Uji Hipotesis UJI RATAAN UJIVARIANSI MA 081 STATISTIKA DASAR UTRIWENI MUKHAIYAR A PRIL 011
Pengertian Hipotesisadalah i suatu anggapan yang mungkin benar atau tidak mengenai satu populasi atau lbih lebih yang perlu diuji kb kebenarannya Hipotesis adalah suatu anggapan yang mungkin benar atau tidak mengenai satu populasi atau lebih yang perlu diuji kebenarannya 1. Hipotesis nol (H 0 ) ; pernyataan yang mengandung tanda kesamaan (=,, atau ). Hipotesis tandingan (H 1 ) ; tandingan hipotesis H 0, mengandung tanda, >, atau <.
Galat (error) 3 H 0 ditolak H 0 benar P(menolak H 0 H 0 benar) = galat tipe I = α H 0 salah keputusan benar H 0 tidak ditolak keputusan benar P(tidak menolak H 0 H 0 salah) = galat tipe II = β yang dimanfaatkan dalam pokok bahasan ini
Skema Umum UjiHipotesis Hipotesis Statistik 4 Hipotesis yang ingin diuji Memuat suatu kesamaan (=, atau ) Dapat berupa H 0 - hasil penelitian sebelumnya - informasi dari buku atau - hasil percobaan orang lain Hipotesis yang ingin dibuktikan H 1 Disebut juga hipotesis alternatif??? Memuat suatu perbedaan (, > atau <) Keputusan mungkin terjadi Kesalahan H 0 ditolak H 0 tidak ditolak Tipe I Kesimpulan H 1 benar Kesimpulan Tidak cukup bukti untuk menolak H 0 Menolak H 0 padahal H 0 benar P(tipe I) = α = tingkat signifikansi Tipe II Menerima H 0 padahal H 0 salah P(tipe I) = β
Statistik Uji dan Titik Kritis 5 Statistik ujidigunakan untuk mengujihipotesis statistik yang telah dirumuskan. Notasinya berpadanan dengan jenis distribusi yang digunakan. Titikik kii kritismembatasi idaerah penolakan dan penerimaan H 0. Diperoleh dari tabel statistik yang bersangkutan. H 0 ditolak jika nilai statistik uji jatuh di daerah kritis. daerah kritis = / daerah penerimaan H 0 1 - daerah kritis = / daerah penerimaan H 0 titik titik titik kritis kritis kritis diperoleh dari tabel statistik 0 1 - daerah kritis
Uji Rataan Satu Populasi 6 uji dua arah 1. H 0 : = 0 vs H 1 : 0. H 0 : = 0 vs H 1 : > 0 3. H 0 : = 0 vs H 1 : < 0 0 0 1 0 uji satu arah 0 adalah suatu konstanta yang diketahui
1. Kasus σ diketahui i Statistik Uji untuk Rataan Satu Populasi 7 Z 0 X / n ~ N(0,1) Tabel Z (normal baku). Kasus σ tidak diketahui i T X s/ n 0 ~ t (n-1) Tabel t
Daerah Kritis Uji Rataan Satu Populasi 8 σ diketahui σ tidak diketahui Statistik uji : Z T H 0 : = 0 vs H 1 : 0 Z < -Z α/ atau Z > Z α/ T < - T α/ atau T > T α/ H 0 : = 0 vs H 1 : > 0 Z > Z α T > T α H 0 : = 0 vs H 1 : < 0 Z < - Z α T < - T α 0 0 1 0 titik kritis dengan derajat kebebasan n - 1
Uji Rataan Dua Populasi 9 1. H 0 : 1 - = 0 vs H 1 : 1-0. H 0 : 1 - = 0 vs H 1 : 1 - > 0 3. H 0 : 1 - = 0 vs H 1 : 1 - < 0 uji dua arah uji satu arah 0 adalah suatu konstanta yang diketahui
