak ( ) fakorfakor dagoal l a, sehgga polomalya berderaja dalam l Dar persamaa ersebu, koefse uuk l da l beruruuru adalah a, a (a a a ) r(a) Selajuya dega megambl l maka p() de( A) ( ) de(a) a, da karea u suku kosa sama dega posf aau egaf dar deerma marks Secara khusus, uuk marks, msalya karakerskya mempuya beuk p A (l) l (a d)l (ad bc) l r(a)l de(a) a A c b d, polomal TEOREMA 7 Marksmarks yag serupa mempuya polomal karakersk yag sama Dd B Nugroho

10 9 Bab 7 Nla da Vekor Ege Buk de(li PAP ) de(lpi P PAP ) de P(lI A)P de(p)de(li A)de(P ) de( P)de( λi A) de( P) de(li A) DEFINISI 7 Polomal p(l) dkaaka erpsah (spl) jka erdapa skalar k, l, l,, l Î F sehgga p(l) k(l l ) (l l ) Defs d aas dapa darka bahwa jka polomal karakersk dar suau marks adalah erpsah, maka marks mempuya la ege Perlu dcaa bahwa la ege ersebu dak perlu berbeda TEOREMA 7 Dberka marks A Î M (F) da dadaka bahwa polomal karakersk p A (l) a a l a l adalah erpsah, da l,, l adalah lala ege dar A, maka å (a) λ r( A) a ; da Õ (b) λ a ( ) de( A) Buk Karea p A (l) erpsah, maka A mempuya la ege l,, l da p A (l) k(l l ) ( l l ) dega k Î F Karea a (Teorema 7), maka k Jka p A (l) dekspaska, maka aka dperoleh Secara khusus p A (l) l å λ () λ suku berderaja lebh redah å ) a λ (, da berdasarka Teorema 7(c) dperoleh baga (a) Kemuda, Õ p A ( ) () λ, sehgga berdasarka Teorema 7(d) dperoleh baga (b) AKIBAT 7 Jka l adalah suau la ege dar A Î M (F), maka A adalah sgular Buk Berdasarka Teorema 7(b), jka l uuk suau, maka Õ λ () da karea u A dak versbel de( A) Þ de(a), Dd B Nugroho

11 Bab 7 Nla da Vekor Ege 9 CONTOH 7 Dberka A Persamaa karakersk dar A yau l ± l yag mempuya akarakar λ, r( A) ( a) λ λ æ öæ ö de( ) ( ) A a λ λ è øè ø 7 CONTOH 7 Dberka marks B Persamaa karakersk uuk B: λ 7 ( ) ( λ ) yag mempuya peyelesaa l, λ sgular λ ( ) ( 6 7( )) ( λ λ ) λ λ λ, λ ± Oleh karea u, A adalah marks TEOREMA 7 (Teorema CayleyHamlo Vers Marks) Dberka marks A Î M (F) mempuya polomal karakersk p(l), maka p(a) O I berar bahwa jka polomal karakersk A adalah p A (l) l a l a l a, maka A a A a A a I O Buk Uuk suau marks perseg X, dpuya de(x)i Xadj(X) Dambl X li A yag memberka persamaa karakersk dar A yau p A (l) de(x) de(li A) Karea u p A (l)i (li A)adj(lI A) Masuka dalam adj(li A) adalah polomal dalam l berderaja Karea u adj(li A) B lb l B dega B j adalah marks Duls p A (l) a a l a l Dega membadgka koefse kedua ss dar p A (l)i (li A)adj(lI A) dperoleh: uuk l : a I AB l : a I AB B l : a I AB B l : a I AB B l : a I B Dd B Nugroho

12 9 Bab 7 Nla da Vekor Ege Jad a I AB a A A B AB a A A B A B a A A B A B a A A B Dega mejumlahka persamaapersamaa ersebu, dperoleh a I a A a A a A O aau p(a) O TEOREMA 7 (Teorema CayleyHamlo Vers Operaor) Jka dberka T Î L(V, V) dega V adalah suau ruag vekor berdmes, da T mempuya persamaa karakersk p(l), maka p(t) T dega T I adalah rasformas deas pada V CONTOH 7 Bukka Teorema CayleyHamlo uuk marks C Peyelesaa Persamaa karakersk uuk C yau p C (l) (l ) l l Jad, p(c) C C I Jka A Î M (F), maka Teorema Cayley Hamlo memperbolehka uuk meyaaka A p (p Î Z, p ³ ) da A (jka A adalah versbel) sebaga suau kombas lear dar marksmarks I, A, A,, A Sebaga cooh, uuk A aka dyaaka A da A dalam sukusuku A da I Dpuya p(a) A A I O, karea u A A I (7) Jad A A A (A I )( A I ), yau A A 9I 6A 6A, megguaka persamaa (7), dsubsuska A, da dperoleh A (A I ) 9I A Dd B Nugroho

13 Bab 7 Nla da Vekor Ege 9 Berar A I A, aau secara umerk A A adalah ak sgular karea de(a) p() ¹ Jad, (7) dapa dkalka dega A uuk memperoleh A A A A A I Dselesaka uuk A, dperoleh A ( A I ), sehgga A A A ( A I) ( A I) ( A I A) 9 Megguaka (7), dperoleh A ( A I I A), 9 aau 7 A I A, 9 9 aau secara umerk A 9 7 Dagoalsas da Dagoalsas Orogoal Hasl berku meujukka bahwa rasformas keserupaa memperahaka beberapa sfa peg dar suau marks TEOREMA 7 Dberka A da B adalah marks yag serupa (a) de(a) de(b); (b) r(a) r(b); (c) Jka A da B adalah osgular, maka A serupa dega B ; (d) A da B mempuya la ege yag sama; (e) PX B X A, dega X A da X B adalah vekor ege dar A da B, beruruuru Buk (a) Karea A da B serupa berar erdapa suau marks versbel P sehgga P AP B Dega megambl deerma kedua ss, dperoleh de(p AP) de(b) de(p )de(a)de(p) de(b) (de(p)) de(a)de(p) de(b) de(a) de(b) (b) Beuk P AP B dapa dulska mejad AP PB Dega megambl race kedua ss, dperoleh r(ap) r(pb) r(a)r(p) r(p)r(b) r(a) r(b) Dd B Nugroho

