Pertemuan 7 Alin 2017 Bilqis

Pertemuan 7 Alin 2017 Bilqis Persamaan parametrik, jarak antara titik dan bidang, Transformasi Linier bilqis 1

Persamaan Garis Lurus di Ruang-3: Bentuk Parametrik Persamaan Garis Lurus: P o (x o, y o, z o ) v P(x, y, z) (a, b, c) Vektor P o P sejajar dengan vektor v P o P = (x x o, y y o, z z o ) P o P = tv (t skalar) (x x o, y y o, z z o ) = t(a, b, c) x x o = ta y y o = tb z z o = tc bilqis 2

Garis di ruang 3 ( x0, y0, z0) Garis L v = (a, b, c) P 0 P = t.v (x-x 0, y-y 0, z-z 0 ) = t.(a, b, c) = (t.a, t.b, t.c) Persamaan parametrik untuk garis l (titik koordinat P) x = ta + x 0 y = tb + y 0 z = tc + z 0 bilqis 3 18

bilqis 4

bilqis 5 Cara membuktikan: x = 5 t = 1 y = 0 P(5, 0, 7) z = 7 terbukti 4,8) 1(3, 1) 4,7 2,0 (5 ),, ( ),, (.. 0 0 0 0 = + = = c b a t z z y y x x V t P P Bisa juga menggunakan P 2 P 2 terletak pada L mk P 0 = (5, 0, 7) v = (3, -4, 8) P =........... x = 5 + 3t y = 0 4t z = 7 + 8t V P P V t P P = = =. 1maka t karena.. 0 0 V P P V P P = = = =. 8 4 3 8 4 3 1 4 2 7 0 5. 0 0 = = 8 4 3 P 1 P 2 v = 7 0 5 P = = 1 4 2 P 0 P 1 20

Contoh soal No.3 bilqis 6

bilqis 7

Cara membuktikan : p = (8, -4, 15) t = 1 x = 8 p = (8, -4, 15) y = -4 z = 15 PoP = t.v (x x0, y y0, z z0) = t. (a, b, c) (8 5, -4 0, 15 7 ) = 1. ( 3, -4, 8 ) (terbukti) contoh 21 = p2 = p0 = (5, 0, 7) PoP =t v Cari pers parametrik untuk garis perpotongan bidang bidang (a) 3x + 2y 4z 6 = 0 (b) x 3y 2z 4 = 0 Pers parametrik = x = 26/11 + 16/11 t y = -6/11 + -2/11 t z = t Krn t = 1 mk PoP = v p1 PoP = (8, -4, 15) (5, 0, 7) = (3,-4,8) v = (3, -4, 8) PoP = v bilqis 8

b Garis terdiri dari banyak titik cari pers. Parametrik / pers utk titik - titik a (a) Bukti apakah x, y, z titik yang terletak pada bidang Misal t = 1 X = 42 / 11 Y = -8 / 11 Z = 1 Masukkan ke (a) (b) Hasil harus benar, krn titik ini berada di kedua bidang tersebut (b) Coba dengan = t 2 3 Masukkan ke (a) Maka hasil harus benar (b) Pers parametrik x titik di sepanjang garis perpotongan y nilainya tergantung t z bilqis 9

Pers simetrik Pers garis yang memotong 2 bidang atau lebih dapat digunakan untuk mencari pers. bidang PoP = t. v (x x0, y y0, z z0) = (ta, tb, tc) x x0 y y0 z z0 a b c Jadi ada 2 persamaan bidang yang perpotongan x x0 y y0 bidang 1 a b x x0 z z0 bidang 2 a c t nya sama, sehingga dapat dijadikan persamaan x x0 z z0 bidang 1 a c y y0 z z0 bidang 2 b c bilqis 10

bilqis 11

bilqis 12

Contoh Soal No.2 bilqis 13

bilqis 14

bilqis 15

Contoh 2.3 Carilah jarak D antara titik (1,-4,-3) dengan bidang 2x 3y 6z = 1, Pemecahan. Untuk menerapkan (3.27), mula-mula kita menulis kembali pesamaan dalam bentuk : Kemudian 2x 3y 6z -1 = 0, D = ( 2)( 1) + ( 3)( 4) + ( 6) ( 3) 1 = 2 2 2 2 + ( 3) + 6 7 31 bilqis 16

