BAB I PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER ORDE I. Pengertian PD, Orde (tingkat), & Derajat (Pangkat) Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat derivatifderivatif (turunan) sekurang-kurangnya derivatif dari fungsi yang tidak diketahui Orde atau tingkat dari suatu PD ditentukan oleh tingkat derivatif yang tertinggi yang terdapat pada persamaan tersebut Derajat/pangkat dari suatu PD adalah pangkat dari derivatif yang mempunyai tingkat tertinggi dari persamaan tertentu Contoh : d y 3 + PD orde derajat 3. Membentuk PD + = sin 3 Eliminasikan hubungan c & c dari persamaan berikut : y = c e + c e 3 y I = c e + 3c e 3 y II = 4c e + 9c e 3 3 Persamaan & 3 eliminasikan y I = c e + 3c e 3 y I = 4c e + 6c e 3 y II = 4c e + 9c e 3 Persamaan & 3 eliminasikan y II = 4c e + 9c e 3 y I +y II = 5c e 3.(4) y = c e + c e 3 4 4y = 4c e + 4c e 3 y II = 4c e + 9c e 3 Persamaan 4 & 5 eliminasikan y II = 4c e + 9c e 3 y I +y II = 5c e 3 y I +y II = 5c e 3 4y y II = 5c e 3 4y y II = 5c e 3..(5) y 3y II = 5c e 3 y I + y II + y 3y II = 0
y II + y I + y = 0 y II y I + 6y = 0 d y + + 6y = 0 Persamaan Diferensial Orde derajat.3 Persamaan Diferensial Variabel Terpisah Bentuk umum F() + g() = 0 Solusi Umum : F() + g() = C.4 Persamaan Diferensial Reduksi ke Variabel Terpisah Bentuk umum F () g (y) + F () g (y) = 0 Solusi Umum : Dikali dengan faktor integralnya : Faktor integral adalah faktor pengali yang ingin kita cari yang ingin kita kalikan ke persamaan umum agar persamaan itu bias kita sendirikan. F () g (y) [F () g (y) + F () g (y) = 0] F () + g () = 0 F () g () F () F () + Contoh soal! g () g = C. Selesaikan PD 5 + (y+) = 0 Jawab : 5 + (y + ) = k 6 6 + 3 y + 3 = k 6 + y + 3 = 6k 6 + y + 3 = C dimana C = 6k
. Selesaikan PD 9y + 4 = 0 Jawab : Faktor integralnya = (9y + 4 ) = 0 9y +4 = 0 9y + 4 = k 9 y + = k 9y + 4 = k 9y + 4 = C dengan C = k.5 Persamaan Diferensial Homogen Fungsi Homogen Suatu fungsi F(,y) dikatakan homogen berderajat n jika: F(λ, λ y)= λ n f(,y) Contoh fungsi homogen: F(,y) = +y F(λ, λ y) = (λ) + (λy) = λ +λ y = λ ( +y ) F(λ, λ y) = λ F(, y) F(λ, λ y) = λ F(, y) fungsi homogen berderajat Bentuk umum M(,y) + N(,y) = 0 Syaratnya M(,y) dan N(,y) adalah homogen dan berderajat sama Langkah-langkah untuk menentukan solusi umum yaitu :. Gunakan transformasi y = u dan = du + u adau = uy dan = y du + u. PD homogen tereduksi ke PD variable terpisah 3. Gunakan aturan pada PD variabel terpisah 4. Gantilah u= y jika menggunakan transformasi y = u
Gantilah u = jika menggunakan transformasi = uy untuk y mendapatkan solusi semula 5. Solusi umum PD homogen diperoleh Contoh : (+y) + ( + 3y) = 0 Jawab : M(λ, λ y) = (λ + λ y) = λ ( + y) = λ M(,y) => fungsi homogen berderajat Satu M(λ, λ y) = λ + 3 λy = λ ( +3y) = λ M(,y) => fungsi homogen berderajat Satu (+y) + (+3y) = 0 y = u dan = du + u ( + (u)) + ( + 3(u)) ( du + u ) = 0 ( + u) + du + u + 3u du + 3u = 0 ( + 4u+ 3u ) + ( + 3u ) du = 0 (+4u+3u ) + ( + 3u) du = 0 faktor integralnya = +4u+3u +4u+3u [(+4u+3u ) + ( + 3u) du = 0] + +3u +4u+3u du = 0 + +3u +4u+3u du = k Misal w = + 4u + 3u dw = 4 + 6u du ln + w dw = + 3u du dw = k ln + ln w = k ln + ln + 4u + 3u = k ln + ln + 4u + 3u = k