14 96 Bab 7 Nla da Vekor Ege (c) (d) (e) Jka A da B adalah osgular berar A da B mempuya vers, karea u A APB A PBB PB A P P PB P A P B P A P yag berar A serupa dega B Berdasarka de(li B) de(lp P P AP) de(p (li A)P) de(li A), berar B mempuya la ege yag sama dega A Karea AP PB, maka APX B PBX B lpx B I meujukka bahwa PX B adalah suau vekor ege dar A Suau hal yag meark adalah keserupaa aara suau marks perseg da suau marks dagoal DEFINISI 7 (Dagoalsas) Dberka A Î M (F) Marks A dkaaka dapa ddagoalsas (dagoalzable) jka A serupa dega suau marks dagoal D I berar bahwa A dapa ddagoalsas jka erdapa suau marks ak sgular P sehgga P AP D Selajuya marks P dkaaka medagoalsas (dagoalzes) A DEFINISI 7 Dberka T adalah operaor lear pada suau ruag vekor V berdmes berhgga T dapa ddagoalsas jka erdapa suau bass a uuk V sehgga [T] a adalah dagoal TEOREMA 7 Dberka T adalah operaor lear pada suau ruag vekor V berdmes berhgga da dberka b adalah suau bass uuk V T dapa ddagoalsas jka haya jka [T] b dapa ddagoalsas Buk Uuk T dapa ddagoalsas, berar erdapa suau bass a uuk V sehgga [T] a D, dega D adalah marks dagoal Dkeahu bahwa [T] a [I] b,a [T] b [I] a,b Jka dulska [I] a,b P, maka ddapaka D P [T] b P I berar bahwa [T] b dapa ddagoalsas Uuk [T] b dapa ddagoalsas, berar erdapa suau marks versbel P sehgga P [T] b P D dega D adalah dagoal Dambl b {v, v,, v } da ddefska a {w, w,, w } dega w j å p j v uuk p j adalah usurusur marks P D s haya perlu dbukka bahwa a adalah bebas lear Dperksa persamaa æ ö å a j w j V Û å a j å pjv V Û å å pj a j v V j j j è ø Dd B Nugroho

15 Bab 7 Nla da Vekor Ege 97 Karea v bebas lear maka å p j a j V Û PA V a dega A! Karea P adalah versbel, maka A V da akbaya a adalah bebas a lear Jad a adalah bass uuk V Dega megambl P [I] a,b, dperoleh [T] a [I] b,a [T] b [I] a,b P [T] b P D da dsmpulka bahwa T dapa ddagoalsas Berku dbcaraka bagamaa masalah pedagoala berhubuga dega eksses dar vekorvekor bebas lear TEOREMA 7 Dberka operaor lear T pada suau ruag vekor V yag berdmes berhgga T dapa ddagoalsas jka haya jka erdapa suau bass a {v,, v } da skalar l, l,, l Î F sehgga T(v ) l v,,,, Buk Jka a {v,, v } da l, l,, l Î F ada sehgga T(v ) l v, maka jelas [T] b dag(l, l,, l ) I berar bahwa T dapa ddagoalsas Uuk T yag dapa ddagoalsas, berar erdapa suau bass uuk V, amaka a {v,, v }, da suau marks dagoal D, dulska D dag(l, l,, l ), sehgga [T] b D Jelas T(v ) l v, T(v ) l v,, T(v ) l v AKIBAT 7 Dberka A Î M (F) Marks A dapa ddagoalsas jka haya jka erdapa suau bass {v,, v } uuk F da l, l,, l Î F sehgga Av l v,,,, Buk Dperhaka rasformas lear T A : F F yag drumuska oleh T A (v) Av Jka b adalah bass baku uuk F, maka [T A ] b A Berdasarka Teorema 7, dkeahu bahwa A dapa ddagoalsas jka haya jka T A dapa ddagoalsas da berdasarka Teorema 7 bahwa T A dapa ddagoalsas jka haya jka erdapa suau bass a {v,, v } uuk F da skalarskalar l, l,, l Î F sehgga T A (v ) Av l v Akba 7 megaaka bahwa T dapa ddagoalsas jka haya jka T mempuya vekor ege bebas lear I berar bahwa jka A Î M (F), maka peryaaaperyaaa berku ekuvale : A dapa ddagoalsas A mempuya vekor ege yag bebas lear Dega megaplkaska Akba 7 uuk Cooh 7 sampa Cooh 7, dapa dyaaka bahwa marks A dapa ddagoalsas, marks B dak dapa ddagoalsas, marks C da D dapa ddagoalsas CONTOH 7 Dberka T : P [](R) P [](R) yag drumuska oleh T(a b c ) (a b c) (a b c) (a b c) Apakah T dapa ddagoalsas? Dd B Nugroho

16 Bab 7 Nla da Vekor Ege Dd B Nugroho 98 Peyelesaa Dplh bass b {,, } uuk P (R) da deuka [T] b T() T() T( ) Dperoleh A T β ] [ Berkuya dselesaka masalah ege uuk A p A (l) de(li A) ( l)( l) Dperoleh l da l (a) Uuk l, (I A)v Û yag dreduks mejad Suau peyelesaa ssem adalah v (b) Uuk l, ( I A)v Û yag dreduks mejad Dua peyelesaa yag salg bebas adalah v da v Dsmpulka bahwa marks A dapa ddagoalsas da karea A [T] b, maka operaor lear T dapa ddagoalsas Sela u juga dkeahu bahwa P AP D dega P da D dag(,, )

17 Bab 7 Nla da Vekor Ege 99 Hasl d bawah meyaaka bahwa jka A mempuya la ege berbeda, maka vekor ege yag berkorespodes adalah bebas lear TEOREMA 7 Dberka T sebaga operaor lear pada ruag vekor V berdmes berhgga da dadaka T mempuya pasaga ege (l, v ), (l, v ),, (l, v ) Jka l berbeda, maka {v, v,, v } adalah bebas lear Buk Dmsalka P(k) adalah peryaaa Jka (l, v ),, (l, v ) adalah pasaga ege yag bersesuaa da l berbeda, maka {v, v,, v } bebas lear Aka dbukka peryaaa ersebu dega megguaka duks P() adalah bear karea T(v ) l v da v ¹, jad {v } bebas lear Dadaka bahwa peryaaa P(k) bear da aka dujukka peryaaa P(k ) juga bear Dambl (k ) pasaga ege (l, v ),, (l k, v k ) dega l,, l k semuaya berbeda Aka dujukka kebebasleara hmpua {v,, v k } dega mempermbagka a v a v a k v k a k v k V (7) Daplkaska T uuk persamaa (7): T(a v a v a k v k a k v k ) T( V ) a T( v ) a T(v ) a k T(v k ) a k T(v k ) V a l v a l v a k l k v k a k l k v k V (7) Selajuya l k (7) (7) yag meghaslka (l k l )a v (l k l k )a k v k V I adalah kombas lear dar vekorvekor bebas lear (berdasarka hpoess duks) v, v,, v k da juga haya sau cara agar vekor ol dapa dbeuk yau jka semua koefseya adalah ol Karea l k l ¹ uuk,,, k, sebab lala ege adalah berbeda, maka dapa dsmpulka bahwa a a a k Selajuya dar persamaa (7) aka dhaslka a k, da dapa dsmpulka bahwa {v,, v k } adalah bebas lear, da P(k ) adalah bear Jad P(k) bear uuk semua k Î Z AKIBAT 7 Dberka T : V V sebaga operaor lear pada suau ruag vekor V berdmes Jka T mempuya la ege berbeda, maka T erdagoalsas Buk Berdasarka Teorema 7, T mempuya vekor ege yag bebas lear da erdagoalsas berdasarka Teorema 7 PROSES DIAGONALISASI Dadaka bahwa A adalah suau marks dega masukamasuka real Lagkah Meeuka apakah akarakar polomal karakersk de(a li) adalah real Lagkah Jka dak, maka A dak erdagoalsas Jka ya, maka dcar vekor ege yag berkorespodes uuk lala ege Meeuka apakah dapa demuka ege vekor bebas lear Lagkah Jka dak, maka A dak erdagoalsas Jka ya, maka dulska P v v! da D dag(l, l,, l ), [ ] v dega l, l,, l Î R adalah lala ege dar A, da v, v,, v beruruuru adalah vekorvekor ege yag berkorespodes Selajuya P AP D Dd B Nugroho