1. Kasus σ 1 dan σ diketahui Statistik Uji untuk Rataan Dua Populasi Z = H 10 X X μ 1 0 σ n σ n 1 1. Kasus σ 1 dan σ tidak diketahui dan σ 1 σ T = H X X μ 1 0 S n S n 1 1 3. Kasus σ 1 dan σ tidak diketahui dan σ 1 = σ T = H X X μ S 1 0 p 1 1 n n 1 dengan (n 1)S (n 1)S 1 1 p n1n S =
Daerah Kritis Uji Rataan Dua Populasi 11 σ 1, σ diketahui σ 1, σ tidak diketahui Statistik uji : Z T σ 1 = σ σ 1 σ Derajat Kebebasan n 1 + n - H 0 : 1 - = 0 H 1 : 1-0 vs Z < - Z α/ atau Z > Z α/ T < - T α/ atau T > T α/ S1 S n n v= 1 S 1 (n1 1) n 1 (n 1) n 1 1 S T < - T α/ atau T > T α/ H 0 : 1 - = 0 vs Z > Z H 1 : 1 - > α T > T α T > T α 0 H 0 : 1 - = 0 vs H 1 : 1 - < 0 Z < - Z α T < - T α T < - T α
Ujiuntuk Rataan Berpasangan 1 1. H 0 : d = 0 vs H 1 : d 0. H 0 : d = 0 vs H 1 : d > 0 3. H 0 : d = 0 vs H 1 : d < 0 Statistik uji menyerupai statistik untuk kasus satu populasi dengan variansi tidak diketahui. D μ T= S / n d 0 ;
Contoh 1 13 Berdasarkan 100 laporan kematian di AS yang diambil secara acak, diperoleh bahwa rata-rata usia saat meninggal adalah 71.8 tahun dengan simpangan baku 8.9 tahun. Hal ini memberikan dugaan bahwa rata-rata usia meninggal di AS lebih dari 70 tahun. a. Nyatakan dugaan tersebut dalam pernyataan hipotesis statistik b. Untuk tingkat signifikansi 5%, benarkah dugaan tersebut?
Solusi Diketahui Ditanya: 0 70, X 71.8, a. Hipotesis statistik b. Kesimpulan uji hipotesis Jawab: Parameter yang akan diuji : μ a. Rumusan hipotesis: H 0 : μ = 70 H 1 : μ > 70 14 s 8.9, 0,05 008 by UM
b. α = 5%=0.05, 005 maka titik kiti kritis t 0.05,(99) = 166 1.66 15 t x 0 71,8 70,0 0 s 8,9 n 100 Karena t > t 0.05,(99), maka t berada pada daerah penolakan sehingga keputusannya H 0 ditolak. Jadi dugaan tersebut benar bahwa rata-rata usia meninggal di AS lebih dari 70 tahun.
Contoh Suatu percobaan dilakukan k untuk membandingkan keausan yang diakibatkan oleh gosokan, dari dua bahan yang dilapisi. Dua belas 16 potong bahan 1 diuji dengan memasukan tiap potong bahan ke dalam mesin pengukur aus. Sepuluh potong bahan diuji dengan cara yang sama. Dalam tiap hal, diamati dalamnya keausan. Sampel bahan 1 memberikan rata-rata keausan (sesudah disandi) sebanyak 85 satuan dengan simpangan baku sampel 4, sedangkan sampel bahan memberikan rata-rata keausan sebanyak 81 dengan simpangan baku sampel 5. Dapatkah disimpulkan, pada taraf keberartian 5%, bahwa rata-rata keausan bahan 1 melampaui rata-rata keausan bahan lebih dari dua satuan? Anggaplah kedua populasi berdistribusi hampir normal dengan variansi yang sama.
