KARAKTERISASI DETERMINAN MATRIKS ATAS ALJABAR MAKS-PLUS TERSIMETRI

Vol No Bula Desember 018 Jural Silogisme Kajia Ilmu Matematika da Pembelajaraya http://joural.umpo.ac.id/idex.php/silogisme KARAKTERISASI DETERMINAN MATRIKS ATAS ALJABAR MAKS-PLUS TERSIMETRI Gregoria Ariyati 1, Ari Suparwato, da Budi Surodjo Ifo Artikel Article History: Accepted April 018 Approved November 018 Published December018 Keywords: aljabar maks-plus, aljabar maks-plus tersimetri, determia, adjoi Abstrak Aljabar maks-plus merupaka suatu struktur aljabar (R E,, ) yag tidak mempuyai eleme egatif, yaitu ivers terhadap operasi. Oleh karea itu, dikembagka suatu struktur yag lebih luas yag disebut aljabar maks-plus tersimetri, diotasika dega (S,, ) dega S dikostruksi dari kelas ekuivalesi. Dega adaya struktur ii, maka eleme di dalam aljabar maks-plus tersimetri aka mempuyai eleme egatif. Akibatya, determia matriks atas aljabar maks-plus tersimetri dapat didefiisika. Dalam tulisa ii aka dikembagka karakterisasi determia matriks atas aljabar maks-plus tersimetri, khususya di dalam hubugaya dega adjoit. Hasil utama yag diperoleh yaitu utuk suatu A matriks atas aljabar maks-plus tersimetri, hasilkali determia matriks A da matriks idetitas berelasi setimbag dega hasilkali matriks A da adjoiya How to Cite: Ariyati, G., Ari Suparwato, Budi Surodjo (018). Karakterisasi Determia Matriks atas Aljabar Maks-Plus Tersimetri. Artikel : Jural Silogisme Uiversitas Muhammadiyah Poorogo, Vol No : Halama 48- Alamat korespodesi: Uiversitas Widya Madala Madiu 1, Departeme Matematika UGM, E-mail: ariyati_gregoria@yahoo.com 1 018 Uiversitas Muhammadiyah Poorogo ISSN 548-7809 (Olie) ISSN 57-618 (Prit) 48

PENDAHULUAN Aljabar maks-plus adalah suatu struktur aljabar yag terdiri dari himpua R ε = R {ε} dega ε, dilegkapi operasi bier da yag didefiisika sebagai berikut : a b max(a, b) a b: = a + b utuk setiap a, b R ε ([]). Semirig adalah suatu struktur aljabar (S, +, ) sedemikia sehigga (S, +) merupaka suatu semigrup komutatif dega eleme idetitas 0, (S, ) merupaka suatu semigrup dega eleme idetitas 1, sifat distributif perkalia atas pejumlaha, da perkalia dega 0 sebagai eleme peyerap (absorbet) di dalam S. Oleh karea itu, aljabar maks-plus merupaka salah satu cotoh struktur semirig dega setiap eleme yag buka tidak mempuyai ivers terhadap. Dega kata lai, jika a R E maka tidak ada b R E sehigga a b = b a =, kecuali jika a =. Artiya, jika a = ε, maka terdapat b = ε, sehigga a b = b a =. Sedagka, utuk a ε, misal a =, maka tidak ada b sehigga b = ε. Hal tersebut merupaka salah satu alasa aljabar maks-plus dikembagka mejadi struktur yag lebih luas yag disebut aljabar maks-plus tersimetri (the symmetrized max-plus algebra), yag diotasika dega (S,, ) ([1],[], [4], [5]). Di dalam aljabar maks-plus, suatu matriks memiliki ivers jika da haya jika matriks tersebut dapat diyataka sebagai hasilkali dari matriks diagoal da matriks permutasi ([]). Dega kata lai, ivers suatu matriks atas aljabar maks-plus sagat sederhaa, yaitu haya utuk matriks yag memuat satu usur buka dalam setiap baris da kolomya. Karea dalam aljabar maks-plus tersimetri dapat didefiisika eleme egatif, maka ivers suatu matriks dapat dikarakteristikka dega determia. Hal ii berbeda