18 Bab 7 Nla da Vekor Ege Dd B Nugroho CONTOH 7 Dberka marks B Deuka marks P yag medagoalsas B sebaga berku Lagkah Polomal karakersk uuk B yau p B (l) de(li B) (l ) (l ) Dperoleh la ege uuk B yau l, da l yag merupaka blaga real Lagkah Uuk l, dbeuk ssem lear (l I B)v yau yag mempuya peyelesaa dega, Î R Jad vekor ege uuk B yag bersesuaa dega l adalah v Dperoleh ï þ ï ý ü ï î ï í ì, v v adalah bass uuk ruag ege yag bersesuaa dega l Uuk l, dbeuk ssem lear (l I A)v yau yag mempuya peyelesaa da dega Î R Jad vekor ege B yag bersesuaa dega l adalah v Dperoleh ï þ ï ý ü ï î ï í ì v adalah bass uuk ruag ege yag bersesuaa dega l Mudah dperksa bahwa v, v, v adalah bebas lear Lagkah Marks P yag medagoalsas B yau P, dega P BP dag(,, )

19 Bab 7 Nla da Vekor Ege CONTOH 7 Dberka marks C Apakah marks C dapa ddagoalsas? Peyelesaa Polomal karakersk uuk C yau p C (l) de(li C) (l ) Dperoleh la ege uuk C yau l Selajuya dbeuk ssem lear ( I C)v yag mempuya peyelesaa v, Î R ì ü Karea u í ý merupaka bass uuk ruag ege yag bersesuaa dega l î þ Dega kaa la ruag ege ersebu berdmes yag berar C dak mempuya dua vekor yag bebas lear yag berakba C dak dapa ddagoalsas CONTOH 7 Dberka marks F mempuya la ege l Marks F dapa dulska kembal mejad F I I Karea I I maka marks F dapa ddagoalsas dega megambl marks P I sehgga P FP D Berdasarka kega cooh erakhr d aas, dapa dambl suau kesmpula yau bahwa marks A dapa ddagoalsas meskpu marks ersebu dak mempuya la ege yag berbeda Aau dega kaa la, uuk marks A berukura, A mempuya la ege berbeda adalah suau syara cukup (eap dak perlu) uuk dapa ddagoalsas Teap jka beberapa la ege adalah sama, dak bayak yag dapa dyaaka secara umum TEOREMA 7 Jka l, l,, l adalah lala ege dar marks A, maka l, l,, l adalah lala ege dar A dega asums A ada, yau dasumska bahwa l ¹, " Hasl d bawah meyaaka kapa suau operaor dapa ddagoalsas TEOREMA 76 Dberka T sebaga operaor lear pada ruag vekor V berdmes berhgga T dapa ddagoalsas jka haya jka () p(l) erpsah; da () g a uuk semua la ege dar T, yau l, l,, l p l l Buk Berdasarka Akba 7, dkeahu bahwa T erdagoalsas jka haya jka T mempuya vekor ege bebas lear, dega dm(v) Dadaka a a a ( λ λ ) l ( λ λ ) l ( λ λ ) lp g( λ) p( λ) dega g(l) dak mempuya fakor lear p Dd B Nugroho

20 Bab 7 Nla da Vekor Ege Selajuya dhug bayakya vekor ege bebas lear yag dmlk T l memberka g l vekor ege bebas lear, l memberka g l vekor ege bebas lear, l p memberka g l vekor ege bebas lear p Jad T mempuya N g l gl gl vekor ege bebas lear p Berdasarka sfa g l a l, dperoleh p p N å å g l a l Karea p(l) adalah polomal berderaja, maka Dperoleh p å a l deraja( g( λ)) p N åa deraja( g( λ)) Dperhaka bahwa N jka haya () deraja(g(l)), yau p(l) erpsah; da () g a l l l CONTOH 7 Dberka marks G Î M (R) p G (l) (l )(l ) () p G (l) erpsah Lebh jauh: l : a da g a Þ g l : a da g a Þ g () g a uuk, l l Dsmpulka bahwa G dapa ddagoalsas aas R CONTOH 76 Dberka marks H Î M (R) Karea p H (l) (l ), jelas bahwa p H (l) ¹ uuk seap l Î R Karea p(l) dak erpsah, maka H dak dapa ddagoalsas aas R CONTOH 77 Dberka marks J Î M (C) p J (l) (l )(l ) () p J (l) erpsah Lebh jauh l dega a g, da l dega a g () g a uuk, l l l l Dsmpulka bahwa J dapa ddagoalsas aas C l l Dd B Nugroho

21 Bab 7 Nla da Vekor Ege CONTOH 78 Dberka marks K p K (l) (l 9)(l ) () p K (l) erpsah dega l 9 da l a 9, begu juga g 9 a, da g g Harus deuka g Dperksa (I K)v yag mempuya beuk Karea rk(i K), maka ul(i K), da dsmpulka bahwa g () g a uuk, l l Jad K dapa ddagoalsas CONTOH 79 Dberka marks L 6 8 p L (l) (l ) (l ) p L (l) erpsah dega l da l Dperoleh juga a g, a, da g a Uuk meeuka g, harus dperksa (I L)v yag mempuya beuk Jelas bahwa rak dar marks koefse adalah da ulas dar marks koefse adalah Jad g Karea g ¹ a, dsmpulka bahwa L dak dapa ddagoalsas Dagoalsas Orogoal Sekarag dperhaka ruag Eucld R sebaga suau ruag hasl kal dalam dega hasl kal dalam Eucld Dberka sembarag marks A berukura dega masukamasuka real, dharapka uuk meemuka apakah erdapa suau bass orhoormal dar R yag memua vekorvekor ege dar A Dalam proses dagoalsas yag sudah dbcaraka sebelumya, kolomkolom dar marks P adalah vekorvekor ege dar A, da vekorvekor ersebu membeuk suau bass uuk R Dkeahu bahwa bass adalah oroormal jka haya jka marks P adalah orogoal DEFINISI 7 Marks A Î M (R) dapa ddagoalsas secara orogoal (orhogoally dagoalzable) jka erdapa suau marks orogoal P dega masukamasuka real sehgga D P AP P T AP adalah marks dagoal Selajuya marks P dkaaka medagoalsas A secara orogoal Dd B Nugroho

