UJIAN AKHIR SEMESTER STATISTIKA DAN PROBABILITAS

UJIAN AKHIR SEMESTER STATISTIKA DAN PROBABILITAS AMN IST ISI Rabu, 15 Jui 016 100 meit [ Boleh membuka buku Tidak boleh memakai komputer ] SOAL 1 [30%] Hasil sigi (survei) lalu litas di suatu kawasa, yag dibagi mejadi delapa zoa, meghasilka data jumlah perjalaa da jumlah mobil setiap hari seperti disajika pada tabel di bawah ii. zoa jumlah mobil jumlah perjalaa 1 40 780 00 40 3 90 100 4 500 1340 5 440 1100 6 10 440 7 400 1000 8 330 900 (a) Temukalah hubuga atara kedua variabel (jumlah perjalaa sebagai fugsi jumlah mobil) dega tekik regresi liear, metode kuadrat terkecil. [Bobot 15%] Catata: kedua variabel adalah variabel diskrit, jumlah perjalaa da jumlah mobil adalah bilaga bulat positif. (b) Berapakah koefisie korelasi hubuga liear kedua variabel tersebut? [Bobot 15%] PENYELESAIAN (a) Regresi liear [bobot ilai 15%] Jika jumlah perjalaa diyataka sebagai variabel Y da jumlah mobil dalam perjalaa tersebut diyataka sebagai variabel X, maka hubuga atara kedua variabel, yag diperoleh dari regresi liear, dapat diyataka dalam persamaa di bawah ii: Y = a 0 + a 1 X Variabel Y atau serig pula disimbolka dega Y r adalah jumlah perjalaa sebagai fugsi jumlah mobil. Nilai a0 da a1 dalam persamaa regresi dicari dega persamaa berikut: a 1 = i=1 x iy i i=1 x i i=1 y i x i=1 i ( i=1 x i ) da a 0 = Y a 1 X Dalam persamaa di atas, adalah ukura sampel atau jumlah data, Y da X adalah jumlah perjalaa rata-rata da jumlah mobil rata-rata. Hituga regresi liear dega metode kuadrat terkecil disajika pada Tabel 1 pada halama setelah halama ii. Dari Tabel 1, diperoleh iformasi sebagai berikut: jumlah data, = 8; jumlah perjalaa rata-rata, Y = ( i=1 y i ) = 6.080 8 = 760; jumlah mobil rata-rata, X = ( x i ) =.30 8 = 90. Koefisie a 1 da a 0 pada persamaa garis regresi dihitug sebagai berikut: i=1 Peyelesaia Soal UAS Statistika da Probabilitas 016 hlm 1 dari 6

a 1 = i=1 x iy i i=1 x i i=1 y i x i=1 i ( i=1 x i ) = a 0 = Y a 1 X = 760.6333 90 = 3.6546. 8.184.000.30 6.080 8 83.600.30 =.6333. Dega demikia, hubuga atara jumlah perjalaa da jumlah mobil yag diperoleh dari regresi liear atara kedua variabel adalah: Y = 3.6546 +.6333 X atau y i =.6333 x i 3.6446. TABEL 1 HITUNGAN REGRESI LINEAR HUBUNGAN ANTARA JUMLAH PERJALANAN DAN JUMLAH MOBIL DENGAN METODE KUADRAT TERKECIL i x i y i x i y i x i 1 40 780 187.00 57.600 00 40 84.000 40.000 3 90 100 9.000 8.100 4 500 1.340 670.000 50.000 5 440 1.100 484.000 193.600 6 10 440 5.800 14.400 7 400 1.000 400.000 160.000 8 330 900 97.000 108.900 Σ.30 6.080.184.000 83.600 (b) Koefisie korelasi [bobot ilai 15%} Koefisie korelasi, r, diyataka dalam persamaa berikut: r = S t S r = (y i Y ) i=1 (y i Y ) i=1 S t (y i Y ) i=1 atau i=1 x i y i ( i=1 x i )( i=1 y i ) r = x i=1 i ( i=1 x i ) y i=1 i ( y i i=1 ) Hituga utuk medapatka ilai St da ilai Sr dilakuka secara tabulasi dalam Tabel bawah ii. Hituga megacu kepada persamaa r di atas yag di sebelah kiri. TABEL HITUNGAN KOEFISIEN KORELASI ANTARA JUMLAH PERJALANAN DAN JUMLAH MOBIL i x i y i (y i Y ) y i (y i y i) 1 40 780 400 68 3.104 00 40 115.600 53 10.609 3 90 100 435.600 33 17.689 4 500 1.340 336.400 1.313 79 5 440 1.100 115.600 1.155 3.05 6 10 440 10.400 31 16.384 7 400 1.000 57.600 1.050.500 8 330 900 19.600 865 1.5 S t = 1.183.00 S r = 75.65 Catata: y i adalah jumlah perjalaa, variabel diskrit, bilaga bulat. Koefisie korelasi: r = S t S r 1.183.00 75.65 = = 0.9677. S t 1.183.00 Akar kuadrat dapat berilai positif atau egatif. Koefisie korelasi dapat berilai positif atau egatif. Karea gradie garis regresi, a 1, berilai positif, atau dega kata lai jumlah perjalaa Peyelesaia Soal UAS Statistika da Probabilitas 016 hlm dari 6