dega eleme di dalam aljabar maks-plus yag tidak memiliki eleme egatif. Berdasarka karakteristik tersebut, peulis tertarik utuk meyelidiki hal-hal yag terkait determia suatu matriks atas aljabar maks-plus tersimetri. Matriks atas aljabar maks-plus tersimetri, memiliki etrietri aggota aljabar maks-plus tersimetri, sehigga dapat ditetuka matriks yag merupaka eleme egatif dari matriks yag diberika. Aljabar Maks-Plus Tersimetri Berikut ii dibahas pembetuka aljabar maks-plus tersimetri yag diawali dega pembetuka himpua pasaga beruruta atas aljabar maks-plus. Defiisi.1 [] Diberika himpua pasaga beruruta R E = R E R E dega operasi da yag didefiisika sebagai berikut : (x, y) (w, z) = (x w, y z) (x, y) (w, z) = (x w y z, x z y w) utuk (x, y), (w, z) R E, dega operasi da pada ruas kaa bersesuaia dega maksimum da pejumlaha yag didefiisika dalam aljabar maks-plus. Eleme (, ) adalah idetitas pejumlaha da eleme (e, ), dega e 0, adalah idetitas perkalia. Lemma. [] Operasi di dalam R E bersifat asosiatif, komutatif da idempote, da eleme olya adalah (ε, ε). Operasi bersifat asosiatif, komutatif da distributif terhadap, eleme idetitas dari adalah (e, ) da eleme olya adalah (ε, ε) yag juga merupaka eleme peyerap utuk, yaitu (ε, ε) (x, y) = (x, y) (ε, ε) = (ε, ε) utuk (x,y) R E. Struktur (R E,, ) disebut aljabar pasaga (the algebra of pairs). Defiisi.. [] Utuk u = (x,y) R E, operator pada aljabar maks-plus tersimetri (yag merupaka operator eleme egatif) da operator kesetimbaga (balace operator) (. ) didefiisika sebagai berikut : u = (y, x) da u = u ( u). Lemma.4 [] Utuk u, v R E berlaku : 49

a. u = ( u) = (u ) b. u v = (u v) c. ( u) = u d. (u v) = ( u) ( v) e. (u v) = ( u) v Defiisi.5 [] Diberika u = (x, y), v = (w, z) R E. Eleme u dikataka setimbag (balace) terhadap v, diotasika dega u v, jika x z = y w. Berdasarka Defiisi.5, tampak bahwa relasi setimbag dapat dipadag aalog dega kesamaa pada bilaga rasioal. Meskipu demikia, kedua kostruksi tersebut ada perbedaa. Dari kesamaa dua bilaga rasioal dapat dibetuk relasi ekuivalesi, sedagka berbeda dega relasi setimbag yag dimaksud di dalam Defiisi.5. Lemma.6 Relasi setimbag bersifat refleksif da simetris tetapi relasi setimbag tidak trasitif. Karea relasi setimbag buka relasi ekuivalesi maka tidak dapat diguaka utuk medefiisika himpua faktor (the quotiet set) dari R E oleh. Selajutya, utuk u= (x,y) R E da v = (w,z) R E, suatu relasi B didefiisika sebagai berikut (x, y) (w, z) jika x y da w z (x, y) B (w, z) {. (.1) (x, y) = (w, z) utuk laiya Lemma.7 [] Relasi B pada (.1) merupaka relasi ekuivalesi pada R E. Karea B merupaka relasi ekuivalesi, maka dapat dibetuk kelas-kelas ekuivalesi yag dibagu oleh B. Kelas-kelas ekuivalesi pada R E yag dibagu oleh relasi B membetuk himpua R E B. Selajutya, ditetapka himpua S R E B da dilegkapi oleh operasi da pada S sebagai berikut (a, b) (c, d) = (a c, b d) (a, b) (c, d) = (a c b d, a d b c) Selajutya, struktur (S,, ) disebut aljabar maks-plus tersimetri, da dibedaka tiga kelas ekuivalesi yag dibagu oleh B sebagai berikut : 1. (t, ε) = {(t, x) RE x < t} disebut positif maks-plus, diotasika S.. (ε, t) = {(x, t) RE x < t} disebut egatif maks-plus, diotasika S.. (t, t) = {(t, t) RE x < t} disebut setimbag (balace), diotasika S. Berikut ii diberika cotoh terkait papara di atas. Cotoh.8 1. Eleme-eleme (5,) da (5,1) merupaka aggota dari (5,. ε). Diberika (,0) (, ε), (,5) (ε,. 