22 Bab 7 Nla da Vekor Ege Perama kal, aka deuka apakah marksya erdagoalsas secara orogoal Uuk u perlu uuk dbahas bagamaa meemuka suau marks orogoal P megguaka dagoalsas Uuk mempelajar perayaa perama ersebu, hasl berku memberka suau baasa pada marksmarks yag erdagoalsas secara orogoal TEOREMA 76 Dadaka bahwa A adalah suau marks yag erdagoalsas secara orogoal dega masukamasuka real, maka A adalah smers Buk Dadaka bahwa A erdagoalsas secara orogoal, maka erdapa suau marks orogoal P da suau marks orogoal D, dega masukamasuka uuk keduaya adalah real, sehgga P T AP D Karea P T P PP T I da D T D, maka dpuya A PDP T PD T P T Jad A T (PDP T ) T (P T ) T (D T ) T P T PDP T A, yag berar bahwa A adalah smers Pada keyaaaya, perayaa perama sebelumya erjawab oleh hasl berku yag dyaaka apa buk TEOREMA 77 Dadaka bahwa A Î M (R) Marks A erdagoalsas secara orogoal jka da haya jka A adalah smers Akhr dar baga dsedaka uuk meemuka suau cara medagoalsas secara orogoal suau marks smers dega masukamasuka real Dmula dega meyaaka hasl d bawah apa buk Buk yag dperluka dhaslka dar eor ruag vekor kompleks TEOREMA 78 Dadaka bahwa A adalah suau marks smers dega masukamasuka real, maka semua la ege dar A adalah real D s deya adalah megku proses dagoalsas yag elah dbahas sebelumya, megeahu kapa A erdagoalsas, da dharapka meemuka suau bass uuk R yag memua ege vekor dar A Selajuya dgka uuk megorogoalsas bass ersebu dega proses GramSchmd Lagkah erakhr dapa dga secara sederhaa dega melha hasl berku TEOREMA 79 Dadaka bahwa u da u adalah vekorvekor ege dar suau marks smers A dega masukamasuka real, berkorespodes dega lala ege berbeda l da l secara beruruuru, maka u u Dega kaa la, vekorvekor ege dar suau marks real smers yag berkorespodes erhadap lala ege berbeda adalah orogoal Buk Caa bahwa jka dulska u da u sebaga kolomkolom marks, maka karea A adalah smers, dpuya T T T T u u Au u A u Au ) u Au ( u Au Berdasarka u bahwa l u u Au u u Au u l u Jad (l l )(u u ) Karea l ¹ l, maka haruslah u u Dd B Nugroho

23 Bab 7 Nla da Vekor Ege PROSES DIAGONALISASI ORTOGONAL Dadaka bahwa A adalah suau marks smers dega masukamasuka real Lagkah Meeuka akarakar real l, l,, l dar polomal karakersk de(li A), da mecar vekor ege bebas lear u, u,, u dar A yag berkorespodes dega lala ege ersebu seper dalam proses dagoalsas Lagkah Daplkaska proses orogoalsas GramSchmd erhadap vekorvekor ege u, u,, u uuk memperoleh vekorvekor ege orogoal v, v,, v, da dcaa bahwa vekorvekor ege yag berkorespodes dega lala ege berbeda adalah orogoal Lagkah Dormalsas vekorvekor ege orogoal v, v,, v uuk memperoleh vekorvekor ege oroormal w, w,, w dar A Vekorvekor membeuk suau bass oroormal uuk R Dulska P w w! da D dag(l, l,, l ), [ ] w dega l, l,, l Î R adalah lala ege dar A da w, w,, w Î R secara beruruuru adalah vekorvekor ege yag elah dorogoalsas da dormalsas Selajuya P T AP D Dcaa bahwa jka daplkaska proses orogoalsas GramSchmd erhadap vekorvekor ege yag berkorespodes uuk la ege yag sama, maka vekorvekor baru yag dhaslka dar proses adalah juga vekorvekor ege yag berkorespodes uuk lala ege ersebu CONTOH 7 Aka dcar P yag medagoalsas M secara orogoal M Lagkah Polomal karakersk M yau p M (l) de(li N) (l 7)(l ) Dperoleh lala ege dar M yau l 7 da akarakar gada l l Suau vekor ege yag berkorespodes uuk l 7 adalah suau peyelesaa dar ssem (7I M)u, yau u Vekorvekor ege yag berkorespodes uuk l l adalah suau peyelesaa dar ssem (I M)u, yau u da u yag bebas lear Lagkah Daplkaska proses orogoalsas GramSchmd uuk u da u, dperoleh: v da v Dd B Nugroho

24 Bab 7 Nla da Vekor Ege Dd B Nugroho 6 yag salg orogoal Dcaa bahwa dap perlu dlakuka sesuau uuk erhadap u pada lagkah, lha Teorema 79 Dsmpulka bahwa v, v, v membeuk suau bass orogoal uuk R Lagkah Dormalsas seap vekor bass orogoal uuk memperoleh 6 w, w, w Dambl marks P yag medagoalsas M secara orogoal yau [ ] w w w P, maka T P P da P T MP dag(7,, ) CONTOH 7 Dperhaka marks 9 6 N Polomal karakersk N yau p N (l) de(li N) (l )(l ) (l ) Dperoleh lala ege dar N yau l, l, da l Suau vekor ege yag berkorespodes dega l adalah suau peyelesaa dar ssem ( I N)u : u Suau vekor ege yag berkorespodes dega l adalah suau peyelesaa dar ssem (I N)u, yau u Suau vekor ege yag berkorespodes dega l adalah suau peyelesaa dar ssem (I N)u, yau u

25 Bab 7 Nla da Vekor Ege Dd B Nugroho 7 Dcaa bahwa u, u, u berkorespodes dega lala ege berbeda dar N, maka vekorvekor ersebu dak orogoal Marks N dak smers, da juga Teorema 79 dak dapa daplkaska dalam kasus CONTOH 7 Dperhaka marks 7 6 Q Marks P yag medagoalsas Q secara orogoal dcar sebaga berku Lagkah p Q (l) de(li Q) (l )(l 6)(l 9) Dperoleh lala ege dar Q yau l, l 6, da l 9 Suau vekor ege yag berkorespodes dega l adalah suau peyelesaa dar ssem (I Q)u, yau u Suau vekor ege yag berkorespodes dega l 6 adalah suau peyelesaa dar ssem (6I Q)u, yau u Suau vekor ege yag berkorespodes dega l 9 adalah suau peyelesaa dar ssem (9I Q)u, yau u Lagkah Karea lala egeya berbeda maka u, u, u adalah orogoal, da dak perlu daplkaska proses orogoalsas GramSchmd Lagkah Dormalsas seap vekor u, u, u uuk memperoleh w, w, w Dambl marks P yag medagoalsas Q secara orogoal yau [ ] w w w P, maka T P P da P T QP dag(, 6, 9)

26 8 Bab 7 Nla da Vekor Ege 7 Pagka Marks da Persamaa Dferesal TEOREMA 7 Dberka marks A Î M (F) yag mempuya la ege berbeda l da l yag beruruuru berkorespodes dega vekor ege v da v Jka P adalah marks dega kolomkolomya adalah v da v secara beruruuru, maka P dak sgular da λ P AP λ Buk Dambl Av l v da Av l v Aka dujukka bahwa ssem persamaa homoge v yv haya mempuya peyelesaa rval, da karea u marks P [v v ] dak sgular Dadaka v yv (76) maka dperoleh A(v yv ) A aau (Av ) y(av ) Oleh karea u l v yl v (77) Selajuya persamaa (76) dkalka dega l da delmaska dega persamaa (77), dperoleh (l l )yv Akbaya y karea l l ¹ da v ¹, sehgga dar persamaa (76) aka dperoleh Lebh laju, persamaa Av l v da Av l v memberka hasl AP A [ v v ] [ A v Av ] [ λ v λv ] λ λ [ v v ] P λ λ Jad, λ P AP λ CONTOH 7 Dberka marks A Dega memperhaka pembahasa Cooh 7 dapa dambl v da v sebaga vekorvekor ege yag beruruuru berkorespodes dega lala ege l da l Karea u dperoleh P dega P AP CONTOH 7 vekor ege B yau Teuka marks B Uuk suau marks B dkeahu bahwa r(b) 6, de(b) 8 da v da v Dd B Nugroho

