8.3 Inverse Linear Transformations

Transkripsi

1 8.3 Inverse Linear Transformations

2 Definition One to One Transformasi linear T:V W dikatakan one-to-one jika T memetakan vektor-vektor berbeda pada V ke vektorvektor berbeda pada W. Jika A adalah suatu matriks nxn dan T A :R n R n adalah perkalian dengan A, maka T A adalah one-to-one jika dan hanya jika A adalah invertible matrix.

3 Theorem Equivalent Statements Jika T:V W adalah suatu transformasi linear, maka: (a) T adalah one-to-one (b) Kernel dari T hanya terdiri dari vektor nol ker(t) = {0} (c) Nullity (T) = 0

4 Theorem Jika V adalah ruang vektor berdimensi terhingga, dan T:V V adalah suatu operator linear, maka: (a)t adalah one to one (b) ker(t) = {0} (c)nullity(t) = 0 (d)the range of T is V;that is,r(t) =V

5 Contoh Anggap T A :R 4 -> R 4 adalah perkalian dengan Tentukan apakah T A adalah one to one. Jawab : det(a)=0 not invertible T A is not one to one. Jika A adalah suatu matriks nxn dan T A :R n R n adalah perkalian dengan A, maka T A adalah one-to-one jika dan hanya jika A adalah invertible matrix.

6 Inverse Linear Transformations Jika T :V W adalah transformasi linear, maka daerah hasil dari T, R (T ) adalah sub ruang W yang terdiri dari semua bayangan di bawah T dari vektor-vektor pada V. Jika T adalah one to one maka setiap vektor v pada V memiliki bayangan unik w=t(v) pada R(T). Keunikan vektor bayangan ini inverse of T T 1.yang memetakan w kembali ke v

7 Contoh Anggap T :R 3 ->R 3 adalah operator linear yang didefinisikan oleh rumus: T (x 1,x 2,x 3 )=(3x 1 +x 2,-2x 1-4x 2 +3x 3,5x 1 +4 x 2-2x 3 ) Tentukan apakah T adalah one to one, jika demikian cari T -1 (x 1,x 2,x 3 ) Matriks standars T : Cek, apakah [T] memiliki invers? Cek dulu apakah det T terdefinisi? Jika A adalah suatu matriks nxn dan T A :R n R n adalah perkalian dengan A, maka T A adalah one-to-one jika dan hanya jika A adalah invertible matrix.

8 Matriks standars T :

9 Invers dari Komposisi Jika T 1 :U V and T 2 :V W adalah one to one linear transformation maka: (a)t 2 o T 1 is one to one (b) (T 2 o T 1 ) -1 = T T 2-1

10 Contoh

11 8.4. Matriks-Matriks Transformasi Linier Umum

12 Matriks-Matriks Transformasi Linier Jika; V : ruang vektor berdimensi n dengan basis B W : ruang vektor berdimensi m dengan basis B Maka untuk setiap x pada V, matriks koordinat [x] B akan menjadi suatu vektor pada R n dan matriks koordinat [T(x)] B akan menjadi vektor pada R m Matriks A merupakan matriks untuk T berkenaan dengan basis B dan B A [x] B = [T(x)] B

13 Matriks-Matriks Transformasi Linier Jika B = {u 1, u 2,, u n } adalah basis untuk ruang V berdimensi n dan B = {v 1, v 2,., v n } adalah basis untuk ruang berdimensi m, maka kita mencari suatu matriks m x n : Yang berlaku untuk semua vektor x dalam V. Matriks A akan berlaku untuk semua basis vektor u 1, u 2,, u n, jika: A [u 1 ] B = [T(u 1 )] B, A [u 2 ] B = [T(u 2 )] B,.. A [u n ] B = [T(u n )] B A [u n ] B = [T(u n )] B

14 Matriks-Matriks Transformasi Linier A [u 1 ] B = [T(u 1 )] B, A [u 2 ] B = [T(u 2 )] B,.. A [u n ] B = [T(u n )] B Namun, jika A [u n ] B = [T(u n )] B

15 Matriks-Matriks Transformasi Linier Subsitusi hasil ke persamaan : A[u 1 ] B, A[u 2 ] B.. A[u n ] B A [u n ] B = [T(u n )] B Didapat: Artinya berkenaan dengan basis B, berturut-turut kolomkolom matriks A adalah matriks-matriks koordinat dari :

16 Matriks-Matriks Transformasi Linier Matriks untuk T berkenaan dengan B dan B adalah Atau ditulis : Matriks ini mempunyai sifat:

17 Matriks Matriks Operator Linier Jika T : R n R m adalah transformasi linier dan jika B dan B adakah basis-basis standar untuk R n dan R m, maka [T] B,B =[T] Matriks Operator Linier dapat menghitung bayangan vektor dengan menggunakan perkalian matriks. Jika T: V W adalah transformasi linier, maka matriks [T] B,B bisa digunakan untuk menghitung T(x) dalam 3 langkah: 1. Hitung matriks koordinat [x] B 2. Kalikan [x] B dari kiri dengan [T] B,B untuk menghasilkan [T] B 3. Susun ulang T(x) dari matriks koordinatnya [T] B

18 Matriks Matriks Komposisi dan Tranformasi Balikan Jika T 1 : U V dan T 2 : V W adalah transformasi linier dan jika B, B, dan B masing-masing adalah basis-basis untuk U, V dan W, maka : Jika T: V V adalah suatu operator linier dan jika B adalah basis untuk V, maka pernyataan berikut ini ekuivalen: a. T satu satu b. [T]B dapat dibalik Jika kesetaraan ini dipenuhi, maka :