BAB I STATISTIKA Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajar mater bab n, Anda dharapkan mampu:. membaca dan menyajkan data dalam bentuk tabel dan dagram (dagram batang, dagram gars, dagram lngkaran, dagram kotak gars, dagram batang daun, dan ogve),. membaca dan menyajkan data dalam bentuk tabel dstrbus frekuens dan hstogram,. menafsrkan kecenderungan data dalam bentuk tabel dan dagram,. menentukan ukuran pemusatan data (rataan, medan, dan modus), 5. menentukan ukuran letak data (kuartl, desl, dan persentl), 6. menentukan ukuran penyebaran data (rentang, smpangan kuartl, dan smpangan baku), 7. memerksa data yang tdak konssten dalam kelompoknya, 8. memberkan penafsran terhadap ukuran pemusatan, ukuran letak, dan ukuran penyebaran. BAB I ~ Statstka
Pengantar Sumber: www.nytmes Gambar. Orang-orang yang terkena vrus HIV Pada suatu kota sudah terjangkt vrus HIV. Untuk mengantspas semakn meluasnya bahaya tersebut, suatu Lembaga Swadaya Masyarakat (LSM) tentang HIV mencatat setap orang yang terjangkt vrus mematkan tu yang berada d kota tersebut. Setelah beberapa waktu akhrnya dperoleh catatan tentang banyaknya orang yang terkena HIV d kota tu. Untuk mencegah agar tdak semakn meluas bahaya vrus tu, LSM tersebut mengamat, mengolah dan menganalss hasl pencatatan tersebut. Setelah dlakukan penganalsaan yang cermat, LSM tersebut menympulkan bahwa penyebab awal menyebarnya vrus HIV adalah pergaulan bebas. Kegatan d atas adalah contoh sederhana dar suatu aktvtas dar statstka. Apa statstka tu? Apa pula yang dmaksud dengan statstk? Apa perbedaan antara keduanya? Untuk memaham dan menerapkan tentang dua hal tu, Anda perlu terlebh dahulu mengngat kembal konsep-konsep pada aljabar hmpunan dan logka matematka. Setelah tu slakan Anda mengkaj mater bab n, yang nantnya Anda dharapkan dapat memaham dan menerapkan statstka dalam memecahkan masalah yang muncul dalam kehdupan sehar-har. Matematka SMA/MA Kelas XI - IPA
. Populas, Sampel, dan Data Statstka Populas, sampel, dan data merupakan tga komponen pentng dalam statstka. Sebelum membahas apa art ketga hal tersebut, kta akan bedakan lebh dahulu tentang pengertan statstk dan statstka. Statstk adalah hmpunan angka-angka mengena suatu masalah, sehngga memberkan gambaran tentang masalah tersebut. Basanya hmpunan angka tersebut sudah dsusun dalam suatu tabel. Msalnya, statstk penduduk, statstk lulusan sekolah, statstk penderta HIV, dan lan sebaganya. Statstk juga dapat dartkan sebaga ukuran yang dhtung dar sekelompok data dan merupakan wakl dar data tersebut. Msalnya, rata-rata nla ulangan matematka adalah 7,5. Sebanyak 75% dar sswa kelas XI IPA hobnya sepakbola. Kematan d desa tu kebanyakan akbat demam berdarah. Dalam ketga contoh n, rata-rata, persentase dan kebanyakan termasuk ke dalam statstk. Statstka adalah metode lmah yang mempelajar pengumpulan, pengaturan, perhtungan, penggambaran dan penganalsaan data, serta penarkan kesmpulan yang vald berdasarkan penganalsaan yang dlakukan dan pembuatan keputusan yang rasonal. Aktftas pengumpulan, pengaturan, perhtungan, penggambaran dan penganalsaan data dsebut statstka deskrptf. Sedangkan aktftas penarkan kesmpulan yang vald berdasarkan penganalsaan yang dlakukan dan pembuatan keputusan yang rasonal dsebut statstka nferens. Msalkan ada seorang penelt ngn menelt tentang hob dar seluruh sswa Kelas XI IPA seluruh Indonesa. Seluruh sswa Kelas XI IPA yang akan dtelt atau keseluruhan objek peneltan n dsebut populas. Namun demkan, dengan keterbatasan dana, tenaga dan waktu tdak mungkn menelt satu-persatu sswa Kelas XI IPA se-indonesa. Penelt dengan cara tertentu cukup mengambl sebagan anggota dar populas tersebut. Sebagan anggota yang dtelt tu yang dsebut sampel. Teknk atau cara pengamblan sampel dsebut samplng. Dalam menyeldk suatu masalah selalu dperlukan data. Data dapat dartkan sebaga keterangan yang dperlukan untuk memecahkan suatu masalah. Menurut sfatnya data dbag menjad dua, yatu data kualtatf dan data kuanttatf. Data kualtatf adalah data yang berbentuk kategor atau atrbut, contohnya : Nla tukar rupah har n mengalam penguatan. Sedangkan data kuanttatf adalah data yang berbentuk blangan, contohnya: Harga ponsel tu adalah Rp.500.000,00. Namum yang akan kta pelajar dalam buku n adalah khusus data kuanttatf. Menurut cara memperolehnya, data kuanttatf dbedakan menjad dua macam, yatu data cacahan dan data ukuran. Data cacahan adalah data yang dperoleh dengan cara mencacah, memblang atau menghtung banyak objek. Sebaga contoh adalah data tentang banyak sswa suatu sekolah yang mempunya handphone (HP). Data ukuran adalah data yang dperoleh dengan cara mengukur besaran objek. Sebaga contoh adalah data tentang tngg sswa dan data tentang berat sswa suatu sekolah. Tngg sswa dperoleh dengan mengukur panjangnya, sedangkan berat dperoleh dengan menmbangnya. BAB I ~ Statstka
Lathan.. Apa yang dmaksud dengan: a. statstk dan statstka, b. data, data kualtatf dan data kuanttatf, c. data cacahan dan data ukuran.. Manakah sampel dan populas dar aktvtas-aktvtas berkut n. a. Sekolah memlh 0 sswa dar seluruh sswa untuk mengkut penyuluhan narkoba. b. Pembel tu mencoba 5 laptop dar 50 laptop yang dtawarkan. c. Dar satu truk tangk bensn, pengecer membel drgen.. Seorang penelt ngn menelt 0 orang kepala keluarga dar 57 kepala keluarga Desa Suka Rukun. Hasl peneltannya dtuangkan dalam tabel. berkut. Tabel. No. Subjek Tanggungan Keluarga (orang) Penghaslan/bulan (dalam rupah) Luas Pekarangan (dalam m ) Pekerjaan 5 6 7 8 9 0 5 500.000 750.000.00.000.000.000 650.000 800.000.500.000 750.000.00.000.500.000 00 0 50 00 50 00 50 50 00 00 buruhkasar karyawan pabrk wraswasta wraswasta buruh kasar karyawan pabrk pegawa neger karyawan kantor pegawa neger pengacara a. Dar penjelasan d atas manakah sampel dan manakah populasnya? b. Manakah yang termasuk data kualtatf dan manakah data kuanttatf? c. Manakah yang termasuk data cacahan dan data ukuran?. Menyajkan Data dalam Bentuk Tabel dan Dagram Data yang telah kta kumpulkan dar peneltan, apakah tu data cachan atau data ukuran untuk keperluan atau analss selanjutnya perlu kta sajkan dalam bentuk yang jelas dan menark. Secara umum, terdapat dua cara penyajan data yatu dengan tabel (daftar) dan dengan dagram (grafk). Untuk menyusun sekumpulan data yang urutannya belum tersusun secara teratur ke dalam bentuk yang teratur, data tu dsajkan dalam sebuah tabel. Sebuah tabel umumnya terdr dar beberapa bagan: judul tabel, judul kolom, judul bars, badan tabel, catatan dan sumber data. Kta perhatkan contoh tabel perkraan cuaca berkut. Matematka SMA/MA Kelas XI - IPA