27 Bab 7 Nla da Vekor Ege Dd B Nugroho 9 Peyelesaa Dkeahu bahwa r(b) l l 6 da de(b) l l 8 dega l, l adalah lala ege dar B Dega meyelesaka kedua persamaa ersebu dperoleh l da l (Bagamaa jka l da l?) Jad BP P dega P adalah marks vekor ege Oleh karea u B P P Terdapa dua aplkas dar Teorema 7 A Aplkas uuk pagka suau marks Jka P AP dag(l, l ), maka A P dag(l, l )P da ø ö è æ P λ λ P P λ λ P P λ λ P A CONTOH 7 Teuka suau peryaaa sederhaa uuk C k dega C Peyelesaa Perama, dcar la ege uuk C p C (l) l(l ) l l (l ) (l ) Uuk l, (I C)v adalah v Salah sau peyelesaaya adalah v Uuk l, (I C)v adalah v Salah sau peyelesaaya adalah v Jad D CP P, dega P, D dag(, )

28 Bab 7 Nla da Vekor Ege Dd B Nugroho Dhug P Oleh karea u, dperoleh C k P PD k k k k k k k k k CONTOH 7 Teuka suau peryaaa sederhaa uuk F k dega F Peyelesaa Polomal karakersk uuk F: p F (l) l(l ) l l, yag mempuya akarakar ( ) 6 ± ø ö è æ ± Jad marks F erdagoalsas aas C Uuk λ, (l I F)v adalah v Salah sau peyelesaaya adalah v Jad ø ö è æ, adalah suau pasaga ege, da pasaga ege yag la adalah ø ö è æ, Oleh karea u P FP D, dega a a P uuk a, da a a P, ( ) ), dag(, dag a a D Dperoleh F k P PD k a a k k a a a a

29 Bab 7 Nla da Vekor Ege F k k k aa aa a k k a a a k k k k aa aa aa aa k k k k a a a a k k ö k k aa aa aa aa ö è ø è ø k k ö k k ö a a a a è ø è ø Dga kembal, uuk suau blaga kompleks z dpuya bahwa Im(z), sehgga dapa dyaaka k k ( ) ( ) F k Im aa Im aa ( ) ( ) k k Im a Im a Karea dsmpulka bahwa p k p a e, a e, p a e, a e, F k ( k) π k s kπ s k k k k æ kπ ö s è ø ( k) π s k p z z B Aplkas uuk ssem persamaa dferesal Aka dselesaka ssem persamaa dferesal lear gka sau: d a by d dy c dy, d dega a, b, c, d adalah blaga real aau kompleks, da y adalah fugs dar Ssem dapa duls kembal dalam marks berbeuk X! AX, dega d X! d a b dy, A, da X c d y d Dsubsuska X PY dega Y, maka da y juga fugs da y X! PY! AX A(PY) Þ ( ) λ Y! P AP Y λ Y d Oleh karea u dperoleh λ dy da λ y d d Dd B Nugroho

30 Bab 7 Nla da Vekor Ege Persamaa dferesal ersebu mempuya peyelesaa e () da l d y y e (), dega () adalah la saa [Jka k, dega k adalah d kosaa, maka d k k k d k k ( e ) ke e ke e k d d Karea u e k adalah kosaa, da juga e k k e () ( ) Jad k ( ) e ] ( ) () D ss la, karea X PY aau Y P X maka P yag y() y() meyaaka () da y () dalam sukusuku dar () da y() Karea u da y meyaaka fugs mpls dalam dega megguaka persamaa X PY CONTOH 7 Dberka marks A Guaka meode la ege uuk meeuka rumus ekspls A da selesaka ssem persamaa dferesal berku dega syara awal 7 da y uuk : d y d dy y d Peyelesaa Persamaa karakersk dar A adalah p(l) l l yag mempuya akar l da l Salah sau vekor ege yag berkorespodes uuk l yau v da uuk l yau v Karea u, jka P, dperoleh P AP dag(, ) Jad ( P ) Pdag (),() ) P A Pdag(, ) () ( ) () () ( ) Uuk meyelesaka ssem persamaa dferesal dyaaka X PY, sehgga dperoleh y da y y D ss la, d dy λ da λ y y, d d da juga () e sera y y () e Selajuya ( ) () 7 P, y() y() 6 sehgga dperoleh e da y 6e e 8e da Jad y e e l Dd B Nugroho

31 Bab 7 Nla da Vekor Ege Dd B Nugroho CONTOH 76 Teuka hmpua peyelesaa y y d d Peyelesaa Dambl y X, A da dcoba Ye X l sebaga suau peyelesaa Oleh karea u, ( ) AX X d d mejad AYe λye l l, sehgga harus dperksa AY ly dega meyelesaka masalah la ege uuk A Marks A mempuya pasaga ege ø ö è æ, da ø ö è æ, Jad peyelesaa persamaa dferesal yau e da e Dua fugs ersebu adalah bebas lear da hmpua peyelesaa dar persamaa dferesal adalah e e, Jad peyelesaa umumya adalah e k e k X ) (, dega k, k Î R CONTOH 77 Teuka hmpua peyelesaa z y z y d d Peyelesaa Dambl z y X, A da dcoba Ye X l sebaga suau peyelesaa Karea u, ( ) AX X d d mejad AY ly Marks A mempuya pasaga ege ø ö è æ, 9, ø ö è æ,, ø ö è æ,

32 Bab 7 Nla da Vekor Ege Dd B Nugroho Jad fugsfugs berku adalah peyelesaa dar persamaa dferesal d aas: e 9, e, e Karea kega fugs ersebu adalah bebas lear, hmpua peyelesaa dar persamaa dferesal adalah e e e 9,, Jad peyelesaa umumya adalah e k e k e k X 9 ) (, dega k, k, k Î R CONTOH 78 Teuka hmpua peyelesaa y y d d Peyelesaa Dambl y X, A da dcoba Ye X l sebaga suau calo peyelesaa Persamaa dferesal ( ) AX X d d mejad AY ly Dperoleh persamaa karakersk uuk A yau p A (l) (l )(l ) 6 dega akarakarya adalah, λ ± Deuka vekor ege yag berkorespodes Uuk λ : (l I A)Y mejad Y Suau peyelesaaya adalah Y Uuk λ : (l I A)Y mejad Y Suau peyelesaaya adalah Y

33 Bab 7 Nla da Vekor Ege Dd B Nugroho Pasaga ege dar A yau ø ö è æ, da ø ö è æ, Suau peyelesaa uuk persamaa dferesal adalah e X ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ø ö è æ s cos cos s cos ) Re( e e X, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ø ö è æ cos s s cos s ) Im( e e X Jad peyelesaa umum uuk persamaa dferesal adalah X() k Re(X) k Im(X), dega k, k Î R Sebaga cooh yag lebh rum, aka dselesaka ssem relas rekurs ak homoge CONTOH 79 Selesaka ssem relas rekurs y y y, uuk da y Peyelesaa Ssem dapa duls dalam beuk marks X AX B, dega A da B Megguaka duks maemaka, mudah dbukka bahwa X A X (A A I )B (78) Sela u juga mudah dyaaka dega meode la ege bahwa A V U, dega U da V Oleh karea u A A I ( ) V U ( ) V U Jad, persamaa (78) dapa dulska kembal mejad ( ) ø ö è æ ø ö è æ V U V U X, yag berakba bahwa ( ) ( ) y Karea u ( ) da ( ) y