Solusi 17 Misalkan μ 1 dan μ masing-masing menyatakan rata-rata populasi bahan 1 dan populasi bahan. Variansi populasi kedua bahan tidak diketahui, yang diketahui adalah variansi sampel. Diasumsikan variansi populasi p kedua bahan adalah sama. Rumusan hipotesis yang diuji adalah: H 0 : μ 1 - μ = H 1 : μ 1 - μ >
Tingkat keberartian, α = 005 0.05 x x 85, s 4, n = 1 1 1 1 =81, s =5, n =10 18 Kita gunakan statistik uji untuk variansi kedua populasi tak diketahui tapi dianggap sama, yaitu x 1 x μ 0 dengan t = dengan H s p (n 11 )s 1 (n 1 )s (11)(16) (9)(5) s p = 1 1 n1n 110 n n 1 Maka diperoleh : t = H x1x μ0 (85 81) 1 1 4.478 (1/1) (1/10) s p n n 1 1.04 4.478
Statistikti tik uji t berdistribusi ib it-student t t dengan derajat kebebasan n 1 +n - = 1 +10 - = 0, sehingga titik kritisnya adalah t 0050 0.05,0 = 1.75. Karena t < 1.75, maka H 0 tidak ditolak. Tidak dapat disimpulkan bahwa rata-rata keausan bahan 1 melampaui rata-rata keausan bahan lebih dari satuan. 19
Contoh 3( (data berpasangan) 0 Pada tahun 1976, J.A. Weson memeriksa pengaruh obat succinylcholine terhadap kadar peredaran hormon androgen dalam darah. Sampeldarahdari rusa liar yang hidup bebas diambil melalui urat nadi leher segera setelah succinylcholine disuntikkan pada otot rusa. Rusa kemudian diambil lagi darahnya kira-kira 30 menit setelah suntikan dan kemudian rusa tersebut dilepaskan. Kadar androgen pada waktu ditangkap dan 30 menit kemudian diukur dalam nanogram per ml (ng/ml) untuk 15 rusa. Data terdapat pada tabel berikut
N0 Kadar androgen (ng/ml) Kadar androgen (ng/ml) Selisih (d i ) sesaat setelah disuntik 30 menit setelah disuntik 1.76 518 5.18 7.0 310 3.10 4.6 -.08 08 3 4.68 3.05 5.44 3.99.76 0.94 5 6 7 4.10 7.05 6.60 5.1 10.6 13.91 1.11 3.1 7.31 8 9 4.79 7.39 18.53 7.91 13.74 0.5 10 11 1 7.30 11.78 3.90 4.85 11.10 3.74 -.45-0.68-0.16 13 14 15 6.00 67.48 17.04 94.03 94.03 41.70 68.03 6.55 4.66 1
Anggap populasi androden sesaat setelah suntikan dan 30 menit kemudian berdistribusi normal. Ujilah, pada tingkat keberartian 5%, apakah konsentrasi androgen berubah setelah ditunggu 30 menit.
Solusi Ini adalah data berpasangan karena masing-masing unit percobaan (rusa) memperoleh dua kali pengukuran 3 Misalkan μ 1 dan μ masing-masing menyatakan rata-rata konsentrasi androgen sesaat setelah suntikan dan 30 menit kemudian. Rumusan hipotesis yang diuji adalah H 0 : μ 1 = μ atau μ D = μ 1 - μ = 0 H 1 : μ 1 μ atau μ D = μ 1 - μ 0 Tingkat signifikansi ifik i yang digunakan adalah α = 5% = 0.050
4 Rata-rata t sampel dan variansi i sampel untuk selisih ih ( d i ) adalah, d 9.848 dan s 18.474 Statistik uji yang digunakan adalah, Dalam hal ini, d d d 0 t= sd / n 9.848 0 t= 18.474 / 15.06
Statistikti tik uji t berdistribusi ib it-student t t dengan derajat kebebasan n 1 = 15 1 = 14. Pada tingkat keberartian 005 0.05, H 0 ditolak jika 5 t < - t 0.05,14 = -.145 atau t > t 0.05,14 =.145.,, Karena nilai t =.06, maka nilai t tidak berada pada daerah penolakan. Dengan demikian, H 0 tidak ditolak. Kendati demikian, nilai t =.06 mendekati nilai t 0.05,1405 =.145. Jadi perbedaan rata-rata kadar peredaran androgen tidak bisa diabaikan.
Uji Hipotesis Tentang Variansi Satu Populasi Bentuk hipotesis i nol dan tandingannya untuk kasus variansi satu populasi adalah 1. H : = vs H :. 6 0 0 1 0 H : = vs H : 0 0 1 0 3. H : = vs H : 0 0 1 0 Dengan 0 menyatakan suatu konstanta mengenai variansi yang diketahui.
Statistiskti ti uji yang digunakan untuk menguji ketiga hipotesis di atas adalah : 7 ( n 1) s 0 Jika H 0 benar, maka statistik uji tersebut khi-kuadrat k dengan derajat tkebebasan b n-1. berdistribusi
Untuk hipotesis i H 0 : = 0 vs H 1 : 0, tolak H 0 pada tingkat keberartian α jika : 8 atau 1,( n1),( n1) Untuk hipotesis H 0 : = 0 vs H 1 : 0 H 0 pada tingkat keberartian α jika 1,( n1) Untuk hipotesis H 0 : = 0 vs H 1 : 0 H 0 pada tingkat keberartian α jika,( n 1), tolak, tolak nilai dari tabel distribusi chi-square dengan derajat kebebasan n -1
Uji Hipotesis Tentang Variansi Dua Populasi Bentuk hipotesis i nol dan tandingannya untuk uji hipotesis mengenai variansi dua populasi adalah, 1. H : vs H : 0 1 1 1. H : vs H : 0 1 1 1 3. H : vs H : 0 1 1 1 Dengan σ 1 dan σ masing-masing adalah variansi populasi ke-1 dan variansi populasi ke- 9
Statistiskti ti uji yang digunakan untuk menguji ketiga hipotesis di atas adalah, 30 F s s 1 Jika H 0 benar, statistik uji tersebut berdistribusi Fisher dengan derajat kebebasan, v 1 = n 1 1 danv = n 1 1
khi i Untuk hipotesis, tolak H 0 : 1 vs H 1 : 1 H 0 pada tingkat keberartian α jika : F f atau F f 1,( v1, v),( v1, v) Untuk hipotesis H tolak H : vs H :, 0 1 1 1 0 pada tingkat keberartian α jika : F f1,( v, v ) 1 Untuk hipotesis H 0 : 1 vs H 1 : 1, tolak H 0 pada tingkat t kb keberartian α jika : F f,( v, v ) 1 f f f f,( v, v ), 1,( v, v ), /,( v, v ),dan 1 /,( v, v ) adalah nilai-nilai 1 1 1 1 dari tabel distribusi Fisher dengan derajat kebebasan b v 1 dan v 31
Contoh 4 3 Suatu perusahaan baterai mobil menyatakan bahwa umur baterainya berdistribusi hampir normal dengan simpangan baku 0.9 tahun. Bila sampel acak 10 baterai tersebut menghasilkan simpangan baku 1. tahun, apakah anda setuju bahwa σ > 0.9 tahun? Gunakan taraf kebartian 5%!
Solusi H 0 : σ = 0.81 H 1 : σ > 0.81 α = 0.05 33 Diketahui Statistik uji simpangan baku sampel, s = 1. ( n1) s (9)(1.44) 16 0.81 0 Titik kritis adalah, n1 0.05,9 16.919 Karena 0059 0.05,9, maka H 0 tidak ditolak. Simpulkan bahwa simpangan baku umur baterai tidak melebihi 0.9
Contoh 5 Dalam pengujian keausan kedua bahan di contoh, dianggap bahwa kedua variansi yang tidak diketahui i sama besarnya. Ujilah anggapan ini! Gunakan taraf keberartian 0.10. 34
Solusi Misalkan σ 1 dan σ adalah variansi ipopulasi dari masing-masing keausan bahan 1 dan bahan. rumusan hipotesis yang akan diuji adalah H 0 : σ 1 = σ H 1 : σ 1 σ α =0.10 35
36 Statistik uji f = s 1 s / = 16 / 5 = 0.64 H 0 ditolak dengan tingkat keberartian α jika f f atau f f 1,( v1, v),( v1, v) α = 0.10, v 1 = n 1 1 = 1 1 = 11, dan v = n 1 = 10 1 = 9. Maka f f 034 0.34 dan f f 3.11 311 1,( v1, v) 0.95,(11.9),( v1, v) 0.05,(11.9) Karena f f f, maka jangan tolak H 0. 1,( v1, v),( v1, v) Simpulkan bahwa tidak cukup kenyataan untuk menyatakan bahwa variansinya berbeda.
Referensi 37 Devore, J.L. JL and Peck, R., Statistics ti ti The Exploration and Analysis of Data, USA: Duxbury Press, 1997. Pasaribu, U.S., 007, Catatan Kuliah Biostatistika. Wild, C.J. and Seber, G.A.F., Chance Encounters A first Course in Data Analysis and Inference, USA: John Wiley&Sons,Inc., 000. Walpole, Ronald E. Dan Myers, Raymond H., Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 4, Bandung: Penerbit ITB, 1995. Walpole, Ronald E. et.al., Probability & Statistics for Enginerrs & Scientists, Eight edition, New Jersey : Pearson Prentice Hall, 007.