Pertemuan 4 Aljabar Linear & Matriks

Transkripsi

1 Pertemuan 4 Aljabar Linear & Matriks 1

2 Notasi : huruf besar tebal misalnya A, B, C Merupakan array dari bilangan, setiap bilangan disebut elemen matriks (entri matriks) Bentuk umum : m : jumlah baris (mendatar) dan n : jumlah kolom (vertikal) sehingga mxn merupakan ukuran matriks tsb Setiap elemen pada matriks ditandai letaknya dengan posisi/nomor baris dan kolom, misal a 23 adalah elemen matriks pada baris ke-2 kolom ke-3 2

3 Matriks ukuran (3x2), misalnya Matriks ukuran (1x4), misalnya Matriks yang hanya terdiri atas satu baris disebut matriks baris atau vektor baris. Matriks ukuran (2x1), misalnya Matriks yang hanya terdiri atas satu kolom disebut matriks kolom atau vektor kolom. Matriks ukuran (3x3), misalnya Matriks yang jumlah baris sama dengan jumlah kolomnya disebut matriks bujursangkar. 3

4 Utk mengakses elemen suatu matriks dapat digunakan notasi: a ij, artinya elemen matriks A baris ke-i dan kolom ke-j Contoh pada matriks A berikut: A = maka: Elemen baris 1 kolom 4 = a 14 = 4 Elemen baris 3 kolom 2 = a 32 = 1 (Misalnya pada software Scilab atau Matlab) Pada matriks bujur sangkar, elemen dimana nomor baris = nomor kolom disebut elemen diagonal utama, yaitu a 11, a 22, a 33,, a nn 4

5 Ilustrasi: Dua buah matriks disebut sama jika ukuran keduanya sama dan elemen-elemen pada posisi yang bersesuaian juga sama. Misal matriks A dan B. Matriks A dan B disebut sama jika dan hanya jika ukurannya sama dan memenuhi: a ij = b ij untuk semua i dan j. 5

6 Penjumlahan dan Pengurangan Dua atau lebih matriks dapat dikenakan operasi penjumlahan atau pengurangan jika ukurannya sama, dengan cara menjumlahkan atau mengurangkan elemen-elemen yang bersesuaian. Jika terdapat dua matriks A dan B dengan ukuran yang sama maka: C = A + B = a ij + b ij D = A B = a ij - b ij 6

7 A + C = tak terdefinisi (mengapa?) A C =?? B + C =?? B C =?? 7

8 Perkalian Perkalian matriks dengan skalar c didefinisikan sebagai perkalian setiap elemen matriks dengan skalar c. Notasi: E = ca = c.a ij Perkalian dua buah matriks hanya dapat didefinisikan jika terpenuhi syarat bahwa jumlah kolom matriks pertama sama dengan jumlah baris kolom kedua. Misal matriks A dan B dikalikan dan menghasilkan matriks AB, maka ukuran matriks AB dapat diketahui menggunakan ilustrasi berikut: 8

9 Jika A adalah matriks m x r dan B adalah matriks r x n, maka hasil-kali A dan B adalah matriks berukuran m x n. Untuk menemukan besarnya elemen matriks pada baris i dan kolom j dari matriks AB dilakukan dengan cara menjumlahkan hasil perkalian baris i pada matriks A dengan kolom j pada matriks B. AB(i,j) = A(i, :) x B(:, j) Ilustrasi: 9

10 Untuk menemukan elemen baris 1 kolom 1 atau AB(1,1) Untuk menemukan elemen baris 1 kolom 2 atau AB(1,2) 10

11 Untuk menemukan elemen baris 2 kolom 1 atau AB(2,1) Untuk menemukan elemen baris 2 kolom 2 atau AB(2,2) 11

12 Hasil akhirnya adalah: Cobalah lakukan untuk perkalian matriks berukuran 3x3 dan 3x4 12

13 Jika matriks yang dikalikan tidak memenuhi syarat di atas, maka hasil kali matriks tidak dapat didefinisikan. Berikut ilustrasi perkalian 2 buah matriks. Matriks pertama berukuran 2x3 dan yang kedua berukuran 3x4, maka matriks hasill kali-nya berukuran 2x4. Untuk mencari elemen baris ke-2 kolom ke-3 Untuk mencari elemen baris ke-1 kolom ke-4 13

14 Cobalah hitung hasil perkalian matriks berikut, yang biasa digunakan untuk mengarahkan gerakan mekanis robot (misalnya untuk memutar lengan robot) 14

15 Interpretasi dari hasil ini adalah bahwa lengan robot bergerak dari posisi (2, 4, 0) ke posisi (-2.46, 3.73, 0). Dengan kata lain, bahwa lengan robot bergerak pada bidang xy, namun tetap pada z = 0. Matriks 3x3 yang mengandung nilai sin dan cos menunjukkan berapa derajat lengan robot harus bergerak memutar. 15

16 16

17 Perpangkatan matriks didefinisikan sebagai perkalian dengan matriks itu sendiri (hanya pada matriks bujursangkar, mengapa?) Notasi: A n = A (1). A (2).A (3) A (n) Misal: A 3 = A.A.A Contoh: 1 A Jika maka A 2 = A 3 =? PR 1: Temukan hasil dari A 4?

18 Sebuah matriks dapat dibagi atau dipartisi menjadi matriks yang lebih kecil dengan cara membuat batas vertikal atau horisontal pada tempat yang dipilih. Misalkan partisi sebagai berikut: maka: A 11 a a a a a a A 12 a a A 21 a31 a32 a33 A [ 34 ] 22 a 18

19 Transpose suatu matriks didefinisikan sebagai suatu matriks baru yang diperoleh dari mengubah baris menjadi kolom dan kolomnya menjadi baris. Notasi : Jika terdapat matriks A maka transpose matriks A ditulis sebagai A T dan elemen-elemennya didefinisikan oleh (A T ) ij = A ji Contoh: T maka A A

20 20

21 Jika matriks yang akan ditranspose adalah matriks bujur sangkar, maka ada cara yang lebih cepat terutama jika akan dilakukan dengan program komputer. Perhatikan bahwa elemen-elemen diagonal utama tidak berubah (berpindah tempat). Dengan cara ini jumlah operasi pemindahan elemen-elemen matriks dalam rangka mencari transpose menjadi lebih sedikit waktu eksekusi program lebih cepat 21

22 Sistem pers linear sbb: Dengan dua buah matriks dapat dinyatakan sebagai: Ax = B 22

23 Matriks Ax adalah matriks A dan x yang dikalikan, sedangkan B adalah matriks yang elemen-elemennya diambil dari koefisien yang berada di sebelah kanan tanda sama-dengan. Atau dapat dinyatakan kembali sbb: Matriks A dan B dapat disandingkan sebagai [A B] sehingga menjadi: 23

24 Jika A adalah matriks bujursangkar, maka trace matriks A didefinisikan sebagai jumlahan semua elemen yang ada pada diagonal utamanya. tr (A) = a 11 +a 22 +a a nn Contoh: 24

25 Temukan (jika mungkin) o D+E o 5A o 2B-C o 4E-2D o -3(D+2E) o Tr(D) o DA o DE o AD o AB + ED o D 2 o D(D+E) 25