Tabel. Perkraan Cuaca Kota-kota Besar d Indonesa Kota Cuaca Suhu ( C) Kelembaban (%) Ambon berawan 6 95 Bandung hujan 9 9 65 95 Denpasar hujan 5 7 96 Jakarta hujan 5 65 9 Jayapura hujan 60 90 Makasar hujan 66 90 Medan hujan 0 6 9 Palembang hujan 68 98 Pontanak hujan 65 96 Semarang hujan 58 9 Surabaya hujan 56 9 Yogyakarta hujan 58 9 Sumber: Seputar Indonesa, Januar 007 Dar contoh tabel.: Judul tabel : Perkraan Cuaca Kota-kota Besar d Indonesa Judul kolom : Kota, Cuaca, Suhu, dan Kelembaban Judul bars : Ambon, Bandung, Denpasar,... Badan tabel : Data cuaca (berawan, hujan), data suhu, dan data kelembaban Sumber : Seputar Indonesa, Januar 007 Dengan menyajkan data sepert tu, kta dapat dengan mudah membaca tabel tu, sebaga contoh; pada har Senn, Januar 007, d Kota Denpasar dperkrakan hujan, suhu 5, dan kelembaban 7% 96%. Contoh.. Dberkan data jumlah lulusan dar empat SMA berdasarkan jurusan dan jens kelamn, yang tertuang dalam tabel berkut. Tabel. Sekolah SMA SMA SMA SMA IPA IPS Bahasa Lak Prp Lak Prp Lak Prp 5 0 8 0 7 5 0 5 7 8 5 0 8 8 6 8 8 6 5 Jumlah 90 99 88 0 Jumlah 55 7 5 76 67 8 BAB I ~ Statstka 5
Dar tabel.: a) Berapakah jumlah lulusan dar SMA? b) Berapa persen jumlah lulusan dar SMA? c) Berapakah jumlah lulusan sswa lak-lak dar Jurusan IPA? d) Berapa persen jumlah lulusan perempuan? Penyelesaan: a) Pada bars pertama dar badan tabel, kta dapat membaca bahwa jumlah lulusan dar SMA adalah 90 sswa. b) Pada bars ketga dar badan tabel, kta membaca bahwa jumlah lulusan dar SMA adalah 88 sswa. Sedangkan pada bars terakhr dan kolom terakhr kta peroleh bahwa jumlah seluruh lulusan adalah 8 sswa, sehngga persentase lulusan dar SMA adalah 88 00% =,% 8 c) Pada kolom pertama dar badan tabel, kta baca bahwa jumlah lulusan sswa laklak dar jurusan IPA adalah 55 sswa. d) Pada kolom ke-, ke- dan ke-5 kta peroleh jumlah lulusan sswa lak-lak adalah 55 + 5 + 6 = 68 sswa, sehngga persentasenya adalah 68 00% = % 8 W D sampng dengan tabel, kelompok data juga dapat kta sajkan ke bentuk dagram atau grafk. Beberapa macam dagram yang basa dgunakan, antara lan: dagram batang, dagram lngkaran, dan dagram gars. Dengan penyajan semacam n data akan mudah dbaca, dpaham, dan dtafsrkan... Dagram Batang Dagram batang adalah dagram yang berdasarkan data kelompok atau kategor, msalnya untuk menyajkan jumlah penduduk d beberapa tempat selang waktu tertentu, jumlah sswa d beberapa daerah pada waktu tertentu, dan sebaganya. Dagram batang dapat kta buat batang vertkal ataupun batang horzontal. Langkah-langkah untuk membuat dagram batang: kta buat sumbu mendatar dan sumbu vertkal; membuat batang untuk masng-masng jens kategor dengan lebar sama dan panjang/ tnggnya dsesuakan dengan nla data atau frekuensnya, jarak antara batang yang satu dengan lannya harus sama; setap batang kta ber warna atau darsr dengan corak yang sama, kemudan dber nomor dan judul, sedangkan jka perlu d bawahnya dber keterangan tentang catatan/ sumbu data. 6 Matematka SMA/MA Kelas XI - IPA
Contoh.. Data jumlah sswa pada setap tngkat sekolah pada suatu kota pada tahun 007 dberkan oleh tabel berkut. Tabel. Tngkat Sekolah TK SD SMP SMA SMK Jumlah Sswa.500.800.00.650.050 Sajkan data d atas ke dalam dagram batang. Penyelesaan: Dagram batang dar data d atas dberkan oleh gambar. berkut n. Jumlah Sswa.000.800.600.00.00.000 800 600 00 00 0.800.500.650.00.050 PNS SD SMP SMA SMK Tngkat Sekolah Gambar. Dagram batang jumlah sswa tahun 007 W Dengan kemajuan teknolog, kta mempunya perangkat komputer untuk menggambarkan grafk dengan bak dan menark, msalnya menggunakan Mcrosoft Exel, coba kta ngat kembal pelajaran tu ketka SMP dulu. Sebaga contoh, data pada contoh.. dapat kta sajkan dagram batang dengan dmens. BAB I ~ Statstka 7
Jumlah Sswa.800.600.00.00.000 800 600 00 00 0.500.. Dagram Lngkaran.800.00.650 TK SD SMP SMA SMK Tngkat Sekolah.050 Gambar. Dagram batang D jumlah sswa tahun 007 Jka bagan dar kelompok data yang satu terkat dengan bagan yang lannya dalam satu kesatuan, maka kumpulan data tu dapat kta sajkan dalam dagram lngkaran. Msalnya, data tentang umur sswa suatu sekolah, pemakaan kendaraan menuju sekolah atau kantor, latar belakang penddkan suatu daerah, hob dar suatu kelompok sswa, dan lan sebaganya. Telah kta ketahu bahwa besar sudut satu kellng lngkaran adalah 60, dan luas jurng lngkaran sebandng dengan sudut pusatnya. Cara membuat dagram lngkaran adalah lngkaran dbag menjad beberapa jurng lngkaran yang luasnya proporsonal terhadap setap banyaknya data untuk setap bagan. Persamaan n akan sangat membantu kta, sudut pusat jurng banyak data dwakl jurng = 60 total data seluruhnya Contoh.. Msalkan berkut n adalah data hob dar.00 sswa dar SMA Angkasa, Tabel.5 Hob Jumlah Sswa Sepak bola 00 Bola basket 50 Bola vol 00 Bulu tangks 50 Karate 00 Lan-lan 00 Jumlah.00 (.) Sajkan data d atas ke dalam dagram lngkaran dan tafsrkan. Penyelesaan: Karena luas jurng lngkaran sebandng dengan sudut pusatnya, maka perlu kta tentukan besarnya sudut pusat untuk setap kategor. Dengan persamaan (.) kta peroleh sudut pusat untuk kategor. 8 Matematka SMA/MA Kelas XI - IPA
00 Sepakbola 60 = 90.00 50 Bola Basket 60 = 5.00 50 Bulu tangks 60 = 75.00 00 Karate 60 = 0.00 00 Bola Volly 60 = 60.00 00 Lan-lan 60 = 60.00 Dengan hasl n kta dapat menggambarkan dagram lngkarannya, Lan-lan Sepak bola 6,7% 5% Karate 8,% Bola basket Bulu tangks,5% 0,8% 6,7% Bola vol Gambar. Dagram lngkaran hob sswa SMA Angkasa Dar dagram lngkaran n kta dapat menympulkan bahwa sswa yang mempunya hob sepak bola palng banyak dbandngkan dengan cabang olahraga lannya. Sedangkan cabang olahraga karate adalah olahraga yang sedkt pemnatnya. W.. Dagram Gars Dagram gars adalah salah satu cara untuk menyajkan data. Dengan dagram gars kta akan lebh mudah membaca data tersebut. Basanya dagram gars dgunakan untuk menyajkan kumpulan data yang dperoleh dar pengamatan dar waktu ke waktu yang berurutan. dgambarkan berdasarkan data waktu. Contoh.. Dalam enam bulan pertama tahun 007, pemakaan daya lstrk dar koperas Sabar Jaya sepert tertuang pada tabel berkut. Tabel.6 Bulan Pemakaan (Kwh) Januar 8 Februar 9 Maret 6 Aprl 70 Me 80 Jun 8 Sajkan data d atas ke dalam dagram gars dan kemudan tafsrkan. BAB I ~ Statstka 9