5) Maka diperoleh (,0) (,5) = (,5) (ε,. 5) Hal ii berlaku utuk sebarag (x, y) (, ε) da (w, z) (ε,. 5) Akibatya, (x, y) (w, z). (ε, 5) Jadi, (, ε) (ε, 5) = (ε, 5) atau dapat ditulis sigkat ( 5) = ( ).. Dari operasi, diperoleh ( ) = (, ε) (ε, ) = (,) = (ε, ) =. Dari kelas ekuivalesi di atas, diperoleh S = S S S. Keaggotaa dalam himpua S yag semula diyataka dalam pasaga bilaga, selajutya diyataka sebagai keaggotaa dalam himpua R ε, sehigga utuk a R ε : a = (a, ε) dega (a, ε) S 50

a = (a, ε) = (a, ε) = (ε, a) dega (ε, a) S a = a a = (a, a) S Matriks atas Aljabar Maks-Plus Tersimetri Karea eleme dari aljabar maks-plus tersimetri mempuyai ivers, maka dapat dikembagka operasioperasi baris elemeter pada suatu matriks atas aljabar maks-plus tersimetri. Defiisi.1 Tiga tipe operasi baris elemeter pada matriks A atas aljabar maks-plus tersimetri, yaitu 1. Mempertukarka baris ke i da baris ke j.. Megalika baris ke i dega kostata k yag tidak setimbag dega ε.. Meambahka k kali baris ke i dega baris ke j utuk i j. Adapu yag dimaksud dega kostata k = (k 1, k ) yag tidak setimbag dega ε = (ε, ε) yaitu memeuhi k 1 ε k ε. Matriks idetitas atas aljabar maks-plus tersimetri adalah E dega 0, jika i = j [E ] ij = { ε, jika i j. Defiisi. Suatu matriks elemeter adalah matriks yag diperoleh dari matriks idetitas E dega melakuka suatu operasi baris elemeter tuggal. Meurut Defiisi., jika E matriks elemeter atas aljabar maks-plus tersimetri da A M m (S) maka E A adalah matriks yag diperoleh dari operasi baris elemeter pada matriks A. Eleme atas aljabar maks-plus tersimetri mempuyai ivers terhadap da operasi baris elemeter juga berlaku pada matriks atas aljabar maks-plus tersimetri, oleh karea itu dapat dikembagka betuk eselo baris yag diberika dalam defiisi berikut. Defiisi. Suatu matriks atas aljabar maks-plus tersimetri dikataka mempuyai betuk eselo baris jika memeuhi kodisi berikut : 1. Jika ada suatu baris yag tidak seluruh etri-ya setimbag dega ε, maka etri pertama yag tak setimbag dega ε pada baris tersebut adalah usur 0. Selajutya, disebut 0 utama.. Jika ada baris-baris yag seluruh etri-ya setimbag dega ε, maka baris-baris ii berada di bagia bawah matriks.. Pada dua baris beruruta yag seluruh etri-ya tidak setimbag dega ε, 0 utama di dalam baris yag lebih bawah terletak di sebelah kaa 0 utama di dalam baris yag lebih atas. Cotoh.4 Diberika 1 ε 0 A = [ ε 1 ε 0] 1 0 1 ε Aka ditetuka betuk eselo baris dari matriks A tersebut. Berikut ii merupaka seragkaia operasi baris elemeter pada matriks A. 1 ε 0 [ ε 1 ε 0] 0 ( 1) ε ( ) 1( ( )) [ ε 1 ε 0 ] H 1( 1) 1 0 ~ 1 ε 1 0 1 ε 0 ( 1) [ ε 1 1 0 ε ( ) ε 0 ] H ( 1) ~ 1 1 0 ( 1) [ ε 0 1 0 ε ( ) ε ( 1)] H (0) 1 1 51