ln + ln + 4 y + 3 y ln. + 4 y + 3 y. + 4 y + 3 y + 4y + 3y = e k = k = ln ek = ek jadi solusi umum PD tersebut adala + 4y + 3y = C dengan C = e k.6 Persamaan Diferensial Eksak Contoh : Bentuk umum M(,y) + N(,y) = 0 dengan syarat sebagai berikut: = N dengan solusi umum yaitu f(,y) = C Langkah-langkah untuk menentukan solusi umum yaitu :. = M(, y) dan = N(, y). Integralkan terhadap. sehingga menjadi maka f(,y) = M(, y) + φy = M(, y). 3. Hasil integral tersebut kemudian diturunkan terhadap y yaitu : = 4. Karena M(, y) + dφ = N(, y) maka dφ = N, y M(, y) 5. φy yang diperoleh disubstitusikan kedalam f(,y) dalam langkah sehingga f(,y) = C diperoleh. Selesaikan PD berikut! ( y ) = 0 Jawab : M(,y) = y N(,y) = Karena = = N = maka PD diatas adalah PD eksak = M(, y) dan = N(, y)
Integrasikan M(,y) terhadap dan y tetap f(,y) = y + φ(y ) = 3 3 y + φ(y ) = = + 3 3 y + dφ (y ) dφ (y ) Karena = + = maka dφ (y ) dφ (y ) = 0 dφ (y ) φ y = o = k Solusi f(,y) = 3 3 y + k Jadi solusi umum PD eksak diatas adalah 3 3 y = C dengan C = k f(,y) = C.7 Persamaan Diferensial Non Eksak dan Non Homogen Bila persamaan M(,y) + N(,y) = 0 adalah PD non eksak N menjadi PD eksak. maka akan dicari suatu fungsi yang dapat mengubahnya Fungsi yang akan dicari tersebut disebut faktor integral Pada umumnya faktor integral merupakan fungsi dengan peubah dan y tetapi kadangkala mersupakan fungsi dengan peubah saja. Misal u(,y) adalah faktor integral dari PD tersebut, maka u M(,y) + u N(,y) = 0 Karena u M(,y) + u N(,y) = 0 adalah PD eksak, berarti (UM) = (UN) maka ketika diturunkan akan menjadi U + M U = U N + N U Jika u hanya dalam peubah ( u= u()) U = 0 dan U = du
U N + M. 0 = U N N ln u = u() = e. U = N du = N N = du u du u + N U Jika u hanya dalam peubah y ( u= u(y)) U U = 0 + M du dan U = du N = U + N. 0. U = M du du N M = du u u y = e N M Jika u dalam peubah dan y (u(,y) : maka tidak ada prosedur tertentu untuk mencarinya. Hanya pada dasarnya PD sebelumnya menjadi sederhana dan mudah diselesaikan. Contoh : Selesaikan PD berikut ( y Jawab : ) 0 ( y ) 0 dikalikan dengan sehingga menjadi ( y ) 0 M = y + + N = M y N
Karena homogen M N maka PD tersebut adalah PD non eksak dan non y = = u = e N u = e = e ln = e ln = e = u() = y + + + = 0 y + + + = 0 M= y + + N = = N = Karena = N = y + + f(,y) = y + + maka PD diatas adalah PD eksak + φ(y) = y + + ln + φ(y) = = = + dφ Karena dφ = 0 dφ = 0 φ y = k y + + ln + dφ = maka = + dφ
Jadi, solusi umum untuk PD eksak tersebut adalah f(,y) = y + + ln + k y + + ln = C dengan C = k f(,y) = C.8 Persamaan Diferensial Linier Orde Bentuk umum + p y = Q() Contoh + 3y = sin Untuk menyelesaikan PD linier orde ada tiga metode yang dapat digunakan yaitu: Metode Faktor Integral Metode Variasi Konstanta Lagrange Metode Bernouli Metode Faktor Integral Bentuk PD + p y = Q() Faktor integralnya adalah e p Penyelesaian umum PD ini : y e p = Q e p + C y = Q e p p + C e Langkah-langkah mendapatkan penyelesaian umum PD ini adalah : o Tentukan faktor integral o Dapatkan penyelesaian umum PD dengan melakukan integrasi pada ruas kanan dari bentuk penyelesaian umum diatas. Contoh : Selesaikan PD berikut! + y = + jawab: P = Q() = +
Faktor integral e p = e = e ye = + e + C = e + e + C = e + e + C = e + [e e ] = e + e e + C = e + e e + C ye = e + C y = + Ce Jadi solusi umum PD tersebut adalah y = + Ce