Penyelesaan: Data d atas dapat dsajkan dengan dagram gars sepert berkut. 50 Pemakaan (kwh) 00 50 00 50 8 9 6 70 80 8 0 Januar Februar Maret Aprl Me Jun Bulan Gambar.5 Dagram gars pemakaan lstrk koperas Sabar Jaya Dar dagram gars d atas dapat dbaca dan dtafsrkan, msalkan: Pada bulan Januar Februar pemakaan lstrk bertambah dengan kemrngan garsnya postf. Pada bulan Februar Maret pemakaan lstrk menurun dengan kemrngan garsnya negatf. Dar bulan Maret Jun pemakaan lstrk semakn menngkat dengan kemrngan garsnya postf untuk setap bulannya, meskpun kemrngan n mash lebh kecl dbandngkan dengan perode bulan Januar Februar. W Dagram gars dapat pula dgunakan untuk mempredks suatu nla yang belum dketahu. Terdapat dua pendekatan untuk mempredks nla yang belum dketahu n, yatu dengan nterpolas lnear dan ekstrapolas lnear. Pendekatan nterpolas lnear adalah mempredks suatu nla data yang berada d antara dua ttk yang berdekatan. Sebaga contoh, pada dagram gars Gambar., kta dapat mempredks pemakaan lstrk Koperas Sabar Jaya pada pertengahan bulan Februar 007. Pendekatan ekstrapolas lnear adalah mempredks suatu nla data yang terletak sesudah ttk data terakhr yang dketahu. Hal n dapat kta lakukan dengan cara memperpanjang gars ke arah kanan atas atau ke kanan bawah tergantung kepada kecenderungan nla-nla sebelumnya. Sebaga contoh, dapat dpredks berapa banyak pemakaan lstrk Koperas Sabar Jaya pada bulan Jul, Agustus dan seterusnya. Tugas Kelompok Kerjakan secara berkelompok. Carlah data yang berhubungan dengan tabel, dagram batang, dagram lngkaran dan dagram gars dar koran, majalah atau nternet. Kemudan kumpulkan dalam bentuk klpng lengkap dengan judul, keterangan, sumber nformas. Dskuskan pada kelompok Anda dan berkan penafsran dar setap data yang Anda peroleh. 0 Matematka SMA/MA Kelas XI - IPA
Lathan. Untuk soal no. - buatlah dagram batang dan dagram lngkaran dar data yang dberkan, kemudan tafsrkan.. Hasl penjualan toko elektronk dar merek tertentu (dcatat dalam unt) selama tahun 007 adalah: Tabel.7 Jens Barang Jumlah Pompa ar 0 Almar es Televs 8 Kpas angn 5 Seterka lstrk 0 VCD 5. Hasl panen dar desa Tan Makmur selama setahun dberkan oleh tabel berkut. Tabel.8 Jens Jumlah Panen (kuntal) Pad.500 Jagung.50 Ub.70 Kedela.650 Kacang tanah.800 Semangka.000 Untuk soal no. - buatlah dagram gars dar data yang dberkan.. Hasl penjualan toko sepeda motor dar merek tertentu (dcatat dalam unt) selama enam tahun terakhr adalah: Tabel.9 Tahun Jumlah 000 00 00 00 00 005 5 8 8 0 70 BAB I ~ Statstka
. Data berkut adalah data hasl pemerksaan suhu tubuh pasen selama dua puluh empat jam. Tabel.0 Jam Suhu (dalam C) 06.00 7 09.00 9.00 6 5.00 0 8.00.00 7.00 6 0.00 5 5. Berkut n data perkembangan harga jagung mpor Indonesa dar Amerka Serkat selama 8 bulan pada tahun 007. Tabel. Bulan Harga (dolar AS/ton) Januar 0 Februar 7 Maret 5 Aprl 7 Me 6 Jun 5 Jul 0 Agustus 0 Sumber: Kompas, 8 November 007 Pertanyaan: a) Dengan bantuan komputer, buatlah dagram gars dar tabel d atas. b) Tafsrkan dar grafk yang telah Anda buat. c) Predkskan harga mpor jagung pada bulan September dan Oktober, ber alasan Anda.. Menyajkan Data dalam Tabel Dstrbus Frekuens Serngkal kta menjumpa sekumpulan data amatan dalam jumlah atau ukuran yang besar untuk danalss. Ukuran data yang besar n dapat kta sederhanakan dengan cara menentukan banyak nla amatan yang sama, atau banyak nla amatan yang terletak pada nterval tertentu. Banyak nla amatan yang sama atau banyak nla amatan yang terletak pada nterval tertentu tu dsebut frekuens. Matematka SMA/MA Kelas XI - IPA
Tabel yang memuat nla amatan atau nla amatan yang terletak pada nterval tertentu bersama-sama frekuensnya dsebut sebaga tabel dstrbus frekuens. Sebaga konsekuens dua macam amatan n, maka kta mempunya dua macam tabel dstrbus frekuens tunggal dan tabel dstrbus frekuens terkelompok. Dengan menggunakan tabel dstrbus frekuens, data akan lebh mudah dgunakan untuk keperluan perhtungan statstk... Tabel Dstrbus Frekuens Tunggal Untuk memaham cara membuat tabel n, kta perhatkan hasl ujan semester mata pelajaran Matematka dar 0 sswa: 80 0 50 70 70 70 0 80 90 50 80 90 70 70 60 60 60 70 50 60 60 60 70 60 60 80 80 80 60 70 Kumpulan data n secara langsung tdak begtu bermanfaat bag penafsran perstwa-perstwa yang bersfat kuanttatf, msalnya kta kesultan mengetahu dengan cepat berapa banyak sswa yang memperoleh nla d atas 80. Alternatf lan agar kumpulan data d atas mudah dtafsrkan adalah dengan menyusun secara urut mula dar nla data terkecl (0) hngga nla data terbesar (90). Namun cara npun tdak begtu efektf, karena kta mash kesultan untuk mengetahu dengan cepat berapa jumlah sswa yang memperoleh nla d antara 50 hngga 90. Dar kumpulan data d atas, kta dapat membaca bahwa: sswa mendapat nla 0 sswa mendapat nla 0 sswa mendapat nla 50 9 sswa mendapat nla 60 8 sswa mendapat nla 70 6 sswa mendapat nla 80 sswa mendapat nla 90 Keterangan-keterangan n tentu saja akan lebh prakts apabla kta sajkan sepert dalam tabel berkut n. Tabel. Nla Ujan (x ) Turus Banyaknya Sswa/Frekuens (f ) 0 0 50 60 70 80 90 9 8 6 BAB I ~ Statstka
Tabel. sepert n selanjutnya dsebut tabel dstrbus frekuens tunggal. Dengan tabel n kta dengan cepat mengetahu berapa banyak sswa yang memperoleh nla 0, sswa yang memperoleh nla 0,, dan seterusnya... Tabel Dstrbus Frekuens Terkelompok Jka kta dhadapkan pada kelompok data amatan yang sangat besar, maka pembuatan tabel dstrbus frekuens tunggal juga kurang efektf. Untuk kasus demkan n akan lebh bak apabla kumpulan data tersebut kta kelompokkan ke dalam beberapa kelas nterval lebh dahulu, baru dtentukan frekuensnya. Bentuk umum tabel dstrbus frekuens terkelompok adalah: Tabel. Nla Data Ttk Tengah (x ) Frekuens (f ) a b c d e f g h j x x x x x 5 f f f f f 5 f Beberapa stlah yang berkatan dengan tabel dstrbus frekuens: Interval-nterval pada kolom pertama dar Tabel. dsebut kelas nterval. Tabel. mempunya 5 kelas nterval, sebaga contoh, c d dsebut kelas nterval ke-. Penentuan jumlah kelas hendaknya jangan terlalu besar dan jangan terlalu kecl. Jka data amatan berukuran n, dan jumlah kelas adalah k, maka Sturges menyarankan hubungan dua blangan n, k +, log n Blangan a, c, e, g,dan masng-masng dsebut batas bawah kelas, sedangkan blangan b, d, f, h, dan j masng-masng dsebut batas atas kelas. Tep bawah adalah batas bawah dkurang dengan keteltan data yang dgunakan. Tep atas adalah batas atas dtambah dengan keteltan pengukuran. Jka data dukur dengan keteltan sampa satuan terdekat, maka keteltan pengukuran adalah 0,5, sehngga: tep bawah = batas bawah 0,5 tep atas = batas atas + 0,5 Tep bawah serng dsebut batas bawah nyata dan tep atas dsebut batas atas nyata. Matematka SMA/MA Kelas XI - IPA