0 ( 1) [ ε 0 1 0 ε ( ) ε ( 1)] H ( 1) 1 ( 1) ~ 0 ( 1) [ ε 0 0 ( 1) ε ( ) ε ( 1)]. 0 ( ) 0 ( 1) ε ( ) Diperoleh E A = [ ε 0 ε ( 1)] merupaka betuk eselo baris dari matriks A. 0 ( 1) 0 ( ) Suatu matriks elemeter mempuyai ivers yag juga merupaka matriks elemeter. Hal tersebut diyataka dalam lemma berikut. Lemma.5. Setiap ivers dari suatu matriks elemeter merupaka matriks elemeter. Bukti : Diberika E matriks elemeter yag diperoleh dari matriks idetitas E melalui satu operasi baris elemeter. Tapa kehilaga keumuma bukti, diambil salah satu operasi baris da dikerjaka pada matriks E, yaitu E = E α e i e T j E dega e i meyataka kolom ke i dari matriks E. Selajutya, terdapat E 0 = E α e i e T j E sehigga memeuhi (E α e i e T j E) ( E α e i e T j E) E. Hal ii berarti E E 0 E. Secara aalog dapat diperoleh E 0 E E. Dega demikia setiap ivers dari suatu matriks elemeter merupaka matriks elemeter. Berdasarka lemma di atas, suatu matriks ivertibel merupaka hasilkali matriks-matriks elemeter seperti diyataka dalam teorema berikut. Teorema.6. Jika A matriks ivertibel maka terdapat seragkaia matriks elemeter E 1, E,, E k dega A E 1 E E k. Determia Matriks atas Aljabar Maks-Plus Tersimetri Karea eleme dari aljabar maks-plus tersimetri mempuyai ivers, maka dapat didefiisika determia suatu matriks atas aljabar maks-plus tersimetri. Defiisi 4.1. ([]) Diberika matriks A = (a ij ) M (S). Determia A didefiisika sebagai det(a) = sg(σ) ( A σ S iσ(i) ) dega S himpua semua permutasi dari {1,,, }, da 0, jika σ permutasi geap sg(σ) = { 0, jika σ permutasi gajil. 1 0 Cotoh 4. Diberika [ 0 0] da X = {σ 1, σ, σ, σ 4, σ 5, σ 6 } dega 0 ε ε σ 1 = ( 1 1 ), σ = ( 1 1 ) σ = ( 1 1 ) σ 4 = ( 1 1 ), σ 5 = ( 1 1 ) σ 6 = ( 1 1 ) Berdasarka Defiisi 4.1, diperoleh det(a) = sg(σ) ( σ X A iσ(i) ) = sg(σ 1 ) ( A iσ1 (i)) sg(σ ) ( A iσ (i)) sg(σ 6 ) ( A iσ6 (i)) 5

= e (A 1σ1 (1) A σ1 () A σ1 ()) e (A 1σ (1) A σ () A σ ()) e (A 1σ6 (1) A σ6 () A σ6 ()) = (A 11 A A ) (A 1 A 1 A ) (A 1 A A 1 ) (A 1 A A 1 ) (A 1 A 1 A ) (A 11 A A ) = ( ε) (1 0 ε) (1 0 0) (0 0) (0 0 ε) (0 ε) = ε ε 1 ε ε =. Oleh karea di dalam struktur aljabar maks-plus tersimetri dapat didefiisika eleme egatif, maka utuk matriks atas aljabar maks-plus tersimetri, dua baris yag dipertukarka mempuyai sifat berikut. Lemma 4.. Diberika A = (a ij ) M (S) dega S aljabar maks-plus tersimetri. Jika B = (b ij ) M (S) diperoleh dari A dega mempertukarka dua baris, maka det(b) = det (A). Selai itu, juga diperoleh sifat-sifat lai determia matriks atas aljabar maks-plus tersimetri berdasarka operasi baris elemeter, seperti dalam beberapa lemma berikut. Lemma 4.4. Diberika A = (a ij ) M (S) dega S aljabar maks-plus tersimetri. Jika B = (b ij ) M (S) diperoleh dari A dega megalika suatu baris dega kostata k yag tidak setimbag dega maka det(b) = k det(a). Lemma 4.5. Jika A matriks persegi atas aljabar maks-plus tersimetri mempuyai dua baris yag sama maka det(a) ε. Lemma 4.6. Diberika A = (a ij ) M (S) dega S aljabar maks-plus tersimetri. Jika B = (b ij ) M (S) diperoleh dega meambahka k kali baris ke m dega baris ke l dari matriks A utuk l m maka det(b) = det(a). Utuk suatu matriks yag diperoleh dari matriks lai melalui operasi baris elemeter tuggal, diperoleh sifat sebagai berikut, yag mempuyai peraa dalam megkostruksika ivers dari suatu matriks atas aljabar maks-plus tersimetri. Lemma 4.7. Jika A matriks atas aljabar maks-plus tersimetri da E matriks elemeter maka det(e A) = det(e) det(a). Bukti : Aka ditijau utuk ketiga tipe dalam operasi baris elemeter. Misalka E matriks elemeter yag diperoleh dega mempertukarka baris ke i dega baris ke j pada matriks E, maka meurut Lemma 