34 6 Bab 7 Nla da Vekor Ege Uuk A Î M (F), jka ( ) A I ada (arya, jka de(a I ) ¹ aau ekuvale dega jka buka la ege dar A), maka dapa dguaka rumus A A I (A I ) (A I ) (79) Pada cooh d aas, la ege dar A adalah da maka rumus (79) dak dapa dguaka Hasl berku adalah geeralsas dar Teorema 7 TEOREMA 7 Dberka A Î M (F) yag mempuya la ege berbeda l, l,, l yag beruruuru berkorespodes dega vekor ege v, v,, v Jka P adalah marks dega kolomkolomya adalah v, v,, v secara beruruuru, maka P dak sgular da λ! λ! P AP " " " "! λ Berku hasl la yag bermafaa uuk kasus dega lala ege ragkap TEOREMA 7 Dadaka bahwa polomal karakersk dar A Î M (F) mempuya fakorsas ( λ λ ) ( λ λ ) de( λi A), dega l,, l, <, adalah lala ege berbeda dar A Dadaka juga bahwa uuk,, dmlk ul(c I A) Uuk seap, dplh suau bass v,, v uuk ruag ege N(l I A), maka marks adalah osgular da [ v v! v v ] P!! λ I! λ I! P AP " " " "! λ I (Pada dagoalya erdapa eleme l sebayak, berkuya eleme l sebayak,, eleme l sebayak ) 76 Beuk Kuadrak da Irsa Kerucu Beuk Kuadrak DEFINISI 76 Suau beuk kuadrak dalam R adalah suau peryaaa berbeuk a a a a a Q(,,, ) a a dega a j, Î R, Dd B Nugroho

35 Bab 7 Nla da Vekor Ege 7 Jka dulska X [ ] T, maka dapa dyaaka beuk kuadrak: Q(X) X T AX, dega A [a j ], uuk, j,,,, da dcaa bahwa A adalah smers Karea A adalah smers, maka A erdagoalsas orogoal, berar erdapa suau marks orogoal P sehgga P AP D, D dag(l, l,, l ) Jka sekarag duj kembal beuk kuadrak, dpuya Q(X) X T AX X T PDP X X T PDP T X (P T X) T D(P T X) Dperkealka varabel baru Y yag ddefska oleh Y P X P T X, maka dapa dulska T ( X ) Y DY λ y λ y λ y Q Secara jelas, beuk kuadrak mempuya beuk yag lebh sederhaa dalam koorda baru, dega l adalah bobo dar jumlaha kuadra DEFINISI 76 Dberka Q(X) X T AX sebaga beuk kuadrak Q(X) dkaaka def posf (egaf) jka Q(X) > (< ) uuk seap X ¹ Dalam kasus, marks smers A dsebu marks def posf TEOREMA 76 Dberka Q(X) sebaga beuk kuadrak da dadaka erdapa varabel baru, msalya Y, sehgga maka Irsa Kerucu ( X ) λ y λ y λ y Q, Q(X) adalah def posf jka haya jka l >,,, ; Q(X) adalah def egaf jka haya jka l <,,, Kurva a by cy d ey f damaka rsa kerucu Baga kuadrak homoge dar peryaaa ersebu adalah a b a by cy [ y] b cy Dega memerksa beuk kudrak ersebu, dapa deuka jes rsa kerucu yag ada Dambl Q(, y) X T a b AX, X, A y b c Karea A smers, maka erdapa suau marks orogoal P sehgga P AP dag(l, l ) da jka dambl u P v y maka beuk kuadrak dapa duls mejad Q(, y) l u l v Selajuya dmsalka d de(a) ac b, da karea marks serupa mempuya deerma yag sama, maka d l l Dd B Nugroho

36 8 Bab 7 Nla da Vekor Ege TEOREMA 76 Irsa kerucu adalah () ellps jka haya jka l da l mempuya ada sama jka haya jka d >, () hperbola jka haya jka l da l mempuya ada berlawaa jka haya jka d <, () parabola jka haya jka sau dar l, l adalah ol jka haya jka d Buk Dalam koorda baru, kurvaya adalah l u l v au bv g, uuk suau a, b, g Î R Jka l maupu l dak ol, maka dapa dulska kembal mejad l (u µ ) l (v µ ) µ, uuk suau µ, µ, µ Î R Jelas bahwa jka l da l mempuya ada sama, maka kurva adalah suau ellps, eap jka adaya berbeda maka kurvaya adalah suau hperbola CONTOH 76 Bualah skesa rsa kerucu y y 7 Peyelesaa Dbeuk T Q( X ) X X da rsa kerucuya mejad Q(X) 7 Dselesaka masalah la ege uuk A Polomal karakersk dar A yau p A (l) (l 8) (l 8) Uuk l 8, ssem lear (8I A)v mempuya suau peyelesaa Uuk l 8, ssem lear (8I A)v mempuya suau peyelesaa Jka dambl P, maka P AP dag(8,8) Dplh suau marks orogoal dega deerma Jka Q, maka Q AQ dag(8,8), dega Q Q T da de(q) Jad, jka dyaaka dalam koorda baru: u T Q Q, v y y maka kurva dapa dulska mejad 8u 8v 7 Þ æ u ö è ø æ v ö è ø Dd B Nugroho

37 Bab 7 Nla da Vekor Ege Dd B Nugroho 9 Dperoleh skesa dalam bdag uv: Gambar 7: Grafk ø ö è æ ø ö è æ v u Dcaa bahwa k (, ) d bdag uv dpeaka ke Q y da k (, ) d bdag uv dpeaka ke Q y I berar bahwa sumbu u posf adalah sepajag vekor ege da sumbu v posf adalah sepajag vekor ege Dperoleh skesa dalam bdag y: Gambar 7: Grafk y y 7 u v

38 Bab 7 Nla da Vekor Ege CONTOH 76 Bualah skesa rsa kerucu 6 y y Peyelesaa Dbeuk T 6 Q( X ) X X, da rsa kerucuya mejad Q(X) Dselesaka masalah la ege uuk 6 A Polomal karakersk dar A yau p A (l) (l 9) (l ) Uuk l 9, ssem ( 9I A)v mempuya suau peyelesaa Uuk l 8, ssem (I A)v mempuya suau peyelesaa Jka dambl P, maka P AP dag( 9,) Dplh Q, da dcaa bahwa Q AQ dag( 9,), dega Q Q T da de(q) v v u u æ u ö æ v ö Gambar 7: Grafk è ø è ø v u Dd B Nugroho

39 Bab 7 Nla da Vekor Ege Dd B Nugroho Jka dyaaka dalam koorda baru: y Q y Q v u T, maka kurva dapa dulska mejad 9u v Þ ø ö è æ ø ö è æ v u Þ (u v)(u v) yag merupaka suau parabola dega asmo u v da u v Skesa kurva dalam bdag uv dsajka pada Gambar 7 Tk (, ) dalam bdag uv dpeaka ke Q y da k (, ) dalam bdag uv dpeaka ke Q y Gars u v dpeaka ke 7 u u Q y aau 7 y, da gars u v dpeaka ke u u Q y aau y 8 Dperoleh skesa dalam bdag y seper pada Gambar 76 Gambar 76: Grafk 6 y y y u v v u u v