Nla tengah adalah nla yang terletak dtengah-tengah antara batas bawah dan batas atas kelas nterval, sehngga nlanya sama dengan ½(batas bawah +batas atas). Sebaga contoh, nla tengah kelas nterval ke- dar Tabel. adalah x dengan x = ( c+ d). Panjang kelas atau lebar kelas ddefnskan sebaga selsh antara tep atas dengan tep bawah, yatu : panjang kelas = tep atas tep bawah. Jka panjang kelas adalah p dan jumlah kelas, maka akan memenuh persamaan nla data terbesar p= k nla data terkecl Dengan memperhatkan komponen-komponen penyusunan tabel dstrbus d atas, maka langkah-langkah membuat tabel dstrbus frekuens adalah : ) Tentukan nla data terkecl dan nla data terbesar, ) Tentukan jumlah, ) Tentukan panjang kelas, ) Tentukan kelas-kelas nterval dan ttk tengahnya, 5) Tentukan frekuens tap kelas dengan sstem turus, kemudan susunlah tabel dstrbus frekuens terkelompok sepert tabel.. Contoh.. Msalkan dberkan 80 data amatan dar pengukuran dameter ppa (dalam mm): 70 7 9 90 86 65 9 8 76 79 8 68 67 85 57 68 98 9 5 78 99 78 70 86 87 79 6 80 7 7 98 8 75 7 9 7 88 9 7 7 89 90 76 80 88 56 70 77 97 6 95 867 79 8 8 97 6 6 80 8 775 70 90 66 60 88 5 9 80 7 60 88 Buatlah tabel dstrbus frekuens dar kelompok data n. Penyelesaan: ) Nla data terkecl adalah 5 sedangkan nla data terbesar adalah 99, ) Menentukan jumlah kelas nterval Ukuran data adalah n = 80, k +,logn = +,log80= +,(,9) = 7, 7 Jumlah kelas yang dgunakan 7 atau 8, sebaga contoh kta ambl k = 7. ) Menentukan panjang kelas nla data terbesar nla data terkecl 99 5 p= = = 9, k 7 Panjang kelas dapat kta ambl 9 atau 0. Sebaga contoh, kta plh p = 0. ) Menentukan kelas-kelas nterval dan ttk tengah Karena nla data terkecl adalah 5, maka 5 kta tetapkan sebaga batas bawah kelas nterval pertama (tdak harus demkan). Dengan panjang kelas 0, maka dperoleh kelas-kelas nterval beserta ttk tengahnya sepert pada tabel.. BAB I ~ Statstka 5
Tabel. Kelas Interval 5 5 5 55 6 65 7 75 8 85 9 95 0 Ttk Tengah 9,5 9,5 59,5 69,5 79,5 89,5 99,5 5) Memasukkan frekuens dengan sstem turus Kta masukkan setap nla data ke kelas nterval yang sesua dengan sstem turus. Tabel.5 Kelas Interval 5 5 5 55 6 65 7 75 8 85 9 Turus Frekuens 7 0 95 0 Jumlah 80 Dengan demkan kta peroleh tabel dstrbus secara lengkap, Tabel.6 Kelas Interval 5 5 5 55 6 65 7 75 8 85 9 Ttk Tengah 9,5 9,5 59,5 69,5 79,5 89,5 Frekuens 7 0 95 0 99,5 Jumlah 80 6 Matematka SMA/MA Kelas XI - IPA
.. Tabel Dstrbus Frekuens Kumulatf Dengan tabel dstrbus frekuens terkelompok selanjutnya kta dapat menyusun tabel dstrbus frekuens kumulatf. Terdapat dua macam tabel dstrbus frekuens kumulatf, yatu tabel dstrbus frekuens kumulatf kurang dar dan tabel dstrbus frekuens kumulatf lebh dar. Frekuens kumulatf kurang dar ( f k kurang dar) ddefnskan sebaga jumlah frekuens semua nla amatan yang kurang dar atau sama dengan nla tep atas pada setap kelas nterval, dan dnotaskan dengan fk. Frekuens kumulatf lebh dar ( f k lebh dar) ddefnskan sebaga jumlah frekuens semua nla amatan yang lebh dar atau sama dengan nla tep bawah pada setap kelas nterval, dan dnotaskan dengan fk. Sebaga lustras, dar tabel dstrbus frekuens terkelompok pada tabel.6 kta dapat menyusun tabel dstrbus kumulatfnya. Dengan menghapus kolom ttk tengah dar tabel.6 dan menggantnya dengan kolom tep bawah dan tep atas kta peroleh tabel.7. Karena keteltan pengukuran data sampa satuan terdekat, maka tep bawah = batas bawah 0,5 dan tep atas = batas atas + 0,5. Tabel.7 Kelas Interval Frekuens Tep Bawah Tep Atas 5 5 5 55 6 65 7 75 8 85 9 7 0,5,5 5,5 6,5 7,5 8,5,5 5,5 6,5 7,5 8,5 9,5 95 0 9,5 0,5 Selanjutnya dar tabel.7 kta memperoleh tabel dstrbus kumulatf kurang dar dan tabel dstrbus kumulatf lebh dar berkut n. Hasl Pengukuran (dalam mm) Tabel.8-a Tabel.8-b Frekuens Kumulatf f k Hasl Pengukuran (dalam mm) Frekuens Kumulatf f k,5 5,5 6,5 7,5 8,5 9,5 6 6 57 77,5,5 5,5 6,5 7,5 8,5 80 77 7 67 0,5 80 9,5 BAB I ~ Statstka 7
Dengan tabel dstrbus kumulatf kurang dar pada tabel.8-a, kta dapat membaca sebaga berkut. - Ada nla pengukuran yang mempunya nla,5 atau kurang. - Ada 6 nla pengukuran yang mempunya nla 5,5 atau kurang. - Ada nla pengukuran yang mempunya nla 6,5 atau kurang,... dan seterusnya. Demkan pula, dengan tabel dstrbus kumulatf lebh dar pada tabel.8- b, kta dapat membaca sebaga berkut. - Ada 80 nla pengukuran yang mempunya nla,5 atau lebh. - Ada 77 nla pengukuran yang mempunya nla,5 atau lebh. - Ada 7 nla pengukuran yang mempunya nla 5,5 atau lebh,... dan seterusnya. D sampng frekuens kumulatf mutlak sepert d atas, kta kadang-kadang perlu menghtung nla frekuens kumulatf relatf dar suatu nla amatan yang kurang dar atau lebh terhadap suatu batas nla tertentu. Frekuens kumulatf relatf dnyatakan dengan persen (%), dengan rumus berkut. frekuens kumulatf Frekuens kumulatf relatf = 00% ukuran data Sebaga contoh: - frekuens kumulatf relatf kurang dar 5,5 adalah 6 00% 7, 5% 80 =, - frekuens kumulatf relatf kurang dar 6,5 adalah 00% 6,5% 80 =, - frekuens kumulatf relatf lebh dar 7,5 adalah 00% 55% 80 =, - frekuens kumulatf relatf lebh dar 8,5 adalah 00% 8,75% 80 =. Makna dar persentase d atas adalah bahwa: - 7,5% nla pengukuran letaknya d bawah nla 5,5, - 6,5% nla pengukuran letaknya d bawah nla 5,5, - 55% nla pengukuran letaknya d atas 7,5, - 8,75% nla pengukuran letaknya d atas 8,5... Hstogram dan Ogve Pada bagan awal kta dapat menyajkan suatu kumpulan data statstk dapat dnyatakan dalam bentuk gambar dagram dagram batang, dagram lngkaran dan dagram gars atau dalam bentuk tabel. Kumpulan data statstk yang telah danalss dan dsajkan dalam tabel dstrbus frekuens atau tabel dstrbus frekuens kumulatf dapat pula kta sajkan dalam bentuk dagram. 8 Matematka SMA/MA Kelas XI - IPA
Gambar dagram dar tabel dstrbus frekuens dsebut hstogram, yang dapat lanjutkan ke gambar polgon frekuens. Sedangkan dagram dar tabel dstrbus frekuens kumulatf dsebut ogve. v Hstogram Hstogram adalah salah satu cara untuk menyajkan data statstk dalam bentuk gambar. Hstogram serng dsebut sebaga grafk frekuens yang bertangga, yang terdr dar serangkaan peseg panjang yang mempunya alas sepanjang nterval antara kedua tep kelas ntervalnya dan mempunya luas yang sebandng dengan frekuens yang terdapat dalam kelas-kelas nterval yang bersangkutan. Bedakan n dengan dagram batang. Dengan hstogram yang bak dan benar, kta dengan mudah dapat membaca data statstk. Cara menggambarnya, antara perseg panjang yang berdekatan bermpt pada satu ss. Sebaga contoh, kta perhatkan kembal tabel dstrbus frekuens tunggal pada tabel.. Tabel n dapat kta sajkan dengan hstogram sepert d bawah n. 0 8 Frekuens 6 0 0 50 60 70 80 90 Nla Gambar.6 Hstogram nla ujan Agar dperhatkan d sn, bahwa setap perseg panjang pada suatu hstogram mewakl kelas tertentu, dengan pengertan: - lebar perseg panjang menyatakan panjang kelas, - tngg perseg panjang menyatakan frekuens kelas dan dgambarkan secara vertkal. Oleh karena tu, jka setap kelas mempunya panjang yang sama, maka luas setap perseg panjang tu berbandng lurus dengan frekuensnya. Selanjutnya, jka setap ttk tengah dar bagan ss atas perseg panjang pada hstogram tu dhubungkan, maka kta peroleh dagram gars. Dagram gars semacam n dsebut polgon frekuens. BAB I ~ Statstka 9