Contoh 2.4 Bidang x + 2y - 2z = 3 dan 2x + 4y - 4z = 7 adalah sejajar karena bidang tersebut normal, (1, 2, -2) dan (2, 4, -4), merupaka vektor sejajar. Carilah jarak antara bidang bidang tersebut. Pemecahan, Untuk mencari jarak D antara bidang-bidang, kita dapat memilih sembarang titik dalam sebuah bidang dan menghitung jaraknya pada bidang lainnya. Dengan melengkapi y = z = 0 dalam persamaan x + 2y - 2z = 3, kita peroleh titik Po (3,0,0) pada bidang ini. Dari (3.27), jarak antara Po dan bidang 2x + 4y - 4z = 7 adalah D = ( 2)( 3) + ( 4)( 0) + ( 4)( 0) 7 1 = 2 2 2 2 + 4 + ( 4) 6 bilqis 17

Jarak antara dua bidang datar yang sejajar: Misalkan kedua bidang datar itu adalah dan 1. Tentukan sebuah titik T di bidang 2. Kemudian hitung jarak antara titik T dengan bidang bilqis 18

Contoh Soal No. 1 bilqis 19

bilqis 20

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan : Dapat mengetahui matriks-matriks yang digunakan untuk transformasi linier Dapat mengetahui aplikasi transformasi linier bilqis 21

Fungsi: Pemetaan (mapping) dari himpunan A ke himpunan B f A a b B 1. Notasi f : A B 2. Himpunan A disebut DOMAIN(f) 3. Himpunan B disebut CODOMAIN(f) 4. Tiap elemen A dipasangkan dengan (associated with) satu elemen B 5. Himpunan semua elemen b yang punya pasangan di A disebut RANGE(f) 6. Notasi f(a) = b, b disebut bayangan (image) dari a bilqis 22

f : R n R m disebut transformasi dan ditulis T : R n R m T adalah transformasi linier jika 1. T(u + v) = T(u) + T(v) penjumlahan dua vektor 2. T(cu) = ct(u) perkalian skalar dengan vektor Catatan: u, v vektor-vektor di Ruang-n c adalah skalar T(u + v), T(u), T(v), T(cu), ct(u) vektor-vektor di Ruang-m bilqis 23

T : R n R m T adalah transformasi linier jika 1. T(u + v) = T(u) + T(v) penambahan vektor 2. T(cu) = ct(u) perkalian skalar dengan vektor Catatan: u, v vektor-vektor di Ruang-n, c adalah skalar T(u + v), T(u), T(v), T(cu), ct(u) vektor-vektor di Ruang-m R n u v u+v cu T T(u) T(v) T(u+v) T(cu) R m bilqis 24

Ex 1 hal 182 bilqis 25

bilqis 26

bilqis 27

T : R n R m Transformasi T dapat digantikan oleh perkalian matrix (matrix A berukuran m x n) (x 1, x 2, x 3,, x n ) (w 1, w 2,, w m ) jika x = (x 1, x 2, x 2,, x n ) T dan w = (w 1, w 2,, w m ) T maka transformasi dapat digantikan dengan persamaan: Ax = w di mana A disebut matriks standar untuk transformasi linier T bilqis 28

Bilqis 5.10 bilqis 29

bilqis 30

bilqis 31

bilqis 32

Pencerminan operator pencerminan terhadap sumbu-x ilustrasi (x, y) (w 1, w 2 ) persamaan matriks standar w 1 = x = 1x + 0y 1 0 w 2 = y = 0x + ( 1)y 0 1 bilqis 33

Pencerminan operator pencerminan terhadap garis y = x ilustrasi (w 1, w 2 ) garis y = x (x, y) persamaan matriks standar w 1 = y = 0x + 1y 0 1 w 2 = x = 1x + 0y 1 0 bilqis 34

Pencerminan operator pencerminan terhadap bidang xy ilustrasi z (x, y, z) y x (x, y, z) persamaan matriks standar w 1 = x = 1x + 0y + 0z 1 0 0 w 2 = y = 0x + 1y + 0z 0 1 0 w 3 = z = 0x + 0y + ( 1)z 0 0 1 bilqis 35