40 Bab 7 Nla da Vekor Ege 77 Aplkas Uuk Ssem Massa Pegas Dperhaka ssem massa pegas yag dujukka pada gambar d bawah k k m m Gambar 77: Ssem massa pegas Dasumska pemdaha seap massa doaska oleh da, da dambl asums seap pegas mempuya kosaa pegas yag sama yau k Dega megaplkaska hukum Newo kedua da kega dar geraka, uuk meghaslka kesembaga gaya pada seap massa maka dpuya d m k k( ) d d m k( ) d Kedua persamaa duls kembal mejad d k ( ) m d d k ( ) m d Dambl m, m, da k d ( ) (7) d d ( ) (7) d Dar eor geara, peyelesaa dapa dyaaka dalam beuk A s(w q) dega A ampludo geara massa, w frekues geara, q fase perubaha, maka Dega mesubsuska da aau d d d A ω s( ω θ) ke persamaa (7) da (7), dperoleh d A w ( A A ) A w (A A ) ( w )A A A ( w )A Dd B Nugroho

41 Bab 7 Nla da Vekor Ege Dalam beuk marks, persamaa ersebu dapa duls kembal mejad ω A, ω A aau A A ω A A Dambl w l, A A, da X, sehgga persamaa ersebu A mempuya beuk AX lx Dalam persamaa ersebu l adalah la ege da X adalah vekor ege yag berkorespodes dega l Persamaa karakersk dar marks A: p A (l) l r(a)l de(a) l l 8 yag mempuya peyelesaa l, aau l,88 Selajuya dapa dhug frekues geara dega rumus ω λ Lebh laju pembaca dapa mecar vekor ege X uuk memperoleh ampludo A 78 Aplkas Uuk Geeka Pada pasal dbahas secara sgka masalah warsa auosomal D s dperhaka suau hmpua dua ge yag dada oleh G da g Seap aggoa populas mewars sau ge dar seap orag ua, dhaslka kemugka geopgeop GG, Gg, da gg Lebh jauh, ge G medomas ge g, jad dalam kasus wara maa mausa, sebaga cooh, orag dega geop GG aau Gg mempuya maa cokla sedagka orag dega geop gg mempuya maa bru I juga dpercaya bahwa seap aggoa populas mempuya probablas sama mewars sau aau ge yag la dar seap orag ua Tabel 7 memberka probablas ersebu secara rc D s geop dar orag ua erdafar pada baga aas, da geop dar keurua erdafar pada baga kr Tabel 7: Probablas Geop Keurua GG GG GG Gg GG gg Gg Gg Gg gg gg gg GG Gg gg Sebaga cooh, aka dpelajar dsrbus dar ga geop seelah puara pembuaha da peggaa, dega adalah suau blaga bula posf sembarag Dadaka bahwa GG(), Gg() da gg() meoaska propors seap geop seelah puara pembuaha da peggaa, da bahwa GG(), Gg(), da gg() meoaska propors awal Secara jelas dpuya GG() Gg() gg() uuk seap,,, Dd B Nugroho

42 Bab 7 Nla da Vekor Ege Dd B Nugroho Dss la, seegah baga kr dar abel d aas meujukka bahwa uuk seap,,,, dpuya GG() GG( ) Gg( ), Gg() Gg( ) gg( ), gg(), sehgga ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( gg Gg GG gg Gg GG Berdasarka hal bahwa () () () ) ( ) ( ) ( gg Gg GG A gg Gg GG uuk seap,,,, dega A yag mempuya la ege l, l, l da vekor egeya beruruuru: v, v, v Oleh karea u dulska P da D, dega P Selajuya P AP D, jad A PDP, da juga A PD P Berdasarka hal bahwa ) ( ) ( ) ( gg Gg GG () () () gg Gg GG () () () () () () () gg Gg gg Gg gg Gg GG () () () () gg Gg gg Gg uuk I berar bahwa secara pedekaa haslya aka mempuya geop GG

43 Bab 7 Nla da Vekor Ege SOALSOAL UNTUK BAB 7 Dadaka bahwa q Î R buka suau blaga bula kelpaa dar p Tujukka cos( θ) s( θ) bahwa marks dak mempuya suau vekor ege d R s( θ) cos( θ) cos( θ) s( θ) Dperhaka marks A, dega q Î R s( θ) cos( θ) (a) Tujukka bahwa A mempuya suau vekor ege d R dega la ege (b) Tujukka bahwa sembarag vekor v Î R egak lurus erhadap vekor ege pada baga (a) jka memeuh Av v Dberka A da Teuka: (a) polomal karakersk dar A da B; (b) lala ege dar A da B; (c) vekorvekor ege yag berkorespodes B Teuka la ege da ruag ege yag berkorespodes sera keragkapa geomers dar marksmarks d bawah (a) (b) (c) 7 (d) 6 (e) (f) (g) Dberka A Î M (F) mempuya l,, l p dega keragkapa aljabarya a l,, Dadaka bahwa polomal karakersk p(l) erpsah Bukka bahwa a l p r(a) p å al λ, a a a λ l λ l λ l p de(a) ( ) ( ) ( ) p Dd B Nugroho

44 6 Bab 7 Nla da Vekor Ege a 6 Dambl blaga ak ol a Î R Tujukka bahwa marks ddagoalsas dak dapa 7 Uuk seap marks d bawah, euka semua la egeya da yaaka ruag ege yag berkorespodes; jka mugk, dagoalsaska marks ersebu: (a) (b) 9 6 (c) (d) (e) 9 8 Dberka A Î M (F) adalah marks segga aas dega semua eleme dagoalya berbeda Bukka bahwa A dapa ddagoalsas 9 Dberka A Î M (F) adalah marks segga aas dega semua eleme dagoalya sama Bukka bahwa A dapa ddagoalsas jka haya jka A adalah suau marks dagoal Dberka A da B (a) Teuka semua la ege da vekor ege dar A da B (b) Apakah A da B erdagoalsas? Berka alasa Dberka A (a) Teuka polomal karakersk dar A, da euka semua akarakarya (b) Teuka lala ege dar A, da uuk seap la ege berka suau bass uuk ruag ege yag berkorespodes (c) Teuka marks orogoal P da marks dagoal D sehgga A PDP Dberka A (a) Teuka polomal karakersk dar A, da euka semua akarakarya (b) Teuka lala ege dar A, da uuk seap la ege berka suau bass uuk ruag ege yag berkorespodes (c) Teuka marks orogoal P da marks dagoal D sehgga A PDP Dd B Nugroho

45 Bab 7 Nla da Vekor Ege 7 Dberka A (a) Teuka polomal karakersk dar A, da euka semua akarakarya (b) Teuka lala ege dar A, da uuk seap la ege berka suau bass uuk ruag ege yag berkorespodes (c) Teuka marks orogoal P da marks dagoal D sehgga A PDP Tujukka bahwa rasformas lear berku erdagoalsas da eapka suau bass dega marks represeasya adalah dagoal T : P (R) P (R) T(a b c ) (a b c) (a b c) (a b c) Teuka marks d bawah yag erdagoalsas aas feld yag dberka Jka marks, kaaka M, erdagoalsas, maka eapka suau marks versbel V da suau marks dagoal D sehgga V MV D (a), F R (b), F R (c), F C (d) 8 8, F R 6 (e), F R (f), F C (g) 7 7, F C 6 6 Dberka A, B Î M (F) da dadaka bahwa A da B adalah versbel Bukka bahwa AB da BA mempuya la ege yag sama 7 Dberka A (a) Tujukka bahwa de(li A) dyaaka oleh (l ) (l 9) (b) Car marks ak sgular P sehgga P AP dag(,, 9) 8 Dberka marks A berukura dega r(a), de(a), da vekorvekor ege,, (a) Teukalah lala ege l, l, l dar A (b) Carlah marks ak sgular P sehgga P AP dag(l, l, l ) Dd B Nugroho