Jka ttk-ttk tengah dar ss atas perseg panjang dhubungkan, terjadlah polgon frekuens, sepert yang terlhat pada gambar.7. Frekuens 0 8 6 hstogram polgon frekuens 0 0 50 60 70 80 90 Nla Gambar.7 Polgon frekuens nla ujan v Ogve (Ozav) Telah dsebutkan bahwa tabel dstrbus frekuens kumulatf dapat dgambarkan dagramnya berupa ogve. Karena tabel dstrbus frekuens kumulatf ada dua macam, yatu tabel dstrbus frekuens kumulatf kurang dar dan tabel dstrbus frekuens kumulatf lebh dar, sebaga konsekuensnya kta mempunya dua macam ogve, yatu ogve postf dan ogve negatf. Cara adalah dengan menempatkan nla-nla tep kelas pada sumbu mendatar dan nla-nla frekuens kumulatf pada sumbu tegak. Ttk-ttk yang dperoleh (pasangan nla tep kelas dengan nla frekuens kumulatf) dhubungkan dengan gars lurus, maka dperoleh dagram gars yang dsebut polgon frekuens kumulatf. Kurva frekuens kumlatf nlah yang dsebut ogve. Sebaga contoh, kta perhatkan kembal tabel dstrbus frekuens kumulatf kurang dar dan tabel dstrbus frekuens kumulatf lebh dar pada tabel.8. Kurva frekuens kumulatf untuk tabel dstrbus frekuens kumulatf kurang dar dperlhatkan pada gambar.8-a, kurva n dsebut ogve postf. Sedangkan kurva frekuens kumulatf untuk tabel dstrbus frekuens kumulatf lebh dar dperlhatkan pada Gambar.8-b, dan kurva n dsebut ogve negatf. Frekuens Kumulatf 90 80 70 60 50 0 0 0 0 0 6 57 77 80 6,5 5,5 6,5 7,5 8,5 9,5 0,5 Frekuens Kumulatf 90 80 70 60 50 0 0 0 0 0 80 77 7 67,5,5 5,5 6,5 7,5 8,5 9,5 Gambar.8 Ogve nla hasl ujan 0 Matematka SMA/MA Kelas XI - IPA
Lathan.. Dar 0 orang sswa yang mengkut ulangan sejarah dperoleh nla sebaga berkut. 8 8 60 60 8 67 8 75 775 767 87 90 75 8 8 90 8 90 Dar kumpulan data n, a. Tentukan tabel dstrbus frekuens tunggalnya. b. Berapa persen sswa yang memlk nla : () 70 atau kurang() 80 atau kurang c. Berapa persen sswa yang memlk nla () 75 atau lebh () 85 atau lebh. Data tngg badan (dalam cm) pada suatu RT dberkan oleh data berkut. Tabel.9 Tngg Badan Banyak Orang 60,0 6,0 8 6, 6, 6, 66, 5 66, 68, 68, 70, 0 70,5 7,5 6 Jumlah 60 Berdasarkan tabel.9 n, a. Berapa persen warga yang mempunya tngg badan terletak pada kelas nterval ke-? b. Berapa banyak warga yang mempunya tngg badan kurang dar 66, cm? c. Berapa banyak warga yang mempunya tngg badan palng kecl 6, cm? d. Berapa persen warga yang mempunya tngg badan kurang dar 68, cm? e. Berapa persen warga yang mempunya tngg badan palng kecl 66, cm?. Dketahu data terkelompok: Nla 55 59 60 6 65 69 70 7 75 79 80 8 Tabel.0 Frekuens 8 5 9 9 5 BAB I ~ Statstka
Berdasarkan tabel.0 n, a. Sebutkan jumlah kelas nterval dan sebutkan kelas-kelas nterval tu. b. Tentukan batas bawah dan batas atas untuk setap kelas nterval. c. Tentukan tep bawah dan tep atas untuk masng-masng kelas nterval. d. Tentukan panjang kelas dan ttk tengah untuk setap kelas nterval. e. Tentukan frekuens dan frekuens relatf untuk setap kelas nterval. f. Tentukan kelas nterval yang mempunya frekuens terbesar dan kelas nterval yang mempunya frekuens terkecl.. Dberkan kumpulan data hasl pengukuran (dalam mm) dameter ppa : 80 766 78 66 7 75 69 7 7 7 7 7 77 70 70 75 7 79 80 60 7 777 7 77 79 79 7 7 7 7 76 7670 67 68 75 Dengan kumpulan data n : a. Urutkan kumpulan data d atas mula dar nla data terkecl hngga nla data terbesar. b. Buatlah tabel dstrbus frekuens dengan panjang kelas nterval mm. c. Dar tabel jawaban b, buatlah tabel dstrbus frekuens kumulatf : () kurang dar () lebh dar. d. Tentukan frekuens kumulatf relatf kurang dar : () 70 () 76 e. Tentukan frekuens kumulatf relatf lebh dar : () 6 () 7 5. Dketahu kumpulan data terkelompok: Tabel. Nla 6 7 5 5 56 57 6 6 66 67 7 7 76 Frekuens Dar tabel. n, a. Buatlah tabel dstrbus frekuens kumulatf kurang dar dan tabel dstrbus frekuens kumulatf lebh dar. b. Gambarkan hstogram dan polgon frekuensnya. c. Gambarkan ogvenya. 5 5 5 8. Ukuran Pemusatan (Tendens Sentral) Msalkan dberkan data umur dar 0 sswa calon paskbraka 8 6 5 5 7 6 6 7 8 8 Matematka SMA/MA Kelas XI - IPA
Dar kumpulan data mentah d atas, kta belum dapat menafsrkan atau menympulkan apa-apa tentang nla-nla data tu. Terdapat tga nla statstk yang dapat dpaka untuk menjelaskan tentang kumpulan data tersebut, yatu rataan, medan dan modus. Ketga nla n adalah parameter yang dapat dgunakan untuk menafsrkan suatu gejala pemusatan nla-nla dar kumpulan data yang damat. Karena alasan nlah, maka ketga nla statstk n selanjutnya dsebut sebaga ukuran pemusatan atau ukuran tendens sentral... Rataan (Mean) Nla rataan adalah salah satu ukuran yang memberkan gambaran yang lebh jelas dan sngkat tentang sekelompok data mengena suatu masalah, bak tentang sampel atau populas. Rataan yang dperoleh dar hasl pengukuran sampel dsebut statstk, sedangkan rataan yang dperoleh dar populas dsebut parameter. Rataan dbedakan menjad rataan htung, rataan ukur dan rataan harmons. Notas x (dbaca : x bar) adalah smbol untuk rataan sampel, sedangkan μ (dbaca : mu) adalah notas rataan untuk populas. Namun yang akan kta pelajar d dalam buku n hanyalah rataan htung dar sampel. a. Rataan atau Rataan Htung Rataan atau rataan htung dar suatu kumpulan data dberkan sebaga perbandngan jumlah semua nla data dengan banyak nla data. Jad, Rataan = jumlah semua nla data yang damat banyak data yang dambl Untuk data umur dar 0 sswa calon paskbraka d atas, dperoleh 8 + 6 + 5 + 5 + 7 + 6 + 6 + 7 + 8 + 8 66 rataan = = = 6,6 0 0 Secara umum, untuk kumpulan dar n data, x, x, x, K, xn, rataan dberkan oleh rumus x x+ x + x + L + x x n = = = n n n (.) dengan: x x n = menyatakan rataan dar kumpulan data = nla data amatan ke- = banyak data yang damat, atau ukuran data Notas (dbaca: sgma) menyatakan penjumlahan suku-suku. Contoh.. Htunglah rataan dar kumpulan data berkut. 9, 0,, 9, 8,, 9, BAB I ~ Statstka