Jumlah perjalaa, Y berbadig lurus dega jumlah mobil, maka koefisie korelasi pu berilai positif, r = 0.9677. Gambar 1 meyajika data secara grafis. Gambar ii tidak wajib dibuat karea soal tidak memitaya. 1600 1400 100 y =.6333x - 3.6546 r² = 0.9365 1000 800 600 400 00 0 0 100 00 300 400 500 600 Jumlah mobil, X GAMBAR 1 HUBUNGAN LINEAR ANTARA JUMLAH PERJALANAN DAN JUMLAH MOBIL SOAL [70%] Agka-agka di bawah ii adalah kuat desak beto dalam satua MPa yag diperoleh dari uji laboratorium terhadap 36 buah sampel. 8 6 30 8 9 3 34 6 8 34 31 8 33 3 30 30 30 3 6 8 30 30 6 4 34 8 3 3 8 30 34 3 37 30 30 3 (a) Buatlah tabel frekuesi dega retag kelas MPa, batas bawah retag kelas pertama adalah 3 MPa (retag kelas pertama 3-5 MPa). [Bobot 15%] (b) Hituglah ilai rata-rata, media, da modus (mode) kuat desak beto dega memakai tabel frekuesi. [Bobot 15%] (c) Hituglah ilai simpaga baku kuat desak beto dega memakai tabel frekuesi. [Bobot 10%] (d) Hituglah retag keyakia kuat desak rata-rata dega tigkat keyakia 90%. [Bobot 15%] (e) Ujilah hipotesis yag meyataka bahwa kuat desak rata-rata beto tersebut adalah 3 MPa dega tigkat keyakia 95%. [Bobot 15%] Peyelesaia Soal UAS Statistika da Probabilitas 016 hlm 3 dari 6

Frekuesi PENYELESAIAN (a) Tabel frekuesi [bobot ilai 15%] Tabel frekuesi adalah salah satu cara peyajia data. Kuat desak beto adalah variabel radom kotiu. Data di atas diperoleh dari uji laboratorium. Data kuat desak tersebut adalah data sampel, buka data populasi. Tabel frekuesi disajika pada Tabel 3 di bawah ii. TABEL 3 KUAT DESAK BETON HASIL UJI LABORATORIUM i Kuat desak, X [MPa] Frekuesi f i x i f i x i Kelas x i f i 1 3-5 4 1 4 576 5-7 6 4 104 704 3 7-9 8 8 4 67 4 9-31 30 10 300 9000 5 31-33 3 8 56 819 6 33-35 34 4 136 464 7 35-37 36 1 36 196 Σ = 36 1080 3664 Ukura sampel atau jumlah data dalam sampel uji kuat desak beto adalah f i = 36. Operator 7 pejumlaha f i dibaca i=1 f i. Ideks pada operator pejumlaha tidak dituliska utuk meyederhaaka peulisa. Data dapat pula disajika dalam betuk grafik batag atau histogram seperti disajika pada Gambar. Grafik ii tidak wajib dibuat karea soal tidak memitaya. Perhatika betuk kurva pada gambar tersebut. Tampak jelas bahwa betuk kurva megidikasika bahwa sampel kuat desak beto berdistribusi ormal. 1 10 8 6 4 0 3-5 5-7 7-9 9-31 31-33 33-35 35-37 Kuat desak beto dalam satua MPa GAMBAR KUAT DESAK BETON HASIL UJI LABORATORIUM (b) Nilai rata-rata, media, modus [bobot ilai 15%] Nilai rata-rata dihitug dega batua tabel frekuesi, yaitu dega meambahka satu kolom yag berisi ilai frekuesi dikalika dega ilai data, f i x i. Kuat desak rata-rata adalah: Peyelesaia Soal UAS Statistika da Probabilitas 016 hlm 4 dari 6