Pencerminan operator pencerminan terhadap bidang xz ilustrasi z (x, y, z) (x, y, z) y x persamaan matriks standar w 1 = x = 1x + 0y + 0z 1 0 0 w 2 = y = 0x + ( 1)y + 0z 0 1 0 w 3 = z = 0x + 0y + 1z 0 0 1 bilqis 36

Pencerminan operator pencerminan terhadap bidang yz ilustrasi z ( x, y, z) (x, y, z) y x persamaan matriks standar w 1 = x = 1x + 0y + 0z 1 0 0 w 2 = y = 0x + 1y + 0z 0 1 0 w 3 = z = 0x + 0y + 1z 0 bilqis 0 1 37

Proyeksi Ortogonal operator proyeksi ortogonal pada sumbu-x ilustrasi (x, y) (w 1, w 2 ) = (x, 0) persamaan matriks standar w 1 = x = 1x + 0y 1 0 w 2 = 0 = 0x + 0y 0 0 bilqis 38

Proyeksi Ortogonal operator proyeksi ortogonal pada sumbu-y (w 1, w 2 ) = (0, y) ilustrasi (x, y) persamaan matriks standar w 1 = 0 = 0x + 0y 0 0 w 2 = y = 0x + 1y 0 1 bilqis 39

Proyeksi Ortogonal operator proyeksi ortogonal pada bidang xy ilustrasi z (x, y, z) y x (x, y, 0) persamaan matriks standar w 1 = x = 1x + 0y + 0z 1 0 0 w 2 = y = 0x + 1y + 0z 0 1 0 w 3 = z = 0x + 0y + 0z 0 0 0 bilqis 40

Proyeksi Ortogonal operator proyeksi ortogonal pada bidang xz ilustrasi z (x, 0, z) (x, y, z) y x persamaan matriks standar w 1 = x = 1x + 0y + 0z 1 0 0 w 2 = y = 0x + 0y + 0z 0 0 0 w 3 = z = 0x + 0y + 1z 0 0 1 bilqis 41

Proyeksi Ortogonal operator proyeksi ortogonal pada bidang yz ilustrasi z (0, y, z) (x, y, z) y x persamaan matriks standar w 1 = x = 0x + 0y + 0z 0 0 0 w 2 = y = 0x + 1y + 0z 0 1 0 w 3 = z = 0x + 0y + 1z 0 bilqis 0 1 42

Rotasi operator rotasi dengan sudut rotasi Ө ilustrasi (w 1, w 2 ) Ө (x, y) persamaan matriks standar w 1 = x cos Ө y sin Ө cos Ө sin Ө w 2 = x sin Ө + y cos Ө sin Ө cos Ө bilqis 43

Rotasi operator rotasi melawan arah jarum jam dengan sumbu rotasi x positif dan sudut rotasi (w 1, w 2, w 3 ) ilustrasi z y x (x, y, z) persamaan matriks standar w 1 = (cos ) x + ( sin ) y + 0z 1 0 0 w 2 = (sin ) x + (cos ) y + 0z 0 cos -sin w 3 = 0x + 0y + 1z 0 sin cos bilqis 44

Rotasi operator rotasi melawan arah jarum jam dengan sumbu rotasi y positif dan sudut rotasi ilustrasi z (x, y, z) y x (w 1, w 2, w 3 ) persamaan matriks standar w 1 = (cos ) x + ( sin ) y + 0z cos 0 sin w 2 = (sin ) x + (cos ) y + 0z 0 1 0 w 3 = 0x + 0y + 1z sin 0 cos bilqis 45

Rotasi operator rotasi melawan arah jarum jam dengan sumbu rotasi z positif dan sudut rotasi ilustrasi z (x, y, z) (w 1, w 2, w 3 ) persamaan x matriks standar y w 1 = (cos ) x + ( sin ) y + 0z cos sin 0 w 2 = (sin ) x + (cos ) y + 0z sin cos 0 w 3 = 0x + 0y + 1z 0 0 1 bilqis 46

bilqis 47

bilqis 48

Kontraksi operator Kontraksi ( penyusutan) dengan faktor 0 k 1 ilustrasi z (x, y, z) (w 1, w 2, w 3 ) y x persamaan matriks standar w 1 = kx + 0y + 0z k 0 0 w 2 = 0x + ky + 0z 0 k 0 w 3 = 0x + 0y + kz 0 0 k bilqis 49