Penyelesaan: Banyak data yang damat adalah n = 8. Dengan menggunakan rumus (.), x + x + x + L+ x x = n n 9+ 0+ + 9+ 8+ + 9+ 80 = = = 0 8 8 Jad, rataan dar kumpulan data d atas adalah x = 0. = W Contoh.. Rataan nla ujan matematka dar suatu kelas adalah 6,9. Jka dua sswa baru yang nlanya dan 6 dgabungkan dengan kelompok tersebut, maka rataannya menjad 6,8. Berapa banyaknya sswa kelas semula? Penyelesaan: Msalkan banyak sswa kelas semula adalah n, sehngga kta peroleh n x = = 6,9 n n x = = 6,9n Smbol dbaca jka dan hanya jka. Setelah nla dua sswa baru dgabungkan, maka jumlah sswa sekarang adalah n + dengan nla rataan 6,8. Dalam hal n kta mempunya persamaan n x + + 6 = 6,8 n+ = n = x + 0 = 6,8( n+ ) n x + 0 = 6,8n+,6 = 6,9n+ 0 = 6,8n+,6 (subttus 6,9n 6,8n=,6 0 0,n =,6 n x = 6,9n) = n =,6 = 6 0 Jad, banyaknya sswa semula adalah 6. W Kta perhatkan kembal data umur dar 0 sswa calon paskbraka 8 6 5 5 7 6 6 7 8 8 Nla rataan dar kumpulan data n adalah: 8 + 6 + 5 + 5 + 7 + 6 + 6 + 7 + 8 + 8 66 x = = = 6,6 0 0 Matematka SMA/MA Kelas XI - IPA
Bagan pemblang pada perhtungan d atas dapat kta tulskan dengan 5+ 6+ 7+ 8= 66 Formula n adalah penjumlahan dar perkalan frekuens dengan nla data. Perhatkan tabel.. Tabel. Nla (x ) 5 6 7 8 Banyak Sswa/Frekuens (f ) f x 0 8 5 f = n= 0 f x = 66 Oleh karena tu, rataan dar suatu tabel dstrbus frekuens (tunggal atau terkelompok) dapat dtentukan menggunakan rumus: x n fx = = n f = (.) dengan f menyatakan frekuens untuk nla x. Contoh.. Htunglah nla rataan dar data berkut. Tabel. Nla Ujan (x ) Frekuens (f ) 5 8 6 7 7 7 85 9 6 BAB I ~ Statstka 5
Penyelesaan: Kta lengkap dahulu tabel dstrbus frekuens d atas. Tabel. Nla Ujan (x ) 5 6 7 85 9 Frekuens (f ) f x 8 7.07 7.8.70 6 560 f = n= 0 f x = 8.9 Dengan menggunakan rumus (.) kta peroleh, n xf = 89 x = = = 7,9 n f 0 = Jad, nla rataan data d atas adalah x = 7,9. W Menghtung Rataan dengan Rataan Sementara Terdapat cara lan yang lebh efektf untuk menghtung rataan untuk data terkelompok, yatu dengan memlh rataan sementara. Dengan cara n kta tdak perlu menghtung nla f x yang pada umumnya nlanya besar. Rataan sementara yang dplh adalah ttk tengah dar sembarang kelas nterval. Msalkan x s adalah rataan sementara yang dplh, dan d adalah smpangan dar setap nla ttk tengah terhadap x s, yatu d = x xs. Rataan sebenarnya kta peroleh dengan menjumlahkan rataan sementara dengan smpangan rataan. x fd = xs + f (.) Contoh.. Tentukan rataan dengan rataan sementara dar data berkut n. Tabel.5 Nla Frekuens (f ) 0 5 9 0 0 5 9 6 50 5 8 6 Matematka SMA/MA Kelas XI - IPA
Penyelesaan: Jka kta ambl rataan sementara x s =, maka dar data d atas dperoleh Tabel.6 Nla Ttk Tengah (x ) Frekuens (f ) Smpangan (d ) f d 0 5 9 0 5 9 50 5 7 7 5 0 6 8 0 5 0 5 0 0 0 0 80 80 f = 0 f d = 0 Dalam hal n d = = 0, d = 7 5 =, d = 0 =, dan seterusnya. Dengan demkan, fd 0 x= xs + = + =5 f 0 W.. Modus Msalkan kta mempunya kumpulan data: 5 6 8 0 maka nla data mempunya frekuens dan mempunya frekuens, sedangkan frekuens yang lannya. Karena mempunya frekuens tertngg maka dalam statstk data dsebut modus dar kumpulan data d atas. Jad, modus (dsmbolkan dengan Mo) ddefnskan sebaga angka statstk yang mempunya frekuens tertngg. Contoh..5 Tentukan modus dar data ulangan matematka berkut. a) Kumpulan data :,, 7,, 8, 6,, 9 tdak mempunya modus, karena tdak satupun data yang mempunya frekuens tertngg. b) Kumpulan data :, 0, 5, 5,, 7, 6 mempunya modus dan 5. W Dar uraan dan contoh d atas kta dapat menympulkan bahwa terdapat data statstk yang tdak mempunya modus, ada yang mempunya satu modus, dan ada yang mempunya lebh dar satu modus. Untuk data terkelompok, nla modus dtentukan oleh rumus berkut. Mo = Bb + p (.5) b + b b BAB I ~ Statstka 7
dengan: Bb = tep bawah kelas nterval yang mempunya frekuens tertngg b b p = selsh frekuens tertngg dengan frekuens sebelumnya = selsh frekuens tertngg dengan frekuens sesudahnya = panjang kelas nterval Contoh..6 Tentukan modus dar data terkelompok berkut. Tabel.7 Penyelesaan: Dar kumpulan data d atas kta peroleh Bb = 56 0.5 = 55,5, b = 0 0= 0, b = 0 = 7 dan p = 7. Dengan rumus (.5) kta peroleh modusnya, b 0 Mo= Bb+ p = 55, 5 + 7 59,6 b b = + 0 + 7.. Medan Kelas Interval Frekuens (f ) 8 9 55 0 56 6 0 6 69 70 76 Medan adalah data yang terletak d tengah setelah data tu dsusun menurut urutan nlanya sehngga membag dua sama besar. Notas untuk ukuran pemusatan n adalah Me. Nla Me serng dpaka untuk menjelaskan kecenderungan pemusatan data apabla pada data tersebut dtemukan nla-nla yang ekstrm, sehngga tdak cukup djelaskan melalu nla rataannya saja. Jka banyak data ganjl, maka Me merupakan nla data yang terletak dtengahtengah. Msalkan untuk data yang sudah terurut,, 5, 8,,, 0, Me adalah 8. Jka banyak data genap, maka setelah data durutkan, Me dambl sebaga rataan dar dua data tengah. Msalkan untuk data yang sudah terurut,,, 5, 5, 6, 7, 8, maka 5+ 5 Me = = 5 W 8 Matematka SMA/MA Kelas XI - IPA
Secara umum, jka kta mempunya n data yang sudah terurut dar yang terkecl hngga yang terbesar, x, x, K, xn maka medan dar kumpulan data tu dtentukan dengan cara berkut. a. Jka n adalah blangan ganjl, maka medan adalah nla data n + ke-, dtuls Me = x n+. b. Jka n adalah blangan genap, maka Me adalah rataan dar nla n n data ke- dan nla data ke- +, dtuls Me = x n+ + xn + (.6) Contoh..7 Data penjualan suatu toko hand phone dalam dua mnggu berturut-turut adalah: (a) Mnggu pertama : 0, 8,, 9, 9,, 8, 0,. (b) Mnggu kedua : 0,, 9,,,,, 0, 9,, 8, 0. Berapakah medan kumpulan data d atas dar setap mnggunya? Penyelesaan: (a) Ukuran kumpulan data mnggu pertama adalah n = 9 ganjl, dan setelah durutkan menjad, 8, 8, 9, 9, 0, 0,,. Oleh karena tu, Me = xn+ = x5 = 9. (b) Ukuran kumpulan data mnggu kedua adalah n = genap, dan setelah durutkan menjad,,, 8, 9, 9, 0, 0,,,, 0. Jad, Me = x + x = ( x + x ) = ( 9+ 0) = 9,5. n n 6 7 + Untuk data terkelompok, medan dapat kta htung dengan rumus: W = + n F Me Bb p f m (.7) dengan: Bb = tep bawah kelas nterval yang memuat Me f m F p = frekuens kelas nterval yang memuat Me = frekuens kumulatf sebelum kelas nterval yang memuat Me = panjang kelas nterval BAB I ~ Statstka 9
Contoh..8 Htunglah medan untuk data terkelompok berkut. Tabel.8 Kelas Interval Frekuens (f ) 8 9 55 0 56 6 0 6 69 70 76 Jumlah 50 Frekuens Kumulatf 6 50 Penyelesaan: Karena ukuran datanya adalah 50, maka Me terletak pada kelas nterval 56 6, sehngga Bb = 56 0.5 = 55,5; f m = 0 ; F = ; p = 7. Oleh karena tu, n 50 F Me = Bb+ p = 55,5 + 7 = 59,7 f m 0 W Lathan.. Tentukan rataan dar data berkut. a. 9, 7,, 6,, 8, 0,. b. 5, 8, 6, 0, 7, 6, 7, 9, 6, 5.. Tentukan medan dan modus dar data berkut. a. 8, 7, 6, 7, 5, 6, 8, 9, 8, 9. b.,,,, 5, 5, 6,,,, 5, 7, 5.. Tentukan rataan dar data berkut. Tabel.9 Tabel.0 a. Nla Frekuens b. Berat Frekuens 6 7 5 5 56 57 6 6 66 67 7 7 76 5 5 5 8 0 6 65 66 70 7 75 76 80 8 85 86 90 9 95 5 8 6 5 50 0 Matematka SMA/MA Kelas XI - IPA