46 8 Bab 7 Nla da Vekor Ege a b 9 (Kasus la ege yag dulag) Dberka A da dadaka bahwa c d polomal karakersk dar A, l (a d)l (ad bc), mempuya akar ragkap a Dasumska juga bahwa A ¹ ai Dberka B ai A (a) Bukka bahwa (a d) bc (b) Bukka bahwa B (c) Bukka bahwa Bv ¹ uuk suau vekor v ; dalam hal dujukka bahwa v dapa dambl aau (d) Dambl v Bv Bukka bahwa P [ v v ] dak sgular, da dsmpulka bahwa Av av da Av av v P α AP α Dberka U Î M (R) adalah suau marks perseg dega semua masukaya sama dega (a) Demoraska bahwa U U (b) Teuka de(a) (c) Bukka bahwa de(li U) l ( l ) (d) Tujukka bahwa dm(ker(u)) (e) Tujukka bahwa!! U P P " " # "! dega!! # " " P " " " # " "!! Dadaka bahwa suau marks real memeuh persamaa A A A I O (a) Teuka lala ege dar A (b) Apakah A erdagoalsas? Jelaska Bukka Teorema CayleyHamlo uuk marksmarks dagoal A dega membukka bahwa jka p() adalah sembarag polomal, maka p(dag(l, l,, l )) dag(p(l ), p(l ),, p(l )) Dd B Nugroho

47 Bab 7 Nla da Vekor Ege Dd B Nugroho 9 Yag maakah dar marks real berku yag erdagoalsas secara orogoal? Uuk marks ersebu, euka suau marks orogoal P da suau marks dagoal D sehgga P AP D (a) (b) (c) (d) (e) (f) 9 Dberka A Bukka Teorema CayleyHamlo uuk A Teuka yag maakah dar marksmarks berku yag dapa dagoalsas aas R (a) (b) (c) (d) 6 Dberka A da B (a) Teuka semua la ege dar A (b) Teuka semua la ege dar B (c) Apakah B erdagoalsas? Berka alasa (d) Berapa la ege erbesar dar B, da berapakah dmes dar ruag ege yag berkorespodes? 7 Dberka A, B, C, D (a) Maakah dar marksmarks d aas, jka ada, yag haya mempuya suau la ege uggal, da yag maa yag mempuya dua la ege? (b) Maakah dar marksmarks ersebu, jka ada, yag dapa ddagoalsas oleh suau perubaha bass? (c) Hug D D I dega I adalah marks deas (d) Hug B

48 Bab 7 Nla da Vekor Ege 8 Dberka suau marks A berukura dega lala ege,, Tujukka bahwa A A 9 Dberka suau marks A berukura sehgga A A I O Tujukka bahwa, adalah lala ege dar A Dberka a b b a A, dega a, b Î R Teuka kapa A adalah a b b a orogoal Dadaka bahwa A adalah suau marks orogoal dega masukamasuka real Bukka bahwa (a) A adalah suau marks orogoal; da (b) de(a) ± Dadaka bahwa A da B adalah marksmarks orogoal dega masukamasuka real Bukka bahwa AB adalah orogoal Bukka bahwa uuk seap a Î R, marks a A a a a a a adalah orogoal a a Dadaka bahwa l adalah suau la ege dar suau marks orogoal A dega masukamasuka real Bukka bahwa λ adalah juga suau la ege dar A Dadaka bahwa a b A c d adalah suau marks orogoal dega masukamasuka real Jelaska keapa a b c d da ac bd Smpulka bahwa A mempuya sau dar dua beuk yag mugk: cos θ s θ cos θ s θ A aau A s θ cos θ, s θ cos θ dega q Î [, p) 6 Dperhaka marks 6 A 6 (a) Teuka polomal karakersk dar A da ujukka bahwa A mempuya la ege (dua kal) da Dd B Nugroho

49 Bab 7 Nla da Vekor Ege Dd B Nugroho (b) Teuka suau vekor ege dar A yag berkorespodes dega la ege (c) Teuka dua vekor ege orogoal dar A yag berkorespodes dega la ege (d) Teuka suau bass oroormal dar R yag memua vekorvekor ege dar A (e) Megguaka bass oroormal baga (d), euka suau marks P sehgga P T AP adalah suau marks dagoal 7 Aplkaska proses dagoalsas orogoal uuk seap marks d bawah : (a) A (b) B (c) C (d) 6 6 F (e) G (f) H 8 Guaka dagoalsas uuk meghug: (a) A dega 7 A (b) B dega 6 B (c) C dega 7 C (d) F 9 dega F 9 Dberka suau marks dega lala ege da yag secara beruruuru berkorespodes dega vekorvekor ege da Teuka A Dberka A Î M (R) mempuya polomal karakersk (l ) (l ) Salah sau la egeya mempuya vekor ege da Nla ege yag la mempuya vekor ege yag berkorespodes Teuka marks A

50 Bab 7 Nla da Vekor Ege Dberka A Teuka: (a) de(a) (b) A (c) rk(a I ) (d) de(a I ) (e) polomal karakersk dar A (f) lala ege dar A (g) vekorvekor ege dar A (h) A (a) Guaka proses dagoalsas uuk meemuka peryaaa bag A dega 6 A 6 (b) Teuka lm A a b Dberka A dega a, b, c, d Î C Tujukka bahwa A erdagoalsas c d jka haya jka (a d) bc ¹ aau a d da b c Dberka A Car marks ak sgular P sehgga P AP dag(, ) da karea u bukka bahwa A A I,6,8 Jka A, bukka bahwa uuk maka A cederug ke marks,, 6 Selesaka ssem persamaa dferesal d y d dy y, d dega da y uuk 7 Selesaka ssemssem persamaa dferesal berku (a)! A, A (b)! B, B Dd B Nugroho

51 Bab 7 Nla da Vekor Ege (c) (e)! C, C (d)! F, F! G, G 8 (a) Teuka suau keluarga parameer uuk peyelesaa ssem d d (b) Keapa ada dak dapa memperoleh peyelesaa umum uuk persamaa dferesal ersebu? a b 9 Dberka A adalah marks real aau kompleks dega lala ege c d berbeda l, l da berkorespodes dega vekor ege v, v Dberka juga P [ v v ] (a) Bukka bahwa ssem relas rekurs a by y c dy mempuya peyelesaa αλ v βλ v y, dega a, b dyaaka oleh persamaa α P β y (b) Bukka bahwa ssem persamaa dferesal d a by d dy c dy d mempuya peyelesaa λ λ αe v βe v y, dega a, b dyaaka oleh persamaa α () P β y() Guaka hasl sebelumya uuk meyelesaka ssem: d y d dy 8y, d dega y uuk Dd B Nugroho