4. diperoleh det(e) = det(e ) = 0. Akibatya, karea det(e A) = det(a) maka det(e A) = det(a) = 0 det(a) = det (E) det (A). Misalka E matriks elemeter yag diperoleh dega megalika baris ke i dega k yag buka pada matriks E maka meurut Lemma 4.4 diperoleh det(e) = k det(e ) = k 0 = k. Akibatya, karea det(e A) = k det(a) maka det(e A) = det (E) det(a). Misalka E matriks elemeter yag diperoleh dega meambahka k kali baris ke m dega baris ke l dari matriks E utuk l m, maka meurut Lemma 4.6 diperoleh det(e) = det(e ) = 0. Akibatya, det(e A) = det(a) = 0 det(a) = det (E) det(a). Selajutya, utuk determia dari hasilkali dua matriks atas aljabar maks-plus tersimetri berlaku sifat sebagai berikut. Teorema 4.8. Utuk A, B M (S), berlaku det(a B) det (A) det (B). Bukti : Misalka A tidak ivertibel, berakibat det(a) ε. Akibatya, det(a B) ε. 5

Misalka A ivertibel. Meurut Teorema.5 terdapat seragkaia matriks elemeter E 1, E,, E k dega A E 1 E E k. Selajutya det(a B) det(e 1 E E k B) det (E 1 ) det (E ) det (E k ) det (B) det (E 1 E E k ) det (B) Diperoleh, det(a B) det(a) det(b). Berdasarka lemma da teorema yag sudah diperoleh di atas, maka dapat diselidiki hubuga atara determia da adjoi matriks atas aljabar maks-plus tersimetri seperti diberika dalam lemma berikut. Lemma 4.9. Diberika aljabar maks-plus tersimetri S dega eleme ol ε da eleme idetitas 0. Utuk A M (S) diperoleh [det(a) E ] [A adj(a)] [adj(a) A]. Bukti : Diperhatika ε, jika i j det(a) E = { det(a), jika i = j Diperhatika A adj(a) = (A adj(a)) ij dega (A adj(a)) ij = a ik (adj(a)) kj = Utuk i = j dipuyai = ( 0) k+j a ik A(j, k) a ik ( 0) k+j A(j, k) (A adj(a)) ( 0) k+j a ik A(j, k) = det (A) Utuk i j. Misalka B M (S) adalah matriks sedemikia sehigga baris ke j dari B sama dega baris ke i dari A da baris-baris yag lai dari B sama dega baris-baris pada A. Dari sii b jk = a ik utuk 1 k. Akibatya, diperoleh ε det(b) = ( 0) j+k b jk B(j, k) ε det(b) = ( 0) j+k a jk A(j, k) ε det(b) = a ik (( 0) j+k A(j, k) ) ε a ik (adj(a)) kj, i j ε a ik (adj(a)) kj ε (A adj(a)) ij Sehigga diperoleh (A adj(a)) ij ε jika i j da (A adj(a)) ij = det(a) jika i j. Aalog dega cara tersebut, diperoleh (adj(a) A) ij ε jika i j da (adj(a) A) ij = det(a) jika i j. Akibatya, diperoleh [det(a) E ] [A adj(a)] [adj(a) A]. Lemma 4.9 yag meyataka hubuga atara determia da adjoi matriks atas aljabar maks-plus tersimetri, dapat diperoleh karea karakteristik eleme-eleme di dalam aljabar maks-plus tersimetri yag berbeda dega karakteristik eleme-eleme di dalam aljabar maks-plus. 54

DAFTAR RUJUKAN Baccelli, F., et al. 001. Sychroizatio ad Liearity. New York : Joh Wiley & Sos. De Schutter, B., 1996. Max-Algebraic System Theory for Discret Evet Systems, PhD thesis Departemet of Electrical Egierig Katholieke Uiversiteit Leuve, Leuve. De Schutter, B. ad De Moor, B., 00. The QR decompositio ad the sigular value decompositio i the symmetrized max-plus algebra revisited, SIAM Review, vol. 44, o., pp. 417 454. Popli, Philip L. 000. The Semirig of Multisets. A thesis submitted to the Graduate Faculty of North Carolie State Uiversity Sigh, D., Ibrahim, M., ad Sigh, J.N., 008. A Note o Symmetrized Max-Plus Algebra. Joural of Mathematical Scieces ad Mathematics Educatio. Vol. 5. No.1. 55