. Tentukan medan dan modus data pada soal no.. 5. Htunglah nla rataan data terkelompok berkut dengan dua cara. Tabel. Kelas Interval 0 5 9 0 5 9 0 5 9 Jumlah 6. Suatu percobaan jens makanan yang dberkan kepada ayam pedagng memberkan kenakan berat badan sepert pada tabel berkut. Tabel. Mnggu ke- f 8 0 7 9 70 Berat Badan (g) 5 50 90 990.890.790 Berapakah rataan kenakan berat badan ayam tap mnggu? 7. Nla rataan kelas A adalah 8,5 dan nla rataan kelas B adalah 6,5. Perbandngan jumlah sswa kelas A : B = 5 :. Barapakah nla rataan kelas A dan B? 8. Tabel d bawah n adalah hasl tes suatu bdang stud. Peserta dnyatakan lulus jka nlanya lebh besar 60. Berapakah banyak yang lulus? Tabel. Nla 0 0 50 5 60 6 70 7 80 8 90 Frekuens 8 6 8 6 BAB I ~ Statstka
9. Nla rataan ujan matematka dar 0 sswa SMA adalah 70. Jka seorang sswa yang nlanya 00 dan orang sswa yang masng-masng nlanya 0 tdak dkutkan dalam perhtungan, berapa nla rataannya? 0. Rataan jam belajar haran sswa lak-lak dan perempuan dar suatu sekolah masng-masng adalah jam dan 7 jam. Jka rataan jam belajar haran seluruh sswa sekolah tersebut adalah 6 jam, dan jumlah sswa sekolah tersebut adalah 800 orang, berapakah jumlah sswa lak-lak?.5 Ukuran Letak Pada bagan sebelumnya kta telah mempelajar tentang medan. Medan adalah nla statstk yang terletak dtengah-tengah kelompok data setelah data kta urutkan. Dengan demkan nla n membag dua sama banyak kelompok data. Dengan kata lan, medan adalah ukuran perduaan..5. Kuartl Telah kta paham bahwa medan adalah ukuran perduaan. Selanjutnya, kta mempunya buah nla statstk yang membag kelompok data yang terurut menjad bagan yang sama banyak. Ketga nla n kta sebut sebaga kuartl, kuartl pertama atau kuartl bawah dnotaskan dengan Q, kuartl kedua atau kuartl tengah dnotaskan dengan Q, dan kuartl ketga atau kuartl atas dnotaskan dengan Q. Oleh karena tu, kuartl adalah ukuran perempatan, dengan Q = Me. Msalkan kta mempunya suatu kumpulan data dengan ukuran n yang telah durutkan x, x, K, xn Letak dar kuartl Q, Q, dan Q dar kumpulan data n dapat kta cermat lustras pada gambar.9 berkut. n data n data n data x Q Q Q x n Gambar.9 Letak Kuartl-kuartl Matematka SMA/MA Kelas XI - IPA
Dengan memperhatkan gambar d atas, maka dapat kta smpulkan bahwa: kuartl pertama Q terletak pada nla urutan yang ke ( n+ ), kuartl kedua Q terletak pada nla urutan yang ke ( n+ ), kuartl ketga Q terletak pada nla urutan yang ke ( n+ ). Secara umum, untuk =,,, letak kuartl Q terletak pada nla urutan yang ke ( n+ ) Jka nla urutan yang kta peroleh bukan blangan asl, maka untuk menghtung kuartl kta gunakan pendekatan nterpolas lnear. Untuk lebh jelasnya kta perhatkan contoh berkut. Contoh.5. Tentukan nla kuartl-kuartlnya dar kelompok data: 65, 8, 90, 70, 5, 7, 5, 65, 70, 85. Penyelesaan: Kta urutkan dahulu kelompok data tersebut, 8 7 g 5 5 65 g 65 70 70 g 85 90. Q Q Q Ukuran kelompok data adalah n = 0, maka Q terletak pada nla urutan yang ke (0 ) + =. Karena nla urutan bukan blangan asl, maka Q kta tentukan dengan nterpolas lnear, Q = nla data ke- + (nla data ke- nla data ke-) = 7 + (5 7) = Letak kuartl kedua Q pada nla urutan yang ke (0 + ) = 5 (bukan blangan asl), sehngga Q = nla data ke-5 + (nla data ke-6 nla data ke-5) = 65 + (65 65) = 65 Kuartl Q terletak pada nla urutan yang ke (0 + ) = 8 (bukan blangan asl), sehngga Q = nla data ke-8 + (nla data ke-9 nla data ke-8) = 70 + (85 70) = 7 Makna dar kuartl-kuartl n adalah bahwa terdapat 5% dar banyak data yang nlanya d bawah, terdapat 50% dar banyak data nlanya d bawah 65, dan 75% dar banyak data nlanya d bawah 7. W BAB I ~ Statstka
Untuk data terkelompok kta mempunya mempunya rumus yang merupakan pengembangan dar rumus medan, yatu: = + n F f Q Q Bb p (.8) dengan: Bb = tep bawah kelas nterval yang memuat Q f Q = frekuens kelas nterval yang memuat Q F = frekuens kumulatf sebelum kelas nterval yang memuat Q p = panjang kelas nterval Contoh.5. Dketahu data terkelompok sepert tabel berkut. Tabel. Kelas Interval Frekuens (f ) Frek. Kum. (f k ) 0 5 9 0 5 9 0 5 9 0 5 9 50 5 55 59 60 6 65 69 70 7 6 7 8 5 0 8 5 8 6 5 6 68 76 78 80 f = 80 Tentukan Q dan Q. Penyelesaan: Karena ukuran kelompok data adalah n = 80, maka Q terletak pada nla urutan yang ke (80 + ) = 0, pada kolom frekuens kumulatf nla n terletak pada kelas nterval 0. Dalam hal n Bb = 9,5; p = 5 ; F = 8 ; f = 8. Q Matematka SMA/MA Kelas XI - IPA
Jad n F 80 8 Q = Bb+ p = 9, 5 + 5 = 0,75 f Q 8 Kuartl Q terletak pada nla urutan yang ke (80 + ) = 60 pada kolom frekuens kumulatf, yang terletak pada kelas nterval 50 5. Kta peroleh n F 80 5 = + = 9, 5 + 5 = 5,8 8 Q Bb p f Q Jad, Q = 0,75 dan Q = 5,8..5. Desl dan Persentl Jka data yang sudah terurut dbag menjad 0 bagan yang sama banyak, maka tap bagan tu dsebut desl, sehngga akan terdapat 9 desl, D, D,, D 9. Tetap jka data tu dbag menjad seratus bagan yang sama banyak, maka dsebut persentl. Sepert halnya desl, maka ada 99 persentl, P, P,, P 99. Sepert halnya pada kuartl, dengan cara yang serupa kta mempunya rumus untuk menentukan letak desl D dan persentl P, yatu: D terletak pada nla urutan yang ke ( n+ ), =,, L,9 0 dan P terletak pada nla urutan yang ke ( n+ ), =,, L,99 00 Sepert halnya pada kuartl, jka nla urutan yang kta peroleh bukan blangan asl, maka untuk menghtung kuartl kta gunakan pendekatan nterpolas lnear. Contoh.5. Dketahu kelompok data tersebar: 7, 9,,,, 6, 8,,,,,,, 8, 8, 9,,,, 5, 5, 5, 5, 8, 9, 0. Tentukan D 7 dan P 6. Penyelesaan: Ukuran data adalah n = 6. Desl D 7 terletak pada nla urutan yang ke 7 (6+ ) = 8 0 5 (bukan blangan asl), maka untuk menentukan desl kta gunakan pendekatan nterpolas lnear, D 7 = nla data ke-8 + 5 (nla data ke-9 nla data ke-8) = + 5 ( ) =, W BAB I ~ Statstka 5
Persentl P 6 terletak pada nla urutan yang ke 67 (6 00 + ) = 6 50 (bukan blangan asl), sehngga P 6 = nla data ke-6 + 7 (nla data ke-7 nla data ke-6) 50 = 9 + 7 ( 9) = 0, 50 Makna dar D 7 =, adalah terdapat 70% dar banyak data yang nlanya d bawah,. Sedangkan P 6 = 0, bermakna bahwa 6% dar banyak data nlanya d bawah 0,. Sedangkan untuk data terkelompok nla D dan P dberkan oleh: W 0 n F = + f D D Bb p, =,,..., 9 (.9) dengan: Bb = tep bawah kelas nterval yang memuat D dan f D = frekuens kelas nterval yang memuat D F = frekuens kumulatf sebelum kelas nterval yang memuat D p = panjang kelas nterval 00 = + n F f P P Bb p, =,,..., 99 (.0) dengan: Bb f P F p : tep bawah kelas nterval yang memuat P : frekuens kelas nterval yang memuat P : frekuens kumulatf sebelum kelas nterval yang memuat P : panjang kelas nterval 6 Matematka SMA/MA Kelas XI - IPA
