Transformasi Linear dari R n ke R m

Transkripsi

1 TE0967 Teknik Numerik Sistem Linear Transformasi Linear dari R n ke R m Trihastuti gustinah Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik Elektro - FTI Institut Teknologi Sepuluh Nopember

2 OUTLINE OBJEKTIF TEORI CONTOH SIMPULN 5 LTIHN

3 OBJEKTIF Teori Contoh Simpulan Latihan Tujuan Pembelajaran Mahasisa mampu:. Melakukan transformasi linear dari R n ke R m. Menghitung image dari transformasi linear

4 Pendahuluan Fungsi dalam bentuk =f() dengan vektor di R n disebut variabel independen dan vektor di R m disebut variabel dependen. Kasus khusus fungsi tersebut disebut transformasi linear. Transformasi linear merupakan konsep dasar dalam mempelajari aljabar linear dan memiliki banyak aplikasi dalam keteknikan.

5 Fungsi dari R n ke R m Fungsi f : aturan yang menghubungkan tiap elemen dalam himpunan ke satu elemen dalam himpunan B R n f R m B domain kodomain Transformasi f : R n R m (f memetakan R n ke R m ) Kasus khusus: f : R n R n disebut operator

6 Fungsi dari R n ke R Contoh fungsi Deskripsi f() = f : R R f(,y,z) = + y f : R R f(,y,z) = + y + z f : R R f(,,, n ) = n f : R n R

7 Transformasi dari R n ke R m Transformasi T: R n R m didefinisikan dengan persamaan dalam bentuk Notasi: = f (,,, n = f (,,, n = f,,, ) m m( n T (,,, n) = (,,, m ) ) ) + = = + = T: R R Image dari titik-titik (,,, n )

8 Transformasi Linear Transformasi linear T: R n R m didefinisikan dengan pers. linear dalam bentuk = a + a + + a n n = a + a + + an n m = a + a + + a m m mn n Notasi matriks: m = a a a m a a a m a a a n n mn n Matriks standar untuk T = T() =

9 Representasi Geometris dari Transformasi Linear T: R n R n mentransformasi titik (vektor) ke dalam titik (vektor) baru T() T() T memetakan titik pada titik T memetakan vektor pada vektor

10 Pemetaan satu-satu Transformasi linear T: R n R m disebut pemetaan satu-satu jika T memetakan vektor (titik) yang berbeda-beda di R n pada vektor (titik) yang berbeda-beda di R m T T u v u v pemetaan satu-satu bukan satu-satu

11 Teorema pemetaan satu-satu Transformasi linear T: R n R n merupakan perkalian dengan matriks (nn) dapat dibalik Range transformasi adalah R n T merupakan pemetaan satu-satu T : R n R n merupakan pemetaan satu-satu dengan matriks (nn) dapat dibalik, maka T - : R n R n merupakan operator linear dan disebut invers T T T T = = T T T = = T T I I

12 Sudut pandang geometris pemetaan satu-satu adalah image dari menurut transformasi linear T T ( ) = T ( T ( )) = y T () T -()

13 Sifat linearitas dari transformasi Transformasi T: R n R m adalah linear jika dan hanya jika relasi berikut terpenuhi untuk semua vektor u dan v di R n dan skalar k (a) T(u+v) = T(u) + T(v) (b) T(ku) = kt(u) Jika T: R n R m adalah transformasi linear dan e, e,, e n merupakan vektor basis standar untuk R n, maka matriks standar untuk T adalah [T] = [T(e ) T(e ) T(e n )]

14 Objektif Contoh Teori CONTOH Simpulan Latihan Transformasi linear T: R R didefinisikan dengan pers. = = = Dapatkan: a) notasi matriks transformasi b) matriks standar transformasi linear c) image dari titik (, -, 0, )

15 a) notasi matriks Contoh b) matriks standar transformasi linear = = = c) image dari titik (, -, 0, ): = CONTOH Simpulan Latihan Objektif Teori

16 Objektif Teori Contoh SIMPULN Latihan Transformasi Linear Fungsi merupakan aturan f yang menghubungkan tiap elemen dalam himpunan (domain dari f) dengan satu dan hanya satu elemen dalam himpunan B(kodomain dari f ) Bila domain fungsi f adalah R n dan kodomain adalah R m (m dan n mungkin sama), maka f disebut pemetaan atau transformasi dari R n ke R m Operator adalah transformasi yang memetakan elemen di R n ke R n

17 Objektif Teori Contoh Soal Latihan Simpulan LTIHN Tentukan apakah operator linear T: R R didefinisikan oleh persamaan berikut adalah pemetaan satu-satu, dan dapatkan matriks standar dari invers operator tersebut + = + = + + =

18 Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan