KALKULUS I MUGA4 PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM PPDU TELKOM UNIVERSITY IV. TURUNAN
Turunan di satu titik Pendahuluan dua masalah dalam satu tema KONSEP TURUNAN a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adalah : m PQ Q - Jika, maka tali busur PQ akan berubah menjadi garis singgung di titik P dgn kemiringan m P -
b. Keepatan Sesaat Misal sebuah benda bergerak sepanjang garis koordinat sehingga posisinya setiap saat diberikan oleh s = t. Pada saat t = benda berada di dan saat t = + h benda berada di +h. Perubahan waktu Perubahan posisi +h +h s Sehingga keepatan rata-rata pada selang waktu [,+h] adalah h vrata rata h
Jika h 0, diperoleh keepatan sesaat di = : v v h0 ratarata h h0 h Misal = + h, bentuk diatas dapat dituliskan dalam bentuk v Dari dua bentuk diatas : kemiringan garis singgung dan keepatan sesaat terlihat bahwa dua masalah tersebut berada dalam satu tema, yaitu turunan Deinisi 4. : Turunan pertama ungsi di titik =, notasi dideinisikan sebagai bila it diatas ada
Notasi lain : d d, y Contoh : Diketahui tentukan. 9
. h h 0 h h 0 h 0 h 0 h 0 h h h h h h h h h h h h 0 9
Turunan kiri dari ungsi di titik, dideinisikan sebagai : TURUNAN SEPIHAK Turunan kanan dari ungsi di titik, dideinisikan sebagai : bila it ini ada. Fungsi dikatakan mempunyai turunan dierensiabel di atau jika dan Jika sebaliknya, dikatakan tidak mempunyai turunan di. _
Contoh : Diketahui,, Selidiki apakah dierensiabel di =. Jika ya, tentukan Jawab : a. b. Jadi, dierensiabel di = dan.
Teorema : Jika dierensiabel di kontinu di. Bukti : Yang perlu ditunjukkan adalah Perhatikan bahwa Maka Siat tersebut tidak berlaku sebaliknya. Artinya, jika kontinu di, maka belum tentu dierensiabel di. Hal ini, ditunjukkan oleh ontoh berikut.,...0 =. Terbukti.
Contoh Tunjukkan bahwa = kontinu di = 0 tetapi tidak dierensiabel di = 0 Jawab Akan ditunjukkan bahwa = kontinu di =0, 0, 0 0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 kontinu di = 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0. 0 0 0 Selidiki apakah terdierensialkan di = 0 0 0 Karena maka tidak dierensiabel di 0.
Contoh : Cari nilai a dan b sehingga mempunyai turunan di =.,, a b. Jawab : mempunyai turunan di = jika a. kontinu di = syarat perlu kontinu di = jika kontinu kiri dan kontinu kanan di =, atau a b a b a a b a
b. Turunan kiri = turunan kanan di syarat ukup ba a a aa a a a Maka a = dan b =
Soal Latihan. Apakah ungsi, 4, dierensiabel di =?. Apakah ungsi dierensiabel di setiap bilangan real?. Apakah ungsi dierensiabel di =?,, 4. Apakah ungsi dierensiabel di setiap bilangan real? ; a b ; 5. Cari nilai a dan b sehingga mempunyai turunan di =
ATURAN PENCARIAN TURUNAN Fungsi Turunan Pertama Deinisi Misalkan terdeinisi pada selang I. Fungsi turunan pertama dari, ditulis, dideinisikan sebagai atau jika h=t- t, t t h0 bila itnya ada. h, h Notasi lain y, dy d d,, D d y, D dy, bentuk dikenal d sebagai notasi Leibniz.
Dengan menggunakan deinisi tersebut dapat diturunkan aturan untuk menari turunan sebagai berikut :. Jika =k, maka.. 4. 5. dengan R r r d d r r ; g d g d g g d g d g g g d d g 0 g 0
Bukti ormula 4 Misalkan h = g h h h hg h g h h0 h h0 h h g h h g h g g h0 h g h g h h g h0 h h g h g h h g h0 h0 h h0 h0 h g g g g
. 6 6.Tentukan turunan pertama dari Contoh:. Tentukan turunan pertama dari 4 Jawab : 0. 6. Tentukan turunan pertama dari Jawab : 9 6 4 4 9 8 5 4 Jawab :
Soal Latihan Tentukan ungsi turunan pertama dari. /..
TURUNAN FUNGSI SINUS COSINUS a. sin os b. os sin BUKTI a. Misal = sin, maka t t os sin sin t sin t t t t t sin t os. t t 0 t os. os
b. Misal = os, maka os h h os h0 h0 ososh sinsinh 0 h h os osh sin sinh os h os sin h 0 h h os sin h sinh sin os h0 h/ 4 h h sin h/ h/ sinh sin h h sinh sin 4 h 0 h h/ 0 os.0 sin sin
Untuk turunan ungsi trigonometri yang lain dapat diperoleh dengan menerapkan rumus perhitungan turunan, khususnya turunan bentuk u/v sin tan d os d. d d os ot d sin d d. d d se d os d e. d d s d sin d. d d os sin os sin os sin sin os os sin os sin se s sin se tan os os os s sin sin ot
ATURAN RANTAI dy du Andaikan y = u dan u = g. Jika dan ada, maka dy du du d dy d du d dy d Contoh : Tentukan dari y sin Jawab : Misal u sehingga bentuk diatas menjadi Karena y sinu maka dy du osu dan du d dy os os d
Jika y = u, u = gv, v = h, dan dy d Contoh : Tentukan Jawab : Misal v dy du du dv dy d dv d 5 dari y dy du Sin du dv, dv d, ada, maka 4 dv d du sin osv os 5 dv 4 dy y u 4u 4Sin 5 du sehingga dy dy du dv.. Sin 5 Cos 5 d du dv d 5
Atau bisa dengan ara langsung, y 4. Sin 5 Cos 5. y Sin 4 5 Sin 5 Cos 5.
Soal Latihan Tentukan ungsi turunan pertama dari. y. y 7. 4. 5. y y sin os 4 4 y 6. ysintan
TURUNAN TINGKAT TINGGI Turunan ke-n didapatkan dari penurunan turunan ke-n-. n Turunan pertama Turunan kedua Turunan ketiga Turunan ke-n " " n Contoh : Tentukan dari d d d d d y n d d d n d d n y 4 sin Jawab : y os maka y 4 sin
y sin Soal Latihan A. Tentukan turunan kedua dari... 4. y y y 4 os B. Tentukan nilai sehingga " 0 bila 456 g a C. Tentukan nilai a, b dan dari b bila g = 5, g dan g 4
TURUNAN FUNGSI IMPLISIT Jika hubungan antara y dan dapat dituliskan dalam bentuk y =, maka y disebut ungsi eksplisit dari, yaitu antara peubah bebas dan tak bebasnya dituliskan dalam ruas yang berbeda. Bila tidak demikian, maka dikatakan y ungsi implisit dari. Contoh :. y y 0. sin y y Untuk menentukan turunan dari bentuk implisit digunakan aturan rantai dan anggap y ungsi dari.
Contoh: Tentukan dy/d dari bentuk implisit berikut Jawab:. y y 0. sin y y. D y y D0 D y D D y D 0 y yy y 0 y y y y y y
. Dsin y D y os y. y y yy 0 os y y y y os y y y os y os y y
Soal Latihan Tentukan turunan pertama y dari bentuk implisit... yy 0 ysin y y 0 tan y 4. sin y y
GARIS SINGGUNG DAN GARIS NORMAL Persamaan garis singgung ungsi y = di titik 0,y 0 dengan kemiringan m adalah Garis yang tegak lurus dengan garis singgung disebut dengan garis normal. Persamaan garis normal di titik 0,y 0 adalah y y y m, m y y 0 0 m 0 0.
Contoh: Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal ungsi di,6. y 6 Jawab : y 4 y,6. 4. 4 Sehingga persamaan garis singgung di titik,6 : y 6 4 y 4 Persamaan garis normal dititik,6 : y 6 y 6 4 4 y 4
Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal pada kurva y y 6 0 di titik dengan absis = Jawab : Jika disubstitusikan nilai = pada persamaan kurva diperoleh y y y y y dan y 60 0 Sehingga diperoleh titik dimana akan ditentukan persamaan garis singgung dan garis normalnya adalah, dan,- Hitung terlebih dahulu y dengan menggunakan turunan ungsi implisit D y y 6 D0 y yy y y 00 y yy y y 0 y y y y yy y y
Di titik, y,..9.. 5 5 Persamaan garis singgung y y 6 Persamaan garis normal y y 8 Di titik,- y,..4.. 0 5 Persamaan garis singgung y y 4 Persamaan garis normal y y
Soal Latihan. Diketahui kurva yang dinyatakan seara implisit y y 0y Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal di,. Diketahui kurva yang dinyatakan seara implisit sin y y Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal di,
Terima Kasih