Contoh.5. Dketahu data terkelompok dengan dengan dstrbu sepert berkut. Tabel.5 Kelas Interval Frekuens (f ) Frek. Kum. (f k ) 7 8 5 8 9 5 6 5 5 59 60 66 67 7 7 80 Htunglah D 8 dan P 87. Penyelesaan: Ukuran data adalah n = 80. Nla D 8 terletak pada nla urutan yang ke 8 7 5 6 5 (80 + ) = 6 0 5 pada kolom frekuens kumulatf, yatu pada kelas nterval 5 59, sehngga Bb = 5,5; p = 7; F = 5; f D 8 = 5; 8 0 n F 6 5 D8 = Bb+ p = 5,5 + 7 = 58,56 f D 5 8 Nla P 87 terletak pada kelas nterval 60 66, karena nla n pada kolom frekuens kumulatf pada urutan ke 87 (80 + ) = 70 7. Dengan 00 00 Bb = 59,5; p = 7; F = 66; f P = 7; 87 7 0 5 66 7 75 80 87 00 n F 69,6 66 P87 = Bb+ p = 59, 5 + 7 = 6, f P 7 87 Jad, D 8 = 58,56 dan P 87 = 6,. W Lathan.5. Dketahu data tersebar: 50 9 6 60 0 77 7 85 5 78 5 69 5 59 9 65 7 0 77 5 Tentukan Q, D 5, dan P 7. BAB I ~ Statstka 7
. Nla ulangan kma dar 5 orang murd dsajkan dalam data berkut. 7 9 7 5 8 9 5 6 6 7 8 7 8 6 a. Tentukan rataan dan medannya. b. Tentukan Q, Q, dan Q. c. Bandngkan nla rataan terhadap medan. Apa yang dapat kamu smpulkan?. Jelaskan art dar Q = 6, D 6 = 6, dan P 78 =?. Suatu blangan terdr dar 5 unsur. Tentukan pada unsur keberapa letak Q, D 6 dan P 8? 5. Dketahu tabel dstrbus berkut n. Tabel.6 Kelas Interval Frekuens (f ) 0 9 0 9 50 59 60 69 70 79 80 89 90 99 Htunglah nla dar Q, D 6, dan P 8. 6. Hasl tes dar 00 orang pelamar pekerjaan dberkan oleh tabel berkut. Tabel.7 Pelamar yang dterma 5%, berapakah nla seseorang agar dterma? 7. Berkut n adalah data besar pengeluaran (dalam rbuan rupah) untuk nternet dalam satu mnggu dar 0 orang sswa suatu SMA. 0 0 5 5 5 50 0 5 0 0 0 5 5 5 0 0 5 5 5 0 0 0 5 5 5 0 5 0 a. Tentukan kuartl bawah, kuartl tengah dan kuartl atas. b. Tentukan desl ke- dan desl ke-8. 8. Nla ekspor-mpor (dalam mlyar dollar AS) Indonesa melalu Tanjung Prok untuk perode tahun 00-006 dberkan oleh tabel berkut. Tabel.8 Tahun Ekspor Impor a. Tentukan rataan, Q, Q, dan Q dar data ekspor-mpor d atas. 00 7,5 5 b. Berdasarkan jawaban (a), 00 7,5 5 bandngkan statstk dar kedua 00 8 5 kumpulan data tersebut. 00 005 Sumber: Badan Pusat Statstk (BPS), 006 6 dkutf dar Kompas, 9 Maret 008. 0 Nla Tes 5 6 785 9 Frekuens 5 9 8 Matematka SMA/MA Kelas XI - IPA
.6 Ukuran Penyebaran (Dspers) Sebagamana telah kta pelajar pada bagan sebelumnya, nla rataan merupakan salah satu dar kecenderungan memusat yang banyak dpaka. Meskpun a adalah wakl dar semua nla data, tetap ketepatan nla tu mash dpertanyakan. Sebaga pelengkap nformas data tu perlu pertmbangan nla lan. Nla yang kta maksud adalah nla penympangan, artnya sejauh mana penympangan-penympangan antara nla data dengan nla rataan..6. Rentang dan Smpangan Kuartl Pada data kuanttatf terdapat nla data terkecl dan nla data terbesar, kedua nla masng-masng dsebut sebaga statstk mnmum ( x mn ) dan statstk maksmum ( x maks ). Jarak antara kedua nla tu dsebut rentang atau range yang dber smbol R. Nla R nlah yang dsebut penyebaran dengan rentang, R = x maks x mn (.) Selan rentang antara kedua nla ekstrm dalam suatu kelompok data dkenal juga rentang antar-kuartl. Rentang antar-kuartl dsebut hamparan (dsmbolkan dengan H) ddefnskan sebaga selsh antara nla Q dengan nla Q, H = Q Q (.) Selan hamparan terdapat nla penyebaran lan yatu, sem kuartl atau smpangan kuartl, dsmbolkan dengan Q d, yang ddefnskan sebaga Q = = ( ) d H Q Q (.) Dengan Q d n kta dapat menjustfkas suatu data termasuk data yang konssten (data normal) atau tdak dalam kelompoknya. Setap nla data yang terletak d dalam nterval [ Q Qd, Q + Qd] dkatakan konssten atau data normal. Nla data dalam nterval n memlk nformas yang relatf sama dengan data-data lannya dalam kelompok tersebut. Setap nla data yang terletak d luar nterval [ Q Qd, Q + Qd] kta katakan tdak konssten atau data penclan. Tdak selamanya data yang tdak konsten dalam kelompoknya tu jelek, justru barangkal data tersebut memberkan nformas yang sangat kta perlukan. Terdapat beberapa kemungknan penyebab munculnya data penclan dalam suatu kelompok data, antara lan : Terjadnya kesalahan ketka mencatat data, Terjadnya kesalahan ketka melakukan pengukuran, kesalahan membaca alat ukur atau kesalahan menggunakan alat ukur, Terjad memang data tu dperoleh dar objek yang menympang atau aneh (anomal). BAB I ~ Statstka 9
Contoh.6. Panta penermaan tentara menmbang calon yang masng-masng beratnya (dalam kg): 70 56 6 7 69 67 5 60 65 57 66 6 6 59. Untuk kumpulan data n, a) Tentukan rentang, hamparan, smpangan kuartlnya. b) Jka salah satu panta menmbang dua orang calon masng-masng beratnya 5 kg dan 8 kg, apakah kedua nla data n konssten dalam kumpulan data yang dperoleh terdahulu? Penyelesaan: Dar kelompok data n kta peroleh (coba Anda htung sendr): Q = 59,5 ; Q = 6,5 ; Q = 67,5 ; x mn = 5 ; dan x maks = 7. Berdasarkan hasl n maka kta peroleh: a) Rentang R = x maks x mn = 7 5 = 8, Hamparan H = Q Q= 67,5 59,5 = 8, Smpangan kuartl Qd = H = ( Q Q ) = 8=. b) Kta tentukan dahulu nterval kekonsstenan dar kelompok data n, Q Q d = 59,5 = 7,5 dan Q + Q d = 67,5+ = 79,5. Jad, nterval kekonsstenan adalah [7,5, 79,5]. Karena nla data 5 dan 8 d luar nterval n maka kedua nla data tdak konssten..6. Dagram Kotak-Gars Untuk menjelaskan letak relatf ukuran pemusatan medan dan ukuran letak dar data dapat dtunjukkan dengan dagram kotak-gars. Dber nama dagram kotak-gars karena dagram n tersusun atas sebuah kotak perseg panjang dalam arah horsontal dan gars yang berupa ekor ke kr dan ke kanan, yang dgambarkan d atas gars berskala. Panjang kotak sama dengan rentang antar-kuartl atau hamparan H = Q Q. Ss tegak bagan kr kotak menandakan letak dar Q dan ss tegak bagan kanan menandakan letak kuartl ketga Q. Kuartl kedua atau medan Q berada d dalam kotak yang dber tanda plus (+). Batas ujung ekor kr dar gars mendatar arah ke kr tepat berada pada nla data terkecl, dan batas ujung kanan dar gars mendatar ke kanan tepat berada pada nla data terbesar. Ketentuan n berlaku apabla semua nla data yang normal (bukan penclan). Jka kelompok data memuat penclan, maka penclan tu berada d luar kedua gars dan dber tanda asters (*). Untuk memaham penyusunan dagram kotak-gars, kta perhatkan contoh berkut n. Msalkan dketahu kelompok data tersebar yang berukuran n = 0. 9 9 0 7 9 9 5 5 9 5 5 9 7 Dar kelompoak data n kta peroleh nla Q =, Me = Q = dan Q =. Dagram kotak-gars dperlhatkan pada gambar.0. W 0 Matematka SMA/MA Kelas XI - IPA