Dilasi operator Dilasi (pemuaian/perbesaran) dengan faktor k > 1 ilustrasi z (x, y, z) (w 1, w 2, w 3 ) y x persamaan matriks standar w 1 = kx + 0y + 0z k 0 0 w 2 = 0x + ky + 0z 0 k 0 w 3 = 0x + 0y + kz 0 0 k bilqis 50

bilqis 51

bilqis 52

bilqis 53

Komposisi dua transformasi: T u 1 T v 2 w T 2 T 1 v = T 1 (u) w = T 2 (v) = T 2 (T 1 (u)) = ( T 2 T 1 ) (u) bilqis 54

Komposisi dua transformasi: T u 1 T v 2 w T 2 T 1 Matriks standar untuk T 1 = A 1 Matriks standar untuk T 2 = A 2 Matriks standar untuk T 2 T 1 = (A 2 )(A 1 ) bilqis 55

Komposisi dua / lebih transformasi: T r T r-1..t 2 T 1 Contoh: u = ( 3, 4) 1. T 1 refleksi terhadap sumbu-y A 1 = -1 0 0 1 2. T 2 proyeksi ortogonal pada sumbu-x A 2 = 1 0 0 0 Hasilnya : (3, 0)? (cek dengan menghitung dan menggambar) bilqis 56

Komposisi dua / lebih transformasi: Contoh: u = 3 4 1. T 1 refleksi terhadap sumbu-y A 1 = -1 0 A 1 u = v = 3 0 1 4 2. T 2 proyeksi ortogonal pada sumbu-x A 2 = 1 0 A 2 v = w = 3 0 0 0 A 2 A 1 = 1 0 (A 2 A 1 ) u = 3 0 0 0 bilqis 57

bilqis 58

bilqis 59

bilqis 60

Ex 7 hal 193 bilqis 61

Ex 8 hal 194 bilqis 62

Ex. 5 hal 202 bilqis 63

Contoh Soal No. 1 Carilah koordinat akhir dari (-3, 5) jika pertama kali di dilakukan dilatasi sebesar k =3, kemudian dicerminkan terhadap garis x = y, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu x, kemudian proyeksi ortogonal terhadap sumbu y dan terakhir dilakukan rotasi sebesar 30 0 (sin 30 = 0,5 dan cos 30 = 0,87) Pertama, Lakukan step by step perkalian titik dengan matrix, titik hasilnya, dikalikan dengan matrix lagi, begitu seterusnya, hingga akhir bilqis 64

dilatasi 3 0 x -3 = -9 nilai= 3 sebesar k = 3 0 3 5 15 cermin x = y 0 1 x -9 = 15 nilai= 3 1 0 15-9 cermin sumbu x 1 0 x 15 = 15 nilai= 3 0-1 -9 9 proyeksi orto y 0 0 x 15 = 0 nilai= 3 0 1 9 9 rotasi 30 0,87-0,5 x 0 = -4,5 nilai= 3 0,5 0,87 9 7,83 bilqis 65

kedua, lakukan step by step dengan menggunakan perkalian matrix dengan matrix, matrix hasil, dengan matrix berikutnya, begitu seterusnya hingga matrix terakhir dikalikan dengan titik awal bilqis 66

T5 o T4 o T3 o T2 o T1 = [T5] [T4] [T3] [T2] [T1] cermin x = y dilatasi k =3 0 1 x 3 0 = ```0 3 nilai= 3 1 0 0 3 3 0 cermin sumbu x 1 0 x 0 3 = 0 3 nilai= 3 0-1 3 0-3 0 proyeksi orto y 0 0 x 0 3 = 0 0 nilai= 3 0 1-3 0-3 0 rotasi 30 0,87-0,5 x 0 0 = 1,5 0 nilai= 3 0,5 0,87-3 0-2,61 0 1,5 0 x -3 = -4,5 nilai= 3-2,61 0 5 7,83 bilqis 67

Tugas Kelompok cari 2 soal dan jawaban di internet yang berhubungan dengan materi ppt ini Tulis alamat internetnya Di kirim ke elearning, terakhir Minggu depan Format subject Alin-B-melati Bentuk ppt informasi nama kelompok + anggota bilqis 68