X = f ix i = 1080 = 30 MPa. f i 36 Nilai media da ilai modus dapat dilihat lagsug pada tabel frekuesi di atas: media kuat desak adalah 30 MPa atau 9-31 MPa, modus kuat desak adalah 30 MPa atau 9-31 MPa. (c) Simpaga baku [bobot ilai 10%] Simpaga baku kuat desak beto dihitug dega batua tabel frekuesi, yaitu dega meambahka kolom yag berisi f i x i. Nilai simpaga baku adalah: s X = (x i X ) ( f i ) 1 = (f ix i ) ( f i )(X ) 3664 36 30 = =.7464 MPa. ( f i ) 1 36 1 (d) Retag keyakia kuat desak rata-rata [bobot ilai 15%] Retag keyakia kuat desak rata-rata, dega asumsi bahwa kuat desak beto tersebut berdistribusi ormal, diyataka dega persamaa berikut: prob(l μ X u) = 1 α Dalam persamaa di atas, l adalah batas bawah retag keyakia, u adalah batas atas retag keyakia, da 1 α adalah tigkat keyakia. Batas bawah da batas atas retag keyakia kuat desak beto rata-rata diyataka dega persamaa berikut: l = X s X t 1 α, 1 da u = X + s X t 1 α, 1 Nilai t 1 α, 1 adalah ilai t pada pdf distribusi t sedemikia higga prob(t < t) = 1 α pada ilai derajat kebebasa ν = 1, da ukura sampel (jumlah data). Karea tigkat keyakia telah ditetapka, yaitu 1 α = 90%, maka 1 α = 95%. Nilai t 1 α, 1 = t 0.95,35 dibaca pada tabel distribusi t. Bacaa tabel mejadi mudah dilakuka dega cara membuat sketsa pdf distribusi t. α = 0.05 t 0.05,35 = t 0.95,35 u = 30 + 1.6896.7464 36 = 30.77 MPa. Dari tabel distribusi t, diperoleh: t 0.95,35 = 1.6896 Dega demikia, retag keyakia 90% kuat desak rata-rata adalah: prob(9.33 MPa μ X 30.77 MPa) = 0.90. (e) Uji hipotesis kuat desak rata-rata [bobot ilai 15%] H 0 : μ 0 = 3 MPa H 1 : μ 0 3 MPa 1 α = 0.90 t 0.95,35 α = 0.05 Dega demikia, batas bawah da batas atas retag adalah: l = 30 1.6896.7464 = 9.3 MPa. 36 Karea varias populasi tidak diketahui (σ X tidak diketahui), maka statistika uji adalah: Peyelesaia Soal UAS Statistika da Probabilitas 016 hlm 5 dari 6

T = (X μ s 0 ) = 36 (30 3) = 4.3693. X.7464 Batas-batas peerimaa atau peolaka statistika uji dega tigkat keyakia 1 α = 95% da jumlah sampel = 36 adalah: t α, 1 = t 0.05,35 da t 1 α, 1 = t 0.975,35. Dari tabel distribusi t, diperoleh: t 0.975,35 =.0301 t 0.05,35 =.0301 α = 0.05 t 0.05,35 =.0301 1 α = 0.95 t 0.975,35 =.0301 Dega demikia, statistika uji T = 4.3693 berada di luar retag peerimaa hipotesis H0 ( T > t 0.975,35 ), sehigga hipotesis yag meyataka bahwa kuat desak ratarata adalah 3 MPa tidak diterima atau ditolak. α = 0.05 -o0o- Peyelesaia Soal UAS Statistika da Probabilitas 016 hlm 6 dari 6